WEBVTT
00:00:00.780 --> 00:00:04.880
Okrąg jest prawdopodobnie najbardziej podstawową figurą w naszym
00:00:04.880 --> 00:00:08.490
wszechświecie, czy patrzysz na kształty orbit
00:00:08.490 --> 00:00:11.140
planetarnych, czy patrzysz na koła w samochodzie, czy spoglądasz na
00:00:11.140 --> 00:00:12.840
rzeczy na poziomie molekularnym.
00:00:12.840 --> 00:00:15.860
Okrąg ciągle i ciągle
00:00:15.860 --> 00:00:17.350
się tam pojawia.
00:00:17.350 --> 00:00:21.110
Dlatego właśnie warto poświęcić chwilę na pojęcie
00:00:21.110 --> 00:00:23.330
podstawowych właściwości okręgu.
00:00:23.330 --> 00:00:26.200
Kiedy ludzie wynaleźli koło,
00:00:26.200 --> 00:00:28.960
właściwie można by spojrzeć na księżyc, aby je dostrzec, ale
00:00:28.960 --> 00:00:31.570
po raz pierwszy zaczęli zastanawiać się jakie są właściwości
00:00:31.570 --> 00:00:32.910
dowolnego okręgu.
00:00:32.910 --> 00:00:36.150
Po pierwsze, zauważyli, iż okrąg
00:00:36.150 --> 00:00:38.690
to zbiór punktów oddalonych w równej odległości od
00:00:38.690 --> 00:00:40.440
środka okręgu.
00:00:40.440 --> 00:00:43.710
Wszystkie punkty na krawędzi są w równej odległości od
00:00:43.710 --> 00:00:45.210
tego właśnie środka.
00:00:45.210 --> 00:00:47.620
Pierwszą rzeczą, o którą ktoś mógłby się spytać to,
00:00:47.620 --> 00:00:50.280
jaka jest ta odległość, ta równa od
00:00:50.280 --> 00:00:51.770
środka okręgu?
00:00:51.770 --> 00:00:52.950
O tutaj.
00:00:52.950 --> 00:00:58.110
Nazywamy to promieniem koła.
00:00:58.110 --> 00:01:00.350
To po prostu odległość od środka koła do jego brzegu.
00:01:00.350 --> 00:01:02.820
Jeśli ten promień będzie wynosić 3 centymetry, to ten promień
00:01:02.820 --> 00:01:04.490
także będzie wynosić 3 centymetry.
00:01:04.490 --> 00:01:07.170
I ten promień także będzie wynosił 3 centymetry.
00:01:07.170 --> 00:01:08.270
To się nigdy nie zmieni.
00:01:08.270 --> 00:01:11.690
Z definicji, koło to wszystkie punkty, które znajdują się w równej
00:01:11.690 --> 00:01:13.400
odległości od środka koła.
00:01:13.400 --> 00:01:17.050
I tą odległość nazywamy promieniem.
00:01:17.050 --> 00:01:19.880
Kolejną, bardzo interesującą sprawą jest to, że ludzie mogą
00:01:19.880 --> 00:01:22.040
zapytać: "Jak opasłe jest koło?"
00:01:22.040 --> 00:01:26.360
"Jak szerokie jest ono w najdalszym punkcie?"
00:01:26.360 --> 00:01:28.710
Lub, jeśli po prostu chcesz go przeciąć wzdłuż największej szerokości,
00:01:28.710 --> 00:01:30.390
ile będzie wynosić ta odległość?
00:01:30.390 --> 00:01:32.340
To nie musi być wcale w tym, konkretnym miejscu. Równie dobrze możesz
00:01:32.340 --> 00:01:35.490
przeciąć je w największej szerokości w tym miejscu.
00:01:35.490 --> 00:01:38.520
Z pewnością nie będę przecinał go w tym miejscu,
00:01:38.520 --> 00:01:40.120
ponieważ nie jest to jego najdłuższa szerokość.
00:01:40.120 --> 00:01:41.810
Jest mnóstwo miejsc, w których mógłbym przeciąć to koło
00:01:41.810 --> 00:01:43.480
w jego najszerszym punkcie.
00:01:43.480 --> 00:01:46.730
Przed chwilą omówiliśmy promień i widzimy, że największa szerokość
00:01:46.730 --> 00:01:49.580
przechodzi przez środek i leci dalej.
00:01:49.580 --> 00:01:52.920
To zasadniczo dwa promienie.
00:01:52.920 --> 00:01:55.640
Mamy jeden promień tutaj i zaraz potem mamy kolejny
00:01:55.640 --> 00:01:57.240
tutaj.
00:01:57.240 --> 00:02:01.380
Odległość pomiędzy najbardziej oddalonymi od siebie punktami koła,
00:02:01.380 --> 00:02:03.030
nazywamy średnicą.
00:02:03.030 --> 00:02:06.390
To właśnie jest średnica koła.
00:02:06.390 --> 00:02:09.260
Jest bardzo powiązana z promieniem
00:02:09.260 --> 00:02:16.155
Średnica to podwojona wartość promienia koła.
00:02:19.060 --> 00:02:21.790
Kolejną niezwykle pasjonującą sprawą jest to, że
00:02:21.790 --> 00:02:24.560
może zastanawiasz się jaka jest odległość na całej krawędzi koła.
00:02:24.560 --> 00:02:27.340
Jeśli już biegniesz po linijkę i chciałeś zmierzyć
00:02:27.340 --> 00:02:35.910
długość brzegu koła w ten sposób, jaka jest ta odległość?
00:02:35.910 --> 00:02:44.710
Nazywamy ją obwodem koła.
00:02:44.710 --> 00:02:47.440
Już wiemy jak powiązane są ze sobą średnica i promień, ale jak
00:02:47.440 --> 00:02:49.790
obwód koła odnosi się do, powiedzmy, średnicy?
00:02:49.790 --> 00:02:51.550
Jeśli nie jesteś zbytnio przyzwyczajony do średnicy koła, z łatwością
00:02:51.550 --> 00:02:54.290
odczytasz jego promień.
00:02:54.290 --> 00:02:57.130
Tysiące lat temu, ludzie chwycili swoje miarki
00:02:57.130 --> 00:02:58.890
i mierzyli obwody kół
00:02:58.890 --> 00:03:00.430
i ich promienie.
00:03:00.430 --> 00:03:03.280
Powiedzmy, że ich miarki nie były zbyt dokładne,
00:03:03.280 --> 00:03:05.010
powiedzmy, że mierzyli obwody koła
00:03:05.010 --> 00:03:07.960
i pomiary wykazały, że obwód koła to 3.
00:03:07.960 --> 00:03:11.600
A potem zmierzyli promień koła
00:03:11.600 --> 00:03:14.280
lub średnicę i krzyknęli: "Oh! Średnica wynosi
00:03:14.280 --> 00:03:16.290
około 1!"
00:03:16.290 --> 00:03:17.740
Powiedzieli więc: "Spiszmy to wszystko.
00:03:17.740 --> 00:03:21.750
Chodzi nam o stosunek..." Pozwólcie, że
00:03:21.750 --> 00:03:22.660
zapiszę to w ten sposób.
00:03:22.660 --> 00:03:33.955
Stosunek obwodu do średnicy.
00:03:37.560 --> 00:03:40.900
Powiedzmy, że ktoś miał takie koło... Powiedzmy, że
00:03:40.900 --> 00:03:43.170
mieli takie koło i po raz pierwszy, zmierzyli obwód
00:03:43.170 --> 00:03:45.880
nie tak dobrą miarką,
00:03:45.880 --> 00:03:49.340
i powiedzieli: "Hej! To w przybliżeniu daje nam 3 metry,
00:03:49.340 --> 00:03:50.490
kiedy obchodzę je dookoła."
00:03:50.490 --> 00:03:52.800
Kiedy zmierzę średnicę koła
00:03:52.800 --> 00:03:55.050
to w przybliżeniu daje nam 1.
00:03:55.050 --> 00:03:56.000
To ciekawe.
00:03:56.000 --> 00:03:57.520
Może stosunek obwodu koła
00:03:57.520 --> 00:03:58.500
i średnicy to 3.
00:03:58.500 --> 00:04:00.820
Może więc obwód koła zawsze będzie wynosić potrojoną
00:04:00.820 --> 00:04:02.020
wartość długości średnicy.
00:04:02.020 --> 00:04:03.610
Mowa o tym konkretnym kole, ale powiedzmy, że
00:04:03.610 --> 00:04:05.720
zmierzyli to kolejne koło.
00:04:05.720 --> 00:04:07.870
Takie jak to... Nakreśliłem je nieco mniejsze.
00:04:07.870 --> 00:04:11.200
Powiedzmy, że zmierzyli je dookoła i
00:04:11.200 --> 00:04:14.960
obliczyli, że obwód wynosi w przybliżeniu 6 centymetrów,
00:04:14.960 --> 00:04:18.210
Mieli słabe narzędzia do pomiarów.
00:04:18.210 --> 00:04:21.710
Potem, obliczają, że średnica tego koła
00:04:21.710 --> 00:04:23.520
to w przybliżeniu 2 centymetry.
00:04:23.520 --> 00:04:25.490
Ponownie, stosunek obwodu i
00:04:25.490 --> 00:04:30.230
średnicy to w przybliżeniu 3.
00:04:30.230 --> 00:04:32.140
Dobrze, zgrabnie ująłem właściwości koła.
00:04:32.140 --> 00:04:35.430
Może stosunek obwodu do średnicy
00:04:35.430 --> 00:04:38.080
pasował do każdego koła.
00:04:38.080 --> 00:04:40.260
Powiedzieli: "Musimy się w to bardziej zagłębić..."
00:04:40.260 --> 00:04:42.510
Zdobyli lepsze narzędzia do pomiarów.
00:04:42.510 --> 00:04:45.090
Potem zmierzyli to koło i zakrzyknęli: "Hej!
00:04:45.090 --> 00:04:47.630
ta średnica wynosi dokładnie 1!"
00:04:47.630 --> 00:04:49.430
Średnica faktycznie wynosi 1, lecz kiedy
00:04:49.430 --> 00:04:51.810
zmierzę obwód jeszcze lepiej, dojdę do wniosku, że
00:04:51.810 --> 00:04:53.040
jest bliższy 3,1.
00:04:56.000 --> 00:04:57.290
To samo stało się z tym kołem.
00:04:57.290 --> 00:04:59.370
Zauważyli, że stosunek jest bliższy 3,1.
00:04:59.370 --> 00:05:01.830
I tak mierzyli ten obwód coraz lepiej, i lepiej, i lepiej,
00:05:01.830 --> 00:05:05.200
i spostrzegli się, że otrzymują tę liczbę,
00:05:05.200 --> 00:05:07.300
więc mierzyli lepiej, i lepiej, i lepiej i odkrywali
00:05:07.300 --> 00:05:10.850
tę liczbę - 3,14159
00:05:10.850 --> 00:05:12.550
Wciąż dokładali nowe cyfry, a to wciąż nie
00:05:12.550 --> 00:05:13.620
miało końca.
00:05:13.620 --> 00:05:16.640
Była to dziwna, acz fascynująca metafizyczna liczba, która
00:05:16.640 --> 00:05:18.300
za każdym razem się pojawiała.
00:05:18.300 --> 00:05:20.940
Od czasów, gdy ta liczba stała się podstawą całego wszechświata,
00:05:20.940 --> 00:05:23.500
ponieważ koła stanowią fundament naszej przestrzeni,
00:05:23.500 --> 00:05:26.680
pojawiała się przy okazji każdego koła.
00:05:26.680 --> 00:05:28.865
Stosunek obwodu i średnicy był tak
00:05:28.865 --> 00:05:32.390
magiczną liczbą, że nadali jej nazwę.
00:05:32.390 --> 00:05:37.580
Nazwali ją liczbą pi. Można ją też zapisać za pomocą alfabetu łacińskiego, lub
00:05:37.580 --> 00:05:41.880
grecką literą pi. Właśnie tak.
00:05:41.880 --> 00:05:45.090
Oznacza ona tę liczbę, która prawdopodobnie jest najbardziej
00:05:45.090 --> 00:05:46.790
fascynującą liczbą we wszechświecie.
00:05:46.790 --> 00:05:50.430
Na początku pojawiła się jako stosunek obwodu koła do
00:05:50.430 --> 00:05:54.070
jego średnicy, ale w przyszłości dowiesz się, że
00:05:54.070 --> 00:05:57.160
pojawia się na każdym kroku podczas Twojej matematycznej podróży!
00:05:57.160 --> 00:05:59.500
To jedna z najbardziej podstawowych rzeczy we wszechświecie, która
00:05:59.500 --> 00:06:03.060
sprawia, że czujesz, że wszystko jest ułożone w pewnym porządku.
00:06:03.060 --> 00:06:07.750
Ale, wracając do rzeczy, jak możemy wykorzystać to
00:06:07.750 --> 00:06:09.330
w podstawowych obliczeniach?
00:06:09.330 --> 00:06:12.490
Wiemy już, a przynajmniej mówię Ci, że stosunek
00:06:12.490 --> 00:06:19.420
obwodu do średnicy... Kiedy mówię o stosunku,
00:06:19.420 --> 00:06:21.390
dosłownie dzielę obwód
00:06:21.390 --> 00:06:28.400
na średnicę i uzyskujemy liczbę pi.
00:06:28.400 --> 00:06:29.500
Pi to właśnie ta liczba.
00:06:29.500 --> 00:06:33.570
Mógłbym zapisać ją jako 3,14157... i tak dalej,
00:06:33.570 --> 00:06:35.950
ale byłaby to strata miejsca i ciężko
00:06:35.950 --> 00:06:38.570
byłoby z tym się uporać, więc ludzie zapisują tę grecką literę
00:06:38.570 --> 00:06:40.330
pi w tym miejscu.
00:06:40.330 --> 00:06:41.850
Więc jak możemy się do tego odnieść?
00:06:41.850 --> 00:06:44.920
Możemy pomnożyć obie strony przez średnicę i
00:06:44.920 --> 00:06:48.640
stwierdzić, że obwód wynosi pi
00:06:48.640 --> 00:06:50.820
pomnożone przez średnicę.
00:06:50.820 --> 00:06:55.570
Lub, gdy średnica wynosi podwojoną wartość promienia, możemy
00:06:55.570 --> 00:06:59.420
powiedzieć, że obwód koła wynosi pi pomnożone przez
00:06:59.420 --> 00:07:00.360
2 razy promień.
00:07:00.360 --> 00:07:03.450
Lub wzór, który najprawdopodobniej będziesz widział w wielu miejscach -
00:07:03.450 --> 00:07:07.360
2 pi r.
00:07:07.360 --> 00:07:11.220
Zobaczmy więc, czy możemy tego użyć w jakiś zadaniach.
00:07:11.220 --> 00:07:17.240
Powiedzmy, że mam takie koło i
00:07:17.240 --> 00:07:22.600
podam Ci jego promień... W tym wypadku, promień wynosi 3.
00:07:22.600 --> 00:07:28.820
Pozwólcie, że to zapiszę... Promień wynosi 3.
00:07:28.820 --> 00:07:32.310
Niech to będą 3 metry... Dodajmy jakiś jednostek.
00:07:32.310 --> 00:07:34.660
Jaki jest obwód koła?
00:07:34.660 --> 00:07:38.180
Obwód wynosi 2 razy pi razy promień.
00:07:38.180 --> 00:07:42.090
To będzie równe dwa razy pi razy promień,
00:07:42.090 --> 00:07:47.280
razy 3 metry, co równa się 6 metrom pomnożonym przez
00:07:47.280 --> 00:07:49.520
pi lub po prostu 6 pi metrów.
00:07:49.520 --> 00:07:52.430
6 pi metrów.
00:07:52.430 --> 00:07:53.740
Teraz mogę to pomnożyć.
00:07:53.740 --> 00:07:55.900
Pamiętajcie, że pi to tylko liczba.
00:07:55.900 --> 00:07:59.680
Pi to 3,14159, które ciągnie się dalej...
00:07:59.680 --> 00:08:03.460
Jeśli pomnożę to przez 6, może wyjdzie mi 18 przecinek
00:08:03.460 --> 00:08:05.600
cośtam, cośtam, coś.
00:08:05.600 --> 00:08:07.850
Jeśli masz kalkulator, możesz to sobie obliczyć, ale
00:08:07.850 --> 00:08:10.490
dla wygody ludzie zwykli zostawiać liczby
00:08:10.490 --> 00:08:12.120
razem z pi.
00:08:12.120 --> 00:08:14.020
Teraz, nie wiem ile to wyniesie, jeśli pomnożymy to przez
00:08:14.020 --> 00:08:18.510
3,14159. Nie wiem. Czy wyjdzie coś bliżej 19, czy
00:08:18.510 --> 00:08:20.910
18, czy to zwyczajnie 18 przecinek cośtam,
00:08:20.910 --> 00:08:21.720
cośtam, cośtam.
00:08:21.720 --> 00:08:23.450
Nie mam przed sobą kalkulatora.
00:08:23.450 --> 00:08:25.300
Zamiast pisać tę długą liczbę, po prostu
00:08:25.300 --> 00:08:27.060
zostawiasz 6 pi.
00:08:27.060 --> 00:08:29.770
Właściwie, myślę, że nie przekroczyłoby to
00:08:29.770 --> 00:08:31.430
progu 19.
00:08:31.430 --> 00:08:33.770
Teraz, zadajmy sobie inne pytanie.
00:08:33.770 --> 00:08:35.270
Jaka jest średnica koła?
00:08:38.580 --> 00:08:42.690
Jeśli wiemy, ze promień ma 3, średnica to po prostu dwa razy więcej.
00:08:42.690 --> 00:08:45.730
Będzie to po prostu 2 razy 3 lub 3 plus 3,
00:08:45.730 --> 00:08:47.170
co wynosi 6 metrów.
00:08:47.170 --> 00:08:50.750
Obwód to 6 pi metrów, średnica to 6 metrów,
00:08:50.750 --> 00:08:53.620
promień to 3 metry.
00:08:53.620 --> 00:08:55.110
Teraz chodźmy w drugą stronę.
00:08:55.110 --> 00:08:57.310
Powiedzmy, że mam inne koło.
00:08:57.310 --> 00:09:01.220
O tutaj.
00:09:01.220 --> 00:09:04.620
I jego obwód wynosi
00:09:04.620 --> 00:09:08.560
10 metrów... To jest obwód koła.
00:09:08.560 --> 00:09:10.990
I jeśli miałbyś zmierzyć ten obwód miarką, i
00:09:10.990 --> 00:09:18.370
ktoś zapytałby Cię jaka jest średnica koła?
00:09:18.370 --> 00:09:22.810
Wiemy już, że średnica razy pi
00:09:22.810 --> 00:09:26.830
jest równa obwodowi, jest równa
00:09:26.830 --> 00:09:28.700
10 metrom.
00:09:28.700 --> 00:09:31.020
Aby rozwiązać to zadanie musimy podzielić obie strony
00:09:31.020 --> 00:09:32.520
równania przez pi.
00:09:32.520 --> 00:09:35.860
Średnica będzie wynosić 10 metrów przez pi, lub
00:09:35.860 --> 00:09:38.710
10 na pi metrów.
00:09:38.710 --> 00:09:40.020
I to tylko liczba.
00:09:40.020 --> 00:09:42.540
Jeśli masz kalkulator, możesz podzielić 10
00:09:42.540 --> 00:09:46.030
na 3,14159. Wyjdzie Ci 3 przecinek cośtam,
00:09:46.030 --> 00:09:47.500
cośtam, cośtam metrów.
00:09:47.500 --> 00:09:48.960
Nie mogę tego obliczyć w głowie, ale
00:09:48.960 --> 00:09:50.070
to tylko liczba.
00:09:50.070 --> 00:09:53.320
Ale dla wygody, zostawiamy to w ten sposób.
00:09:53.320 --> 00:09:55.270
Teraz - jaki jest promień?
00:09:55.270 --> 00:09:58.590
Cóż, promień wynosi 1/2 średnicy.
00:09:58.590 --> 00:10:02.870
Cała odległość wynosi 10 na pi metrów.
00:10:02.870 --> 00:10:06.230
Jeśli weźmiemy tylko połowę z tego, jeśli potrzebujemy promienia,
00:10:06.230 --> 00:10:07.580
mnożymy to przez 1/2.
00:10:07.580 --> 00:10:13.160
Więc jeśli masz 1/2 razy 10 na pi, co wynosi 1/2 razy
00:10:13.160 --> 00:10:16.770
10, lub zwyczajnie dzielisz licznik i
00:10:16.770 --> 00:10:18.140
mianownik przez 2.
00:10:18.140 --> 00:10:21.130
Wychodzi 5, więc masz 5 przez pi.
00:10:21.130 --> 00:10:23.890
Promień wychodzi 5 przez pi.
00:10:23.890 --> 00:10:25.690
Nic specjalnie wymyślnego.
00:10:25.690 --> 00:10:29.760
Myślę, że to, co zwykle trapi ludzi, to
00:10:29.760 --> 00:10:31.820
problem z uświadomieniem sobie, że pi to liczba.
00:10:31.820 --> 00:10:38.640
Pi to zwyczajnie 3,14159 i ciągnie się to w nieskończoność.
00:10:38.640 --> 00:10:41.950
Napisano już tysiące książek o liczbie pi, więc
00:10:41.950 --> 00:10:45.100
to nie tak... Nie jestem pewien, czy są ich tysiące,
00:10:45.100 --> 00:10:48.340
pewnie przesadzam, ale można by pisać książki na ten temat.
00:10:48.340 --> 00:10:49.340
Ale to tylko LICZBA.
00:10:49.340 --> 00:10:52.480
Tak, to bardzo niezwykła liczba, i jeśli chcesz zapisać ją
00:10:52.480 --> 00:10:54.390
w ten sposób, możesz dosłownie
00:10:54.390 --> 00:10:55.680
to wymnożyć.
00:10:55.680 --> 00:10:58.530
Ale większość ludzi woli zostawiać
00:10:58.530 --> 00:11:00.640
wyniki z pi w wyrażeniu.
00:11:00.640 --> 00:11:01.680
Tak czy inaczej - zostawiam was tutaj.
00:11:01.680 --> 00:11:05.090
W kolejnym filmiku poznamy pole koła.
_
Napisy autorstwa Kamila Kwiecińskiego.