1
00:00:07,022 --> 00:00:09,021
Сейчас я хочу продолжить рассматривать

2
00:00:09,021 --> 00:00:15,043
треугольники с углами 45, 45 и 90°.

3
00:00:15,043 --> 00:00:18,039
Итак, на прошлом уроке мы усвоили,

4
00:00:18,039 --> 00:00:23,064
что любая сторона треугольника с углами 45, 45 и 90°,

5
00:00:23,064 --> 00:00:25,096
не являющаяся гипотенузой,

6
00:00:25,096 --> 00:00:31,004
равна (√2)/2 умножить на гипотенузу.

7
00:00:31,004 --> 00:00:32,084
Давайте решим ещё пару задач.

8
00:00:32,084 --> 00:00:36,011
Предположим, что гипотенуза данного треугольника…

9
00:00:36,011 --> 00:00:38,014
а я напомню, всё это действительно только

10
00:00:38,014 --> 00:00:42,064
для треугольников с углами 45, 45 и 90°,

11
00:00:42,064 --> 00:00:45,007
и если я отметил один угол как 45°,

12
00:00:45,007 --> 00:00:48,064
вы уже знаете, что второй тоже будет равен 45°.

13
00:00:48,064 --> 00:00:51,060
Предположим, что гипотенуза здесь равняется 10.

14
00:00:51,060 --> 00:00:52,096
Мы знаем, что это гипотенуза,

15
00:00:52,096 --> 00:00:55,067
поскольку она противоположна прямому углу.

16
00:00:55,067 --> 00:00:58,081
Спрашивается: чему равна эта сторона х?

17
00:00:58,081 --> 00:01:04,006
Мы уже знаем, что х равен √2/2 умножить на гипотенузу,

18
00:01:04,006 --> 00:01:07,049
т.е. умножить на 10.

19
00:01:07,049 --> 00:01:18,023
Или, х=5√2 (10 делим на 2). Итак, х=5√2.

20
00:01:18,023 --> 00:01:19,039
И мы также знаем, что эта и эта

21
00:01:19,039 --> 00:01:21,035
сторона равны. Правильно?

22
00:01:21,035 --> 00:01:23,068
Мы знаем, что это равнобедренный треугольник,

23
00:01:23,068 --> 00:01:25,068
потому что эти два угла равны.

24
00:01:25,068 --> 00:01:29,097
Значит, можем сказать, что эта сторона 5√2.

25
00:01:29,097 --> 00:01:33,022
И если вы не верите, попробуйте посчитать сами.

26
00:01:33,022 --> 00:01:35,064
Давайте применим теорему Пифагора.

27
00:01:35,064 --> 00:01:37,022
Из теоремы Пифагора следует, что

28
00:01:37,022 --> 00:01:43,004
что (5√2)²+(5√2)² равно гипотенузе в квадрате.

29
00:01:43,004 --> 00:01:45,051
А она у нас равна 10, значит здесь 100 будет.

30
00:01:45,051 --> 00:01:49,035
Здесь 25 умножить на 2 - это 50.

31
00:01:49,035 --> 00:01:55,040
Здесь 50 плюс 50, а здесь у нас 100.

32
00:01:55,040 --> 00:01:58,000
И конечно же, мы понимаем, что это верно.

33
00:01:58,000 --> 00:01:59,014
Так что всё работает.

34
00:01:59,014 --> 00:02:01,023
Мы доказали, используя теорему Пифагора,

35
00:02:01,023 --> 00:02:03,048
что равенство – есть тождество.

36
00:02:03,048 --> 00:02:05,013
На самом деле, аналогичные рассуждения

37
00:02:05,013 --> 00:02:08,005
и привели нас к вот этой формуле вверху.

38
00:02:08,005 --> 00:02:10,036
Возможно, вы захотите вернуться к одному из этих уроков,

39
00:02:10,036 --> 00:02:13,030
если вы забудете, как мы это всё получили.

40
00:02:13,030 --> 00:02:15,000
Сейчас я хочу представить вам

41
00:02:15,000 --> 00:02:17,081
другой тип треугольников.

42
00:02:17,081 --> 00:02:19,080
И я пойду всё тем же путём:

43
00:02:19,080 --> 00:02:21,029
сначала определю задачу и затем

44
00:02:21,029 --> 00:02:27,031
использую теорему Пифагора, чтобы всё посчитать.

45
00:02:27,031 --> 00:02:29,097
Это и есть другой тип треугольника,

46
00:02:29,097 --> 00:02:36,029
который называется треугольник с углами 30, 60, 90°.

47
00:02:36,029 --> 00:02:38,028
И если мне не хватит времени в этом видео,

48
00:02:38,028 --> 00:02:40,040
я сделаю ещё одно видео.

49
00:02:40,040 --> 00:02:43,072
Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник.

50
00:02:43,072 --> 00:02:44,097
Он получился не таким уж и красивым,

51
00:02:44,097 --> 00:02:47,020
но что имеем - то имеем.

52
00:02:47,020 --> 00:02:49,003
Это прямой угол.

53
00:02:49,003 --> 00:02:52,068
Допустим, этот угол у нас равен 30°.

54
00:02:52,068 --> 00:02:56,061
Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.

55
00:02:56,061 --> 00:03:01,059
Здесь 30, здесь 90, а здесь, допустим, х.

56
00:03:01,059 --> 00:03:06,036
x+30+90=180,

57
00:03:06,036 --> 00:03:09,052
поскольку сумма углов треугольника равна 180°.

58
00:03:09,052 --> 00:03:13,030
Считаем: х получается равным 60. Так?

59
00:03:13,030 --> 00:03:16,040
Т.е. этот угол у нас равен 60.

60
00:03:16,040 --> 00:03:18,004
И вот почему это называется у нас

61
00:03:18,004 --> 00:03:21,012
треугольником с углами 30, 60, 90°,

62
00:03:21,012 --> 00:03:23,089
это величины его углов.

63
00:03:23,089 --> 00:03:27,098
Предположим, что это гипотенуза…

64
00:03:27,098 --> 00:03:29,097
давайте не называть её «с» как обычно,

65
00:03:29,097 --> 00:03:32,047
назовём её теперь h.

66
00:03:32,047 --> 00:03:35,047
Я хочу вычислить все остальные стороны,

67
00:03:35,047 --> 00:03:36,089
как же нам это сделать?

68
00:03:36,089 --> 00:03:38,029
Мы можем вычислить всё это,

69
00:03:38,029 --> 00:03:40,059
пользуясь теоремой Пифагора.

70
00:03:40,059 --> 00:03:43,000
Сейчас я покажу вам маленький фокус-покус.

71
00:03:43,000 --> 00:03:45,003
Давайте нарисуем точно такой же треугольник,

72
00:03:45,003 --> 00:03:49,080
его точную копию, но перевернём его в другую сторону.

73
00:03:49,080 --> 00:03:51,080
И вот у нас точно такой же треугольник,

74
00:03:51,080 --> 00:03:54,036
только он смотрит в другую сторону, так?

75
00:03:54,036 --> 00:03:57,028
Мы знаем, что эти два угла – смежные.

76
00:03:57,028 --> 00:03:59,014
Вы можете пересмотреть урок про углы,

77
00:03:59,014 --> 00:04:01,023
если вы забыли, что 2 смежных угла,

78
00:04:01,023 --> 00:04:02,084
которые делят одну и ту же прямую,

79
00:04:02,084 --> 00:04:05,022
будут в сумме давать 180°.

80
00:04:05,022 --> 00:04:08,035
Здесь у нас 90°, значит, здесь у нас будет тоже 90.

81
00:04:08,035 --> 00:04:10,005
Это видно даже на глаз.

82
00:04:10,005 --> 00:04:13,031
Треугольник просто отображен слева направо.

83
00:04:13,031 --> 00:04:18,013
Теперь мы знаем, что этот угол равен 30°.

84
00:04:18,013 --> 00:04:20,063
А этот тоже равен 60°.

85
00:04:20,063 --> 00:04:25,003
Этот угол равен 30° и этот угол 30°,

86
00:04:25,003 --> 00:04:35,048
значит этот больший угол, отсюда досюда, равен 60°.

87
00:04:35,048 --> 00:04:40,007
Если этот угол равен 60°, верхний угол тоже равен 60°,

88
00:04:40,007 --> 00:04:44,005
и этот правый угол равен 60°, тогда мы знаем из теоремы,

89
00:04:44,005 --> 00:04:45,087
которую мы проходили в видео

90
00:04:45,087 --> 00:04:49,038
про треугольники с углами 45, 45, 90°,

91
00:04:49,038 --> 00:04:52,080
что если эти углы равны, то стороны,

92
00:04:52,080 --> 00:04:57,005
не являющиеся для них общими, тоже равны.

93
00:04:57,005 --> 00:04:59,097
Какие стороны для них не являются общими?

94
00:04:59,097 --> 00:05:01,043
Это эта сторона и эта.

95
00:05:01,043 --> 00:05:05,036
Если эта сторона h, тогда и эта сторона будет h. Так?

96
00:05:05,036 --> 00:05:09,022
Но этот угол у нас тоже равен 60°.

97
00:05:09,022 --> 00:05:12,017
Давайте обратим внимание на эти 60° и эти 60°.

98
00:05:12,017 --> 00:05:13,030
Мы знаем, что стороны,

99
00:05:13,030 --> 00:05:16,019
не являющиеся для них общими, также равны.

100
00:05:16,019 --> 00:05:18,036
Для них общая сторона – эта.

101
00:05:18,036 --> 00:05:21,012
А стороны, которые для них не общие – эта и эта.

102
00:05:21,012 --> 00:05:22,074
Т.к. эта сторона h,

103
00:05:22,074 --> 00:05:24,085
эта тоже будет h.

104
00:05:24,085 --> 00:05:29,076
Получается, что если у нас 60, 60 и 60°,

105
00:05:29,076 --> 00:05:31,013
то все стороны в треугольнике

106
00:05:31,013 --> 00:05:32,033
имеют одинаковую длину.

107
00:05:32,033 --> 00:05:34,039
Это равносторонний треугольник.

108
00:05:34,039 --> 00:05:36,048
Это нужно будет запомнить.

109
00:05:36,048 --> 00:05:37,072
И это вполне логично,

110
00:05:37,072 --> 00:05:40,005
поскольку равносторонний треугольник симметричен,

111
00:05:40,005 --> 00:05:42,072
не важно, с какой стороны вы на него посмотрите.

112
00:05:42,072 --> 00:05:44,037
У него все углы будут одинаковы,

113
00:05:44,037 --> 00:05:46,048
и все стороны будут равны.

114
00:05:46,048 --> 00:05:48,023
Но в первоначальной задаче у нас была

115
00:05:48,023 --> 00:05:49,048
только половина данного

116
00:05:49,048 --> 00:05:51,056
равностороннего треугольника.

117
00:05:51,056 --> 00:05:54,039
Мы знаем, что вся эта сторона равна по длине h.

118
00:05:54,039 --> 00:05:56,068
Но если вся длина этой стороны h,

119
00:05:56,068 --> 00:05:58,030
тогда данная сторона -

120
00:05:58,030 --> 00:06:00,048
основание нашего искомого треугольника,

121
00:06:00,048 --> 00:06:03,004
и я нарочно навожу её жирным -

122
00:06:03,004 --> 00:06:04,083
давайте используем другой цвет -

123
00:06:04,083 --> 00:06:06,038
она будет равна половине

124
00:06:06,038 --> 00:06:09,022
стороны большого треугольника. Так?

125
00:06:09,022 --> 00:06:16,019
Здесь h/2 и здесь h/2.

126
00:06:16,019 --> 00:06:20,022
Вернёмся к нашему первоначальному треугольнику.

127
00:06:20,022 --> 00:06:23,043
Здесь 30°, а это – гипотенуза,

128
00:06:23,043 --> 00:06:26,030
потому что она противоположна прямому углу.

129
00:06:26,030 --> 00:06:27,052
А мы знаем, что сторона,

130
00:06:27,052 --> 00:06:31,031
противолежащая углу 30°, равна ½ гипотенузы.

131
00:06:31,031 --> 00:06:33,036
Давайте вспомним, как мы это сделали.

132
00:06:33,036 --> 00:06:35,022
Мы дорисовали треугольник -

133
00:06:35,022 --> 00:06:37,013
получили равносторонний треугольник,

134
00:06:37,013 --> 00:06:40,028
посчитали, что эта сторона будет равна гипотенузе.

135
00:06:40,028 --> 00:06:42,037
А это - половина от всей её длины.

136
00:06:42,037 --> 00:06:43,075
Т.е. это половина гипотенузы.

137
00:06:43,075 --> 00:06:46,004
Давайте помнить это.

138
00:06:46,004 --> 00:06:48,023
Сторона, противоположная углу 30°,

139
00:06:48,023 --> 00:06:50,068
равна ½ длины гипотенузы.

140
00:06:50,068 --> 00:06:52,036
Давайте перерисуем это на другой странице,

141
00:06:52,036 --> 00:06:54,060
мне кажется, что там было слишком грязно.

142
00:06:54,060 --> 00:06:59,028
Вернёмся к первоначальному условию.

143
00:06:59,028 --> 00:07:00,060
Это прямой угол.

144
00:07:00,060 --> 00:07:04,033
Это гипотенуза – данная сторона.

145
00:07:04,033 --> 00:07:08,072
Здесь у нас 30°, и мы только что посчитали,

146
00:07:08,072 --> 00:07:12,028
что сторона, на которую «смотрит» этот угол,

147
00:07:12,028 --> 00:07:16,060
равна ½ гипотенузы.

148
00:07:16,060 --> 00:07:20,060
Если это равно ½ гипотенузы,

149
00:07:20,060 --> 00:07:23,038
то чему равна эта сторона?

150
00:07:23,038 --> 00:07:24,060
Здесь мы можем снова использовать

151
00:07:24,060 --> 00:07:26,009
теорему Пифагора.

152
00:07:26,009 --> 00:07:28,021
Мы знаем, что эта сторона в квадрате

153
00:07:28,021 --> 00:07:35,059
плюс эта сторона в квадрате, назовём её А, равно h².

154
00:07:35,059 --> 00:07:48,069
Получается: (½h)²+А²=h².

155
00:07:48,069 --> 00:07:56,077
Здесь получается: h²/4+А²=h².

156
00:07:56,077 --> 00:07:59,000
Мы вычитаем h² из обеих сторон равенства –

157
00:07:59,000 --> 00:08:05,004
получаем: А²=h²–h²/4.

158
00:08:05,004 --> 00:08:17,027
Это, в свою очередь, равно h²*(1-1/4)=¾ h².

159
00:08:17,027 --> 00:08:22,078
Ещё разок - всё это равно А².

160
00:08:22,078 --> 00:08:26,095
Мне не хватает места, поэтому я перейду аж сюда.

161
00:08:26,095 --> 00:08:28,000
Извлечём квадратный корень

162
00:08:28,000 --> 00:08:29,060
из обеих сторон равенства.

163
00:08:29,060 --> 00:08:39,077
Получим: А=√(3/4), это то же самое, что и (√3)/2.

164
00:08:39,077 --> 00:08:45,077
Умножить на √(h)² – это просто h.

165
00:08:45,077 --> 00:08:46,092
А – обозначение,

166
00:08:46,092 --> 00:08:49,012
которое ранее мы использовали для площади,

167
00:08:49,012 --> 00:08:52,012
а в этом ролике мы так обозначили эту сторону.

168
00:08:52,013 --> 00:08:57,044
Она равна ((√3)/2)*h.

169
00:08:57,044 --> 00:08:59,024
Мы выразили все стороны треугольника

170
00:08:59,024 --> 00:09:03,096
через гипотенузу в треугольнике с углами 30, 60, 90°.

171
00:09:03,096 --> 00:09:08,001
Итак, если нам известна гипотенуза, и мы знаем,

172
00:09:08,001 --> 00:09:11,003
что это треугольник с углами 30, 60, 90°,

173
00:09:11,003 --> 00:09:12,051
мы можем утверждать, что сторона,

174
00:09:12,051 --> 00:09:14,084
противолежащая углу в 30°,

175
00:09:14,084 --> 00:09:17,095
будет равна половине гипотенузы.

176
00:09:17,095 --> 00:09:19,001
Мы также знаем, что сторона,

177
00:09:19,001 --> 00:09:21,094
противолежащая углу 60° равна

178
00:09:21,094 --> 00:09:26,012
(√3)/2 умножить на гипотенузу.

179
00:09:26,012 --> 00:09:27,070
В следующем уроке я покажу вам,

180
00:09:27,070 --> 00:09:29,070
как с помощью данной информации,

181
00:09:29,070 --> 00:09:33,012
которую вы хотите или, может, не хотите запоминать...

182
00:09:33,012 --> 00:09:36,012
Но все же лучше запомнить и попрактиковаться,

183
00:09:36,012 --> 00:09:37,092
это поможет вам научиться очень быстро

184
00:09:37,092 --> 00:09:40,063
решать подобные задачи на тестировании.

185
00:09:40,063 --> 00:09:42,075
В следующем уроке я покажу вам,

186
00:09:42,075 --> 00:09:44,024
как с помощью данной информации

187
00:09:44,024 --> 00:09:46,074
очень быстро решать задачи для треугольников

188
00:09:46,074 --> 00:09:49,024
с углами 30, 60, 90°.

189
00:09:49,024 --> 99:59:59,000
Увидимся на следующем уроке!