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Quello che voglio fare in questo video e' dimostrare uno dei risultati
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piu' utili in geometria, cioe' che un angolo inscritto
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non e' altro che un angolo il cui vertice sta sulla circonferenza
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di un cerchio.
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Quindi questo e' il nostro angolo inscritto.
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Lo identifico con si --- uso si per l'angolo inscritto
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e gli angoli di questo video.
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Questo si, l'angolo inscritto, sara' esattamente 1/2
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dell'angolo centrale che insiste sullo stesso arco.
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Allora ho appena usato un sacco di paroloni, ma penso che
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tu abbia capito cosa sto dicendo.
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Allora questo e' si.
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E' un angolo inscritto.
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Sta, il suo vertice sta sulla circonferenza.
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E se disegni i due raggi che escono da questo angolo
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o le due corde che definiscono quest'angolo, interseca il
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cerchio all'altro capo.
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E se guardi la parte di circonferenza del cerchio
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che ci sta dentro, quello e' l'arco
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sotteso da si.
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Sono un sacco di paroloni, ma penso che l'idea
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sia piuttosto semplice.
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Questo qui e' l'arco sotteso da si, dove si e'
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quest''angolo inscritto qui, col vertice che sta
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sulla circonferenza.
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Ora, un angolo centrale e' un angolo il cui vertice
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sta al centro del cerchio.
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Quindi diciamo che questo qui --- provo a farlo a occhio ---
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questo qui e' il centro del cerchio.
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Quindi fammi disegnare un angolo centrale che sottende questo stesso arco.
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Allora questo sembra un angolo centrale che sottende lo stesso arco.
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Cosi'.
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Chiamiamolo theta.
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Quindi quest'angolo e' si, quest'angolo qui e' theta.
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Quello che dimostrero' in questo video e' che si e' sempre
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uguale a 1/2 di theta.
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Quindi se ti dicessi che si e' uguale a, non lo so,
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25 gradi, allora sapresti immediatamente che theta
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deve essere uguale a 50 gradi.
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O se ti dicessi che theta e' di 80 gradi allora sapresti
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immediatamente che si e' 40 gradi.
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Quindi fammetelo dimostrare.
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Fammi pulire qui.
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Allora un buon punto di partenza, o un punto da cui mi piace
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partire, e' un caso particolare.
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Disegno un angolo inscritto, ma una delle corde
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che lo definisce sara' il diametro del cerchio.
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Quindi questo non sara' un caso generico, sara'
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un caso particolare.
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Dunque vediamo, questo e' il centro del cerchio.
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Lo sto facendo a occhio.
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Il centro sta qui.
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Percio' fammi disegnare il diametro.
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Quindi il diametro sta qui.
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Poi fammi definire l'angolo inscritto.
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Il diametro ne e' un lato.
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E poi l'altro lato magari e' fatto cosi'.
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Quindi fammi chiamare questo si.
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Se questo e' si, questa lunghezza qui e' un raggio ---
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questo e' il raggio del nostro cerchio.
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Questa lunghezza qui sara' anche il raggio
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del cerchio, dal centro alla circonferenza.
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La circonferenza e' definita come tutti i punti che stanno
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lontani esattamente un raggio dal centro.
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Quindi anche questo e' un raggio.
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Ora, questo triangolo qui e' un triangolo isoscele.
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Ha questi due lati che sono uguali.
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Due lati che sono sicuramente uguali.
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Sappiamo che quando abbiamo due lati che sono uguali,
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anche i loro angoli sono uguali.
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Quindi anche questo sara' uguale a si.
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Potresti non riconoscerlo perche'
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e' girato cosi'.
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Ma penso che molti di noi quando vedono un triangolo fatto cosi',
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se ti dico che questo e' r e questo e' r, che questi due
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lati sono uguali e se questo e' si, allora sai anche
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che anche questo angolo sara' si.
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Gli angoli della base sono equivalenti in un triangolo isoscele.
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Quindi questo e' si, anche questo e' si.
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Ora, fammi dare un'occhiata all'angolo centrale.
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Questo e' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco.
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Evidenziamo l'arco sotteso da entrambi.
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Questo qui e' l'arco che entrambi sottendono.
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Questo e' l'angolo centrale, theta.
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Ora se quest'angolo e' theta, quanto sara' quest'angolo?
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Questo angolo qui.
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Beh, quest'angolo e' supplementare a theta.
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Quindi e' 180 - theta.
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Quando sommi questi angoli giri di180 gradi
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o tipo formano una retta.
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Sono supplementari.
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Ora sappiamo anche che questi tre angoli stanno
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nello stesso triangolo.
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Quindi la somma deve essere 180 gradi.
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Quindi otteniamo che si --- questo si piu' questo si piu'
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quest'angolo, che e' 180 meno theta piu' 180 meno theta.
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La somma di questi tre angoli deve fare 180.
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Sono i tre angoli di un triangolo.
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Ora possiamo sottrarre 180 da entrambe le parti.
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Si piu' si fa 2si meno theta = 0.
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Sommiamo theta a entrambe le parti.
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Ottieni 2si = theta.
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Moltiplichi entrambe le parti per 1/2 o dividi entrambi i lati per 2.
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Ottieni si = 1/2 theta.
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Quindi abbiamo appena dimostrato quello che abbiamo impostato per il caso
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particolare dove ilnostro angolo inscritto e' definito, dove uno dei
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raggi, se vuoi vedere queste rette come raggi, dove uno dei
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raggi che definisce questo angolo inscritto sta
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lungo il diametro.
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Il diametro forma parte di quel raggio.
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Quindi questo e' un caso particolare dove un lato
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sta sul diametro.
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Quindi potremmo gia' generalizzare.
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Percio' ora sappiamo che se questo e' 50 questo
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sara' 100 gradi e similarmente, giusto?
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Qualsiasi sia si o qualsiasi sia theta, si sara' 1/2
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di questo, o qualsiasi sia si, theta sara'
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2 volte questo.
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E ora applichiamo la formula per tutti i casi.
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Possiamo usare questa nozione ogni volta che --- quindi semplicemente usando
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il risultato che abbiamo appena ottenuto, ora possiamo generalizzare un po',
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sebbene questa non si applica per tutti gli angoli inscritti.
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Facciamo che abbiamo un angolo fatto cosi'.
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Allora in questa situazione il centro lo puoi tipo vedere come
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se sta dentro all'angolo.
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Questo e' il mio angolo inscritto.
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E voglio trovare la relazione tra questo
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angolo inscritto e l'angolo centrale che sottende
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lo stesso arco.
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Percio' questo e' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco.
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Beh, potresti dire: hey, gee, nessuno di questi termini o
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corde che definiscono quest'angolo, nessuno e' un diametro,
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ma quello che possiamo fare e' disegnarlo, un diametro.
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Se il centro sta tra queste due corde
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possiamo disegnare un diametro.
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Possiamo disegnare un diametro cosi'.
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Se disegnamo un diametro in questo modo, se definiamo quest'angolo
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come si 1, quest'angolo come si 2.
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Chiaramente si e' la somma di questi due angoli.
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E chiamiamo quest'angolo theta 1 e quest'angolo theta 2.
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Sappiamo immediatamente che, semplicemente usando il risultato che ho appena
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ottenuto, dato che abbiamo che un lato degli angoli in entrambi i casi
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adesso e' un diametro, sappiamo che si 1 sara'
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uguale a 1/2 theta 1.
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E sappiamo che si 2 sara' un mezzo di theta 2.
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Si 2 sara' 1/2 di theta 2.
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Percio' si, che e' si 1 piu' s1 2, quindi si 1 piu' si 2 sara'
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uguale a queste due cose.
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1/2 theta 1 + 1/2 theta 2.
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Si 1 piu' si 2, questo e' uguale al primo angolo
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inscritto con cui vogliamo avere a che fare, il semplice si.
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Questo e' si.
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E questo qui, questo e' uguale a 1/2 per
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theta 1 piu' theta 2.
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Quant'e' theta 1 piu' theta 2?
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Beh e' il nostro theta originale
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con cui avevamo a che fare.
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Percio' ora si vede che si e' uguale a 1/2 theta.
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Percio' l'abbiamo dimostrato per un caso un po' piu' generico
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dove il centro sta all'interno di due raggi che
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definiscono l'angolo.
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Adesso, non abbiamo ancora affrontato la situazione un po' piu' complicata o
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la situazione piu' generale in cui se questo e' il centro
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del cerchio e ho un angolo inscritto in cui il centro
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non sta tra le due corde.
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Fammelo disegnare.
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Percio' questo sara' il mio vertice, e cambio colori,
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quindi diciamo che questa e' una delle corde che definisce
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l'angolo, in questo modo.
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E diciamo che questa e' l'altra corda che definisce
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l'angolo in questo modo.
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Quindi come troviamo la relazione tra,
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chiamiamolo, questo angolo qui, chiamiamolo si 1.
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Come troviamo la relazione tra si 1 e l'angolo
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centrale che sottende lo stesso arco?
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Allora quando parlo di stesso arco, e' questo qui.
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Percio' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco
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sara' fatto cosi'.
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Chiamiamolo theta 1.
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Quello che possiamo fare e' usare quello che abbiamo appena imparato quando un lato
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dell'angolo iscritto e' il diametro.
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Quindi costruiamolo.
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Allora qui fammici disegnare un diametro.
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Il risultato che vogliamo di nuovo e' che questo dovrebbe essere 1/2
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di questo, ma dimostriamolo.
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Disegnamo un diametro in questo modo.
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Fammi chiamare quest'angolo qui, fammelo chiamare si 2.
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E sta sottendendo quest'arco qui --- fammelo fare
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in un colore piu' scuro.
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Sta sottendendo quest'arco qui.
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Quindi l'angolo centrale che sottende lo stesso arco,
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fammelo chiamare theta 2.
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Ora, sappiamo dalla parte precedente di questo video che si 2
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sara' uguale a 1/2 theta 2, giusto?
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Condividono --- il diametro sta qui.
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Il diametro e' una delle corde che forma l'angolo.
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Quindi si 2 sara' uguale a 1/2 theta 2.
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Questo e' esattamente quello che abbiamo fatto nell'ultimo video, giusto?
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Questo e' un angolo inscritto.
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Una delle corde che lo definisce sta sul diametro.
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Percio' questo sara' 1/2 di quest'angolo, dell'angolo
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centrale che sottende lo stesso arco.
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Ora, diamo un'occhiata a quest'angolo piu' grande.
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Quest'angolo piu' grande qui.
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Si 1 piu' si 2.
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Giusto, quest'angolo piu' grande qui e' si 1 piu' si 2.
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Di nuovo questo sottende tutto quest'arco qui e
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ha un diametro come corde che definisce
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quest'angolo enorme.
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Percio' questo sara' 1/2 di quest'angolo centrale che
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sottende lo stesso arco.
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Stiamo solo usando quello che abbiamo gia' mostrato in questo video.
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Qui di questo sara' uguale a 1/2 di quest'angolo centrale enorme
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di theta 1 piu' theta 2.
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Finora abbiamo semplicemente usato tutto quello che abbiamo imparato
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precedentemente in questo video.
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Ora, sappiamo gia' che si 2 e' uguale a 1/2 di theta 2.
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Percio' fammi fare questa sostituzione.
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Questo e' uguale a questo.
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Percio' possiamo dire che si 1 piu' --- invece di si 2 ci scrivo
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1/2 theta2 = 1/2 theta1 + 1/2 theta2.
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Possiamo sottrarre 1/2 theta2 da entrambi i lati e
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otteniamo il nostro risultato.
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Si1 = 1/2 theta1.
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E abbiamo finito.
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Abbiamo dimostrato la situazione che l'angolo inscritto
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e' sempre 1/2 dell'angolo centrale che sottende lo stesso arco,
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a prescindere dal fatto che il centro del cerchio stia dentro
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l'angolo, fuori dall'angolo, o se c'e'
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il diametro su un lato.
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Percio' qualsiasi altro angolo puo' essere costruito come la somma di
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uno o tutti quelli che abbiamo gia' fatto.
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Quindi spero che tu l'abbia trovato utiel e ora possiamo
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costruire qualcosa su questo risultato per fare qualche altra
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dimostrazione di geometria interessante.
