Сейчас я хочу продолжить рассматривать
треугольники с углами 45, 45 и 90°.
Итак, на прошлом уроке мы усвоили,
что любая сторона треугольника с углами 45, 45 и 90°,
не являющаяся гипотенузой,
равна (√2)/2 умножить на гипотенузу.
Давайте решим ещё пару задач.
Предположим, что гипотенуза данного треугольника…
а я напомню, всё это действительно только
для треугольников с углами 45, 45 и 90°,
и если я отметил один угол как 45°,
вы уже знаете, что второй тоже будет равен 45°.
Предположим, что гипотенуза здесь равняется 10.
Мы знаем, что это гипотенуза,
поскольку она противоположна прямому углу.
Спрашивается: чему равна эта сторона х?
Мы уже знаем, что х равен √2/2 умножить на гипотенузу,
т.е. умножить на 10.
Или, х=5√2 (10 делим на 2). Итак, х=5√2.
И мы также знаем, что эта и эта
сторона равны. Правильно?
Мы знаем, что это равнобедренный треугольник,
потому что эти два угла равны.
Значит, можем сказать, что эта сторона 5√2.
И если вы не верите, попробуйте посчитать сами.
Давайте применим теорему Пифагора.
Из теоремы Пифагора следует, что
что (5√2)²+(5√2)² равно гипотенузе в квадрате.
А она у нас равна 10, значит здесь 100 будет.
Здесь 25 умножить на 2 - это 50.
Здесь 50 плюс 50, а здесь у нас 100.
И конечно же, мы понимаем, что это верно.
Так что всё работает.
Мы доказали, используя теорему Пифагора,
что равенство – есть тождество.
На самом деле, аналогичные рассуждения
и привели нас к вот этой формуле вверху.
Возможно, вы захотите вернуться к одному из этих уроков,
если вы забудете, как мы это всё получили.
Сейчас я хочу представить вам
другой тип треугольников.
И я пойду всё тем же путём:
сначала определю задачу и затем
использую теорему Пифагора, чтобы всё посчитать.
Это и есть другой тип треугольника,
который называется треугольник с углами 30, 60, 90°.
И если мне не хватит времени в этом видео,
я сделаю ещё одно видео.
Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник.
Он получился не таким уж и красивым,
но что имеем - то имеем.
Это прямой угол.
Допустим, этот угол у нас равен 30°.
Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.
Здесь 30, здесь 90, а здесь, допустим, х.
x+30+90=180,
поскольку сумма углов треугольника равна 180°.
Считаем: х получается равным 60. Так?
Т.е. этот угол у нас равен 60.
И вот почему это называется у нас
треугольником с углами 30, 60, 90°,
это величины его углов.
Предположим, что это гипотенуза…
давайте не называть её «с» как обычно,
назовём её теперь h.
Я хочу вычислить все остальные стороны,
как же нам это сделать?
Мы можем вычислить всё это,
пользуясь теоремой Пифагора.
Сейчас я покажу вам маленький фокус-покус.
Давайте нарисуем точно такой же треугольник,
его точную копию, но перевернём его в другую сторону.
И вот у нас точно такой же треугольник,
только он смотрит в другую сторону, так?
Мы знаем, что эти два угла – смежные.
Вы можете пересмотреть урок про углы,
если вы забыли, что 2 смежных угла,
которые делят одну и ту же прямую,
будут в сумме давать 180°.
Здесь у нас 90°, значит, здесь у нас будет тоже 90.
Это видно даже на глаз.
Треугольник просто отображен слева направо.
Теперь мы знаем, что этот угол равен 30°.
А этот тоже равен 60°.
Этот угол равен 30° и этот угол 30°,
значит этот больший угол, отсюда досюда, равен 60°.
Если этот угол равен 60°, верхний угол тоже равен 60°,
и этот правый угол равен 60°, тогда мы знаем из теоремы,
которую мы проходили в видео
про треугольники с углами 45, 45, 90°,
что если эти углы равны, то стороны,
не являющиеся для них общими, тоже равны.
Какие стороны для них не являются общими?
Это эта сторона и эта.
Если эта сторона h, тогда и эта сторона будет h. Так?
Но этот угол у нас тоже равен 60°.
Давайте обратим внимание на эти 60° и эти 60°.
Мы знаем, что стороны,
не являющиеся для них общими, также равны.
Для них общая сторона – эта.
А стороны, которые для них не общие – эта и эта.
Т.к. эта сторона h,
эта тоже будет h.
Получается, что если у нас 60, 60 и 60°,
то все стороны в треугольнике
имеют одинаковую длину.
Это равносторонний треугольник.
Это нужно будет запомнить.
И это вполне логично,
поскольку равносторонний треугольник симметричен,
не важно, с какой стороны вы на него посмотрите.
У него все углы будут одинаковы,
и все стороны будут равны.
Но в первоначальной задаче у нас была
только половина данного
равностороннего треугольника.
Мы знаем, что вся эта сторона равна по длине h.
Но если вся длина этой стороны h,
тогда данная сторона -
основание нашего искомого треугольника,
и я нарочно навожу её жирным -
давайте используем другой цвет -
она будет равна половине
стороны большого треугольника. Так?
Здесь h/2 и здесь h/2.
Вернёмся к нашему первоначальному треугольнику.
Здесь 30°, а это – гипотенуза,
потому что она противоположна прямому углу.
А мы знаем, что сторона,
противолежащая углу 30°, равна ½ гипотенузы.
Давайте вспомним, как мы это сделали.
Мы дорисовали треугольник -
получили равносторонний треугольник,
посчитали, что эта сторона будет равна гипотенузе.
А это - половина от всей её длины.
Т.е. это половина гипотенузы.
Давайте помнить это.
Сторона, противоположная углу 30°,
равна ½ длины гипотенузы.
Давайте перерисуем это на другой странице,
мне кажется, что там было слишком грязно.
Вернёмся к первоначальному условию.
Это прямой угол.
Это гипотенуза – данная сторона.
Здесь у нас 30°, и мы только что посчитали,
что сторона, на которую «смотрит» этот угол,
равна ½ гипотенузы.
Если это равно ½ гипотенузы,
то чему равна эта сторона?
Здесь мы можем снова использовать
теорему Пифагора.
Мы знаем, что эта сторона в квадрате
плюс эта сторона в квадрате, назовём её А, равно h².
Получается: (½h)²+А²=h².
Здесь получается: h²/4+А²=h².
Мы вычитаем h² из обеих сторон равенства –
получаем: А²=h²–h²/4.
Это, в свою очередь, равно h²*(1-1/4)=¾ h².
Ещё разок - всё это равно А².
Мне не хватает места, поэтому я перейду аж сюда.
Извлечём квадратный корень
из обеих сторон равенства.
Получим: А=√(3/4), это то же самое, что и (√3)/2.
Умножить на √(h)² – это просто h.
А – обозначение,
которое ранее мы использовали для площади,
а в этом ролике мы так обозначили эту сторону.
Она равна ((√3)/2)*h.
Мы выразили все стороны треугольника
через гипотенузу в треугольнике с углами 30, 60, 90°.
Итак, если нам известна гипотенуза, и мы знаем,
что это треугольник с углами 30, 60, 90°,
мы можем утверждать, что сторона,
противолежащая углу в 30°,
будет равна половине гипотенузы.
Мы также знаем, что сторона,
противолежащая углу 60° равна
(√3)/2 умножить на гипотенузу.
В следующем уроке я покажу вам,
как с помощью данной информации,
которую вы хотите или, может, не хотите запоминать...
Но все же лучше запомнить и попрактиковаться,
это поможет вам научиться очень быстро
решать подобные задачи на тестировании.
В следующем уроке я покажу вам,
как с помощью данной информации
очень быстро решать задачи для треугольников
с углами 30, 60, 90°.
Увидимся на следующем уроке!