0:00:00.461,0:00:02.859 Řekněme, že tohle je[br]rovnostranný trojúhelník. 0:00:03.008,0:00:06.206 A chci z něj vytvořit jiný objekt. 0:00:06.335,0:00:09.138 A udělám to tak, že vezmu[br]každou stranu toho trojúhelníku 0:00:09.312,0:00:14.757 a rozdělím je na 3 stejné části. 0:00:15.378,0:00:18.553 Můj trojúhelník nebyl[br]úplně perfektně nakreslený, 0:00:18.737,0:00:19.961 ale myslím, že to chápete. 0:00:20.071,0:00:28.615 A uprostřed bych rád sestrojil[br]další rovnostranný trojúhelník. 0:00:29.410,0:00:31.519 Takže to bude vypadat nějak takto. 0:00:32.630,0:00:37.244 A tady nakreslím další[br]rovnostranný trojúhelník. 0:00:37.574,0:00:42.987 A z rovnostranného trojúhelníku jsem[br]vytvořil něco jako Davidovu hvězdu. 0:00:43.233,0:00:44.501 A teď to udělám znovu. 0:00:44.634,0:00:48.101 Každou tuto stranu rozdělím na 3 části 0:00:48.258,0:00:53.833 a uprostřed sestrojím další[br]rovnostranný trojúhelník. 0:00:54.023,0:00:59.165 Takže uprostřed sestrojím[br]rovnostranný trojúhelník. 0:00:59.350,0:01:01.575 Udělám to na každé straně. 0:01:01.849,0:01:04.462 Udělám to tady. 0:01:05.450,0:01:06.584 Taky tady. 0:01:06.733,0:01:09.629 Myslím, že chápete,[br]ale chci aby to bylo jasné. 0:01:10.016,0:01:12.358 Pak také tady… 0:01:12.871,0:01:16.160 A také tady a tady… 0:01:16.467,0:01:19.605 A už skoro hotovo pro tuto iteraci. 0:01:21.773,0:01:23.012 A bude to vypadat takto. 0:01:23.182,0:01:24.241 A teď můžu znovu. 0:01:24.311,0:01:28.120 Každou část můžu rozdělit na 3 stejné[br]a sestrojit rovnostranný trojúhelník. 0:01:28.260,0:01:31.048 Můžu tady, tady, tady… 0:01:31.208,0:01:32.796 Asi chápete, kam tím mířím. 0:01:32.970,0:01:37.141 A mohl bych to dělat donekonečna. 0:01:37.298,0:01:40.709 A v tomto videu se chci zamyslet[br]nad tím, co se tu děje. 0:01:40.850,0:01:44.798 A co bych vlastně kreslil,[br]kdybych to kreslil dál a dál. 0:01:44.921,0:01:49.266 V každé iteraci se podíváme na každou[br]stranu, rozdělíme ji na 3 stejné. 0:01:49.410,0:01:55.543 A pak v další iteraci sestrojíme uprostřed[br]další rovnostranný trojúhelník. 0:01:55.729,0:01:59.648 Tento objekt, který tu popisujeme[br]se nazývá Kochova vločka. 0:01:59.837,0:02:03.071 A jsem si jistý, že špatně[br]vyslovuji tu část „Koch“. 0:02:03.206,0:02:04.706 Kochova vločka… 0:02:04.840,0:02:07.879 Byla poprvé popsána tímto pánem, 0:02:08.090,0:02:12.340 švédským matematikem,[br]Nielsem Fabianem Helgem von Kochem 0:02:12.475,0:02:14.399 kterého určitě špatně vyslovuji. 0:02:14.564,0:02:17.453 A tohle byl jeden z prvních[br]popsaných fraktálů. 0:02:17.703,0:02:19.455 Takže je to fraktál. 0:02:19.690,0:02:21.920 A důvod, proč je považován za fraktál, je, 0:02:22.093,0:02:26.417 že vypadá stejně nebo velmi podobně,[br]ať už se na něj díváte z libovolné dálky. 0:02:26.579,0:02:29.468 Pokud se na něj díváte tady, 0:02:29.608,0:02:32.123 uvidíte hromadu trojúhelníků[br]s nějakými výběžky. 0:02:32.206,0:02:37.556 Ale pokud byste se podívali zblízka sem,[br]uviděli byste stále ten stejný tvar. 0:02:37.734,0:02:41.168 A kdybyste se znovu podívali zblízka,[br]uviděli byste jej znovu a znovu. 0:02:41.228,0:02:43.560 Takže fraktál je cokoliv,[br]co z každé vzdálenosti, 0:02:43.691,0:02:46.696 při každém přiblížení,[br]tak nějak vypadá pořád stejně. 0:02:46.916,0:02:48.270 Takže to fraktál. 0:02:48.386,0:02:49.756 Co je obzvláště zajímavé, 0:02:49.877,0:02:53.350 a proč to vkládám do playlistu geometrie, 0:02:53.540,0:02:56.544 je to, že má nekonečný obvod. 0:02:56.707,0:03:00.530 Pokud byste kreslili dál, pokud byste[br]doopravdy sestrojili Kochovu vločku, 0:03:00.692,0:03:04.883 kde máte nekonečný počet[br]těchto malinkatých trojúhelníčků. 0:03:05.012,0:03:09.728 Pokud byste přidávali další a další[br]rovnostranné trojúhelníky na každou stranu. 0:03:09.843,0:03:11.494 A abychom ukázali nekonečný obvod, 0:03:11.596,0:03:13.620 uvažujme jednu stranu tady. 0:03:13.840,0:03:15.733 Řekněme, že začneme s touto stranou, 0:03:15.882,0:03:19.747 řekněme, že začneme tam,[br]kam jsme začali náš původní trojúhelník. 0:03:19.896,0:03:21.500 A řekněme, že má stranu 's'. 0:03:21.681,0:03:25.836 A pak ji rozdělíme na 3 stejné úseky. 0:03:25.999,0:03:29.635 Takže budou, 's' lomeno 3, 's' lomeno 3… 0:03:29.820,0:03:31.302 … vlastně to napíšu sem dolů… 0:03:31.540,0:03:35.951 's' lomeno 3, 's' lomeno 3, 's' lomeno 3. 0:03:36.169,0:03:41.439 A uprostřed sestrojíme[br]rovnostranný trojúhelník. 0:03:41.600,0:03:44.305 Takže každá z těchto stran[br]bude 's' lomeno 3. 0:03:44.486,0:03:46.989 's' lomeno 3, 's' lomeno 3. 0:03:47.159,0:03:50.504 A teď, délka této nové části… 0:03:50.631,0:03:52.966 … už to není přímka,[br]protože má takový výběžek… 0:03:53.094,0:03:56.956 Délka této části zde 0:03:57.214,0:04:01.247 není jen 's',[br]ale je 's' lomeno 3, krát 4. 0:04:01.344,0:04:03.181 Předtím to bylo 's' lomeno 3, krát 3, 0:04:03.264,0:04:07.436 Teď tu máme 1, 2, 3, 4 části[br]o délce 's' lomeno 3. 0:04:07.598,0:04:10.328 Takže teď, po jednom kroku, 0:04:10.511,0:04:14.884 po prvním přidání trojúhelníků, 0:04:15.046,0:04:17.490 naše nová strana,[br]poté co jsme přidali výběžek, 0:04:17.640,0:04:20.665 bude rovna 4 krát 's' lomeno 3. 0:04:20.760,0:04:23.469 Neboli čtyři třetiny 's'. 0:04:23.611,0:04:29.217 Pokud náš původní obvod,[br]když to byl pouze trojúhelník… 0:04:29.355,0:04:30.941 … 'P dolní index 0'… 0:04:31.100,0:04:33.842 Po jednom kroku,[br]po jednom přidání výběžků, 0:04:34.010,0:04:39.542 náš obvod bude čtyři třetiny[br]krát ten původní. 0:04:39.774,0:04:42.459 Protože každá ze stran[br]bude čtyři třetiny krát větší. 0:04:42.602,0:04:44.450 Tohle je tvořeno třemi stranami, 0:04:44.560,0:04:46.707 teď je každá z nich[br]čtyři třetiny krát delší. 0:04:46.827,0:04:49.158 Takže nový obvod bude[br]čtyři třetiny krát původní. 0:04:49.322,0:04:51.563 Teď uděláme další kolo, 0:04:51.680,0:04:54.537 bude to čtyři třetiny krát to první. 0:04:54.688,0:04:57.559 Takže každým kolem to bude[br]čtyři třetiny krát větší. 0:04:57.650,0:05:00.195 Nebo řekněme, že je o třetinu větší každým… 0:05:00.401,0:05:03.428 … je čtyři třetiny krát víc než předchozí. 0:05:03.536,0:05:05.443 A pokud to uděláte nekonečně mnohokrát, 0:05:05.520,0:05:10.640 pokud vynásobíte libovolné číslo[br]čtyřmi třetinami nekonečně mnohokrát, 0:05:10.796,0:05:13.546 dostanete nekonečnou délku. 0:05:13.749,0:05:16.149 Takže 'P nekonečno'… 0:05:16.274,0:05:18.560 Obvod, pokud to provedete[br]nekonečně mnohokrát, 0:05:18.756,0:05:20.039 je nekonečný. 0:05:20.212,0:05:21.757 To je samo o sobě docela hustý, 0:05:21.920,0:05:24.240 jen přijít na něco, co má nekonečný obvod. 0:05:24.404,0:05:28.086 Ale co je zajímavější,[br]tak to, že má konečný obsah. 0:05:28.192,0:05:32.070 A když říkám konečný,[br]tak doopravdy zakrývá omezený prostor. 0:05:32.164,0:05:34.025 Vlastně můžu nakreslit tvar kolem toho, 0:05:34.167,0:05:36.160 a ta věc přes to nikdy nepřeroste. 0:05:37.234,0:05:38.911 Nebudu dělat formální důkaz, 0:05:39.093,0:05:41.983 ale zamysleme se,[br]co se děje na každé této straně. 0:05:42.128,0:05:45.621 Takže v prvním kroku nám[br]vyskočí tento trojúhelník. 0:05:45.813,0:05:49.262 A teď, když o tom zapřemýšlíte,[br]když si nakreslíte, co se děje… 0:05:49.440,0:05:51.986 … v další iteraci nakreslíte[br]tyto trojúhelníčky sem. 0:05:52.170,0:05:53.984 A pak tyto sem. 0:05:54.170,0:05:56.205 A pak nakreslíte trojúhelníčky sem. 0:05:56.330,0:05:58.350 A sem a sem a sem a sem... 0:05:58.506,0:05:59.531 A tak pořád dokola. 0:05:59.716,0:06:02.090 Ale všimněte si, můžete[br]přidávat další a další. 0:06:02.272,0:06:04.570 Můžete přidávat nekonečně[br]mnoho těchto výběžků, 0:06:04.656,0:06:07.163 ale nikdy nepřerostete[br]přes tento původní bod. 0:06:07.356,0:06:11.292 To samé bude platit na této straně zde. 0:06:11.501,0:06:13.886 Také to bude platit na této straně. 0:06:14.075,0:06:16.445 Také na této straně. 0:06:16.629,0:06:19.440 Také to bude platit na této straně. 0:06:19.586,0:06:21.934 A také i na této straně. 0:06:22.120,0:06:24.554 Takže i když to uděláte[br]nekonečně mnohokrát, 0:06:24.659,0:06:30.171 tato Kochova vločka nebude mít nikdy[br]větší obsah než tento šestiúhelník. 0:06:30.337,0:06:34.309 Který nebude mít větší obsah než objekt,[br]který vypadá takto. 0:06:34.463,0:06:36.215 Jen si tak kreslím libovolné… 0:06:36.315,0:06:38.070 No, chtěl jsem to nakreslit mimo… 0:06:38.167,0:06:39.924 Mohl bych kolem nakreslit kružnici. 0:06:40.666,0:06:44.479 Takže tato věc v modré[br]nebo šestiúhelník ve fialové 0:06:44.641,0:06:46.912 mají určitě daný obsah. 0:06:47.120,0:06:49.290 A tato Kochova vločka bude vždy omezená, 0:06:49.412,0:06:52.774 i kdybyste ty výběžky přidali[br]nekonečně mnohokrát. 0:06:52.960,0:06:54.842 Takže pár docela hustých věcí. 0:06:54.922,0:06:56.050 Za prvé, je to fraktál. 0:06:56.129,0:06:58.725 Můžete přibližovat jak chcete,[br]pořád vypadá stejně. 0:06:58.880,0:07:01.546 Další věc, nekonečný obvod 0:07:01.742,0:07:04.623 a konečný obsah. 0:07:04.733,0:07:05.686 Teď můžete říct: 0:07:05.826,0:07:10.251 „OK, Sale, to je velmi abstraktní věc,[br]takové věci v reálném světě neexistují.“ 0:07:10.401,0:07:14.663 Ale je tu zajímavý myšlenkový experiment,[br]o kterém lidé mluví ve světě fraktálů. 0:07:14.848,0:07:17.451 A to je hledání obvodu Anglie. 0:07:17.540,0:07:19.238 Nebo vlastně libovolného ostrovu. 0:07:19.423,0:07:20.989 A Anglie vypadá nějak… 0:07:21.100,0:07:24.120 … a nejsem expert, řekněme,[br]že vypadá nějak takto… 0:07:24.240,0:07:26.013 Můžete aproximovat obvod. 0:07:26.131,0:07:30.796 Můžete změřit tuto vzdálenost 0:07:30.859,0:07:32.240 plus tuto vzdálenost, 0:07:32.298,0:07:34.228 plus tuto vzdálenost, plus tuto, 0:07:34.297,0:07:35.872 plus tuto vzdálenost, plus tuto. 0:07:35.991,0:07:37.970 A podívejte, má konečný obvod, 0:07:38.060,0:07:39.396 určitě má konečný obsah. 0:07:39.598,0:07:41.910 Má to konečný obvod, 0:07:41.990,0:07:43.600 ale nepřijde vám to dost přesné. 0:07:43.654,0:07:45.329 Musíte to aproximovat lépe. 0:07:45.503,0:07:48.744 Místo odhadování takto zhruba,[br]potřebujete hromadu menších čar. 0:07:48.902,0:07:52.330 Potřebujete víc menších čar,[br]abyste mohli obepnout pobřeží trochu lépe. 0:07:52.676,0:07:55.305 Říkáte, že to je mnohem lepší aproximace. 0:07:55.547,0:07:57.730 Ale pak, řekněme na nějaké části pobřeží, 0:07:57.903,0:08:02.444 když dostatečně přiblížíme pobřežní čáru, 0:08:02.620,0:08:04.152 bude vypadat nějak takto. 0:08:04.379,0:08:08.005 Reálné pobřeží má v sobě takové zářezy. 0:08:08.178,0:08:10.859 A v podstatě, když jste měřili poprvé, 0:08:10.960,0:08:13.452 vlastně jste měřili jen tohle. 0:08:13.593,0:08:15.476 A vy říkáte, že to není obvod pobřeží, 0:08:15.586,0:08:17.406 musíte přece mít mnohem víc čar. 0:08:17.516,0:08:21.166 Museli byste udělat něco takového… 0:08:21.374,0:08:25.640 … abyste měli opravdu obvod pobřeží. 0:08:25.839,0:08:29.043 A pak řeknete, že to už je docela[br]dobrý odhad obvodu. 0:08:29.193,0:08:32.114 Ale kdybyste to ještě více[br]přiblížili na tuto část pobřeží, 0:08:32.321,0:08:35.267 ukázalo by se, že by to[br]nevypadalo přesně takto, 0:08:35.351,0:08:37.230 ale vlastně by to vypadalo nějak takto… 0:08:37.293,0:08:39.083 Možná by to vypadalo nějak takto. 0:08:39.213,0:08:42.545 Takže místo těchto nepřesných čar,[br]které vám to změří nějak takto, 0:08:42.705,0:08:46.088 řeknete, že musíte jít ještě o něco blíže,[br]a obepnout to ještě těsněji. 0:08:46.263,0:08:50.237 A můžete v tom pokračovat,[br]až byste se dostali na atomární úroveň. 0:08:50.397,0:08:55.155 Takže opravdové pobřeží ostrova,[br]nebo kontinentu, 0:08:55.309,0:08:58.468 nebo vlastně čehokoliv,[br]je tak trochu fraktálové. 0:08:58.626,0:09:02.575 A můžete nad tím přemýšlet tak,[br]že to má téměř nekonečný obvod. 0:09:02.700,0:09:05.120 Samozřejmě v nějakém bodě[br]se dostanete k atomům, 0:09:05.186,0:09:06.616 takže to nebude úplně stejné. 0:09:06.657,0:09:08.449 Ale je to tak trochu stejný fenomén. 0:09:08.647,0:09:10.396 Je to zajímavá věc k zamyšlení.