-
Сейчас я хочу продолжить рассматривать
-
треугольники с углами 45, 45 и 90°.
-
Итак, на прошлом уроке мы усвоили,
-
что любая сторона треугольника с углами 45, 45 и 90°,
-
не являющаяся гипотенузой,
-
равна (√2)/2 умножить на гипотенузу.
-
Давайте решим ещё пару задач.
-
Предположим, что гипотенуза данного треугольника…
-
а я напомню, всё это действительно только
-
для треугольников с углами 45, 45 и 90°,
-
и если я отметил один угол как 45°,
-
вы уже знаете, что второй тоже будет равен 45°.
-
Предположим, что гипотенуза здесь равняется 10.
-
Мы знаем, что это гипотенуза,
-
поскольку она противоположна прямому углу.
-
Спрашивается: чему равна эта сторона х?
-
Мы уже знаем, что х равен √2/2 умножить на гипотенузу,
-
т.е. умножить на 10.
-
Или, х=5√2 (10 делим на 2). Итак, х=5√2.
-
И мы также знаем, что эта и эта
-
сторона равны. Правильно?
-
Мы знаем, что это равнобедренный треугольник,
-
потому что эти два угла равны.
-
Значит, можем сказать, что эта сторона 5√2.
-
И если вы не верите, попробуйте посчитать сами.
-
Давайте применим теорему Пифагора.
-
Из теоремы Пифагора следует, что
-
что (5√2)²+(5√2)² равно гипотенузе в квадрате.
-
А она у нас равна 10, значит здесь 100 будет.
-
Здесь 25 умножить на 2 - это 50.
-
Здесь 50 плюс 50, а здесь у нас 100.
-
И конечно же, мы понимаем, что это верно.
-
Так что всё работает.
-
Мы доказали, используя теорему Пифагора,
-
что равенство – есть тождество.
-
На самом деле, аналогичные рассуждения
-
и привели нас к вот этой формуле вверху.
-
Возможно, вы захотите вернуться к одному из этих уроков,
-
если вы забудете, как мы это всё получили.
-
Сейчас я хочу представить вам
-
другой тип треугольников.
-
И я пойду всё тем же путём:
-
сначала определю задачу и затем
-
использую теорему Пифагора, чтобы всё посчитать.
-
Это и есть другой тип треугольника,
-
который называется треугольник с углами 30, 60, 90°.
-
И если мне не хватит времени в этом видео,
-
я сделаю ещё одно видео.
-
Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник.
-
Он получился не таким уж и красивым,
-
но что имеем - то имеем.
-
Это прямой угол.
-
Допустим, этот угол у нас равен 30°.
-
Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.
-
Здесь 30, здесь 90, а здесь, допустим, х.
-
x+30+90=180,
-
поскольку сумма углов треугольника равна 180°.
-
Считаем: х получается равным 60. Так?
-
Т.е. этот угол у нас равен 60.
-
И вот почему это называется у нас
-
треугольником с углами 30, 60, 90°,
-
это величины его углов.
-
Предположим, что это гипотенуза…
-
давайте не называть её «с» как обычно,
-
назовём её теперь h.
-
Я хочу вычислить все остальные стороны,
-
как же нам это сделать?
-
Мы можем вычислить всё это,
-
пользуясь теоремой Пифагора.
-
Сейчас я покажу вам маленький фокус-покус.
-
Давайте нарисуем точно такой же треугольник,
-
его точную копию, но перевернём его в другую сторону.
-
И вот у нас точно такой же треугольник,
-
только он смотрит в другую сторону, так?
-
Мы знаем, что эти два угла – смежные.
-
Вы можете пересмотреть урок про углы,
-
если вы забыли, что 2 смежных угла,
-
которые делят одну и ту же прямую,
-
будут в сумме давать 180°.
-
Здесь у нас 90°, значит, здесь у нас будет тоже 90.
-
Это видно даже на глаз.
-
Треугольник просто отображен слева направо.
-
Теперь мы знаем, что этот угол равен 30°.
-
А этот тоже равен 60°.
-
Этот угол равен 30° и этот угол 30°,
-
значит этот больший угол, отсюда досюда, равен 60°.
-
Если этот угол равен 60°, верхний угол тоже равен 60°,
-
и этот правый угол равен 60°, тогда мы знаем из теоремы,
-
которую мы проходили в видео
-
про треугольники с углами 45, 45, 90°,
-
что если эти углы равны, то стороны,
-
не являющиеся для них общими, тоже равны.
-
Какие стороны для них не являются общими?
-
Это эта сторона и эта.
-
Если эта сторона h, тогда и эта сторона будет h. Так?
-
Но этот угол у нас тоже равен 60°.
-
Давайте обратим внимание на эти 60° и эти 60°.
-
Мы знаем, что стороны,
-
не являющиеся для них общими, также равны.
-
Для них общая сторона – эта.
-
А стороны, которые для них не общие – эта и эта.
-
Т.к. эта сторона h,
-
эта тоже будет h.
-
Получается, что если у нас 60, 60 и 60°,
-
то все стороны в треугольнике
-
имеют одинаковую длину.
-
Это равносторонний треугольник.
-
Это нужно будет запомнить.
-
И это вполне логично,
-
поскольку равносторонний треугольник симметричен,
-
не важно, с какой стороны вы на него посмотрите.
-
У него все углы будут одинаковы,
-
и все стороны будут равны.
-
Но в первоначальной задаче у нас была
-
только половина данного
-
равностороннего треугольника.
-
Мы знаем, что вся эта сторона равна по длине h.
-
Но если вся длина этой стороны h,
-
тогда данная сторона -
-
основание нашего искомого треугольника,
-
и я нарочно навожу её жирным -
-
давайте используем другой цвет -
-
она будет равна половине
-
стороны большого треугольника. Так?
-
Здесь h/2 и здесь h/2.
-
Вернёмся к нашему первоначальному треугольнику.
-
Здесь 30°, а это – гипотенуза,
-
потому что она противоположна прямому углу.
-
А мы знаем, что сторона,
-
противолежащая углу 30°, равна ½ гипотенузы.
-
Давайте вспомним, как мы это сделали.
-
Мы дорисовали треугольник -
-
получили равносторонний треугольник,
-
посчитали, что эта сторона будет равна гипотенузе.
-
А это - половина от всей её длины.
-
Т.е. это половина гипотенузы.
-
Давайте помнить это.
-
Сторона, противоположная углу 30°,
-
равна ½ длины гипотенузы.
-
Давайте перерисуем это на другой странице,
-
мне кажется, что там было слишком грязно.
-
Вернёмся к первоначальному условию.
-
Это прямой угол.
-
Это гипотенуза – данная сторона.
-
Здесь у нас 30°, и мы только что посчитали,
-
что сторона, на которую «смотрит» этот угол,
-
равна ½ гипотенузы.
-
Если это равно ½ гипотенузы,
-
то чему равна эта сторона?
-
Здесь мы можем снова использовать
-
теорему Пифагора.
-
Мы знаем, что эта сторона в квадрате
-
плюс эта сторона в квадрате, назовём её А, равно h².
-
Получается: (½h)²+А²=h².
-
Здесь получается: h²/4+А²=h².
-
Мы вычитаем h² из обеих сторон равенства –
-
получаем: А²=h²–h²/4.
-
Это, в свою очередь, равно h²*(1-1/4)=¾ h².
-
Ещё разок - всё это равно А².
-
Мне не хватает места, поэтому я перейду аж сюда.
-
Извлечём квадратный корень
-
из обеих сторон равенства.
-
Получим: А=√(3/4), это то же самое, что и (√3)/2.
-
Умножить на √(h)² – это просто h.
-
А – обозначение,
-
которое ранее мы использовали для площади,
-
а в этом ролике мы так обозначили эту сторону.
-
Она равна ((√3)/2)*h.
-
Мы выразили все стороны треугольника
-
через гипотенузу в треугольнике с углами 30, 60, 90°.
-
Итак, если нам известна гипотенуза, и мы знаем,
-
что это треугольник с углами 30, 60, 90°,
-
мы можем утверждать, что сторона,
-
противолежащая углу в 30°,
-
будет равна половине гипотенузы.
-
Мы также знаем, что сторона,
-
противолежащая углу 60° равна
-
(√3)/2 умножить на гипотенузу.
-
В следующем уроке я покажу вам,
-
как с помощью данной информации,
-
которую вы хотите или, может, не хотите запоминать...
-
Но все же лучше запомнить и попрактиковаться,
-
это поможет вам научиться очень быстро
-
решать подобные задачи на тестировании.
-
В следующем уроке я покажу вам,
-
как с помощью данной информации
-
очень быстро решать задачи для треугольников
-
с углами 30, 60, 90°.
-
Увидимся на следующем уроке!
