Beklager at videoen begynner med en host.
Jeg tror jeg fortsatt er litt forkjøla.
Nå vil jeg fortsette med
45-45-90-trekantene.
I forrige video lærte vi at sidene i en
45-45-90-trekant som ikke er hypotenusen,
er lik kvadratroten av 2 delt på 2
ganger hypotenusen.
La oss ta et par oppgaver til.
Jeg oppgir at hypotenusen
i denne trekanten --
igjen, dette gjelder bare for
45-45-90-trekanter.
Om jeg bare tegner én 45-graders vinkel,
vet du at den andre vinkelen også blir 45.
Hvis jeg sier at hypotenusen er 10,
vi vet at dette er hypotenusen siden
den står overfor den rette vinkelen.
Og så spør jeg hva denne siden x er.
Vel, vi vet at x er lik kvadratroten av 2
delt på 2, ganger hypotenusen.
Så det er kvadratroten av 2 delt på 2
ganger 10.
Eller x er lik 5 kvadratrøtter av 2.
Ikke sant? 10 delt på 2.
Så x er lik 5 kvadratrøtter av 2.
Og vi vet at disse to sidene er like.
Siden vi vet at dette er en likebeinet
trekant, siden disse to vinklene er like.
Så vi vet at denne siden også er
5 delt på kvadratroten av 2.
Og hvis du ikke er sikker, prøv det ut.
La oss prøve Pytagoras' teorem.
$$Vi vet fra Pythagoras' teorem at
5 kvadratroten av 2 i andre
$$pluss 5 kvadratroten av 2 i andre er lik
hypotenusen i andre, og hypotenusen er 10.
$$Så 100. Og dette er bare
25 ganger 2, så det er 50.
$$Det er 100 her oppe. Er lik 100.
$$Og vi vet selvsagt at dette stemmer.
Så det virket, vi beviste det med
Pytagoras' teorem, og det var jo slik
vi fant denne formelen i utgangspunktet.
Kanskje du vil se på forrige video igjen,
hvis du glemte hvordan vi fant ut dette.
Nå skal jeg introdusere
en ny type trekant.
Jeg skal gjøre det på samme måte,
med å bare gi en oppgave,
og så bruke Pythagoras for å løse den.
Dette er en annen type trekant,
kalt 30-60-90-trekant.
Hvis jeg ikke har tid til dette,
tar jeg en presentasjon til.
La oss si at jeg har
en rettvinklet trekant.
Den var ikke så fin,
men vi bruker det vi har.
Det er en rett vinkel. Og hvis jeg sier at
dette er en 30-graders vinkel,
så vet vi at vinklene i trekanten
må bli 180 til sammen.
Så dette er 30, dette er 90,
og la oss si dette er x.
x pluss 30 pluss 90 er lik 180, fordi
vinklene i en trekant blir 180 til sammen.
Vi vet at x er lik 60, ikke sant.
$$Så denne vinkelen blir 60.
Og det er derfor det kalles
en 30-60-90-trekant,
fordi det er de tre vinklene i trekanten.
Og hvis jeg sier at hypotenusen er --
i stedet for å kalle den c slik vi
alltid gjør, la oss kalle den h --
og jeg vil finne de andre sidene,
hvordan gjør vi det?
Vel, vi kan gjøre det ved å bruke
Pythagoras' teorem.
Og her skal jeg gjøre et lite triks.
La oss tegne en kopi av denne trekanten,
men snudd og tegnet på den andre siden.
Dette er den samme trekanten,
bare snudd andre veien, ikke sant?
$$Hvis dette er 90 grader vet vi at
dette er supplementvinkler.
$$Du vil kanskje gå gjennom
vinkel-modulen hvis du glemte
$$at to vinkler som deler en felles
linje slik må bli 180 grader til sammen.
$$Så dette er 90, og dette blir også 90.
Det gir mening intuitivt.
Og siden vi snudde den,
er denne trekanten helt lik den andre,
den er bare snudd over på andre siden.
Vi vet også at
denne vinkelen er 30 grader,
og vi vet også at denne vinkelen
er 60 grader, ikke sant?
Vel, hvis begge disse vinklene
er 30 grader, vet vi også
at denne større vinkelen, som går helt fra
hit til hit, er 60 grader.
Ikke sant? Vel, hvis denne vinkelen er
60 grader, toppvinkelen er 60 grader,
og vinkelen til høyre
er 60 grader, da vet vi
fra teoremet vi lærte da vi gjorde
45-45-90-trekanter,
$$at hvis disse to vinklene er like,
så må sidene de ikke deler også være like.
$$Så hvilke sider deler de ikke?
Denne og denne.
Så hvis denne siden er h,
så er denne siden h, ikke sant?
Men denne vinkelen er også 60 grader.
Så hvis vi ser på denne 60-graderen
og denne 60-graderen,
vet vi at sidene de ikke deler
også er like.
De deler denne siden,
så sidene de ikke deler
$$er denne siden og denne siden.
$$Så hvis denne siden er h, vet vi
også at denne siden er h. Ikke sant?
Så det viser seg at hvis du har
60, 60 og 60 grader,
så har alle sidene samme lengde,
eller det er en likesidet trekant.
Og det må vi huske på.
Det gir mening også,
for en likesidet trekant
er symmetrisk uansett hvordan
du ser på den.
Så det gir mening at
alle vinklene vil være like
og alle sidene vil ha samme lengde.
Men hm.
Opprinnelig brukte vi bare halvparten
av denne likesidede trekanten.
$$Så vi vet at hele denne siden
her har lengde h.
$$Men hvis hele den siden har lengde h,
da har denne siden her,
$$bare grunnlinjen på den opprinnelige
trekanten vår,
$$nå ble det rotete,
jeg prøver en annen farge.
$$Det blir halvparten
av den siden, ikke sant?
$$Fordi det er h delt på 2,
og dette er også h delt på 2 her.
$$Så hvis vi går tilbake til den
opprinnelige trekanten vår, og sier
$$at dette er 30 grader,
at dette er hypotenusen,
$$siden den er overfor den rette vinkelen,
$$vet vi at siden overfor 30-graders-
vinkelen er halvparten av hypotenusen.
$$Og bare en påminnelse,
hvordan fant vi vi ut det?
$$Vi doblet trekanten, gjorde den
til en likesidet trekant,
$$og fant ut at hele denne siden må være
det samme som hypotenusen.
$$Og dette er halvparten av den hele
siden, altså halvparten av hypotenusen.
$$Så husk det. Siden overfor 30-graders-
vinkelen er halvparten av hypotenusen.
Jeg tegner det på en ny side,
for jeg tror dette blir rotete.
Så tilbake til det jeg hadde opprinnelig.
Dette er en rett vinkel.
Denne siden er hypotenusen.
Hvis denne vinkelen er 30 grader,
utledet vi nettopp
at siden overfor 30-gradersvinkelen,
altså den som vinkelen åpner seg mot,
$$at den er lik halvparten av hypotenusen.
Hvis den er lik halvparten av hypotenusen,
hva er da denne siden lik?
Vel, her kan vi bruke
Pythagoras' teorem igjen.
Vi vet at denne siden i andre
pluss denne siden i andre --
la oss kalle denne siden A -- er lik
h i andre.
Så vi har en halv h i andre
pluss A i andre er lik h i andre.
Dette er lik h i andre delt på fire
pluss A i andre er lik h i andre.
Vi trekker fra h i andre på begge sider,
vi får A i andre er lik h i andre
minus h i andre delt på fire.
$$Så dette er lik h i andre
ganger en minus en fjerdedel.
$$Dette er lik tre fjeredels h i andre.
$$Og det er igjen lik A i andre.
Jeg går tom for plass,
så jeg skal gå helt opp hit.
Vi tar kvadratrot på begge sider
og får A er lik...
Kvadratroten av tre fjerdeledeler
er lik kvadratroten av tre delt på to.
Og kvadratroten av h i andre er bare h.
Og denne A-en -- husk, det er ikke et
areal, dette er lengden på siden.
Jeg burde kanskje ikke brukt A. Men dette
er lik kvadratroten av tre delt på to
ganger h. Slik!
Vi har utledet hva alle siden er
i forhold til hypotenusen,
i en 30-60-90-trekant.
Dette er 60-gradersvinkelen.
Så hvis vi kjenner hypotenusen
og vi vet at dette er en 30-60-90-trekant,
$$så vet vi at siden overfor 30-graders-
vinkelen er halvparten av hypotenusen.
$$Og vi vet at siden overfor 60-graders-
vinkelen er kvadratroten av tre delt på to
ganger hypotenusen.
I neste modul skal jeg vise hvordan
du bruker denne informasjonen,
som du muligens vil lære utenat
og øve med, for det gjør deg
veldig rask på prøver -- hvordan vi kan
bruke denne informasjonen til å
finne sidene i en 30-60-90-trekant
veldig raskt. Ses neste gang.