-
Okrąg jest prawdopodobnie najbardziej podstawową figurą w naszym
-
wszechświecie, czy patrzysz na kształty orbit
-
planetarnych, czy patrzysz na koła w samochodzie, czy spoglądasz na
-
rzeczy na poziomie molekularnym.
-
Okrąg ciągle i ciągle
-
się tam pojawia.
-
Dlatego właśnie warto poświęcić chwilę na pojęcie
-
podstawowych właściwości okręgu.
-
Kiedy ludzie wynaleźli koło,
-
właściwie można by spojrzeć na księżyc, aby je dostrzec, ale
-
po raz pierwszy zaczęli zastanawiać się jakie są właściwości
-
dowolnego okręgu.
-
Po pierwsze, zauważyli, iż okrąg
-
to zbiór punktów oddalonych w równej odległości od
-
środka okręgu.
-
Wszystkie punkty na krawędzi są w równej odległości od
-
tego właśnie środka.
-
Pierwszą rzeczą, o którą ktoś mógłby się spytać to,
-
jaka jest ta odległość, ta równa od
-
środka okręgu?
-
O tutaj.
-
Nazywamy to promieniem koła.
-
To po prostu odległość od środka koła do jego brzegu.
-
Jeśli ten promień będzie wynosić 3 centymetry, to ten promień
-
także będzie wynosić 3 centymetry.
-
I ten promień także będzie wynosił 3 centymetry.
-
To się nigdy nie zmieni.
-
Z definicji, koło to wszystkie punkty, które znajdują się w równej
-
odległości od środka koła.
-
I tą odległość nazywamy promieniem.
-
Kolejną, bardzo interesującą sprawą jest to, że ludzie mogą
-
zapytać: "Jak opasłe jest koło?"
-
"Jak szerokie jest ono w najdalszym punkcie?"
-
Lub, jeśli po prostu chcesz go przeciąć wzdłuż największej szerokości,
-
ile będzie wynosić ta odległość?
-
To nie musi być wcale w tym, konkretnym miejscu. Równie dobrze możesz
-
przeciąć je w największej szerokości w tym miejscu.
-
Z pewnością nie będę przecinał go w tym miejscu,
-
ponieważ nie jest to jego najdłuższa szerokość.
-
Jest mnóstwo miejsc, w których mógłbym przeciąć to koło
-
w jego najszerszym punkcie.
-
Przed chwilą omówiliśmy promień i widzimy, że największa szerokość
-
przechodzi przez środek i leci dalej.
-
To zasadniczo dwa promienie.
-
Mamy jeden promień tutaj i zaraz potem mamy kolejny
-
tutaj.
-
Odległość pomiędzy najbardziej oddalonymi od siebie punktami koła,
-
nazywamy średnicą.
-
To właśnie jest średnica koła.
-
Jest bardzo powiązana z promieniem
-
Średnica to podwojona wartość promienia koła.
-
Kolejną niezwykle pasjonującą sprawą jest to, że
-
może zastanawiasz się jaka jest odległość na całej krawędzi koła.
-
Jeśli już biegniesz po linijkę i chciałeś zmierzyć
-
długość brzegu koła w ten sposób, jaka jest ta odległość?
-
Nazywamy ją obwodem koła.
-
Już wiemy jak powiązane są ze sobą średnica i promień, ale jak
-
obwód koła odnosi się do, powiedzmy, średnicy?
-
Jeśli nie jesteś zbytnio przyzwyczajony do średnicy koła, z łatwością
-
odczytasz jego promień.
-
Tysiące lat temu, ludzie chwycili swoje miarki
-
i mierzyli obwody kół
-
i ich promienie.
-
Powiedzmy, że ich miarki nie były zbyt dokładne,
-
powiedzmy, że mierzyli obwody koła
-
i pomiary wykazały, że obwód koła to 3.
-
A potem zmierzyli promień koła
-
lub średnicę i krzyknęli: "Oh! Średnica wynosi
-
około 1!"
-
Powiedzieli więc: "Spiszmy to wszystko.
-
Chodzi nam o stosunek..." Pozwólcie, że
-
zapiszę to w ten sposób.
-
Stosunek obwodu do średnicy.
-
Powiedzmy, że ktoś miał takie koło... Powiedzmy, że
-
mieli takie koło i po raz pierwszy, zmierzyli obwód
-
nie tak dobrą miarką,
-
i powiedzieli: "Hej! To w przybliżeniu daje nam 3 metry,
-
kiedy obchodzę je dookoła."
-
Kiedy zmierzę średnicę koła
-
to w przybliżeniu daje nam 1.
-
To ciekawe.
-
Może stosunek obwodu koła
-
i średnicy to 3.
-
Może więc obwód koła zawsze będzie wynosić potrojoną
-
wartość długości średnicy.
-
Mowa o tym konkretnym kole, ale powiedzmy, że
-
zmierzyli to kolejne koło.
-
Takie jak to... Nakreśliłem je nieco mniejsze.
-
Powiedzmy, że zmierzyli je dookoła i
-
obliczyli, że obwód wynosi w przybliżeniu 6 centymetrów,
-
Mieli słabe narzędzia do pomiarów.
-
Potem, obliczają, że średnica tego koła
-
to w przybliżeniu 2 centymetry.
-
Ponownie, stosunek obwodu i
-
średnicy to w przybliżeniu 3.
-
Dobrze, zgrabnie ująłem właściwości koła.
-
Może stosunek obwodu do średnicy
-
pasował do każdego koła.
-
Powiedzieli: "Musimy się w to bardziej zagłębić..."
-
Zdobyli lepsze narzędzia do pomiarów.
-
Potem zmierzyli to koło i zakrzyknęli: "Hej!
-
ta średnica wynosi dokładnie 1!"
-
Średnica faktycznie wynosi 1, lecz kiedy
-
zmierzę obwód jeszcze lepiej, dojdę do wniosku, że
-
jest bliższy 3,1.
-
To samo stało się z tym kołem.
-
Zauważyli, że stosunek jest bliższy 3,1.
-
I tak mierzyli ten obwód coraz lepiej, i lepiej, i lepiej,
-
i spostrzegli się, że otrzymują tę liczbę,
-
więc mierzyli lepiej, i lepiej, i lepiej i odkrywali
-
tę liczbę - 3,14159
-
Wciąż dokładali nowe cyfry, a to wciąż nie
-
miało końca.
-
Była to dziwna, acz fascynująca metafizyczna liczba, która
-
za każdym razem się pojawiała.
-
Od czasów, gdy ta liczba stała się podstawą całego wszechświata,
-
ponieważ koła stanowią fundament naszej przestrzeni,
-
pojawiała się przy okazji każdego koła.
-
Stosunek obwodu i średnicy był tak
-
magiczną liczbą, że nadali jej nazwę.
-
Nazwali ją liczbą pi. Można ją też zapisać za pomocą alfabetu łacińskiego, lub
-
grecką literą pi. Właśnie tak.
-
Oznacza ona tę liczbę, która prawdopodobnie jest najbardziej
-
fascynującą liczbą we wszechświecie.
-
Na początku pojawiła się jako stosunek obwodu koła do
-
jego średnicy, ale w przyszłości dowiesz się, że
-
pojawia się na każdym kroku podczas Twojej matematycznej podróży!
-
To jedna z najbardziej podstawowych rzeczy we wszechświecie, która
-
sprawia, że czujesz, że wszystko jest ułożone w pewnym porządku.
-
Ale, wracając do rzeczy, jak możemy wykorzystać to
-
w podstawowych obliczeniach?
-
Wiemy już, a przynajmniej mówię Ci, że stosunek
-
obwodu do średnicy... Kiedy mówię o stosunku,
-
dosłownie dzielę obwód
-
na średnicę i uzyskujemy liczbę pi.
-
Pi to właśnie ta liczba.
-
Mógłbym zapisać ją jako 3,14157... i tak dalej,
-
ale byłaby to strata miejsca i ciężko
-
byłoby z tym się uporać, więc ludzie zapisują tę grecką literę
-
pi w tym miejscu.
-
Więc jak możemy się do tego odnieść?
-
Możemy pomnożyć obie strony przez średnicę i
-
stwierdzić, że obwód wynosi pi
-
pomnożone przez średnicę.
-
Lub, gdy średnica wynosi podwojoną wartość promienia, możemy
-
powiedzieć, że obwód koła wynosi pi pomnożone przez
-
2 razy promień.
-
Lub wzór, który najprawdopodobniej będziesz widział w wielu miejscach -
-
2 pi r.
-
Zobaczmy więc, czy możemy tego użyć w jakiś zadaniach.
-
Powiedzmy, że mam takie koło i
-
podam Ci jego promień... W tym wypadku, promień wynosi 3.
-
Pozwólcie, że to zapiszę... Promień wynosi 3.
-
Niech to będą 3 metry... Dodajmy jakiś jednostek.
-
Jaki jest obwód koła?
-
Obwód wynosi 2 razy pi razy promień.
-
To będzie równe dwa razy pi razy promień,
-
razy 3 metry, co równa się 6 metrom pomnożonym przez
-
pi lub po prostu 6 pi metrów.
-
6 pi metrów.
-
Teraz mogę to pomnożyć.
-
Pamiętajcie, że pi to tylko liczba.
-
Pi to 3,14159, które ciągnie się dalej...
-
Jeśli pomnożę to przez 6, może wyjdzie mi 18 przecinek
-
cośtam, cośtam, coś.
-
Jeśli masz kalkulator, możesz to sobie obliczyć, ale
-
dla wygody ludzie zwykli zostawiać liczby
-
razem z pi.
-
Teraz, nie wiem ile to wyniesie, jeśli pomnożymy to przez
-
3,14159. Nie wiem. Czy wyjdzie coś bliżej 19, czy
-
18, czy to zwyczajnie 18 przecinek cośtam,
-
cośtam, cośtam.
-
Nie mam przed sobą kalkulatora.
-
Zamiast pisać tę długą liczbę, po prostu
-
zostawiasz 6 pi.
-
Właściwie, myślę, że nie przekroczyłoby to
-
progu 19.
-
Teraz, zadajmy sobie inne pytanie.
-
Jaka jest średnica koła?
-
Jeśli wiemy, ze promień ma 3, średnica to po prostu dwa razy więcej.
-
Będzie to po prostu 2 razy 3 lub 3 plus 3,
-
co wynosi 6 metrów.
-
Obwód to 6 pi metrów, średnica to 6 metrów,
-
promień to 3 metry.
-
Teraz chodźmy w drugą stronę.
-
Powiedzmy, że mam inne koło.
-
O tutaj.
-
I jego obwód wynosi
-
10 metrów... To jest obwód koła.
-
I jeśli miałbyś zmierzyć ten obwód miarką, i
-
ktoś zapytałby Cię jaka jest średnica koła?
-
Wiemy już, że średnica razy pi
-
jest równa obwodowi, jest równa
-
10 metrom.
-
Aby rozwiązać to zadanie musimy podzielić obie strony
-
równania przez pi.
-
Średnica będzie wynosić 10 metrów przez pi, lub
-
10 na pi metrów.
-
I to tylko liczba.
-
Jeśli masz kalkulator, możesz podzielić 10
-
na 3,14159. Wyjdzie Ci 3 przecinek cośtam,
-
cośtam, cośtam metrów.
-
Nie mogę tego obliczyć w głowie, ale
-
to tylko liczba.
-
Ale dla wygody, zostawiamy to w ten sposób.
-
Teraz - jaki jest promień?
-
Cóż, promień wynosi 1/2 średnicy.
-
Cała odległość wynosi 10 na pi metrów.
-
Jeśli weźmiemy tylko połowę z tego, jeśli potrzebujemy promienia,
-
mnożymy to przez 1/2.
-
Więc jeśli masz 1/2 razy 10 na pi, co wynosi 1/2 razy
-
10, lub zwyczajnie dzielisz licznik i
-
mianownik przez 2.
-
Wychodzi 5, więc masz 5 przez pi.
-
Promień wychodzi 5 przez pi.
-
Nic specjalnie wymyślnego.
-
Myślę, że to, co zwykle trapi ludzi, to
-
problem z uświadomieniem sobie, że pi to liczba.
-
Pi to zwyczajnie 3,14159 i ciągnie się to w nieskończoność.
-
Napisano już tysiące książek o liczbie pi, więc
-
to nie tak... Nie jestem pewien, czy są ich tysiące,
-
pewnie przesadzam, ale można by pisać książki na ten temat.
-
Ale to tylko LICZBA.
-
Tak, to bardzo niezwykła liczba, i jeśli chcesz zapisać ją
-
w ten sposób, możesz dosłownie
-
to wymnożyć.
-
Ale większość ludzi woli zostawiać
-
wyniki z pi w wyrażeniu.
-
Tak czy inaczej - zostawiam was tutaj.
-
W kolejnym filmiku poznamy pole koła.
_
Napisy autorstwa Kamila Kwiecińskiego.
