0:00:00.780,0:00:04.880
Okrąg jest prawdopodobnie najbardziej podstawową figurą w naszym
0:00:04.880,0:00:08.490
wszechświecie, czy patrzysz na kształty orbit
0:00:08.490,0:00:11.140
planetarnych, czy patrzysz na koła w samochodzie, czy spoglądasz na
0:00:11.140,0:00:12.840
rzeczy na poziomie molekularnym.
0:00:12.840,0:00:15.860
Okrąg ciągle i ciągle
0:00:15.860,0:00:17.350
się tam pojawia.
0:00:17.350,0:00:21.110
Dlatego właśnie warto poświęcić chwilę na pojęcie
0:00:21.110,0:00:23.330
podstawowych właściwości okręgu.
0:00:23.330,0:00:26.200
Kiedy ludzie wynaleźli koło,
0:00:26.200,0:00:28.960
właściwie można by spojrzeć na księżyc, aby je dostrzec, ale
0:00:28.960,0:00:31.570
po raz pierwszy zaczęli zastanawiać się jakie są właściwości
0:00:31.570,0:00:32.910
dowolnego okręgu.
0:00:32.910,0:00:36.150
Po pierwsze, zauważyli, iż okrąg
0:00:36.150,0:00:38.690
to zbiór punktów oddalonych w równej odległości od
0:00:38.690,0:00:40.440
środka okręgu.
0:00:40.440,0:00:43.710
Wszystkie punkty na krawędzi są w równej odległości od
0:00:43.710,0:00:45.210
tego właśnie środka.
0:00:45.210,0:00:47.620
Pierwszą rzeczą, o którą ktoś mógłby się spytać to,
0:00:47.620,0:00:50.280
jaka jest ta odległość, ta równa od
0:00:50.280,0:00:51.770
środka okręgu?
0:00:51.770,0:00:52.950
O tutaj.
0:00:52.950,0:00:58.110
Nazywamy to promieniem koła.
0:00:58.110,0:01:00.350
To po prostu odległość od środka koła do jego brzegu.
0:01:00.350,0:01:02.820
Jeśli ten promień będzie wynosić 3 centymetry, to ten promień
0:01:02.820,0:01:04.490
także będzie wynosić 3 centymetry.
0:01:04.490,0:01:07.170
I ten promień także będzie wynosił 3 centymetry.
0:01:07.170,0:01:08.270
To się nigdy nie zmieni.
0:01:08.270,0:01:11.690
Z definicji, koło to wszystkie punkty, które znajdują się w równej
0:01:11.690,0:01:13.400
odległości od środka koła.
0:01:13.400,0:01:17.050
I tą odległość nazywamy promieniem.
0:01:17.050,0:01:19.880
Kolejną, bardzo interesującą sprawą jest to, że ludzie mogą
0:01:19.880,0:01:22.040
zapytać: "Jak opasłe jest koło?"
0:01:22.040,0:01:26.360
"Jak szerokie jest ono w najdalszym punkcie?"
0:01:26.360,0:01:28.710
Lub, jeśli po prostu chcesz go przeciąć wzdłuż największej szerokości,
0:01:28.710,0:01:30.390
ile będzie wynosić ta odległość?
0:01:30.390,0:01:32.340
To nie musi być wcale w tym, konkretnym miejscu. Równie dobrze możesz
0:01:32.340,0:01:35.490
przeciąć je w największej szerokości w tym miejscu.
0:01:35.490,0:01:38.520
Z pewnością nie będę przecinał go w tym miejscu,
0:01:38.520,0:01:40.120
ponieważ nie jest to jego najdłuższa szerokość.
0:01:40.120,0:01:41.810
Jest mnóstwo miejsc, w których mógłbym przeciąć to koło
0:01:41.810,0:01:43.480
w jego najszerszym punkcie.
0:01:43.480,0:01:46.730
Przed chwilą omówiliśmy promień i widzimy, że największa szerokość
0:01:46.730,0:01:49.580
przechodzi przez środek i leci dalej.
0:01:49.580,0:01:52.920
To zasadniczo dwa promienie.
0:01:52.920,0:01:55.640
Mamy jeden promień tutaj i zaraz potem mamy kolejny
0:01:55.640,0:01:57.240
tutaj.
0:01:57.240,0:02:01.380
Odległość pomiędzy najbardziej oddalonymi od siebie punktami koła,
0:02:01.380,0:02:03.030
nazywamy średnicą.
0:02:03.030,0:02:06.390
To właśnie jest średnica koła.
0:02:06.390,0:02:09.260
Jest bardzo powiązana z promieniem
0:02:09.260,0:02:16.155
Średnica to podwojona wartość promienia koła.
0:02:19.060,0:02:21.790
Kolejną niezwykle pasjonującą sprawą jest to, że
0:02:21.790,0:02:24.560
może zastanawiasz się jaka jest odległość na całej krawędzi koła.
0:02:24.560,0:02:27.340
Jeśli już biegniesz po linijkę i chciałeś zmierzyć
0:02:27.340,0:02:35.910
długość brzegu koła w ten sposób, jaka jest ta odległość?
0:02:35.910,0:02:44.710
Nazywamy ją obwodem koła.
0:02:44.710,0:02:47.440
Już wiemy jak powiązane są ze sobą średnica i promień, ale jak
0:02:47.440,0:02:49.790
obwód koła odnosi się do, powiedzmy, średnicy?
0:02:49.790,0:02:51.550
Jeśli nie jesteś zbytnio przyzwyczajony do średnicy koła, z łatwością
0:02:51.550,0:02:54.290
odczytasz jego promień.
0:02:54.290,0:02:57.130
Tysiące lat temu, ludzie chwycili swoje miarki
0:02:57.130,0:02:58.890
i mierzyli obwody kół
0:02:58.890,0:03:00.430
i ich promienie.
0:03:00.430,0:03:03.280
Powiedzmy, że ich miarki nie były zbyt dokładne,
0:03:03.280,0:03:05.010
powiedzmy, że mierzyli obwody koła
0:03:05.010,0:03:07.960
i pomiary wykazały, że obwód koła to 3.
0:03:07.960,0:03:11.600
A potem zmierzyli promień koła
0:03:11.600,0:03:14.280
lub średnicę i krzyknęli: "Oh! Średnica wynosi
0:03:14.280,0:03:16.290
około 1!"
0:03:16.290,0:03:17.740
Powiedzieli więc: "Spiszmy to wszystko.
0:03:17.740,0:03:21.750
Chodzi nam o stosunek..." Pozwólcie, że
0:03:21.750,0:03:22.660
zapiszę to w ten sposób.
0:03:22.660,0:03:33.955
Stosunek obwodu do średnicy.
0:03:37.560,0:03:40.900
Powiedzmy, że ktoś miał takie koło... Powiedzmy, że
0:03:40.900,0:03:43.170
mieli takie koło i po raz pierwszy, zmierzyli obwód
0:03:43.170,0:03:45.880
nie tak dobrą miarką,
0:03:45.880,0:03:49.340
i powiedzieli: "Hej! To w przybliżeniu daje nam 3 metry,
0:03:49.340,0:03:50.490
kiedy obchodzę je dookoła."
0:03:50.490,0:03:52.800
Kiedy zmierzę średnicę koła
0:03:52.800,0:03:55.050
to w przybliżeniu daje nam 1.
0:03:55.050,0:03:56.000
To ciekawe.
0:03:56.000,0:03:57.520
Może stosunek obwodu koła
0:03:57.520,0:03:58.500
i średnicy to 3.
0:03:58.500,0:04:00.820
Może więc obwód koła zawsze będzie wynosić potrojoną
0:04:00.820,0:04:02.020
wartość długości średnicy.
0:04:02.020,0:04:03.610
Mowa o tym konkretnym kole, ale powiedzmy, że
0:04:03.610,0:04:05.720
zmierzyli to kolejne koło.
0:04:05.720,0:04:07.870
Takie jak to... Nakreśliłem je nieco mniejsze.
0:04:07.870,0:04:11.200
Powiedzmy, że zmierzyli je dookoła i
0:04:11.200,0:04:14.960
obliczyli, że obwód wynosi w przybliżeniu 6 centymetrów,
0:04:14.960,0:04:18.210
Mieli słabe narzędzia do pomiarów.
0:04:18.210,0:04:21.710
Potem, obliczają, że średnica tego koła
0:04:21.710,0:04:23.520
to w przybliżeniu 2 centymetry.
0:04:23.520,0:04:25.490
Ponownie, stosunek obwodu i
0:04:25.490,0:04:30.230
średnicy to w przybliżeniu 3.
0:04:30.230,0:04:32.140
Dobrze, zgrabnie ująłem właściwości koła.
0:04:32.140,0:04:35.430
Może stosunek obwodu do średnicy
0:04:35.430,0:04:38.080
pasował do każdego koła.
0:04:38.080,0:04:40.260
Powiedzieli: "Musimy się w to bardziej zagłębić..."
0:04:40.260,0:04:42.510
Zdobyli lepsze narzędzia do pomiarów.
0:04:42.510,0:04:45.090
Potem zmierzyli to koło i zakrzyknęli: "Hej!
0:04:45.090,0:04:47.630
ta średnica wynosi dokładnie 1!"
0:04:47.630,0:04:49.430
Średnica faktycznie wynosi 1, lecz kiedy
0:04:49.430,0:04:51.810
zmierzę obwód jeszcze lepiej, dojdę do wniosku, że
0:04:51.810,0:04:53.040
jest bliższy 3,1.
0:04:56.000,0:04:57.290
To samo stało się z tym kołem.
0:04:57.290,0:04:59.370
Zauważyli, że stosunek jest bliższy 3,1.
0:04:59.370,0:05:01.830
I tak mierzyli ten obwód coraz lepiej, i lepiej, i lepiej,
0:05:01.830,0:05:05.200
i spostrzegli się, że otrzymują tę liczbę,
0:05:05.200,0:05:07.300
więc mierzyli lepiej, i lepiej, i lepiej i odkrywali
0:05:07.300,0:05:10.850
tę liczbę - 3,14159
0:05:10.850,0:05:12.550
Wciąż dokładali nowe cyfry, a to wciąż nie
0:05:12.550,0:05:13.620
miało końca.
0:05:13.620,0:05:16.640
Była to dziwna, acz fascynująca metafizyczna liczba, która
0:05:16.640,0:05:18.300
za każdym razem się pojawiała.
0:05:18.300,0:05:20.940
Od czasów, gdy ta liczba stała się podstawą całego wszechświata,
0:05:20.940,0:05:23.500
ponieważ koła stanowią fundament naszej przestrzeni,
0:05:23.500,0:05:26.680
pojawiała się przy okazji każdego koła.
0:05:26.680,0:05:28.865
Stosunek obwodu i średnicy był tak
0:05:28.865,0:05:32.390
magiczną liczbą, że nadali jej nazwę.
0:05:32.390,0:05:37.580
Nazwali ją liczbą pi. Można ją też zapisać za pomocą alfabetu łacińskiego, lub
0:05:37.580,0:05:41.880
grecką literą pi. Właśnie tak.
0:05:41.880,0:05:45.090
Oznacza ona tę liczbę, która prawdopodobnie jest najbardziej
0:05:45.090,0:05:46.790
fascynującą liczbą we wszechświecie.
0:05:46.790,0:05:50.430
Na początku pojawiła się jako stosunek obwodu koła do
0:05:50.430,0:05:54.070
jego średnicy, ale w przyszłości dowiesz się, że
0:05:54.070,0:05:57.160
pojawia się na każdym kroku podczas Twojej matematycznej podróży!
0:05:57.160,0:05:59.500
To jedna z najbardziej podstawowych rzeczy we wszechświecie, która
0:05:59.500,0:06:03.060
sprawia, że czujesz, że wszystko jest ułożone w pewnym porządku.
0:06:03.060,0:06:07.750
Ale, wracając do rzeczy, jak możemy wykorzystać to
0:06:07.750,0:06:09.330
w podstawowych obliczeniach?
0:06:09.330,0:06:12.490
Wiemy już, a przynajmniej mówię Ci, że stosunek
0:06:12.490,0:06:19.420
obwodu do średnicy... Kiedy mówię o stosunku,
0:06:19.420,0:06:21.390
dosłownie dzielę obwód
0:06:21.390,0:06:28.400
na średnicę i uzyskujemy liczbę pi.
0:06:28.400,0:06:29.500
Pi to właśnie ta liczba.
0:06:29.500,0:06:33.570
Mógłbym zapisać ją jako 3,14157... i tak dalej,
0:06:33.570,0:06:35.950
ale byłaby to strata miejsca i ciężko
0:06:35.950,0:06:38.570
byłoby z tym się uporać, więc ludzie zapisują tę grecką literę
0:06:38.570,0:06:40.330
pi w tym miejscu.
0:06:40.330,0:06:41.850
Więc jak możemy się do tego odnieść?
0:06:41.850,0:06:44.920
Możemy pomnożyć obie strony przez średnicę i
0:06:44.920,0:06:48.640
stwierdzić, że obwód wynosi pi
0:06:48.640,0:06:50.820
pomnożone przez średnicę.
0:06:50.820,0:06:55.570
Lub, gdy średnica wynosi podwojoną wartość promienia, możemy
0:06:55.570,0:06:59.420
powiedzieć, że obwód koła wynosi pi pomnożone przez
0:06:59.420,0:07:00.360
2 razy promień.
0:07:00.360,0:07:03.450
Lub wzór, który najprawdopodobniej będziesz widział w wielu miejscach -
0:07:03.450,0:07:07.360
2 pi r.
0:07:07.360,0:07:11.220
Zobaczmy więc, czy możemy tego użyć w jakiś zadaniach.
0:07:11.220,0:07:17.240
Powiedzmy, że mam takie koło i
0:07:17.240,0:07:22.600
podam Ci jego promień... W tym wypadku, promień wynosi 3.
0:07:22.600,0:07:28.820
Pozwólcie, że to zapiszę... Promień wynosi 3.
0:07:28.820,0:07:32.310
Niech to będą 3 metry... Dodajmy jakiś jednostek.
0:07:32.310,0:07:34.660
Jaki jest obwód koła?
0:07:34.660,0:07:38.180
Obwód wynosi 2 razy pi razy promień.
0:07:38.180,0:07:42.090
To będzie równe dwa razy pi razy promień,
0:07:42.090,0:07:47.280
razy 3 metry, co równa się 6 metrom pomnożonym przez
0:07:47.280,0:07:49.520
pi lub po prostu 6 pi metrów.
0:07:49.520,0:07:52.430
6 pi metrów.
0:07:52.430,0:07:53.740
Teraz mogę to pomnożyć.
0:07:53.740,0:07:55.900
Pamiętajcie, że pi to tylko liczba.
0:07:55.900,0:07:59.680
Pi to 3,14159, które ciągnie się dalej...
0:07:59.680,0:08:03.460
Jeśli pomnożę to przez 6, może wyjdzie mi 18 przecinek
0:08:03.460,0:08:05.600
cośtam, cośtam, coś.
0:08:05.600,0:08:07.850
Jeśli masz kalkulator, możesz to sobie obliczyć, ale
0:08:07.850,0:08:10.490
dla wygody ludzie zwykli zostawiać liczby
0:08:10.490,0:08:12.120
razem z pi.
0:08:12.120,0:08:14.020
Teraz, nie wiem ile to wyniesie, jeśli pomnożymy to przez
0:08:14.020,0:08:18.510
3,14159. Nie wiem. Czy wyjdzie coś bliżej 19, czy
0:08:18.510,0:08:20.910
18, czy to zwyczajnie 18 przecinek cośtam,
0:08:20.910,0:08:21.720
cośtam, cośtam.
0:08:21.720,0:08:23.450
Nie mam przed sobą kalkulatora.
0:08:23.450,0:08:25.300
Zamiast pisać tę długą liczbę, po prostu
0:08:25.300,0:08:27.060
zostawiasz 6 pi.
0:08:27.060,0:08:29.770
Właściwie, myślę, że nie przekroczyłoby to
0:08:29.770,0:08:31.430
progu 19.
0:08:31.430,0:08:33.770
Teraz, zadajmy sobie inne pytanie.
0:08:33.770,0:08:35.270
Jaka jest średnica koła?
0:08:38.580,0:08:42.690
Jeśli wiemy, ze promień ma 3, średnica to po prostu dwa razy więcej.
0:08:42.690,0:08:45.730
Będzie to po prostu 2 razy 3 lub 3 plus 3,
0:08:45.730,0:08:47.170
co wynosi 6 metrów.
0:08:47.170,0:08:50.750
Obwód to 6 pi metrów, średnica to 6 metrów,
0:08:50.750,0:08:53.620
promień to 3 metry.
0:08:53.620,0:08:55.110
Teraz chodźmy w drugą stronę.
0:08:55.110,0:08:57.310
Powiedzmy, że mam inne koło.
0:08:57.310,0:09:01.220
O tutaj.
0:09:01.220,0:09:04.620
I jego obwód wynosi
0:09:04.620,0:09:08.560
10 metrów... To jest obwód koła.
0:09:08.560,0:09:10.990
I jeśli miałbyś zmierzyć ten obwód miarką, i
0:09:10.990,0:09:18.370
ktoś zapytałby Cię jaka jest średnica koła?
0:09:18.370,0:09:22.810
Wiemy już, że średnica razy pi
0:09:22.810,0:09:26.830
jest równa obwodowi, jest równa
0:09:26.830,0:09:28.700
10 metrom.
0:09:28.700,0:09:31.020
Aby rozwiązać to zadanie musimy podzielić obie strony
0:09:31.020,0:09:32.520
równania przez pi.
0:09:32.520,0:09:35.860
Średnica będzie wynosić 10 metrów przez pi, lub
0:09:35.860,0:09:38.710
10 na pi metrów.
0:09:38.710,0:09:40.020
I to tylko liczba.
0:09:40.020,0:09:42.540
Jeśli masz kalkulator, możesz podzielić 10
0:09:42.540,0:09:46.030
na 3,14159. Wyjdzie Ci 3 przecinek cośtam,
0:09:46.030,0:09:47.500
cośtam, cośtam metrów.
0:09:47.500,0:09:48.960
Nie mogę tego obliczyć w głowie, ale
0:09:48.960,0:09:50.070
to tylko liczba.
0:09:50.070,0:09:53.320
Ale dla wygody, zostawiamy to w ten sposób.
0:09:53.320,0:09:55.270
Teraz - jaki jest promień?
0:09:55.270,0:09:58.590
Cóż, promień wynosi 1/2 średnicy.
0:09:58.590,0:10:02.870
Cała odległość wynosi 10 na pi metrów.
0:10:02.870,0:10:06.230
Jeśli weźmiemy tylko połowę z tego, jeśli potrzebujemy promienia,
0:10:06.230,0:10:07.580
mnożymy to przez 1/2.
0:10:07.580,0:10:13.160
Więc jeśli masz 1/2 razy 10 na pi, co wynosi 1/2 razy
0:10:13.160,0:10:16.770
10, lub zwyczajnie dzielisz licznik i
0:10:16.770,0:10:18.140
mianownik przez 2.
0:10:18.140,0:10:21.130
Wychodzi 5, więc masz 5 przez pi.
0:10:21.130,0:10:23.890
Promień wychodzi 5 przez pi.
0:10:23.890,0:10:25.690
Nic specjalnie wymyślnego.
0:10:25.690,0:10:29.760
Myślę, że to, co zwykle trapi ludzi, to
0:10:29.760,0:10:31.820
problem z uświadomieniem sobie, że pi to liczba.
0:10:31.820,0:10:38.640
Pi to zwyczajnie 3,14159 i ciągnie się to w nieskończoność.
0:10:38.640,0:10:41.950
Napisano już tysiące książek o liczbie pi, więc
0:10:41.950,0:10:45.100
to nie tak... Nie jestem pewien, czy są ich tysiące,
0:10:45.100,0:10:48.340
pewnie przesadzam, ale można by pisać książki na ten temat.
0:10:48.340,0:10:49.340
Ale to tylko LICZBA.
0:10:49.340,0:10:52.480
Tak, to bardzo niezwykła liczba, i jeśli chcesz zapisać ją
0:10:52.480,0:10:54.390
w ten sposób, możesz dosłownie
0:10:54.390,0:10:55.680
to wymnożyć.
0:10:55.680,0:10:58.530
Ale większość ludzi woli zostawiać
0:10:58.530,0:11:00.640
wyniki z pi w wyrażeniu.
0:11:00.640,0:11:01.680
Tak czy inaczej - zostawiam was tutaj.
0:11:01.680,0:11:05.090
W kolejnym filmiku poznamy pole koła.[br]_[br]Napisy autorstwa Kamila Kwiecińskiego.