1
00:00:00,780 --> 00:00:04,880
Okrąg jest prawdopodobnie najbardziej podstawową figurą w naszym
2
00:00:04,880 --> 00:00:08,490
wszechświecie, czy patrzysz na kształty orbit
3
00:00:08,490 --> 00:00:11,140
planetarnych, czy patrzysz na koła w samochodzie, czy spoglądasz na
4
00:00:11,140 --> 00:00:12,840
rzeczy na poziomie molekularnym.
5
00:00:12,840 --> 00:00:15,860
Okrąg ciągle i ciągle
6
00:00:15,860 --> 00:00:17,350
się tam pojawia.
7
00:00:17,350 --> 00:00:21,110
Dlatego właśnie warto poświęcić chwilę na pojęcie
8
00:00:21,110 --> 00:00:23,330
podstawowych właściwości okręgu.
9
00:00:23,330 --> 00:00:26,200
Kiedy ludzie wynaleźli koło,
10
00:00:26,200 --> 00:00:28,960
właściwie można by spojrzeć na księżyc, aby je dostrzec, ale
11
00:00:28,960 --> 00:00:31,570
po raz pierwszy zaczęli zastanawiać się jakie są właściwości
12
00:00:31,570 --> 00:00:32,910
dowolnego okręgu.
13
00:00:32,910 --> 00:00:36,150
Po pierwsze, zauważyli, iż okrąg
14
00:00:36,150 --> 00:00:38,690
to zbiór punktów oddalonych w równej odległości od
15
00:00:38,690 --> 00:00:40,440
środka okręgu.
16
00:00:40,440 --> 00:00:43,710
Wszystkie punkty na krawędzi są w równej odległości od
17
00:00:43,710 --> 00:00:45,210
tego właśnie środka.
18
00:00:45,210 --> 00:00:47,620
Pierwszą rzeczą, o którą ktoś mógłby się spytać to,
19
00:00:47,620 --> 00:00:50,280
jaka jest ta odległość, ta równa od
20
00:00:50,280 --> 00:00:51,770
środka okręgu?
21
00:00:51,770 --> 00:00:52,950
O tutaj.
22
00:00:52,950 --> 00:00:58,110
Nazywamy to promieniem koła.
23
00:00:58,110 --> 00:01:00,350
To po prostu odległość od środka koła do jego brzegu.
24
00:01:00,350 --> 00:01:02,820
Jeśli ten promień będzie wynosić 3 centymetry, to ten promień
25
00:01:02,820 --> 00:01:04,490
także będzie wynosić 3 centymetry.
26
00:01:04,490 --> 00:01:07,170
I ten promień także będzie wynosił 3 centymetry.
27
00:01:07,170 --> 00:01:08,270
To się nigdy nie zmieni.
28
00:01:08,270 --> 00:01:11,690
Z definicji, koło to wszystkie punkty, które znajdują się w równej
29
00:01:11,690 --> 00:01:13,400
odległości od środka koła.
30
00:01:13,400 --> 00:01:17,050
I tą odległość nazywamy promieniem.
31
00:01:17,050 --> 00:01:19,880
Kolejną, bardzo interesującą sprawą jest to, że ludzie mogą
32
00:01:19,880 --> 00:01:22,040
zapytać: "Jak opasłe jest koło?"
33
00:01:22,040 --> 00:01:26,360
"Jak szerokie jest ono w najdalszym punkcie?"
34
00:01:26,360 --> 00:01:28,710
Lub, jeśli po prostu chcesz go przeciąć wzdłuż największej szerokości,
35
00:01:28,710 --> 00:01:30,390
ile będzie wynosić ta odległość?
36
00:01:30,390 --> 00:01:32,340
To nie musi być wcale w tym, konkretnym miejscu. Równie dobrze możesz
37
00:01:32,340 --> 00:01:35,490
przeciąć je w największej szerokości w tym miejscu.
38
00:01:35,490 --> 00:01:38,520
Z pewnością nie będę przecinał go w tym miejscu,
39
00:01:38,520 --> 00:01:40,120
ponieważ nie jest to jego najdłuższa szerokość.
40
00:01:40,120 --> 00:01:41,810
Jest mnóstwo miejsc, w których mógłbym przeciąć to koło
41
00:01:41,810 --> 00:01:43,480
w jego najszerszym punkcie.
42
00:01:43,480 --> 00:01:46,730
Przed chwilą omówiliśmy promień i widzimy, że największa szerokość
43
00:01:46,730 --> 00:01:49,580
przechodzi przez środek i leci dalej.
44
00:01:49,580 --> 00:01:52,920
To zasadniczo dwa promienie.
45
00:01:52,920 --> 00:01:55,640
Mamy jeden promień tutaj i zaraz potem mamy kolejny
46
00:01:55,640 --> 00:01:57,240
tutaj.
47
00:01:57,240 --> 00:02:01,380
Odległość pomiędzy najbardziej oddalonymi od siebie punktami koła,
48
00:02:01,380 --> 00:02:03,030
nazywamy średnicą.
49
00:02:03,030 --> 00:02:06,390
To właśnie jest średnica koła.
50
00:02:06,390 --> 00:02:09,260
Jest bardzo powiązana z promieniem
51
00:02:09,260 --> 00:02:16,155
Średnica to podwojona wartość promienia koła.
52
00:02:19,060 --> 00:02:21,790
Kolejną niezwykle pasjonującą sprawą jest to, że
53
00:02:21,790 --> 00:02:24,560
może zastanawiasz się jaka jest odległość na całej krawędzi koła.
54
00:02:24,560 --> 00:02:27,340
Jeśli już biegniesz po linijkę i chciałeś zmierzyć
55
00:02:27,340 --> 00:02:35,910
długość brzegu koła w ten sposób, jaka jest ta odległość?
56
00:02:35,910 --> 00:02:44,710
Nazywamy ją obwodem koła.
57
00:02:44,710 --> 00:02:47,440
Już wiemy jak powiązane są ze sobą średnica i promień, ale jak
58
00:02:47,440 --> 00:02:49,790
obwód koła odnosi się do, powiedzmy, średnicy?
59
00:02:49,790 --> 00:02:51,550
Jeśli nie jesteś zbytnio przyzwyczajony do średnicy koła, z łatwością
60
00:02:51,550 --> 00:02:54,290
odczytasz jego promień.
61
00:02:54,290 --> 00:02:57,130
Tysiące lat temu, ludzie chwycili swoje miarki
62
00:02:57,130 --> 00:02:58,890
i mierzyli obwody kół
63
00:02:58,890 --> 00:03:00,430
i ich promienie.
64
00:03:00,430 --> 00:03:03,280
Powiedzmy, że ich miarki nie były zbyt dokładne,
65
00:03:03,280 --> 00:03:05,010
powiedzmy, że mierzyli obwody koła
66
00:03:05,010 --> 00:03:07,960
i pomiary wykazały, że obwód koła to 3.
67
00:03:07,960 --> 00:03:11,600
A potem zmierzyli promień koła
68
00:03:11,600 --> 00:03:14,280
lub średnicę i krzyknęli: "Oh! Średnica wynosi
69
00:03:14,280 --> 00:03:16,290
około 1!"
70
00:03:16,290 --> 00:03:17,740
Powiedzieli więc: "Spiszmy to wszystko.
71
00:03:17,740 --> 00:03:21,750
Chodzi nam o stosunek..." Pozwólcie, że
72
00:03:21,750 --> 00:03:22,660
zapiszę to w ten sposób.
73
00:03:22,660 --> 00:03:33,955
Stosunek obwodu do średnicy.
74
00:03:37,560 --> 00:03:40,900
Powiedzmy, że ktoś miał takie koło... Powiedzmy, że
75
00:03:40,900 --> 00:03:43,170
mieli takie koło i po raz pierwszy, zmierzyli obwód
76
00:03:43,170 --> 00:03:45,880
nie tak dobrą miarką,
77
00:03:45,880 --> 00:03:49,340
i powiedzieli: "Hej! To w przybliżeniu daje nam 3 metry,
78
00:03:49,340 --> 00:03:50,490
kiedy obchodzę je dookoła."
79
00:03:50,490 --> 00:03:52,800
Kiedy zmierzę średnicę koła
80
00:03:52,800 --> 00:03:55,050
to w przybliżeniu daje nam 1.
81
00:03:55,050 --> 00:03:56,000
To ciekawe.
82
00:03:56,000 --> 00:03:57,520
Może stosunek obwodu koła
83
00:03:57,520 --> 00:03:58,500
i średnicy to 3.
84
00:03:58,500 --> 00:04:00,820
Może więc obwód koła zawsze będzie wynosić potrojoną
85
00:04:00,820 --> 00:04:02,020
wartość długości średnicy.
86
00:04:02,020 --> 00:04:03,610
Mowa o tym konkretnym kole, ale powiedzmy, że
87
00:04:03,610 --> 00:04:05,720
zmierzyli to kolejne koło.
88
00:04:05,720 --> 00:04:07,870
Takie jak to... Nakreśliłem je nieco mniejsze.
89
00:04:07,870 --> 00:04:11,200
Powiedzmy, że zmierzyli je dookoła i
90
00:04:11,200 --> 00:04:14,960
obliczyli, że obwód wynosi w przybliżeniu 6 centymetrów,
91
00:04:14,960 --> 00:04:18,210
Mieli słabe narzędzia do pomiarów.
92
00:04:18,210 --> 00:04:21,710
Potem, obliczają, że średnica tego koła
93
00:04:21,710 --> 00:04:23,520
to w przybliżeniu 2 centymetry.
94
00:04:23,520 --> 00:04:25,490
Ponownie, stosunek obwodu i
95
00:04:25,490 --> 00:04:30,230
średnicy to w przybliżeniu 3.
96
00:04:30,230 --> 00:04:32,140
Dobrze, zgrabnie ująłem właściwości koła.
97
00:04:32,140 --> 00:04:35,430
Może stosunek obwodu do średnicy
98
00:04:35,430 --> 00:04:38,080
pasował do każdego koła.
99
00:04:38,080 --> 00:04:40,260
Powiedzieli: "Musimy się w to bardziej zagłębić..."
100
00:04:40,260 --> 00:04:42,510
Zdobyli lepsze narzędzia do pomiarów.
101
00:04:42,510 --> 00:04:45,090
Potem zmierzyli to koło i zakrzyknęli: "Hej!
102
00:04:45,090 --> 00:04:47,630
ta średnica wynosi dokładnie 1!"
103
00:04:47,630 --> 00:04:49,430
Średnica faktycznie wynosi 1, lecz kiedy
104
00:04:49,430 --> 00:04:51,810
zmierzę obwód jeszcze lepiej, dojdę do wniosku, że
105
00:04:51,810 --> 00:04:53,040
jest bliższy 3,1.
106
00:04:56,000 --> 00:04:57,290
To samo stało się z tym kołem.
107
00:04:57,290 --> 00:04:59,370
Zauważyli, że stosunek jest bliższy 3,1.
108
00:04:59,370 --> 00:05:01,830
I tak mierzyli ten obwód coraz lepiej, i lepiej, i lepiej,
109
00:05:01,830 --> 00:05:05,200
i spostrzegli się, że otrzymują tę liczbę,
110
00:05:05,200 --> 00:05:07,300
więc mierzyli lepiej, i lepiej, i lepiej i odkrywali
111
00:05:07,300 --> 00:05:10,850
tę liczbę - 3,14159
112
00:05:10,850 --> 00:05:12,550
Wciąż dokładali nowe cyfry, a to wciąż nie
113
00:05:12,550 --> 00:05:13,620
miało końca.
114
00:05:13,620 --> 00:05:16,640
Była to dziwna, acz fascynująca metafizyczna liczba, która
115
00:05:16,640 --> 00:05:18,300
za każdym razem się pojawiała.
116
00:05:18,300 --> 00:05:20,940
Od czasów, gdy ta liczba stała się podstawą całego wszechświata,
117
00:05:20,940 --> 00:05:23,500
ponieważ koła stanowią fundament naszej przestrzeni,
118
00:05:23,500 --> 00:05:26,680
pojawiała się przy okazji każdego koła.
119
00:05:26,680 --> 00:05:28,865
Stosunek obwodu i średnicy był tak
120
00:05:28,865 --> 00:05:32,390
magiczną liczbą, że nadali jej nazwę.
121
00:05:32,390 --> 00:05:37,580
Nazwali ją liczbą pi. Można ją też zapisać za pomocą alfabetu łacińskiego, lub
122
00:05:37,580 --> 00:05:41,880
grecką literą pi. Właśnie tak.
123
00:05:41,880 --> 00:05:45,090
Oznacza ona tę liczbę, która prawdopodobnie jest najbardziej
124
00:05:45,090 --> 00:05:46,790
fascynującą liczbą we wszechświecie.
125
00:05:46,790 --> 00:05:50,430
Na początku pojawiła się jako stosunek obwodu koła do
126
00:05:50,430 --> 00:05:54,070
jego średnicy, ale w przyszłości dowiesz się, że
127
00:05:54,070 --> 00:05:57,160
pojawia się na każdym kroku podczas Twojej matematycznej podróży!
128
00:05:57,160 --> 00:05:59,500
To jedna z najbardziej podstawowych rzeczy we wszechświecie, która
129
00:05:59,500 --> 00:06:03,060
sprawia, że czujesz, że wszystko jest ułożone w pewnym porządku.
130
00:06:03,060 --> 00:06:07,750
Ale, wracając do rzeczy, jak możemy wykorzystać to
131
00:06:07,750 --> 00:06:09,330
w podstawowych obliczeniach?
132
00:06:09,330 --> 00:06:12,490
Wiemy już, a przynajmniej mówię Ci, że stosunek
133
00:06:12,490 --> 00:06:19,420
obwodu do średnicy... Kiedy mówię o stosunku,
134
00:06:19,420 --> 00:06:21,390
dosłownie dzielę obwód
135
00:06:21,390 --> 00:06:28,400
na średnicę i uzyskujemy liczbę pi.
136
00:06:28,400 --> 00:06:29,500
Pi to właśnie ta liczba.
137
00:06:29,500 --> 00:06:33,570
Mógłbym zapisać ją jako 3,14157... i tak dalej,
138
00:06:33,570 --> 00:06:35,950
ale byłaby to strata miejsca i ciężko
139
00:06:35,950 --> 00:06:38,570
byłoby z tym się uporać, więc ludzie zapisują tę grecką literę
140
00:06:38,570 --> 00:06:40,330
pi w tym miejscu.
141
00:06:40,330 --> 00:06:41,850
Więc jak możemy się do tego odnieść?
142
00:06:41,850 --> 00:06:44,920
Możemy pomnożyć obie strony przez średnicę i
143
00:06:44,920 --> 00:06:48,640
stwierdzić, że obwód wynosi pi
144
00:06:48,640 --> 00:06:50,820
pomnożone przez średnicę.
145
00:06:50,820 --> 00:06:55,570
Lub, gdy średnica wynosi podwojoną wartość promienia, możemy
146
00:06:55,570 --> 00:06:59,420
powiedzieć, że obwód koła wynosi pi pomnożone przez
147
00:06:59,420 --> 00:07:00,360
2 razy promień.
148
00:07:00,360 --> 00:07:03,450
Lub wzór, który najprawdopodobniej będziesz widział w wielu miejscach -
149
00:07:03,450 --> 00:07:07,360
2 pi r.
150
00:07:07,360 --> 00:07:11,220
Zobaczmy więc, czy możemy tego użyć w jakiś zadaniach.
151
00:07:11,220 --> 00:07:17,240
Powiedzmy, że mam takie koło i
152
00:07:17,240 --> 00:07:22,600
podam Ci jego promień... W tym wypadku, promień wynosi 3.
153
00:07:22,600 --> 00:07:28,820
Pozwólcie, że to zapiszę... Promień wynosi 3.
154
00:07:28,820 --> 00:07:32,310
Niech to będą 3 metry... Dodajmy jakiś jednostek.
155
00:07:32,310 --> 00:07:34,660
Jaki jest obwód koła?
156
00:07:34,660 --> 00:07:38,180
Obwód wynosi 2 razy pi razy promień.
157
00:07:38,180 --> 00:07:42,090
To będzie równe dwa razy pi razy promień,
158
00:07:42,090 --> 00:07:47,280
razy 3 metry, co równa się 6 metrom pomnożonym przez
159
00:07:47,280 --> 00:07:49,520
pi lub po prostu 6 pi metrów.
160
00:07:49,520 --> 00:07:52,430
6 pi metrów.
161
00:07:52,430 --> 00:07:53,740
Teraz mogę to pomnożyć.
162
00:07:53,740 --> 00:07:55,900
Pamiętajcie, że pi to tylko liczba.
163
00:07:55,900 --> 00:07:59,680
Pi to 3,14159, które ciągnie się dalej...
164
00:07:59,680 --> 00:08:03,460
Jeśli pomnożę to przez 6, może wyjdzie mi 18 przecinek
165
00:08:03,460 --> 00:08:05,600
cośtam, cośtam, coś.
166
00:08:05,600 --> 00:08:07,850
Jeśli masz kalkulator, możesz to sobie obliczyć, ale
167
00:08:07,850 --> 00:08:10,490
dla wygody ludzie zwykli zostawiać liczby
168
00:08:10,490 --> 00:08:12,120
razem z pi.
169
00:08:12,120 --> 00:08:14,020
Teraz, nie wiem ile to wyniesie, jeśli pomnożymy to przez
170
00:08:14,020 --> 00:08:18,510
3,14159. Nie wiem. Czy wyjdzie coś bliżej 19, czy
171
00:08:18,510 --> 00:08:20,910
18, czy to zwyczajnie 18 przecinek cośtam,
172
00:08:20,910 --> 00:08:21,720
cośtam, cośtam.
173
00:08:21,720 --> 00:08:23,450
Nie mam przed sobą kalkulatora.
174
00:08:23,450 --> 00:08:25,300
Zamiast pisać tę długą liczbę, po prostu
175
00:08:25,300 --> 00:08:27,060
zostawiasz 6 pi.
176
00:08:27,060 --> 00:08:29,770
Właściwie, myślę, że nie przekroczyłoby to
177
00:08:29,770 --> 00:08:31,430
progu 19.
178
00:08:31,430 --> 00:08:33,770
Teraz, zadajmy sobie inne pytanie.
179
00:08:33,770 --> 00:08:35,270
Jaka jest średnica koła?
180
00:08:38,580 --> 00:08:42,690
Jeśli wiemy, ze promień ma 3, średnica to po prostu dwa razy więcej.
181
00:08:42,690 --> 00:08:45,730
Będzie to po prostu 2 razy 3 lub 3 plus 3,
182
00:08:45,730 --> 00:08:47,170
co wynosi 6 metrów.
183
00:08:47,170 --> 00:08:50,750
Obwód to 6 pi metrów, średnica to 6 metrów,
184
00:08:50,750 --> 00:08:53,620
promień to 3 metry.
185
00:08:53,620 --> 00:08:55,110
Teraz chodźmy w drugą stronę.
186
00:08:55,110 --> 00:08:57,310
Powiedzmy, że mam inne koło.
187
00:08:57,310 --> 00:09:01,220
O tutaj.
188
00:09:01,220 --> 00:09:04,620
I jego obwód wynosi
189
00:09:04,620 --> 00:09:08,560
10 metrów... To jest obwód koła.
190
00:09:08,560 --> 00:09:10,990
I jeśli miałbyś zmierzyć ten obwód miarką, i
191
00:09:10,990 --> 00:09:18,370
ktoś zapytałby Cię jaka jest średnica koła?
192
00:09:18,370 --> 00:09:22,810
Wiemy już, że średnica razy pi
193
00:09:22,810 --> 00:09:26,830
jest równa obwodowi, jest równa
194
00:09:26,830 --> 00:09:28,700
10 metrom.
195
00:09:28,700 --> 00:09:31,020
Aby rozwiązać to zadanie musimy podzielić obie strony
196
00:09:31,020 --> 00:09:32,520
równania przez pi.
197
00:09:32,520 --> 00:09:35,860
Średnica będzie wynosić 10 metrów przez pi, lub
198
00:09:35,860 --> 00:09:38,710
10 na pi metrów.
199
00:09:38,710 --> 00:09:40,020
I to tylko liczba.
200
00:09:40,020 --> 00:09:42,540
Jeśli masz kalkulator, możesz podzielić 10
201
00:09:42,540 --> 00:09:46,030
na 3,14159. Wyjdzie Ci 3 przecinek cośtam,
202
00:09:46,030 --> 00:09:47,500
cośtam, cośtam metrów.
203
00:09:47,500 --> 00:09:48,960
Nie mogę tego obliczyć w głowie, ale
204
00:09:48,960 --> 00:09:50,070
to tylko liczba.
205
00:09:50,070 --> 00:09:53,320
Ale dla wygody, zostawiamy to w ten sposób.
206
00:09:53,320 --> 00:09:55,270
Teraz - jaki jest promień?
207
00:09:55,270 --> 00:09:58,590
Cóż, promień wynosi 1/2 średnicy.
208
00:09:58,590 --> 00:10:02,870
Cała odległość wynosi 10 na pi metrów.
209
00:10:02,870 --> 00:10:06,230
Jeśli weźmiemy tylko połowę z tego, jeśli potrzebujemy promienia,
210
00:10:06,230 --> 00:10:07,580
mnożymy to przez 1/2.
211
00:10:07,580 --> 00:10:13,160
Więc jeśli masz 1/2 razy 10 na pi, co wynosi 1/2 razy
212
00:10:13,160 --> 00:10:16,770
10, lub zwyczajnie dzielisz licznik i
213
00:10:16,770 --> 00:10:18,140
mianownik przez 2.
214
00:10:18,140 --> 00:10:21,130
Wychodzi 5, więc masz 5 przez pi.
215
00:10:21,130 --> 00:10:23,890
Promień wychodzi 5 przez pi.
216
00:10:23,890 --> 00:10:25,690
Nic specjalnie wymyślnego.
217
00:10:25,690 --> 00:10:29,760
Myślę, że to, co zwykle trapi ludzi, to
218
00:10:29,760 --> 00:10:31,820
problem z uświadomieniem sobie, że pi to liczba.
219
00:10:31,820 --> 00:10:38,640
Pi to zwyczajnie 3,14159 i ciągnie się to w nieskończoność.
220
00:10:38,640 --> 00:10:41,950
Napisano już tysiące książek o liczbie pi, więc
221
00:10:41,950 --> 00:10:45,100
to nie tak... Nie jestem pewien, czy są ich tysiące,
222
00:10:45,100 --> 00:10:48,340
pewnie przesadzam, ale można by pisać książki na ten temat.
223
00:10:48,340 --> 00:10:49,340
Ale to tylko LICZBA.
224
00:10:49,340 --> 00:10:52,480
Tak, to bardzo niezwykła liczba, i jeśli chcesz zapisać ją
225
00:10:52,480 --> 00:10:54,390
w ten sposób, możesz dosłownie
226
00:10:54,390 --> 00:10:55,680
to wymnożyć.
227
00:10:55,680 --> 00:10:58,530
Ale większość ludzi woli zostawiać
228
00:10:58,530 --> 00:11:00,640
wyniki z pi w wyrażeniu.
229
00:11:00,640 --> 00:11:01,680
Tak czy inaczej - zostawiam was tutaj.
230
00:11:01,680 --> 00:11:05,090
W kolejnym filmiku poznamy pole koła.
_
Napisy autorstwa Kamila Kwiecińskiego.