WEBVTT

00:00:07.022 --> 00:00:09.021
Сейчас я хочу продолжить рассматривать

00:00:09.021 --> 00:00:15.043
треугольники с углами 45, 45 и 90°.

00:00:15.043 --> 00:00:18.039
Итак, на прошлом уроке мы усвоили,

00:00:18.039 --> 00:00:23.064
что любая сторона треугольника с углами 45, 45 и 90°,

00:00:23.064 --> 00:00:25.096
не являющаяся гипотенузой,

00:00:25.096 --> 00:00:31.004
равна (√2)/2 умножить на гипотенузу.

00:00:31.004 --> 00:00:32.084
Давайте решим ещё пару задач.

00:00:32.084 --> 00:00:36.011
Предположим, что гипотенуза данного треугольника…

00:00:36.011 --> 00:00:38.014
а я напомню, всё это действительно только

00:00:38.014 --> 00:00:42.064
для треугольников с углами 45, 45 и 90°,

00:00:42.064 --> 00:00:45.007
и если я отметил один угол как 45°,

00:00:45.007 --> 00:00:48.064
вы уже знаете, что второй тоже будет равен 45°.

00:00:48.064 --> 00:00:51.060
Предположим, что гипотенуза здесь равняется 10.

00:00:51.060 --> 00:00:52.096
Мы знаем, что это гипотенуза,

00:00:52.096 --> 00:00:55.067
поскольку она противоположна прямому углу.

00:00:55.067 --> 00:00:58.081
Спрашивается: чему равна эта сторона х?

00:00:58.081 --> 00:01:04.006
Мы уже знаем, что х равен √2/2 умножить на гипотенузу,

00:01:04.006 --> 00:01:07.049
т.е. умножить на 10.

00:01:07.049 --> 00:01:18.023
Или, х=5√2 (10 делим на 2). Итак, х=5√2.

00:01:18.023 --> 00:01:19.039
И мы также знаем, что эта и эта

00:01:19.039 --> 00:01:21.035
сторона равны. Правильно?

00:01:21.035 --> 00:01:23.068
Мы знаем, что это равнобедренный треугольник,

00:01:23.068 --> 00:01:25.068
потому что эти два угла равны.

00:01:25.068 --> 00:01:29.097
Значит, можем сказать, что эта сторона 5√2.

00:01:29.097 --> 00:01:33.022
И если вы не верите, попробуйте посчитать сами.

00:01:33.022 --> 00:01:35.064
Давайте применим теорему Пифагора.

00:01:35.064 --> 00:01:37.022
Из теоремы Пифагора следует, что

00:01:37.022 --> 00:01:43.004
что (5√2)²+(5√2)² равно гипотенузе в квадрате.

00:01:43.004 --> 00:01:45.051
А она у нас равна 10, значит здесь 100 будет.

00:01:45.051 --> 00:01:49.035
Здесь 25 умножить на 2 - это 50.

00:01:49.035 --> 00:01:55.040
Здесь 50 плюс 50, а здесь у нас 100.

00:01:55.040 --> 00:01:58.000
И конечно же, мы понимаем, что это верно.

00:01:58.000 --> 00:01:59.014
Так что всё работает.

00:01:59.014 --> 00:02:01.023
Мы доказали, используя теорему Пифагора,

00:02:01.023 --> 00:02:03.048
что равенство – есть тождество.

00:02:03.048 --> 00:02:05.013
На самом деле, аналогичные рассуждения

00:02:05.013 --> 00:02:08.005
и привели нас к вот этой формуле вверху.

00:02:08.005 --> 00:02:10.036
Возможно, вы захотите вернуться к одному из этих уроков,

00:02:10.036 --> 00:02:13.030
если вы забудете, как мы это всё получили.

00:02:13.030 --> 00:02:15.000
Сейчас я хочу представить вам

00:02:15.000 --> 00:02:17.081
другой тип треугольников.

00:02:17.081 --> 00:02:19.080
И я пойду всё тем же путём:

00:02:19.080 --> 00:02:21.029
сначала определю задачу и затем

00:02:21.029 --> 00:02:27.031
использую теорему Пифагора, чтобы всё посчитать.

00:02:27.031 --> 00:02:29.097
Это и есть другой тип треугольника,

00:02:29.097 --> 00:02:36.029
который называется треугольник с углами 30, 60, 90°.

00:02:36.029 --> 00:02:38.028
И если мне не хватит времени в этом видео,

00:02:38.028 --> 00:02:40.040
я сделаю ещё одно видео.

00:02:40.040 --> 00:02:43.072
Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник.

00:02:43.072 --> 00:02:44.097
Он получился не таким уж и красивым,

00:02:44.097 --> 00:02:47.020
но что имеем - то имеем.

00:02:47.020 --> 00:02:49.003
Это прямой угол.

00:02:49.003 --> 00:02:52.068
Допустим, этот угол у нас равен 30°.

00:02:52.068 --> 00:02:56.061
Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.

00:02:56.061 --> 00:03:01.059
Здесь 30, здесь 90, а здесь, допустим, х.

00:03:01.059 --> 00:03:06.036
x+30+90=180,

00:03:06.036 --> 00:03:09.052
поскольку сумма углов треугольника равна 180°.

00:03:09.052 --> 00:03:13.030
Считаем: х получается равным 60. Так?

00:03:13.030 --> 00:03:16.040
Т.е. этот угол у нас равен 60.

00:03:16.040 --> 00:03:18.004
И вот почему это называется у нас

00:03:18.004 --> 00:03:21.012
треугольником с углами 30, 60, 90°,

00:03:21.012 --> 00:03:23.089
это величины его углов.

00:03:23.089 --> 00:03:27.098
Предположим, что это гипотенуза…

00:03:27.098 --> 00:03:29.097
давайте не называть её «с» как обычно,

00:03:29.097 --> 00:03:32.047
назовём её теперь h.

00:03:32.047 --> 00:03:35.047
Я хочу вычислить все остальные стороны,

00:03:35.047 --> 00:03:36.089
как же нам это сделать?

00:03:36.089 --> 00:03:38.029
Мы можем вычислить всё это,

00:03:38.029 --> 00:03:40.059
пользуясь теоремой Пифагора.

00:03:40.059 --> 00:03:43.000
Сейчас я покажу вам маленький фокус-покус.

00:03:43.000 --> 00:03:45.003
Давайте нарисуем точно такой же треугольник,

00:03:45.003 --> 00:03:49.080
его точную копию, но перевернём его в другую сторону.

00:03:49.080 --> 00:03:51.080
И вот у нас точно такой же треугольник,

00:03:51.080 --> 00:03:54.036
только он смотрит в другую сторону, так?

00:03:54.036 --> 00:03:57.028
Мы знаем, что эти два угла – смежные.

00:03:57.028 --> 00:03:59.014
Вы можете пересмотреть урок про углы,

00:03:59.014 --> 00:04:01.023
если вы забыли, что 2 смежных угла,

00:04:01.023 --> 00:04:02.084
которые делят одну и ту же прямую,

00:04:02.084 --> 00:04:05.022
будут в сумме давать 180°.

00:04:05.022 --> 00:04:08.035
Здесь у нас 90°, значит, здесь у нас будет тоже 90.

00:04:08.035 --> 00:04:10.005
Это видно даже на глаз.

00:04:10.005 --> 00:04:13.031
Треугольник просто отображен слева направо.

00:04:13.031 --> 00:04:18.013
Теперь мы знаем, что этот угол равен 30°.

00:04:18.013 --> 00:04:20.063
А этот тоже равен 60°.

00:04:20.063 --> 00:04:25.003
Этот угол равен 30° и этот угол 30°,

00:04:25.003 --> 00:04:35.048
значит этот больший угол, отсюда досюда, равен 60°.

00:04:35.048 --> 00:04:40.007
Если этот угол равен 60°, верхний угол тоже равен 60°,

00:04:40.007 --> 00:04:44.005
и этот правый угол равен 60°, тогда мы знаем из теоремы,

00:04:44.005 --> 00:04:45.087
которую мы проходили в видео

00:04:45.087 --> 00:04:49.038
про треугольники с углами 45, 45, 90°,

00:04:49.038 --> 00:04:52.080
что если эти углы равны, то стороны,

00:04:52.080 --> 00:04:57.005
не являющиеся для них общими, тоже равны.

00:04:57.005 --> 00:04:59.097
Какие стороны для них не являются общими?

00:04:59.097 --> 00:05:01.043
Это эта сторона и эта.

00:05:01.043 --> 00:05:05.036
Если эта сторона h, тогда и эта сторона будет h. Так?

00:05:05.036 --> 00:05:09.022
Но этот угол у нас тоже равен 60°.

00:05:09.022 --> 00:05:12.017
Давайте обратим внимание на эти 60° и эти 60°.

00:05:12.017 --> 00:05:13.030
Мы знаем, что стороны,

00:05:13.030 --> 00:05:16.019
не являющиеся для них общими, также равны.

00:05:16.019 --> 00:05:18.036
Для них общая сторона – эта.

00:05:18.036 --> 00:05:21.012
А стороны, которые для них не общие – эта и эта.

00:05:21.012 --> 00:05:22.074
Т.к. эта сторона h,

00:05:22.074 --> 00:05:24.085
эта тоже будет h.

00:05:24.085 --> 00:05:29.076
Получается, что если у нас 60, 60 и 60°,

00:05:29.076 --> 00:05:31.013
то все стороны в треугольнике

00:05:31.013 --> 00:05:32.033
имеют одинаковую длину.

00:05:32.033 --> 00:05:34.039
Это равносторонний треугольник.

00:05:34.039 --> 00:05:36.048
Это нужно будет запомнить.

00:05:36.048 --> 00:05:37.072
И это вполне логично,

00:05:37.072 --> 00:05:40.005
поскольку равносторонний треугольник симметричен,

00:05:40.005 --> 00:05:42.072
не важно, с какой стороны вы на него посмотрите.

00:05:42.072 --> 00:05:44.037
У него все углы будут одинаковы,

00:05:44.037 --> 00:05:46.048
и все стороны будут равны.

00:05:46.048 --> 00:05:48.023
Но в первоначальной задаче у нас была

00:05:48.023 --> 00:05:49.048
только половина данного

00:05:49.048 --> 00:05:51.056
равностороннего треугольника.

00:05:51.056 --> 00:05:54.039
Мы знаем, что вся эта сторона равна по длине h.

00:05:54.039 --> 00:05:56.068
Но если вся длина этой стороны h,

00:05:56.068 --> 00:05:58.030
тогда данная сторона -

00:05:58.030 --> 00:06:00.048
основание нашего искомого треугольника,

00:06:00.048 --> 00:06:03.004
и я нарочно навожу её жирным -

00:06:03.004 --> 00:06:04.083
давайте используем другой цвет -

00:06:04.083 --> 00:06:06.038
она будет равна половине

00:06:06.038 --> 00:06:09.022
стороны большого треугольника. Так?

00:06:09.022 --> 00:06:16.019
Здесь h/2 и здесь h/2.

00:06:16.019 --> 00:06:20.022
Вернёмся к нашему первоначальному треугольнику.

00:06:20.022 --> 00:06:23.043
Здесь 30°, а это – гипотенуза,

00:06:23.043 --> 00:06:26.030
потому что она противоположна прямому углу.

00:06:26.030 --> 00:06:27.052
А мы знаем, что сторона,

00:06:27.052 --> 00:06:31.031
противолежащая углу 30°, равна ½ гипотенузы.

00:06:31.031 --> 00:06:33.036
Давайте вспомним, как мы это сделали.

00:06:33.036 --> 00:06:35.022
Мы дорисовали треугольник -

00:06:35.022 --> 00:06:37.013
получили равносторонний треугольник,

00:06:37.013 --> 00:06:40.028
посчитали, что эта сторона будет равна гипотенузе.

00:06:40.028 --> 00:06:42.037
А это - половина от всей её длины.

00:06:42.037 --> 00:06:43.075
Т.е. это половина гипотенузы.

00:06:43.075 --> 00:06:46.004
Давайте помнить это.

00:06:46.004 --> 00:06:48.023
Сторона, противоположная углу 30°,

00:06:48.023 --> 00:06:50.068
равна ½ длины гипотенузы.

00:06:50.068 --> 00:06:52.036
Давайте перерисуем это на другой странице,

00:06:52.036 --> 00:06:54.060
мне кажется, что там было слишком грязно.

00:06:54.060 --> 00:06:59.028
Вернёмся к первоначальному условию.

00:06:59.028 --> 00:07:00.060
Это прямой угол.

00:07:00.060 --> 00:07:04.033
Это гипотенуза – данная сторона.

00:07:04.033 --> 00:07:08.072
Здесь у нас 30°, и мы только что посчитали,

00:07:08.072 --> 00:07:12.028
что сторона, на которую «смотрит» этот угол,

00:07:12.028 --> 00:07:16.060
равна ½ гипотенузы.

00:07:16.060 --> 00:07:20.060
Если это равно ½ гипотенузы,

00:07:20.060 --> 00:07:23.038
то чему равна эта сторона?

00:07:23.038 --> 00:07:24.060
Здесь мы можем снова использовать

00:07:24.060 --> 00:07:26.009
теорему Пифагора.

00:07:26.009 --> 00:07:28.021
Мы знаем, что эта сторона в квадрате

00:07:28.021 --> 00:07:35.059
плюс эта сторона в квадрате, назовём её А, равно h².

00:07:35.059 --> 00:07:48.069
Получается: (½h)²+А²=h².

00:07:48.069 --> 00:07:56.077
Здесь получается: h²/4+А²=h².

00:07:56.077 --> 00:07:59.000
Мы вычитаем h² из обеих сторон равенства –

00:07:59.000 --> 00:08:05.004
получаем: А²=h²–h²/4.

00:08:05.004 --> 00:08:17.027
Это, в свою очередь, равно h²*(1-1/4)=¾ h².

00:08:17.027 --> 00:08:22.078
Ещё разок - всё это равно А².

00:08:22.078 --> 00:08:26.095
Мне не хватает места, поэтому я перейду аж сюда.

00:08:26.095 --> 00:08:28.000
Извлечём квадратный корень

00:08:28.000 --> 00:08:29.060
из обеих сторон равенства.

00:08:29.060 --> 00:08:39.077
Получим: А=√(3/4), это то же самое, что и (√3)/2.

00:08:39.077 --> 00:08:45.077
Умножить на √(h)² – это просто h.

00:08:45.077 --> 00:08:46.092
А – обозначение,

00:08:46.092 --> 00:08:49.012
которое ранее мы использовали для площади,

00:08:49.012 --> 00:08:52.012
а в этом ролике мы так обозначили эту сторону.

00:08:52.013 --> 00:08:57.044
Она равна ((√3)/2)*h.

00:08:57.044 --> 00:08:59.024
Мы выразили все стороны треугольника

00:08:59.024 --> 00:09:03.096
через гипотенузу в треугольнике с углами 30, 60, 90°.

00:09:03.096 --> 00:09:08.001
Итак, если нам известна гипотенуза, и мы знаем,

00:09:08.001 --> 00:09:11.003
что это треугольник с углами 30, 60, 90°,

00:09:11.003 --> 00:09:12.051
мы можем утверждать, что сторона,

00:09:12.051 --> 00:09:14.084
противолежащая углу в 30°,

00:09:14.084 --> 00:09:17.095
будет равна половине гипотенузы.

00:09:17.095 --> 00:09:19.001
Мы также знаем, что сторона,

00:09:19.001 --> 00:09:21.094
противолежащая углу 60° равна

00:09:21.094 --> 00:09:26.012
(√3)/2 умножить на гипотенузу.

00:09:26.012 --> 00:09:27.070
В следующем уроке я покажу вам,

00:09:27.070 --> 00:09:29.070
как с помощью данной информации,

00:09:29.070 --> 00:09:33.012
которую вы хотите или, может, не хотите запоминать...

00:09:33.012 --> 00:09:36.012
Но все же лучше запомнить и попрактиковаться,

00:09:36.012 --> 00:09:37.092
это поможет вам научиться очень быстро

00:09:37.092 --> 00:09:40.063
решать подобные задачи на тестировании.

00:09:40.063 --> 00:09:42.075
В следующем уроке я покажу вам,

00:09:42.075 --> 00:09:44.024
как с помощью данной информации

00:09:44.024 --> 00:09:46.074
очень быстро решать задачи для треугольников

00:09:46.074 --> 00:09:49.024
с углами 30, 60, 90°.

00:09:49.024 --> 99:59:59.000
Увидимся на следующем уроке!