Сейчас я хочу продолжить рассматривать

треугольники с углами 45, 45 и 90°.

Итак, на прошлом уроке мы усвоили,

что любая сторона треугольника с углами 45, 45 и 90°,

не являющаяся гипотенузой,

равна (√2)/2 умножить на гипотенузу.

Давайте решим ещё пару задач.

Предположим, что гипотенуза данного треугольника…

а я напомню, всё это действительно только

для треугольников с углами 45, 45 и 90°,

и если я отметил один угол как 45°,

вы уже знаете, что второй тоже будет равен 45°.

Предположим, что гипотенуза здесь равняется 10.

Мы знаем, что это гипотенуза,

поскольку она противоположна прямому углу.

Спрашивается: чему равна эта сторона х?

Мы уже знаем, что х равен √2/2 умножить на гипотенузу,

т.е. умножить на 10.

Или, х=5√2 (10 делим на 2). Итак, х=5√2.

И мы также знаем, что эта и эта

сторона равны. Правильно?

Мы знаем, что это равнобедренный треугольник,

потому что эти два угла равны.

Значит, можем сказать, что эта сторона 5√2.

И если вы не верите, попробуйте посчитать сами.

Давайте применим теорему Пифагора.

Из теоремы Пифагора следует, что

что (5√2)²+(5√2)² равно гипотенузе в квадрате.

А она у нас равна 10, значит здесь 100 будет.

Здесь 25 умножить на 2 - это 50.

Здесь 50 плюс 50, а здесь у нас 100.

И конечно же, мы понимаем, что это верно.

Так что всё работает.

Мы доказали, используя теорему Пифагора,

что равенство – есть тождество.

На самом деле, аналогичные рассуждения

и привели нас к вот этой формуле вверху.

Возможно, вы захотите вернуться к одному из этих уроков,

если вы забудете, как мы это всё получили.

Сейчас я хочу представить вам

другой тип треугольников.

И я пойду всё тем же путём:

сначала определю задачу и затем

использую теорему Пифагора, чтобы всё посчитать.

Это и есть другой тип треугольника,

который называется треугольник с углами 30, 60, 90°.

И если мне не хватит времени в этом видео,

я сделаю ещё одно видео.

Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник.

Он получился не таким уж и красивым,

но что имеем - то имеем.

Это прямой угол.

Допустим, этот угол у нас равен 30°.

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.

Здесь 30, здесь 90, а здесь, допустим, х.

x+30+90=180,

поскольку сумма углов треугольника равна 180°.

Считаем: х получается равным 60. Так?

Т.е. этот угол у нас равен 60.

И вот почему это называется у нас

треугольником с углами 30, 60, 90°,

это величины его углов.

Предположим, что это гипотенуза…

давайте не называть её «с» как обычно,

назовём её теперь h.

Я хочу вычислить все остальные стороны,

как же нам это сделать?

Мы можем вычислить всё это,

пользуясь теоремой Пифагора.

Сейчас я покажу вам маленький фокус-покус.

Давайте нарисуем точно такой же треугольник,

его точную копию, но перевернём его в другую сторону.

И вот у нас точно такой же треугольник,

только он смотрит в другую сторону, так?

Мы знаем, что эти два угла – смежные.

Вы можете пересмотреть урок про углы,

если вы забыли, что 2 смежных угла,

которые делят одну и ту же прямую,

будут в сумме давать 180°.

Здесь у нас 90°, значит, здесь у нас будет тоже 90.

Это видно даже на глаз.

Треугольник просто отображен слева направо.

Теперь мы знаем, что этот угол равен 30°.

А этот тоже равен 60°.

Этот угол равен 30° и этот угол 30°,

значит этот больший угол, отсюда досюда, равен 60°.

Если этот угол равен 60°, верхний угол тоже равен 60°,

и этот правый угол равен 60°, тогда мы знаем из теоремы,

которую мы проходили в видео

про треугольники с углами 45, 45, 90°,

что если эти углы равны, то стороны,

не являющиеся для них общими, тоже равны.

Какие стороны для них не являются общими?

Это эта сторона и эта.

Если эта сторона h, тогда и эта сторона будет h. Так?

Но этот угол у нас тоже равен 60°.

Давайте обратим внимание на эти 60° и эти 60°.

Мы знаем, что стороны,

не являющиеся для них общими, также равны.

Для них общая сторона – эта.

А стороны, которые для них не общие – эта и эта.

Т.к. эта сторона h,

эта тоже будет h.

Получается, что если у нас 60, 60 и 60°,

то все стороны в треугольнике

имеют одинаковую длину.

Это равносторонний треугольник.

Это нужно будет запомнить.

И это вполне логично,

поскольку равносторонний треугольник симметричен,

не важно, с какой стороны вы на него посмотрите.

У него все углы будут одинаковы,

и все стороны будут равны.

Но в первоначальной задаче у нас была

только половина данного

равностороннего треугольника.

Мы знаем, что вся эта сторона равна по длине h.

Но если вся длина этой стороны h,

тогда данная сторона -

основание нашего искомого треугольника,

и я нарочно навожу её жирным -

давайте используем другой цвет -

она будет равна половине

стороны большого треугольника. Так?

Здесь h/2 и здесь h/2.

Вернёмся к нашему первоначальному треугольнику.

Здесь 30°, а это – гипотенуза,

потому что она противоположна прямому углу.

А мы знаем, что сторона,

противолежащая углу 30°, равна ½ гипотенузы.

Давайте вспомним, как мы это сделали.

Мы дорисовали треугольник -

получили равносторонний треугольник,

посчитали, что эта сторона будет равна гипотенузе.

А это - половина от всей её длины.

Т.е. это половина гипотенузы.

Давайте помнить это.

Сторона, противоположная углу 30°,

равна ½ длины гипотенузы.

Давайте перерисуем это на другой странице,

мне кажется, что там было слишком грязно.

Вернёмся к первоначальному условию.

Это прямой угол.

Это гипотенуза – данная сторона.

Здесь у нас 30°, и мы только что посчитали,

что сторона, на которую «смотрит» этот угол,

равна ½ гипотенузы.

Если это равно ½ гипотенузы,

то чему равна эта сторона?

Здесь мы можем снова использовать

теорему Пифагора.

Мы знаем, что эта сторона в квадрате

плюс эта сторона в квадрате, назовём её А, равно h².

Получается: (½h)²+А²=h².

Здесь получается: h²/4+А²=h².

Мы вычитаем h² из обеих сторон равенства –

получаем: А²=h²–h²/4.

Это, в свою очередь, равно h²*(1-1/4)=¾ h².

Ещё разок - всё это равно А².

Мне не хватает места, поэтому я перейду аж сюда.

Извлечём квадратный корень

из обеих сторон равенства.

Получим: А=√(3/4), это то же самое, что и (√3)/2.

Умножить на √(h)² – это просто h.

А – обозначение,

которое ранее мы использовали для площади,

а в этом ролике мы так обозначили эту сторону.

Она равна ((√3)/2)*h.

Мы выразили все стороны треугольника

через гипотенузу в треугольнике с углами 30, 60, 90°.

Итак, если нам известна гипотенуза, и мы знаем,

что это треугольник с углами 30, 60, 90°,

мы можем утверждать, что сторона,

противолежащая углу в 30°,

будет равна половине гипотенузы.

Мы также знаем, что сторона,

противолежащая углу 60° равна

(√3)/2 умножить на гипотенузу.

В следующем уроке я покажу вам,

как с помощью данной информации,

которую вы хотите или, может, не хотите запоминать...

Но все же лучше запомнить и попрактиковаться,

это поможет вам научиться очень быстро

решать подобные задачи на тестировании.

В следующем уроке я покажу вам,

как с помощью данной информации

очень быстро решать задачи для треугольников

с углами 30, 60, 90°.

Увидимся на следующем уроке!