Return to Video

Fraktál Kochova vločka

  • 0:00 - 0:03
    Řekněme, že tohle je
    rovnostranný trojúhelník.
  • 0:03 - 0:06
    A chci z něj vytvořit jiný objekt.
  • 0:06 - 0:09
    A udělám to tak, že vezmu
    každou stranu toho trojúhelníku
  • 0:09 - 0:15
    a rozdělím je na 3 stejné části.
  • 0:15 - 0:19
    Můj trojúhelník nebyl
    úplně perfektně nakreslený,
  • 0:19 - 0:20
    ale myslím, že to chápete.
  • 0:20 - 0:29
    A uprostřed bych rád sestrojil
    další rovnostranný trojúhelník.
  • 0:29 - 0:32
    Takže to bude vypadat nějak takto.
  • 0:33 - 0:37
    A tady nakreslím další
    rovnostranný trojúhelník.
  • 0:38 - 0:43
    A z rovnostranného trojúhelníku jsem
    vytvořil něco jako Davidovu hvězdu.
  • 0:43 - 0:45
    A teď to udělám znovu.
  • 0:45 - 0:48
    Každou tuto stranu rozdělím na 3 části
  • 0:48 - 0:54
    a uprostřed sestrojím další
    rovnostranný trojúhelník.
  • 0:54 - 0:59
    Takže uprostřed sestrojím
    rovnostranný trojúhelník.
  • 0:59 - 1:02
    Udělám to na každé straně.
  • 1:02 - 1:04
    Udělám to tady.
  • 1:05 - 1:07
    Taky tady.
  • 1:07 - 1:10
    Myslím, že chápete,
    ale chci aby to bylo jasné.
  • 1:10 - 1:12
    Pak také tady…
  • 1:13 - 1:16
    A také tady a tady…
  • 1:16 - 1:20
    A už skoro hotovo pro tuto iteraci.
  • 1:22 - 1:23
    A bude to vypadat takto.
  • 1:23 - 1:24
    A teď můžu znovu.
  • 1:24 - 1:28
    Každou část můžu rozdělit na 3 stejné
    a sestrojit rovnostranný trojúhelník.
  • 1:28 - 1:31
    Můžu tady, tady, tady…
  • 1:31 - 1:33
    Asi chápete, kam tím mířím.
  • 1:33 - 1:37
    A mohl bych to dělat donekonečna.
  • 1:37 - 1:41
    A v tomto videu se chci zamyslet
    nad tím, co se tu děje.
  • 1:41 - 1:45
    A co bych vlastně kreslil,
    kdybych to kreslil dál a dál.
  • 1:45 - 1:49
    V každé iteraci se podíváme na každou
    stranu, rozdělíme ji na 3 stejné.
  • 1:49 - 1:56
    A pak v další iteraci sestrojíme uprostřed
    další rovnostranný trojúhelník.
  • 1:56 - 2:00
    Tento objekt, který tu popisujeme
    se nazývá Kochova vločka.
  • 2:00 - 2:03
    A jsem si jistý, že špatně
    vyslovuji tu část „Koch“.
  • 2:03 - 2:05
    Kochova vločka…
  • 2:05 - 2:08
    Byla poprvé popsána tímto pánem,
  • 2:08 - 2:12
    švédským matematikem,
    Nielsem Fabianem Helgem von Kochem
  • 2:12 - 2:14
    kterého určitě špatně vyslovuji.
  • 2:15 - 2:17
    A tohle byl jeden z prvních
    popsaných fraktálů.
  • 2:18 - 2:19
    Takže je to fraktál.
  • 2:20 - 2:22
    A důvod, proč je považován za fraktál, je,
  • 2:22 - 2:26
    že vypadá stejně nebo velmi podobně,
    ať už se na něj díváte z libovolné dálky.
  • 2:27 - 2:29
    Pokud se na něj díváte tady,
  • 2:30 - 2:32
    uvidíte hromadu trojúhelníků
    s nějakými výběžky.
  • 2:32 - 2:38
    Ale pokud byste se podívali zblízka sem,
    uviděli byste stále ten stejný tvar.
  • 2:38 - 2:41
    A kdybyste se znovu podívali zblízka,
    uviděli byste jej znovu a znovu.
  • 2:41 - 2:44
    Takže fraktál je cokoliv,
    co z každé vzdálenosti,
  • 2:44 - 2:47
    při každém přiblížení,
    tak nějak vypadá pořád stejně.
  • 2:47 - 2:48
    Takže to fraktál.
  • 2:48 - 2:50
    Co je obzvláště zajímavé,
  • 2:50 - 2:53
    a proč to vkládám do playlistu geometrie,
  • 2:54 - 2:57
    je to, že má nekonečný obvod.
  • 2:57 - 3:01
    Pokud byste kreslili dál, pokud byste
    doopravdy sestrojili Kochovu vločku,
  • 3:01 - 3:05
    kde máte nekonečný počet
    těchto malinkatých trojúhelníčků.
  • 3:05 - 3:10
    Pokud byste přidávali další a další
    rovnostranné trojúhelníky na každou stranu.
  • 3:10 - 3:11
    A abychom ukázali nekonečný obvod,
  • 3:12 - 3:14
    uvažujme jednu stranu tady.
  • 3:14 - 3:16
    Řekněme, že začneme s touto stranou,
  • 3:16 - 3:20
    řekněme, že začneme tam,
    kam jsme začali náš původní trojúhelník.
  • 3:20 - 3:22
    A řekněme, že má stranu 's'.
  • 3:22 - 3:26
    A pak ji rozdělíme na 3 stejné úseky.
  • 3:26 - 3:30
    Takže budou, 's' lomeno 3, 's' lomeno 3…
  • 3:30 - 3:31
    … vlastně to napíšu sem dolů…
  • 3:32 - 3:36
    's' lomeno 3, 's' lomeno 3, 's' lomeno 3.
  • 3:36 - 3:41
    A uprostřed sestrojíme
    rovnostranný trojúhelník.
  • 3:42 - 3:44
    Takže každá z těchto stran
    bude 's' lomeno 3.
  • 3:44 - 3:47
    's' lomeno 3, 's' lomeno 3.
  • 3:47 - 3:51
    A teď, délka této nové části…
  • 3:51 - 3:53
    … už to není přímka,
    protože má takový výběžek…
  • 3:53 - 3:57
    Délka této části zde
  • 3:57 - 4:01
    není jen 's',
    ale je 's' lomeno 3, krát 4.
  • 4:01 - 4:03
    Předtím to bylo 's' lomeno 3, krát 3,
  • 4:03 - 4:07
    Teď tu máme 1, 2, 3, 4 části
    o délce 's' lomeno 3.
  • 4:08 - 4:10
    Takže teď, po jednom kroku,
  • 4:11 - 4:15
    po prvním přidání trojúhelníků,
  • 4:15 - 4:17
    naše nová strana,
    poté co jsme přidali výběžek,
  • 4:18 - 4:21
    bude rovna 4 krát 's' lomeno 3.
  • 4:21 - 4:23
    Neboli čtyři třetiny 's'.
  • 4:24 - 4:29
    Pokud náš původní obvod,
    když to byl pouze trojúhelník…
  • 4:29 - 4:31
    … 'P dolní index 0'…
  • 4:31 - 4:34
    Po jednom kroku,
    po jednom přidání výběžků,
  • 4:34 - 4:40
    náš obvod bude čtyři třetiny
    krát ten původní.
  • 4:40 - 4:42
    Protože každá ze stran
    bude čtyři třetiny krát větší.
  • 4:43 - 4:44
    Tohle je tvořeno třemi stranami,
  • 4:45 - 4:47
    teď je každá z nich
    čtyři třetiny krát delší.
  • 4:47 - 4:49
    Takže nový obvod bude
    čtyři třetiny krát původní.
  • 4:49 - 4:52
    Teď uděláme další kolo,
  • 4:52 - 4:55
    bude to čtyři třetiny krát to první.
  • 4:55 - 4:58
    Takže každým kolem to bude
    čtyři třetiny krát větší.
  • 4:58 - 5:00
    Nebo řekněme, že je o třetinu větší každým…
  • 5:00 - 5:03
    … je čtyři třetiny krát víc než předchozí.
  • 5:04 - 5:05
    A pokud to uděláte nekonečně mnohokrát,
  • 5:06 - 5:11
    pokud vynásobíte libovolné číslo
    čtyřmi třetinami nekonečně mnohokrát,
  • 5:11 - 5:14
    dostanete nekonečnou délku.
  • 5:14 - 5:16
    Takže 'P nekonečno'…
  • 5:16 - 5:19
    Obvod, pokud to provedete
    nekonečně mnohokrát,
  • 5:19 - 5:20
    je nekonečný.
  • 5:20 - 5:22
    To je samo o sobě docela hustý,
  • 5:22 - 5:24
    jen přijít na něco, co má nekonečný obvod.
  • 5:24 - 5:28
    Ale co je zajímavější,
    tak to, že má konečný obsah.
  • 5:28 - 5:32
    A když říkám konečný,
    tak doopravdy zakrývá omezený prostor.
  • 5:32 - 5:34
    Vlastně můžu nakreslit tvar kolem toho,
  • 5:34 - 5:36
    a ta věc přes to nikdy nepřeroste.
  • 5:37 - 5:39
    Nebudu dělat formální důkaz,
  • 5:39 - 5:42
    ale zamysleme se,
    co se děje na každé této straně.
  • 5:42 - 5:46
    Takže v prvním kroku nám
    vyskočí tento trojúhelník.
  • 5:46 - 5:49
    A teď, když o tom zapřemýšlíte,
    když si nakreslíte, co se děje…
  • 5:49 - 5:52
    … v další iteraci nakreslíte
    tyto trojúhelníčky sem.
  • 5:52 - 5:54
    A pak tyto sem.
  • 5:54 - 5:56
    A pak nakreslíte trojúhelníčky sem.
  • 5:56 - 5:58
    A sem a sem a sem a sem...
  • 5:59 - 6:00
    A tak pořád dokola.
  • 6:00 - 6:02
    Ale všimněte si, můžete
    přidávat další a další.
  • 6:02 - 6:05
    Můžete přidávat nekonečně
    mnoho těchto výběžků,
  • 6:05 - 6:07
    ale nikdy nepřerostete
    přes tento původní bod.
  • 6:07 - 6:11
    To samé bude platit na této straně zde.
  • 6:12 - 6:14
    Také to bude platit na této straně.
  • 6:14 - 6:16
    Také na této straně.
  • 6:17 - 6:19
    Také to bude platit na této straně.
  • 6:20 - 6:22
    A také i na této straně.
  • 6:22 - 6:25
    Takže i když to uděláte
    nekonečně mnohokrát,
  • 6:25 - 6:30
    tato Kochova vločka nebude mít nikdy
    větší obsah než tento šestiúhelník.
  • 6:30 - 6:34
    Který nebude mít větší obsah než objekt,
    který vypadá takto.
  • 6:34 - 6:36
    Jen si tak kreslím libovolné…
  • 6:36 - 6:38
    No, chtěl jsem to nakreslit mimo…
  • 6:38 - 6:40
    Mohl bych kolem nakreslit kružnici.
  • 6:41 - 6:44
    Takže tato věc v modré
    nebo šestiúhelník ve fialové
  • 6:45 - 6:47
    mají určitě daný obsah.
  • 6:47 - 6:49
    A tato Kochova vločka bude vždy omezená,
  • 6:49 - 6:53
    i kdybyste ty výběžky přidali
    nekonečně mnohokrát.
  • 6:53 - 6:55
    Takže pár docela hustých věcí.
  • 6:55 - 6:56
    Za prvé, je to fraktál.
  • 6:56 - 6:59
    Můžete přibližovat jak chcete,
    pořád vypadá stejně.
  • 6:59 - 7:02
    Další věc, nekonečný obvod
  • 7:02 - 7:05
    a konečný obsah.
  • 7:05 - 7:06
    Teď můžete říct:
  • 7:06 - 7:10
    „OK, Sale, to je velmi abstraktní věc,
    takové věci v reálném světě neexistují.“
  • 7:10 - 7:15
    Ale je tu zajímavý myšlenkový experiment,
    o kterém lidé mluví ve světě fraktálů.
  • 7:15 - 7:17
    A to je hledání obvodu Anglie.
  • 7:18 - 7:19
    Nebo vlastně libovolného ostrovu.
  • 7:19 - 7:21
    A Anglie vypadá nějak…
  • 7:21 - 7:24
    … a nejsem expert, řekněme,
    že vypadá nějak takto…
  • 7:24 - 7:26
    Můžete aproximovat obvod.
  • 7:26 - 7:31
    Můžete změřit tuto vzdálenost
  • 7:31 - 7:32
    plus tuto vzdálenost,
  • 7:32 - 7:34
    plus tuto vzdálenost, plus tuto,
  • 7:34 - 7:36
    plus tuto vzdálenost, plus tuto.
  • 7:36 - 7:38
    A podívejte, má konečný obvod,
  • 7:38 - 7:39
    určitě má konečný obsah.
  • 7:40 - 7:42
    Má to konečný obvod,
  • 7:42 - 7:44
    ale nepřijde vám to dost přesné.
  • 7:44 - 7:45
    Musíte to aproximovat lépe.
  • 7:46 - 7:49
    Místo odhadování takto zhruba,
    potřebujete hromadu menších čar.
  • 7:49 - 7:52
    Potřebujete víc menších čar,
    abyste mohli obepnout pobřeží trochu lépe.
  • 7:53 - 7:55
    Říkáte, že to je mnohem lepší aproximace.
  • 7:56 - 7:58
    Ale pak, řekněme na nějaké části pobřeží,
  • 7:58 - 8:02
    když dostatečně přiblížíme pobřežní čáru,
  • 8:03 - 8:04
    bude vypadat nějak takto.
  • 8:04 - 8:08
    Reálné pobřeží má v sobě takové zářezy.
  • 8:08 - 8:11
    A v podstatě, když jste měřili poprvé,
  • 8:11 - 8:13
    vlastně jste měřili jen tohle.
  • 8:14 - 8:15
    A vy říkáte, že to není obvod pobřeží,
  • 8:16 - 8:17
    musíte přece mít mnohem víc čar.
  • 8:18 - 8:21
    Museli byste udělat něco takového…
  • 8:21 - 8:26
    … abyste měli opravdu obvod pobřeží.
  • 8:26 - 8:29
    A pak řeknete, že to už je docela
    dobrý odhad obvodu.
  • 8:29 - 8:32
    Ale kdybyste to ještě více
    přiblížili na tuto část pobřeží,
  • 8:32 - 8:35
    ukázalo by se, že by to
    nevypadalo přesně takto,
  • 8:35 - 8:37
    ale vlastně by to vypadalo nějak takto…
  • 8:37 - 8:39
    Možná by to vypadalo nějak takto.
  • 8:39 - 8:43
    Takže místo těchto nepřesných čar,
    které vám to změří nějak takto,
  • 8:43 - 8:46
    řeknete, že musíte jít ještě o něco blíže,
    a obepnout to ještě těsněji.
  • 8:46 - 8:50
    A můžete v tom pokračovat,
    až byste se dostali na atomární úroveň.
  • 8:50 - 8:55
    Takže opravdové pobřeží ostrova,
    nebo kontinentu,
  • 8:55 - 8:58
    nebo vlastně čehokoliv,
    je tak trochu fraktálové.
  • 8:59 - 9:03
    A můžete nad tím přemýšlet tak,
    že to má téměř nekonečný obvod.
  • 9:03 - 9:05
    Samozřejmě v nějakém bodě
    se dostanete k atomům,
  • 9:05 - 9:07
    takže to nebude úplně stejné.
  • 9:07 - 9:08
    Ale je to tak trochu stejný fenomén.
  • 9:09 - 9:10
    Je to zajímavá věc k zamyšlení.
Title:
Fraktál Kochova vločka
Description:

Objekt, který má nekonečný obvod, ale konečný obsah.
more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:11

Czech subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.