Okrąg jest prawdopodobnie najbardziej podstawową figurą w naszym
wszechświecie, czy patrzysz na kształty orbit
planetarnych, czy patrzysz na koła w samochodzie, czy spoglądasz na
rzeczy na poziomie molekularnym.
Okrąg ciągle i ciągle
się tam pojawia.
Dlatego właśnie warto poświęcić chwilę na pojęcie
podstawowych właściwości okręgu.
Kiedy ludzie wynaleźli koło,
właściwie można by spojrzeć na księżyc, aby je dostrzec, ale
po raz pierwszy zaczęli zastanawiać się jakie są właściwości
dowolnego okręgu.
Po pierwsze, zauważyli, iż okrąg
to zbiór punktów oddalonych w równej odległości od
środka okręgu.
Wszystkie punkty na krawędzi są w równej odległości od
tego właśnie środka.
Pierwszą rzeczą, o którą ktoś mógłby się spytać to,
jaka jest ta odległość, ta równa od
środka okręgu?
O tutaj.
Nazywamy to promieniem koła.
To po prostu odległość od środka koła do jego brzegu.
Jeśli ten promień będzie wynosić 3 centymetry, to ten promień
także będzie wynosić 3 centymetry.
I ten promień także będzie wynosił 3 centymetry.
To się nigdy nie zmieni.
Z definicji, koło to wszystkie punkty, które znajdują się w równej
odległości od środka koła.
I tą odległość nazywamy promieniem.
Kolejną, bardzo interesującą sprawą jest to, że ludzie mogą
zapytać: "Jak opasłe jest koło?"
"Jak szerokie jest ono w najdalszym punkcie?"
Lub, jeśli po prostu chcesz go przeciąć wzdłuż największej szerokości,
ile będzie wynosić ta odległość?
To nie musi być wcale w tym, konkretnym miejscu. Równie dobrze możesz
przeciąć je w największej szerokości w tym miejscu.
Z pewnością nie będę przecinał go w tym miejscu,
ponieważ nie jest to jego najdłuższa szerokość.
Jest mnóstwo miejsc, w których mógłbym przeciąć to koło
w jego najszerszym punkcie.
Przed chwilą omówiliśmy promień i widzimy, że największa szerokość
przechodzi przez środek i leci dalej.
To zasadniczo dwa promienie.
Mamy jeden promień tutaj i zaraz potem mamy kolejny
tutaj.
Odległość pomiędzy najbardziej oddalonymi od siebie punktami koła,
nazywamy średnicą.
To właśnie jest średnica koła.
Jest bardzo powiązana z promieniem
Średnica to podwojona wartość promienia koła.
Kolejną niezwykle pasjonującą sprawą jest to, że
może zastanawiasz się jaka jest odległość na całej krawędzi koła.
Jeśli już biegniesz po linijkę i chciałeś zmierzyć
długość brzegu koła w ten sposób, jaka jest ta odległość?
Nazywamy ją obwodem koła.
Już wiemy jak powiązane są ze sobą średnica i promień, ale jak
obwód koła odnosi się do, powiedzmy, średnicy?
Jeśli nie jesteś zbytnio przyzwyczajony do średnicy koła, z łatwością
odczytasz jego promień.
Tysiące lat temu, ludzie chwycili swoje miarki
i mierzyli obwody kół
i ich promienie.
Powiedzmy, że ich miarki nie były zbyt dokładne,
powiedzmy, że mierzyli obwody koła
i pomiary wykazały, że obwód koła to 3.
A potem zmierzyli promień koła
lub średnicę i krzyknęli: "Oh! Średnica wynosi
około 1!"
Powiedzieli więc: "Spiszmy to wszystko.
Chodzi nam o stosunek..." Pozwólcie, że
zapiszę to w ten sposób.
Stosunek obwodu do średnicy.
Powiedzmy, że ktoś miał takie koło... Powiedzmy, że
mieli takie koło i po raz pierwszy, zmierzyli obwód
nie tak dobrą miarką,
i powiedzieli: "Hej! To w przybliżeniu daje nam 3 metry,
kiedy obchodzę je dookoła."
Kiedy zmierzę średnicę koła
to w przybliżeniu daje nam 1.
To ciekawe.
Może stosunek obwodu koła
i średnicy to 3.
Może więc obwód koła zawsze będzie wynosić potrojoną
wartość długości średnicy.
Mowa o tym konkretnym kole, ale powiedzmy, że
zmierzyli to kolejne koło.
Takie jak to... Nakreśliłem je nieco mniejsze.
Powiedzmy, że zmierzyli je dookoła i
obliczyli, że obwód wynosi w przybliżeniu 6 centymetrów,
Mieli słabe narzędzia do pomiarów.
Potem, obliczają, że średnica tego koła
to w przybliżeniu 2 centymetry.
Ponownie, stosunek obwodu i
średnicy to w przybliżeniu 3.
Dobrze, zgrabnie ująłem właściwości koła.
Może stosunek obwodu do średnicy
pasował do każdego koła.
Powiedzieli: "Musimy się w to bardziej zagłębić..."
Zdobyli lepsze narzędzia do pomiarów.
Potem zmierzyli to koło i zakrzyknęli: "Hej!
ta średnica wynosi dokładnie 1!"
Średnica faktycznie wynosi 1, lecz kiedy
zmierzę obwód jeszcze lepiej, dojdę do wniosku, że
jest bliższy 3,1.
To samo stało się z tym kołem.
Zauważyli, że stosunek jest bliższy 3,1.
I tak mierzyli ten obwód coraz lepiej, i lepiej, i lepiej,
i spostrzegli się, że otrzymują tę liczbę,
więc mierzyli lepiej, i lepiej, i lepiej i odkrywali
tę liczbę - 3,14159
Wciąż dokładali nowe cyfry, a to wciąż nie
miało końca.
Była to dziwna, acz fascynująca metafizyczna liczba, która
za każdym razem się pojawiała.
Od czasów, gdy ta liczba stała się podstawą całego wszechświata,
ponieważ koła stanowią fundament naszej przestrzeni,
pojawiała się przy okazji każdego koła.
Stosunek obwodu i średnicy był tak
magiczną liczbą, że nadali jej nazwę.
Nazwali ją liczbą pi. Można ją też zapisać za pomocą alfabetu łacińskiego, lub
grecką literą pi. Właśnie tak.
Oznacza ona tę liczbę, która prawdopodobnie jest najbardziej
fascynującą liczbą we wszechświecie.
Na początku pojawiła się jako stosunek obwodu koła do
jego średnicy, ale w przyszłości dowiesz się, że
pojawia się na każdym kroku podczas Twojej matematycznej podróży!
To jedna z najbardziej podstawowych rzeczy we wszechświecie, która
sprawia, że czujesz, że wszystko jest ułożone w pewnym porządku.
Ale, wracając do rzeczy, jak możemy wykorzystać to
w podstawowych obliczeniach?
Wiemy już, a przynajmniej mówię Ci, że stosunek
obwodu do średnicy... Kiedy mówię o stosunku,
dosłownie dzielę obwód
na średnicę i uzyskujemy liczbę pi.
Pi to właśnie ta liczba.
Mógłbym zapisać ją jako 3,14157... i tak dalej,
ale byłaby to strata miejsca i ciężko
byłoby z tym się uporać, więc ludzie zapisują tę grecką literę
pi w tym miejscu.
Więc jak możemy się do tego odnieść?
Możemy pomnożyć obie strony przez średnicę i
stwierdzić, że obwód wynosi pi
pomnożone przez średnicę.
Lub, gdy średnica wynosi podwojoną wartość promienia, możemy
powiedzieć, że obwód koła wynosi pi pomnożone przez
2 razy promień.
Lub wzór, który najprawdopodobniej będziesz widział w wielu miejscach -
2 pi r.
Zobaczmy więc, czy możemy tego użyć w jakiś zadaniach.
Powiedzmy, że mam takie koło i
podam Ci jego promień... W tym wypadku, promień wynosi 3.
Pozwólcie, że to zapiszę... Promień wynosi 3.
Niech to będą 3 metry... Dodajmy jakiś jednostek.
Jaki jest obwód koła?
Obwód wynosi 2 razy pi razy promień.
To będzie równe dwa razy pi razy promień,
razy 3 metry, co równa się 6 metrom pomnożonym przez
pi lub po prostu 6 pi metrów.
6 pi metrów.
Teraz mogę to pomnożyć.
Pamiętajcie, że pi to tylko liczba.
Pi to 3,14159, które ciągnie się dalej...
Jeśli pomnożę to przez 6, może wyjdzie mi 18 przecinek
cośtam, cośtam, coś.
Jeśli masz kalkulator, możesz to sobie obliczyć, ale
dla wygody ludzie zwykli zostawiać liczby
razem z pi.
Teraz, nie wiem ile to wyniesie, jeśli pomnożymy to przez
3,14159. Nie wiem. Czy wyjdzie coś bliżej 19, czy
18, czy to zwyczajnie 18 przecinek cośtam,
cośtam, cośtam.
Nie mam przed sobą kalkulatora.
Zamiast pisać tę długą liczbę, po prostu
zostawiasz 6 pi.
Właściwie, myślę, że nie przekroczyłoby to
progu 19.
Teraz, zadajmy sobie inne pytanie.
Jaka jest średnica koła?
Jeśli wiemy, ze promień ma 3, średnica to po prostu dwa razy więcej.
Będzie to po prostu 2 razy 3 lub 3 plus 3,
co wynosi 6 metrów.
Obwód to 6 pi metrów, średnica to 6 metrów,
promień to 3 metry.
Teraz chodźmy w drugą stronę.
Powiedzmy, że mam inne koło.
O tutaj.
I jego obwód wynosi
10 metrów... To jest obwód koła.
I jeśli miałbyś zmierzyć ten obwód miarką, i
ktoś zapytałby Cię jaka jest średnica koła?
Wiemy już, że średnica razy pi
jest równa obwodowi, jest równa
10 metrom.
Aby rozwiązać to zadanie musimy podzielić obie strony
równania przez pi.
Średnica będzie wynosić 10 metrów przez pi, lub
10 na pi metrów.
I to tylko liczba.
Jeśli masz kalkulator, możesz podzielić 10
na 3,14159. Wyjdzie Ci 3 przecinek cośtam,
cośtam, cośtam metrów.
Nie mogę tego obliczyć w głowie, ale
to tylko liczba.
Ale dla wygody, zostawiamy to w ten sposób.
Teraz - jaki jest promień?
Cóż, promień wynosi 1/2 średnicy.
Cała odległość wynosi 10 na pi metrów.
Jeśli weźmiemy tylko połowę z tego, jeśli potrzebujemy promienia,
mnożymy to przez 1/2.
Więc jeśli masz 1/2 razy 10 na pi, co wynosi 1/2 razy
10, lub zwyczajnie dzielisz licznik i
mianownik przez 2.
Wychodzi 5, więc masz 5 przez pi.
Promień wychodzi 5 przez pi.
Nic specjalnie wymyślnego.
Myślę, że to, co zwykle trapi ludzi, to
problem z uświadomieniem sobie, że pi to liczba.
Pi to zwyczajnie 3,14159 i ciągnie się to w nieskończoność.
Napisano już tysiące książek o liczbie pi, więc
to nie tak... Nie jestem pewien, czy są ich tysiące,
pewnie przesadzam, ale można by pisać książki na ten temat.
Ale to tylko LICZBA.
Tak, to bardzo niezwykła liczba, i jeśli chcesz zapisać ją
w ten sposób, możesz dosłownie
to wymnożyć.
Ale większość ludzi woli zostawiać
wyniki z pi w wyrażeniu.
Tak czy inaczej - zostawiam was tutaj.
W kolejnym filmiku poznamy pole koła.
_
Napisy autorstwa Kamila Kwiecińskiego.