1
00:00:00,461 --> 00:00:02,859
Řekněme, že tohle je
rovnostranný trojúhelník.

2
00:00:03,008 --> 00:00:06,206
A chci z něj vytvořit jiný objekt.

3
00:00:06,335 --> 00:00:09,138
A udělám to tak, že vezmu
každou stranu toho trojúhelníku

4
00:00:09,312 --> 00:00:14,757
a rozdělím je na 3 stejné části.

5
00:00:15,378 --> 00:00:18,553
Můj trojúhelník nebyl
úplně perfektně nakreslený,

6
00:00:18,737 --> 00:00:19,961
ale myslím, že to chápete.

7
00:00:20,071 --> 00:00:28,615
A uprostřed bych rád sestrojil
další rovnostranný trojúhelník.

8
00:00:29,410 --> 00:00:31,519
Takže to bude vypadat nějak takto.

9
00:00:32,630 --> 00:00:37,244
A tady nakreslím další
rovnostranný trojúhelník.

10
00:00:37,574 --> 00:00:42,987
A z rovnostranného trojúhelníku jsem
vytvořil něco jako Davidovu hvězdu.

11
00:00:43,233 --> 00:00:44,501
A teď to udělám znovu.

12
00:00:44,634 --> 00:00:48,101
Každou tuto stranu rozdělím na 3 části

13
00:00:48,258 --> 00:00:53,833
a uprostřed sestrojím další
rovnostranný trojúhelník.

14
00:00:54,023 --> 00:00:59,165
Takže uprostřed sestrojím
rovnostranný trojúhelník.

15
00:00:59,350 --> 00:01:01,575
Udělám to na každé straně.

16
00:01:01,849 --> 00:01:04,462
Udělám to tady.

17
00:01:05,450 --> 00:01:06,584
Taky tady.

18
00:01:06,733 --> 00:01:09,629
Myslím, že chápete,
ale chci aby to bylo jasné.

19
00:01:10,016 --> 00:01:12,358
Pak také tady…

20
00:01:12,871 --> 00:01:16,160
A také tady a tady…

21
00:01:16,467 --> 00:01:19,605
A už skoro hotovo pro tuto iteraci.

22
00:01:21,773 --> 00:01:23,012
A bude to vypadat takto.

23
00:01:23,182 --> 00:01:24,241
A teď můžu znovu.

24
00:01:24,311 --> 00:01:28,120
Každou část můžu rozdělit na 3 stejné
a sestrojit rovnostranný trojúhelník.

25
00:01:28,260 --> 00:01:31,048
Můžu tady, tady, tady…

26
00:01:31,208 --> 00:01:32,796
Asi chápete, kam tím mířím.

27
00:01:32,970 --> 00:01:37,141
A mohl bych to dělat donekonečna.

28
00:01:37,298 --> 00:01:40,709
A v tomto videu se chci zamyslet
nad tím, co se tu děje.

29
00:01:40,850 --> 00:01:44,798
A co bych vlastně kreslil,
kdybych to kreslil dál a dál.

30
00:01:44,921 --> 00:01:49,266
V každé iteraci se podíváme na každou
stranu, rozdělíme ji na 3 stejné.

31
00:01:49,410 --> 00:01:55,543
A pak v další iteraci sestrojíme uprostřed
další rovnostranný trojúhelník.

32
00:01:55,729 --> 00:01:59,648
Tento objekt, který tu popisujeme
se nazývá Kochova vločka.

33
00:01:59,837 --> 00:02:03,071
A jsem si jistý, že špatně
vyslovuji tu část „Koch“.

34
00:02:03,206 --> 00:02:04,706
Kochova vločka…

35
00:02:04,840 --> 00:02:07,879
Byla poprvé popsána tímto pánem,

36
00:02:08,090 --> 00:02:12,340
švédským matematikem,
Nielsem Fabianem Helgem von Kochem

37
00:02:12,475 --> 00:02:14,399
kterého určitě špatně vyslovuji.

38
00:02:14,564 --> 00:02:17,453
A tohle byl jeden z prvních
popsaných fraktálů.

39
00:02:17,703 --> 00:02:19,455
Takže je to fraktál.

40
00:02:19,690 --> 00:02:21,920
A důvod, proč je považován za fraktál, je,

41
00:02:22,093 --> 00:02:26,417
že vypadá stejně nebo velmi podobně,
ať už se na něj díváte z libovolné dálky.

42
00:02:26,579 --> 00:02:29,468
Pokud se na něj díváte tady,

43
00:02:29,608 --> 00:02:32,123
uvidíte hromadu trojúhelníků
s nějakými výběžky.

44
00:02:32,206 --> 00:02:37,556
Ale pokud byste se podívali zblízka sem,
uviděli byste stále ten stejný tvar.

45
00:02:37,734 --> 00:02:41,168
A kdybyste se znovu podívali zblízka,
uviděli byste jej znovu a znovu.

46
00:02:41,228 --> 00:02:43,560
Takže fraktál je cokoliv,
co z každé vzdálenosti,

47
00:02:43,691 --> 00:02:46,696
při každém přiblížení,
tak nějak vypadá pořád stejně.

48
00:02:46,916 --> 00:02:48,270
Takže to fraktál.

49
00:02:48,386 --> 00:02:49,756
Co je obzvláště zajímavé,

50
00:02:49,877 --> 00:02:53,350
a proč to vkládám do playlistu geometrie,

51
00:02:53,540 --> 00:02:56,544
je to, že má nekonečný obvod.

52
00:02:56,707 --> 00:03:00,530
Pokud byste kreslili dál, pokud byste
doopravdy sestrojili Kochovu vločku,

53
00:03:00,692 --> 00:03:04,883
kde máte nekonečný počet
těchto malinkatých trojúhelníčků.

54
00:03:05,012 --> 00:03:09,728
Pokud byste přidávali další a další
rovnostranné trojúhelníky na každou stranu.

55
00:03:09,843 --> 00:03:11,494
A abychom ukázali nekonečný obvod,

56
00:03:11,596 --> 00:03:13,620
uvažujme jednu stranu tady.

57
00:03:13,840 --> 00:03:15,733
Řekněme, že začneme s touto stranou,

58
00:03:15,882 --> 00:03:19,747
řekněme, že začneme tam,
kam jsme začali náš původní trojúhelník.

59
00:03:19,896 --> 00:03:21,500
A řekněme, že má stranu 's'.

60
00:03:21,681 --> 00:03:25,836
A pak ji rozdělíme na 3 stejné úseky.

61
00:03:25,999 --> 00:03:29,635
Takže budou, 's' lomeno 3, 's' lomeno 3…

62
00:03:29,820 --> 00:03:31,302
… vlastně to napíšu sem dolů…

63
00:03:31,540 --> 00:03:35,951
's' lomeno 3, 's' lomeno 3, 's' lomeno 3.

64
00:03:36,169 --> 00:03:41,439
A uprostřed sestrojíme
rovnostranný trojúhelník.

65
00:03:41,600 --> 00:03:44,305
Takže každá z těchto stran
bude 's' lomeno 3.

66
00:03:44,486 --> 00:03:46,989
's' lomeno 3, 's' lomeno 3.

67
00:03:47,159 --> 00:03:50,504
A teď, délka této nové části…

68
00:03:50,631 --> 00:03:52,966
… už to není přímka,
protože má takový výběžek…

69
00:03:53,094 --> 00:03:56,956
Délka této části zde

70
00:03:57,214 --> 00:04:01,247
není jen 's',
ale je 's' lomeno 3, krát 4.

71
00:04:01,344 --> 00:04:03,181
Předtím to bylo 's' lomeno 3, krát 3,

72
00:04:03,264 --> 00:04:07,436
Teď tu máme 1, 2, 3, 4 části
o délce 's' lomeno 3.

73
00:04:07,598 --> 00:04:10,328
Takže teď, po jednom kroku,

74
00:04:10,511 --> 00:04:14,884
po prvním přidání trojúhelníků,

75
00:04:15,046 --> 00:04:17,490
naše nová strana,
poté co jsme přidali výběžek,

76
00:04:17,640 --> 00:04:20,665
bude rovna 4 krát 's' lomeno 3.

77
00:04:20,760 --> 00:04:23,469
Neboli čtyři třetiny 's'.

78
00:04:23,611 --> 00:04:29,217
Pokud náš původní obvod,
když to byl pouze trojúhelník…

79
00:04:29,355 --> 00:04:30,941
… 'P dolní index 0'…

80
00:04:31,100 --> 00:04:33,842
Po jednom kroku,
po jednom přidání výběžků,

81
00:04:34,010 --> 00:04:39,542
náš obvod bude čtyři třetiny
krát ten původní.

82
00:04:39,774 --> 00:04:42,459
Protože každá ze stran
bude čtyři třetiny krát větší.

83
00:04:42,602 --> 00:04:44,450
Tohle je tvořeno třemi stranami,

84
00:04:44,560 --> 00:04:46,707
teď je každá z nich
čtyři třetiny krát delší.

85
00:04:46,827 --> 00:04:49,158
Takže nový obvod bude
čtyři třetiny krát původní.

86
00:04:49,322 --> 00:04:51,563
Teď uděláme další kolo,

87
00:04:51,680 --> 00:04:54,537
bude to čtyři třetiny krát to první.

88
00:04:54,688 --> 00:04:57,559
Takže každým kolem to bude
čtyři třetiny krát větší.

89
00:04:57,650 --> 00:05:00,195
Nebo řekněme, že je o třetinu větší každým…

90
00:05:00,401 --> 00:05:03,428
… je čtyři třetiny krát víc než předchozí.

91
00:05:03,536 --> 00:05:05,443
A pokud to uděláte nekonečně mnohokrát,

92
00:05:05,520 --> 00:05:10,640
pokud vynásobíte libovolné číslo
čtyřmi třetinami nekonečně mnohokrát,

93
00:05:10,796 --> 00:05:13,546
dostanete nekonečnou délku.

94
00:05:13,749 --> 00:05:16,149
Takže 'P nekonečno'…

95
00:05:16,274 --> 00:05:18,560
Obvod, pokud to provedete
nekonečně mnohokrát,

96
00:05:18,756 --> 00:05:20,039
je nekonečný.

97
00:05:20,212 --> 00:05:21,757
To je samo o sobě docela hustý,

98
00:05:21,920 --> 00:05:24,240
jen přijít na něco, co má nekonečný obvod.

99
00:05:24,404 --> 00:05:28,086
Ale co je zajímavější,
tak to, že má konečný obsah.

100
00:05:28,192 --> 00:05:32,070
A když říkám konečný,
tak doopravdy zakrývá omezený prostor.

101
00:05:32,164 --> 00:05:34,025
Vlastně můžu nakreslit tvar kolem toho,

102
00:05:34,167 --> 00:05:36,160
a ta věc přes to nikdy nepřeroste.

103
00:05:37,234 --> 00:05:38,911
Nebudu dělat formální důkaz,

104
00:05:39,093 --> 00:05:41,983
ale zamysleme se,
co se děje na každé této straně.

105
00:05:42,128 --> 00:05:45,621
Takže v prvním kroku nám
vyskočí tento trojúhelník.

106
00:05:45,813 --> 00:05:49,262
A teď, když o tom zapřemýšlíte,
když si nakreslíte, co se děje…

107
00:05:49,440 --> 00:05:51,986
… v další iteraci nakreslíte
tyto trojúhelníčky sem.

108
00:05:52,170 --> 00:05:53,984
A pak tyto sem.

109
00:05:54,170 --> 00:05:56,205
A pak nakreslíte trojúhelníčky sem.

110
00:05:56,330 --> 00:05:58,350
A sem a sem a sem a sem...

111
00:05:58,506 --> 00:05:59,531
A tak pořád dokola.

112
00:05:59,716 --> 00:06:02,090
Ale všimněte si, můžete
přidávat další a další.

113
00:06:02,272 --> 00:06:04,570
Můžete přidávat nekonečně
mnoho těchto výběžků,

114
00:06:04,656 --> 00:06:07,163
ale nikdy nepřerostete
přes tento původní bod.

115
00:06:07,356 --> 00:06:11,292
To samé bude platit na této straně zde.

116
00:06:11,501 --> 00:06:13,886
Také to bude platit na této straně.

117
00:06:14,075 --> 00:06:16,445
Také na této straně.

118
00:06:16,629 --> 00:06:19,440
Také to bude platit na této straně.

119
00:06:19,586 --> 00:06:21,934
A také i na této straně.

120
00:06:22,120 --> 00:06:24,554
Takže i když to uděláte
nekonečně mnohokrát,

121
00:06:24,659 --> 00:06:30,171
tato Kochova vločka nebude mít nikdy
větší obsah než tento šestiúhelník.

122
00:06:30,337 --> 00:06:34,309
Který nebude mít větší obsah než objekt,
který vypadá takto.

123
00:06:34,463 --> 00:06:36,215
Jen si tak kreslím libovolné…

124
00:06:36,315 --> 00:06:38,070
No, chtěl jsem to nakreslit mimo…

125
00:06:38,167 --> 00:06:39,924
Mohl bych kolem nakreslit kružnici.

126
00:06:40,666 --> 00:06:44,479
Takže tato věc v modré
nebo šestiúhelník ve fialové

127
00:06:44,641 --> 00:06:46,912
mají určitě daný obsah.

128
00:06:47,120 --> 00:06:49,290
A tato Kochova vločka bude vždy omezená,

129
00:06:49,412 --> 00:06:52,774
i kdybyste ty výběžky přidali
nekonečně mnohokrát.

130
00:06:52,960 --> 00:06:54,842
Takže pár docela hustých věcí.

131
00:06:54,922 --> 00:06:56,050
Za prvé, je to fraktál.

132
00:06:56,129 --> 00:06:58,725
Můžete přibližovat jak chcete,
pořád vypadá stejně.

133
00:06:58,880 --> 00:07:01,546
Další věc, nekonečný obvod

134
00:07:01,742 --> 00:07:04,623
a konečný obsah.

135
00:07:04,733 --> 00:07:05,686
Teď můžete říct:

136
00:07:05,826 --> 00:07:10,251
„OK, Sale, to je velmi abstraktní věc,
takové věci v reálném světě neexistují.“

137
00:07:10,401 --> 00:07:14,663
Ale je tu zajímavý myšlenkový experiment,
o kterém lidé mluví ve světě fraktálů.

138
00:07:14,848 --> 00:07:17,451
A to je hledání obvodu Anglie.

139
00:07:17,540 --> 00:07:19,238
Nebo vlastně libovolného ostrovu.

140
00:07:19,423 --> 00:07:20,989
A Anglie vypadá nějak…

141
00:07:21,100 --> 00:07:24,120
… a nejsem expert, řekněme,
že vypadá nějak takto…

142
00:07:24,240 --> 00:07:26,013
Můžete aproximovat obvod.

143
00:07:26,131 --> 00:07:30,796
Můžete změřit tuto vzdálenost

144
00:07:30,859 --> 00:07:32,240
plus tuto vzdálenost,

145
00:07:32,298 --> 00:07:34,228
plus tuto vzdálenost, plus tuto,

146
00:07:34,297 --> 00:07:35,872
plus tuto vzdálenost, plus tuto.

147
00:07:35,991 --> 00:07:37,970
A podívejte, má konečný obvod,

148
00:07:38,060 --> 00:07:39,396
určitě má konečný obsah.

149
00:07:39,598 --> 00:07:41,910
Má to konečný obvod,

150
00:07:41,990 --> 00:07:43,600
ale nepřijde vám to dost přesné.

151
00:07:43,654 --> 00:07:45,329
Musíte to aproximovat lépe.

152
00:07:45,503 --> 00:07:48,744
Místo odhadování takto zhruba,
potřebujete hromadu menších čar.

153
00:07:48,902 --> 00:07:52,330
Potřebujete víc menších čar,
abyste mohli obepnout pobřeží trochu lépe.

154
00:07:52,676 --> 00:07:55,305
Říkáte, že to je mnohem lepší aproximace.

155
00:07:55,547 --> 00:07:57,730
Ale pak, řekněme na nějaké části pobřeží,

156
00:07:57,903 --> 00:08:02,444
když dostatečně přiblížíme pobřežní čáru,

157
00:08:02,620 --> 00:08:04,152
bude vypadat nějak takto.

158
00:08:04,379 --> 00:08:08,005
Reálné pobřeží má v sobě takové zářezy.

159
00:08:08,178 --> 00:08:10,859
A v podstatě, když jste měřili poprvé,

160
00:08:10,960 --> 00:08:13,452
vlastně jste měřili jen tohle.

161
00:08:13,593 --> 00:08:15,476
A vy říkáte, že to není obvod pobřeží,

162
00:08:15,586 --> 00:08:17,406
musíte přece mít mnohem víc čar.

163
00:08:17,516 --> 00:08:21,166
Museli byste udělat něco takového…

164
00:08:21,374 --> 00:08:25,640
… abyste měli opravdu obvod pobřeží.

165
00:08:25,839 --> 00:08:29,043
A pak řeknete, že to už je docela
dobrý odhad obvodu.

166
00:08:29,193 --> 00:08:32,114
Ale kdybyste to ještě více
přiblížili na tuto část pobřeží,

167
00:08:32,321 --> 00:08:35,267
ukázalo by se, že by to
nevypadalo přesně takto,

168
00:08:35,351 --> 00:08:37,230
ale vlastně by to vypadalo nějak takto…

169
00:08:37,293 --> 00:08:39,083
Možná by to vypadalo nějak takto.

170
00:08:39,213 --> 00:08:42,545
Takže místo těchto nepřesných čar,
které vám to změří nějak takto,

171
00:08:42,705 --> 00:08:46,088
řeknete, že musíte jít ještě o něco blíže,
a obepnout to ještě těsněji.

172
00:08:46,263 --> 00:08:50,237
A můžete v tom pokračovat,
až byste se dostali na atomární úroveň.

173
00:08:50,397 --> 00:08:55,155
Takže opravdové pobřeží ostrova,
nebo kontinentu,

174
00:08:55,309 --> 00:08:58,468
nebo vlastně čehokoliv,
je tak trochu fraktálové.

175
00:08:58,626 --> 00:09:02,575
A můžete nad tím přemýšlet tak,
že to má téměř nekonečný obvod.

176
00:09:02,700 --> 00:09:05,120
Samozřejmě v nějakém bodě
se dostanete k atomům,

177
00:09:05,186 --> 00:09:06,616
takže to nebude úplně stejné.

178
00:09:06,657 --> 00:09:08,449
Ale je to tak trochu stejný fenomén.

179
00:09:08,647 --> 00:09:10,396
Je to zajímavá věc k zamyšlení.