-
Beklager at videoen begynner med en host.
Jeg tror jeg fortsatt er litt forkjøla.
-
Nå vil jeg fortsette med
45-45-90-trekantene.
-
I forrige video lærte vi at sidene i en
45-45-90-trekant som ikke er hypotenusen,
-
er lik kvadratroten av 2 delt på 2
ganger hypotenusen.
-
La oss ta et par oppgaver til.
-
Jeg oppgir at hypotenusen
i denne trekanten --
-
igjen, dette gjelder bare for
45-45-90-trekanter.
-
Om jeg bare tegner én 45-graders vinkel,
vet du at den andre vinkelen også blir 45.
-
Hvis jeg sier at hypotenusen er 10,
-
vi vet at dette er hypotenusen siden
den står overfor den rette vinkelen.
-
Og så spør jeg hva denne siden x er.
-
Vel, vi vet at x er lik kvadratroten av 2
delt på 2, ganger hypotenusen.
-
Så det er kvadratroten av 2 delt på 2
ganger 10.
-
Eller x er lik 5 kvadratrøtter av 2.
Ikke sant? 10 delt på 2.
-
Så x er lik 5 kvadratrøtter av 2.
Og vi vet at disse to sidene er like.
-
Siden vi vet at dette er en likebeinet
trekant, siden disse to vinklene er like.
-
Så vi vet at denne siden også er
5 delt på kvadratroten av 2.
-
Og hvis du ikke er sikker, prøv det ut.
La oss prøve Pytagoras' teorem.
-
$$Vi vet fra Pythagoras' teorem at
5 kvadratroten av 2 i andre
-
$$pluss 5 kvadratroten av 2 i andre er lik
hypotenusen i andre, og hypotenusen er 10.
-
$$Så 100. Og dette er bare
25 ganger 2, så det er 50.
-
$$Det er 100 her oppe. Er lik 100.
-
$$Og vi vet selvsagt at dette stemmer.
-
Så det virket, vi beviste det med
Pytagoras' teorem, og det var jo slik
-
vi fant denne formelen i utgangspunktet.
-
Kanskje du vil se på forrige video igjen,
hvis du glemte hvordan vi fant ut dette.
-
Nå skal jeg introdusere
en ny type trekant.
-
Jeg skal gjøre det på samme måte,
med å bare gi en oppgave,
-
og så bruke Pythagoras for å løse den.
-
Dette er en annen type trekant,
kalt 30-60-90-trekant.
-
Hvis jeg ikke har tid til dette,
tar jeg en presentasjon til.
-
La oss si at jeg har
en rettvinklet trekant.
-
Den var ikke så fin,
men vi bruker det vi har.
-
Det er en rett vinkel. Og hvis jeg sier at
dette er en 30-graders vinkel,
-
så vet vi at vinklene i trekanten
må bli 180 til sammen.
-
Så dette er 30, dette er 90,
og la oss si dette er x.
-
x pluss 30 pluss 90 er lik 180, fordi
vinklene i en trekant blir 180 til sammen.
-
Vi vet at x er lik 60, ikke sant.
-
$$Så denne vinkelen blir 60.
-
Og det er derfor det kalles
en 30-60-90-trekant,
-
fordi det er de tre vinklene i trekanten.
-
Og hvis jeg sier at hypotenusen er --
-
i stedet for å kalle den c slik vi
alltid gjør, la oss kalle den h --
-
og jeg vil finne de andre sidene,
hvordan gjør vi det?
-
Vel, vi kan gjøre det ved å bruke
Pythagoras' teorem.
-
Og her skal jeg gjøre et lite triks.
-
La oss tegne en kopi av denne trekanten,
men snudd og tegnet på den andre siden.
-
Dette er den samme trekanten,
bare snudd andre veien, ikke sant?
-
$$Hvis dette er 90 grader vet vi at
dette er supplementvinkler.
-
$$Du vil kanskje gå gjennom
vinkel-modulen hvis du glemte
-
$$at to vinkler som deler en felles
linje slik må bli 180 grader til sammen.
-
$$Så dette er 90, og dette blir også 90.
Det gir mening intuitivt.
-
Og siden vi snudde den,
er denne trekanten helt lik den andre,
-
den er bare snudd over på andre siden.
-
Vi vet også at
denne vinkelen er 30 grader,
-
og vi vet også at denne vinkelen
er 60 grader, ikke sant?
-
Vel, hvis begge disse vinklene
er 30 grader, vet vi også
-
at denne større vinkelen, som går helt fra
hit til hit, er 60 grader.
-
Ikke sant? Vel, hvis denne vinkelen er
60 grader, toppvinkelen er 60 grader,
-
og vinkelen til høyre
er 60 grader, da vet vi
-
fra teoremet vi lærte da vi gjorde
45-45-90-trekanter,
-
$$at hvis disse to vinklene er like,
så må sidene de ikke deler også være like.
-
$$Så hvilke sider deler de ikke?
Denne og denne.
-
Så hvis denne siden er h,
så er denne siden h, ikke sant?
-
Men denne vinkelen er også 60 grader.
-
Så hvis vi ser på denne 60-graderen
og denne 60-graderen,
-
vet vi at sidene de ikke deler
også er like.
-
De deler denne siden,
så sidene de ikke deler
-
$$er denne siden og denne siden.
-
$$Så hvis denne siden er h, vet vi
også at denne siden er h. Ikke sant?
-
Så det viser seg at hvis du har
60, 60 og 60 grader,
-
så har alle sidene samme lengde,
eller det er en likesidet trekant.
-
Og det må vi huske på.
-
Det gir mening også,
for en likesidet trekant
-
er symmetrisk uansett hvordan
du ser på den.
-
Så det gir mening at
alle vinklene vil være like
-
og alle sidene vil ha samme lengde.
-
Men hm.
-
Opprinnelig brukte vi bare halvparten
av denne likesidede trekanten.
-
$$Så vi vet at hele denne siden
her har lengde h.
-
$$Men hvis hele den siden har lengde h,
da har denne siden her,
-
$$bare grunnlinjen på den opprinnelige
trekanten vår,
-
$$nå ble det rotete,
jeg prøver en annen farge.
-
$$Det blir halvparten
av den siden, ikke sant?
-
$$Fordi det er h delt på 2,
og dette er også h delt på 2 her.
-
$$Så hvis vi går tilbake til den
opprinnelige trekanten vår, og sier
-
$$at dette er 30 grader,
at dette er hypotenusen,
-
$$siden den er overfor den rette vinkelen,
-
$$vet vi at siden overfor 30-graders-
vinkelen er halvparten av hypotenusen.
-
$$Og bare en påminnelse,
hvordan fant vi vi ut det?
-
$$Vi doblet trekanten, gjorde den
til en likesidet trekant,
-
$$og fant ut at hele denne siden må være
det samme som hypotenusen.
-
$$Og dette er halvparten av den hele
siden, altså halvparten av hypotenusen.
-
$$Så husk det. Siden overfor 30-graders-
vinkelen er halvparten av hypotenusen.
-
Jeg tegner det på en ny side,
for jeg tror dette blir rotete.
-
Så tilbake til det jeg hadde opprinnelig.
-
Dette er en rett vinkel.
Denne siden er hypotenusen.
-
Hvis denne vinkelen er 30 grader,
utledet vi nettopp
-
at siden overfor 30-gradersvinkelen,
altså den som vinkelen åpner seg mot,
-
$$at den er lik halvparten av hypotenusen.
-
Hvis den er lik halvparten av hypotenusen,
hva er da denne siden lik?
-
Vel, her kan vi bruke
Pythagoras' teorem igjen.
-
Vi vet at denne siden i andre
pluss denne siden i andre --
-
la oss kalle denne siden A -- er lik
h i andre.
-
Så vi har en halv h i andre
pluss A i andre er lik h i andre.
-
Dette er lik h i andre delt på fire
pluss A i andre er lik h i andre.
-
Vi trekker fra h i andre på begge sider,
-
vi får A i andre er lik h i andre
minus h i andre delt på fire.
-
$$Så dette er lik h i andre
ganger en minus en fjerdedel.
-
$$Dette er lik tre fjeredels h i andre.
-
$$Og det er igjen lik A i andre.
-
Jeg går tom for plass,
så jeg skal gå helt opp hit.
-
Vi tar kvadratrot på begge sider
og får A er lik...
-
Kvadratroten av tre fjerdeledeler
er lik kvadratroten av tre delt på to.
-
Og kvadratroten av h i andre er bare h.
-
Og denne A-en -- husk, det er ikke et
areal, dette er lengden på siden.
-
Jeg burde kanskje ikke brukt A. Men dette
er lik kvadratroten av tre delt på to
-
ganger h. Slik!
-
Vi har utledet hva alle siden er
i forhold til hypotenusen,
-
i en 30-60-90-trekant.
-
Dette er 60-gradersvinkelen.
-
Så hvis vi kjenner hypotenusen
og vi vet at dette er en 30-60-90-trekant,
-
$$så vet vi at siden overfor 30-graders-
vinkelen er halvparten av hypotenusen.
-
$$Og vi vet at siden overfor 60-graders-
vinkelen er kvadratroten av tre delt på to
-
ganger hypotenusen.
-
I neste modul skal jeg vise hvordan
du bruker denne informasjonen,
-
som du muligens vil lære utenat
og øve med, for det gjør deg
-
veldig rask på prøver -- hvordan vi kan
bruke denne informasjonen til å
-
finne sidene i en 30-60-90-trekant
veldig raskt. Ses neste gang.
