WEBVTT 00:00:00.461 --> 00:00:02.859 Řekněme, že tohle je rovnostranný trojúhelník. 00:00:03.008 --> 00:00:06.206 A chci z něj vytvořit jiný objekt. 00:00:06.335 --> 00:00:09.138 A udělám to tak, že vezmu každou stranu toho trojúhelníku 00:00:09.312 --> 00:00:14.757 a rozdělím je na 3 stejné části. 00:00:15.378 --> 00:00:18.553 Můj trojúhelník nebyl úplně perfektně nakreslený, 00:00:18.737 --> 00:00:19.961 ale myslím, že to chápete. 00:00:20.071 --> 00:00:28.615 A uprostřed bych rád sestrojil další rovnostranný trojúhelník. 00:00:29.410 --> 00:00:31.519 Takže to bude vypadat nějak takto. 00:00:32.630 --> 00:00:37.244 A tady nakreslím další rovnostranný trojúhelník. 00:00:37.574 --> 00:00:42.987 A z rovnostranného trojúhelníku jsem vytvořil něco jako Davidovu hvězdu. 00:00:43.233 --> 00:00:44.501 A teď to udělám znovu. 00:00:44.634 --> 00:00:48.101 Každou tuto stranu rozdělím na 3 části 00:00:48.258 --> 00:00:53.833 a uprostřed sestrojím další rovnostranný trojúhelník. 00:00:54.023 --> 00:00:59.165 Takže uprostřed sestrojím rovnostranný trojúhelník. 00:00:59.350 --> 00:01:01.575 Udělám to na každé straně. 00:01:01.849 --> 00:01:04.462 Udělám to tady. 00:01:05.450 --> 00:01:06.584 Taky tady. 00:01:06.733 --> 00:01:09.629 Myslím, že chápete, ale chci aby to bylo jasné. 00:01:10.016 --> 00:01:12.358 Pak také tady… 00:01:12.871 --> 00:01:16.160 A také tady a tady… 00:01:16.467 --> 00:01:19.605 A už skoro hotovo pro tuto iteraci. 00:01:21.773 --> 00:01:23.012 A bude to vypadat takto. 00:01:23.182 --> 00:01:24.241 A teď můžu znovu. 00:01:24.311 --> 00:01:28.120 Každou část můžu rozdělit na 3 stejné a sestrojit rovnostranný trojúhelník. 00:01:28.260 --> 00:01:31.048 Můžu tady, tady, tady… 00:01:31.208 --> 00:01:32.796 Asi chápete, kam tím mířím. 00:01:32.970 --> 00:01:37.141 A mohl bych to dělat donekonečna. 00:01:37.298 --> 00:01:40.709 A v tomto videu se chci zamyslet nad tím, co se tu děje. 00:01:40.850 --> 00:01:44.798 A co bych vlastně kreslil, kdybych to kreslil dál a dál. 00:01:44.921 --> 00:01:49.266 V každé iteraci se podíváme na každou stranu, rozdělíme ji na 3 stejné. 00:01:49.410 --> 00:01:55.543 A pak v další iteraci sestrojíme uprostřed další rovnostranný trojúhelník. 00:01:55.729 --> 00:01:59.648 Tento objekt, který tu popisujeme se nazývá Kochova vločka. 00:01:59.837 --> 00:02:03.071 A jsem si jistý, že špatně vyslovuji tu část „Koch“. 00:02:03.206 --> 00:02:04.706 Kochova vločka… 00:02:04.840 --> 00:02:07.879 Byla poprvé popsána tímto pánem, 00:02:08.090 --> 00:02:12.340 švédským matematikem, Nielsem Fabianem Helgem von Kochem 00:02:12.475 --> 00:02:14.399 kterého určitě špatně vyslovuji. 00:02:14.564 --> 00:02:17.453 A tohle byl jeden z prvních popsaných fraktálů. 00:02:17.703 --> 00:02:19.455 Takže je to fraktál. 00:02:19.690 --> 00:02:21.920 A důvod, proč je považován za fraktál, je, 00:02:22.093 --> 00:02:26.417 že vypadá stejně nebo velmi podobně, ať už se na něj díváte z libovolné dálky. 00:02:26.579 --> 00:02:29.468 Pokud se na něj díváte tady, 00:02:29.608 --> 00:02:32.123 uvidíte hromadu trojúhelníků s nějakými výběžky. 00:02:32.206 --> 00:02:37.556 Ale pokud byste se podívali zblízka sem, uviděli byste stále ten stejný tvar. 00:02:37.734 --> 00:02:41.168 A kdybyste se znovu podívali zblízka, uviděli byste jej znovu a znovu. 00:02:41.228 --> 00:02:43.560 Takže fraktál je cokoliv, co z každé vzdálenosti, 00:02:43.691 --> 00:02:46.696 při každém přiblížení, tak nějak vypadá pořád stejně. 00:02:46.916 --> 00:02:48.270 Takže to fraktál. 00:02:48.386 --> 00:02:49.756 Co je obzvláště zajímavé, 00:02:49.877 --> 00:02:53.350 a proč to vkládám do playlistu geometrie, 00:02:53.540 --> 00:02:56.544 je to, že má nekonečný obvod. 00:02:56.707 --> 00:03:00.530 Pokud byste kreslili dál, pokud byste doopravdy sestrojili Kochovu vločku, 00:03:00.692 --> 00:03:04.883 kde máte nekonečný počet těchto malinkatých trojúhelníčků. 00:03:05.012 --> 00:03:09.728 Pokud byste přidávali další a další rovnostranné trojúhelníky na každou stranu. 00:03:09.843 --> 00:03:11.494 A abychom ukázali nekonečný obvod, 00:03:11.596 --> 00:03:13.620 uvažujme jednu stranu tady. 00:03:13.840 --> 00:03:15.733 Řekněme, že začneme s touto stranou, 00:03:15.882 --> 00:03:19.747 řekněme, že začneme tam, kam jsme začali náš původní trojúhelník. 00:03:19.896 --> 00:03:21.500 A řekněme, že má stranu 's'. 00:03:21.681 --> 00:03:25.836 A pak ji rozdělíme na 3 stejné úseky. 00:03:25.999 --> 00:03:29.635 Takže budou, 's' lomeno 3, 's' lomeno 3… 00:03:29.820 --> 00:03:31.302 … vlastně to napíšu sem dolů… 00:03:31.540 --> 00:03:35.951 's' lomeno 3, 's' lomeno 3, 's' lomeno 3. 00:03:36.169 --> 00:03:41.439 A uprostřed sestrojíme rovnostranný trojúhelník. 00:03:41.600 --> 00:03:44.305 Takže každá z těchto stran bude 's' lomeno 3. 00:03:44.486 --> 00:03:46.989 's' lomeno 3, 's' lomeno 3. 00:03:47.159 --> 00:03:50.504 A teď, délka této nové části… 00:03:50.631 --> 00:03:52.966 … už to není přímka, protože má takový výběžek… 00:03:53.094 --> 00:03:56.956 Délka této části zde 00:03:57.214 --> 00:04:01.247 není jen 's', ale je 's' lomeno 3, krát 4. 00:04:01.344 --> 00:04:03.181 Předtím to bylo 's' lomeno 3, krát 3, 00:04:03.264 --> 00:04:07.436 Teď tu máme 1, 2, 3, 4 části o délce 's' lomeno 3. 00:04:07.598 --> 00:04:10.328 Takže teď, po jednom kroku, 00:04:10.511 --> 00:04:14.884 po prvním přidání trojúhelníků, 00:04:15.046 --> 00:04:17.490 naše nová strana, poté co jsme přidali výběžek, 00:04:17.640 --> 00:04:20.665 bude rovna 4 krát 's' lomeno 3. 00:04:20.760 --> 00:04:23.469 Neboli čtyři třetiny 's'. 00:04:23.611 --> 00:04:29.217 Pokud náš původní obvod, když to byl pouze trojúhelník… 00:04:29.355 --> 00:04:30.941 … 'P dolní index 0'… 00:04:31.100 --> 00:04:33.842 Po jednom kroku, po jednom přidání výběžků, 00:04:34.010 --> 00:04:39.542 náš obvod bude čtyři třetiny krát ten původní. 00:04:39.774 --> 00:04:42.459 Protože každá ze stran bude čtyři třetiny krát větší. 00:04:42.602 --> 00:04:44.450 Tohle je tvořeno třemi stranami, 00:04:44.560 --> 00:04:46.707 teď je každá z nich čtyři třetiny krát delší. 00:04:46.827 --> 00:04:49.158 Takže nový obvod bude čtyři třetiny krát původní. 00:04:49.322 --> 00:04:51.563 Teď uděláme další kolo, 00:04:51.680 --> 00:04:54.537 bude to čtyři třetiny krát to první. 00:04:54.688 --> 00:04:57.559 Takže každým kolem to bude čtyři třetiny krát větší. 00:04:57.650 --> 00:05:00.195 Nebo řekněme, že je o třetinu větší každým… 00:05:00.401 --> 00:05:03.428 … je čtyři třetiny krát víc než předchozí. 00:05:03.536 --> 00:05:05.443 A pokud to uděláte nekonečně mnohokrát, 00:05:05.520 --> 00:05:10.640 pokud vynásobíte libovolné číslo čtyřmi třetinami nekonečně mnohokrát, 00:05:10.796 --> 00:05:13.546 dostanete nekonečnou délku. 00:05:13.749 --> 00:05:16.149 Takže 'P nekonečno'… 00:05:16.274 --> 00:05:18.560 Obvod, pokud to provedete nekonečně mnohokrát, 00:05:18.756 --> 00:05:20.039 je nekonečný. 00:05:20.212 --> 00:05:21.757 To je samo o sobě docela hustý, 00:05:21.920 --> 00:05:24.240 jen přijít na něco, co má nekonečný obvod. 00:05:24.404 --> 00:05:28.086 Ale co je zajímavější, tak to, že má konečný obsah. 00:05:28.192 --> 00:05:32.070 A když říkám konečný, tak doopravdy zakrývá omezený prostor. 00:05:32.164 --> 00:05:34.025 Vlastně můžu nakreslit tvar kolem toho, 00:05:34.167 --> 00:05:36.160 a ta věc přes to nikdy nepřeroste. 00:05:37.234 --> 00:05:38.911 Nebudu dělat formální důkaz, 00:05:39.093 --> 00:05:41.983 ale zamysleme se, co se děje na každé této straně. 00:05:42.128 --> 00:05:45.621 Takže v prvním kroku nám vyskočí tento trojúhelník. 00:05:45.813 --> 00:05:49.262 A teď, když o tom zapřemýšlíte, když si nakreslíte, co se děje… 00:05:49.440 --> 00:05:51.986 … v další iteraci nakreslíte tyto trojúhelníčky sem. 00:05:52.170 --> 00:05:53.984 A pak tyto sem. 00:05:54.170 --> 00:05:56.205 A pak nakreslíte trojúhelníčky sem. 00:05:56.330 --> 00:05:58.350 A sem a sem a sem a sem... 00:05:58.506 --> 00:05:59.531 A tak pořád dokola. 00:05:59.716 --> 00:06:02.090 Ale všimněte si, můžete přidávat další a další. 00:06:02.272 --> 00:06:04.570 Můžete přidávat nekonečně mnoho těchto výběžků, 00:06:04.656 --> 00:06:07.163 ale nikdy nepřerostete přes tento původní bod. 00:06:07.356 --> 00:06:11.292 To samé bude platit na této straně zde. 00:06:11.501 --> 00:06:13.886 Také to bude platit na této straně. 00:06:14.075 --> 00:06:16.445 Také na této straně. 00:06:16.629 --> 00:06:19.440 Také to bude platit na této straně. 00:06:19.586 --> 00:06:21.934 A také i na této straně. 00:06:22.120 --> 00:06:24.554 Takže i když to uděláte nekonečně mnohokrát, 00:06:24.659 --> 00:06:30.171 tato Kochova vločka nebude mít nikdy větší obsah než tento šestiúhelník. 00:06:30.337 --> 00:06:34.309 Který nebude mít větší obsah než objekt, který vypadá takto. 00:06:34.463 --> 00:06:36.215 Jen si tak kreslím libovolné… 00:06:36.315 --> 00:06:38.070 No, chtěl jsem to nakreslit mimo… 00:06:38.167 --> 00:06:39.924 Mohl bych kolem nakreslit kružnici. 00:06:40.666 --> 00:06:44.479 Takže tato věc v modré nebo šestiúhelník ve fialové 00:06:44.641 --> 00:06:46.912 mají určitě daný obsah. 00:06:47.120 --> 00:06:49.290 A tato Kochova vločka bude vždy omezená, 00:06:49.412 --> 00:06:52.774 i kdybyste ty výběžky přidali nekonečně mnohokrát. 00:06:52.960 --> 00:06:54.842 Takže pár docela hustých věcí. 00:06:54.922 --> 00:06:56.050 Za prvé, je to fraktál. 00:06:56.129 --> 00:06:58.725 Můžete přibližovat jak chcete, pořád vypadá stejně. 00:06:58.880 --> 00:07:01.546 Další věc, nekonečný obvod 00:07:01.742 --> 00:07:04.623 a konečný obsah. 00:07:04.733 --> 00:07:05.686 Teď můžete říct: 00:07:05.826 --> 00:07:10.251 „OK, Sale, to je velmi abstraktní věc, takové věci v reálném světě neexistují.“ 00:07:10.401 --> 00:07:14.663 Ale je tu zajímavý myšlenkový experiment, o kterém lidé mluví ve světě fraktálů. 00:07:14.848 --> 00:07:17.451 A to je hledání obvodu Anglie. 00:07:17.540 --> 00:07:19.238 Nebo vlastně libovolného ostrovu. 00:07:19.423 --> 00:07:20.989 A Anglie vypadá nějak… 00:07:21.100 --> 00:07:24.120 … a nejsem expert, řekněme, že vypadá nějak takto… 00:07:24.240 --> 00:07:26.013 Můžete aproximovat obvod. 00:07:26.131 --> 00:07:30.796 Můžete změřit tuto vzdálenost 00:07:30.859 --> 00:07:32.240 plus tuto vzdálenost, 00:07:32.298 --> 00:07:34.228 plus tuto vzdálenost, plus tuto, 00:07:34.297 --> 00:07:35.872 plus tuto vzdálenost, plus tuto. 00:07:35.991 --> 00:07:37.970 A podívejte, má konečný obvod, 00:07:38.060 --> 00:07:39.396 určitě má konečný obsah. 00:07:39.598 --> 00:07:41.910 Má to konečný obvod, 00:07:41.990 --> 00:07:43.600 ale nepřijde vám to dost přesné. 00:07:43.654 --> 00:07:45.329 Musíte to aproximovat lépe. 00:07:45.503 --> 00:07:48.744 Místo odhadování takto zhruba, potřebujete hromadu menších čar. 00:07:48.902 --> 00:07:52.330 Potřebujete víc menších čar, abyste mohli obepnout pobřeží trochu lépe. 00:07:52.676 --> 00:07:55.305 Říkáte, že to je mnohem lepší aproximace. 00:07:55.547 --> 00:07:57.730 Ale pak, řekněme na nějaké části pobřeží, 00:07:57.903 --> 00:08:02.444 když dostatečně přiblížíme pobřežní čáru, 00:08:02.620 --> 00:08:04.152 bude vypadat nějak takto. 00:08:04.379 --> 00:08:08.005 Reálné pobřeží má v sobě takové zářezy. 00:08:08.178 --> 00:08:10.859 A v podstatě, když jste měřili poprvé, 00:08:10.960 --> 00:08:13.452 vlastně jste měřili jen tohle. 00:08:13.593 --> 00:08:15.476 A vy říkáte, že to není obvod pobřeží, 00:08:15.586 --> 00:08:17.406 musíte přece mít mnohem víc čar. 00:08:17.516 --> 00:08:21.166 Museli byste udělat něco takového… 00:08:21.374 --> 00:08:25.640 … abyste měli opravdu obvod pobřeží. 00:08:25.839 --> 00:08:29.043 A pak řeknete, že to už je docela dobrý odhad obvodu. 00:08:29.193 --> 00:08:32.114 Ale kdybyste to ještě více přiblížili na tuto část pobřeží, 00:08:32.321 --> 00:08:35.267 ukázalo by se, že by to nevypadalo přesně takto, 00:08:35.351 --> 00:08:37.230 ale vlastně by to vypadalo nějak takto… 00:08:37.293 --> 00:08:39.083 Možná by to vypadalo nějak takto. 00:08:39.213 --> 00:08:42.545 Takže místo těchto nepřesných čar, které vám to změří nějak takto, 00:08:42.705 --> 00:08:46.088 řeknete, že musíte jít ještě o něco blíže, a obepnout to ještě těsněji. 00:08:46.263 --> 00:08:50.237 A můžete v tom pokračovat, až byste se dostali na atomární úroveň. 00:08:50.397 --> 00:08:55.155 Takže opravdové pobřeží ostrova, nebo kontinentu, 00:08:55.309 --> 00:08:58.468 nebo vlastně čehokoliv, je tak trochu fraktálové. 00:08:58.626 --> 00:09:02.575 A můžete nad tím přemýšlet tak, že to má téměř nekonečný obvod. 00:09:02.700 --> 00:09:05.120 Samozřejmě v nějakém bodě se dostanete k atomům, 00:09:05.186 --> 00:09:06.616 takže to nebude úplně stejné. 00:09:06.657 --> 00:09:08.449 Ale je to tak trochu stejný fenomén. 00:09:08.647 --> 00:09:10.396 Je to zajímavá věc k zamyšlení.