1
00:00:00,690 --> 00:00:03,450
Quello che voglio fare in questo video e' dimostrare uno dei risultati

2
00:00:03,450 --> 00:00:08,980
piu' utili in geometria, cioe' che un angolo inscritto

3
00:00:08,980 --> 00:00:14,950
non e' altro che un angolo il cui vertice sta sulla circonferenza

4
00:00:14,950 --> 00:00:17,080
di un cerchio.

5
00:00:17,080 --> 00:00:19,800
Quindi questo e' il nostro angolo inscritto.

6
00:00:19,800 --> 00:00:24,950
Lo identifico con si --- uso si per l'angolo inscritto

7
00:00:24,950 --> 00:00:27,170
e gli angoli di questo video.

8
00:00:27,170 --> 00:00:33,530
Questo si, l'angolo inscritto, sara' esattamente 1/2

9
00:00:33,530 --> 00:00:37,880
dell'angolo centrale che insiste sullo stesso arco.

10
00:00:37,880 --> 00:00:40,730
Allora ho appena usato un sacco di paroloni, ma penso che

11
00:00:40,730 --> 00:00:41,650
tu abbia capito cosa sto dicendo.

12
00:00:41,650 --> 00:00:42,820
Allora questo e' si.

13
00:00:42,820 --> 00:00:44,470
E' un angolo inscritto.

14
00:00:44,470 --> 00:00:48,710
Sta, il suo vertice sta sulla circonferenza.

15
00:00:48,710 --> 00:00:52,570
E se disegni i due raggi che escono da questo angolo

16
00:00:52,570 --> 00:00:56,040
o le due corde che definiscono quest'angolo, interseca il

17
00:00:56,040 --> 00:00:57,340
cerchio all'altro capo.

18
00:00:57,340 --> 00:01:00,390
E se guardi la parte di circonferenza del cerchio

19
00:01:00,390 --> 00:01:03,730
che ci sta dentro, quello e' l'arco

20
00:01:03,730 --> 00:01:06,160
sotteso da si.

21
00:01:06,160 --> 00:01:09,010
Sono un sacco di paroloni, ma penso che l'idea

22
00:01:09,010 --> 00:01:09,920
sia piuttosto semplice.

23
00:01:09,920 --> 00:01:28,485
Questo qui e' l'arco sotteso da si, dove si e'

24
00:01:28,485 --> 00:01:31,560
quest''angolo inscritto qui, col vertice che sta

25
00:01:31,560 --> 00:01:32,400
sulla circonferenza.

26
00:01:32,400 --> 00:01:37,920
Ora, un angolo centrale e' un angolo il cui vertice

27
00:01:37,920 --> 00:01:39,460
sta al centro del cerchio.

28
00:01:39,460 --> 00:01:41,880
Quindi diciamo che questo qui --- provo a farlo a occhio ---

29
00:01:41,880 --> 00:01:45,510
questo qui e' il centro del cerchio.

30
00:01:45,510 --> 00:01:51,360
Quindi fammi disegnare un angolo centrale che sottende questo stesso arco.

31
00:01:51,360 --> 00:01:58,470
Allora questo sembra un angolo centrale che sottende lo stesso arco.

32
00:01:58,470 --> 00:01:59,390
Cosi'.

33
00:01:59,390 --> 00:02:01,440
Chiamiamolo theta.

34
00:02:01,440 --> 00:02:06,030
Quindi quest'angolo e' si, quest'angolo qui e' theta.

35
00:02:06,030 --> 00:02:10,120
Quello che dimostrero' in questo video e' che si e' sempre

36
00:02:10,120 --> 00:02:14,050
uguale a 1/2 di theta.

37
00:02:14,050 --> 00:02:18,220
Quindi se ti dicessi che si e' uguale a, non lo so,

38
00:02:18,220 --> 00:02:21,330
25 gradi, allora sapresti immediatamente che theta

39
00:02:21,330 --> 00:02:23,090
deve essere uguale a 50 gradi.

40
00:02:23,090 --> 00:02:26,080
O se ti dicessi che theta e' di 80 gradi allora sapresti

41
00:02:26,080 --> 00:02:29,300
immediatamente che si e' 40 gradi.

42
00:02:29,300 --> 00:02:31,500
Quindi fammetelo dimostrare.

43
00:02:31,500 --> 00:02:34,520
Fammi pulire qui.

44
00:02:34,520 --> 00:02:37,730
Allora un buon punto di partenza, o un punto da cui mi piace

45
00:02:37,730 --> 00:02:40,460
partire, e' un caso particolare.

46
00:02:40,460 --> 00:02:45,250
Disegno un angolo inscritto, ma una delle corde

47
00:02:45,250 --> 00:02:47,910
che lo definisce sara' il diametro del cerchio.

48
00:02:47,910 --> 00:02:50,526
Quindi questo non sara' un caso generico, sara'

49
00:02:50,526 --> 00:02:51,320
un caso particolare.

50
00:02:51,320 --> 00:02:55,325
Dunque vediamo, questo e' il centro del cerchio.

51
00:02:55,325 --> 00:02:59,030
Lo sto facendo a occhio.

52
00:02:59,030 --> 00:03:00,770
Il centro sta qui.

53
00:03:00,770 --> 00:03:04,210
Percio' fammi disegnare il diametro.

54
00:03:04,210 --> 00:03:06,440
Quindi il diametro sta qui.

55
00:03:06,440 --> 00:03:09,410
Poi fammi definire l'angolo inscritto.

56
00:03:09,410 --> 00:03:11,860
Il diametro ne e' un lato.

57
00:03:11,860 --> 00:03:15,910
E poi l'altro lato magari e' fatto cosi'.

58
00:03:15,910 --> 00:03:20,520
Quindi fammi chiamare questo si.

59
00:03:20,520 --> 00:03:27,120
Se questo e' si, questa lunghezza qui e' un raggio ---

60
00:03:27,120 --> 00:03:29,330
questo e' il raggio del nostro cerchio.

61
00:03:29,330 --> 00:03:33,080
Questa lunghezza qui sara' anche il raggio

62
00:03:33,080 --> 00:03:35,760
del cerchio, dal centro alla circonferenza.

63
00:03:35,760 --> 00:03:38,130
La circonferenza e' definita come tutti i punti che stanno

64
00:03:38,130 --> 00:03:40,340
lontani esattamente un raggio dal centro.

65
00:03:40,340 --> 00:03:43,610
Quindi anche questo e' un raggio.

66
00:03:43,610 --> 00:03:47,920
Ora, questo triangolo qui e' un triangolo isoscele.

67
00:03:47,920 --> 00:03:49,890
Ha questi due lati che sono uguali.

68
00:03:49,890 --> 00:03:51,880
Due lati che sono sicuramente uguali.

69
00:03:51,880 --> 00:03:54,630
Sappiamo che quando abbiamo due lati che sono uguali,

70
00:03:54,630 --> 00:03:57,290
anche i loro angoli sono uguali.

71
00:03:57,290 --> 00:04:00,640
Quindi anche questo sara' uguale a si.

72
00:04:00,640 --> 00:04:02,130
Potresti non riconoscerlo perche'

73
00:04:02,130 --> 00:04:03,180
e' girato cosi'.

74
00:04:03,180 --> 00:04:05,720
Ma penso che molti di noi quando vedono un triangolo fatto cosi',

75
00:04:05,720 --> 00:04:10,940
se ti dico che questo e' r e questo e' r, che questi due

76
00:04:10,940 --> 00:04:17,860
lati sono uguali e se questo e' si, allora sai anche

77
00:04:17,860 --> 00:04:20,830
che anche questo angolo sara' si.

78
00:04:20,830 --> 00:04:23,930
Gli angoli della base sono equivalenti in un triangolo isoscele.

79
00:04:23,930 --> 00:04:26,720
Quindi questo e' si, anche questo e' si.

80
00:04:26,720 --> 00:04:29,770
Ora, fammi dare un'occhiata all'angolo centrale.

81
00:04:29,770 --> 00:04:32,710
Questo e' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco.

82
00:04:32,710 --> 00:04:35,920
Evidenziamo l'arco sotteso da entrambi.

83
00:04:35,920 --> 00:04:40,300
Questo qui e' l'arco che entrambi sottendono.

84
00:04:40,300 --> 00:04:44,350
Questo e' l'angolo centrale, theta.

85
00:04:44,350 --> 00:04:49,000
Ora se quest'angolo e' theta, quanto sara' quest'angolo?

86
00:04:49,000 --> 00:04:50,620
Questo angolo qui.

87
00:04:50,620 --> 00:04:53,010
Beh, quest'angolo e' supplementare a theta.

88
00:04:53,010 --> 00:04:56,640
Quindi e' 180 - theta.

89
00:04:56,640 --> 00:04:59,560
Quando sommi questi angoli giri di180 gradi

90
00:04:59,560 --> 00:05:01,750
o tipo formano una retta.

91
00:05:01,750 --> 00:05:03,790
Sono supplementari.

92
00:05:03,790 --> 00:05:06,740
Ora sappiamo anche che questi tre angoli stanno

93
00:05:06,740 --> 00:05:08,260
nello stesso triangolo.

94
00:05:08,260 --> 00:05:12,030
Quindi la somma deve essere 180 gradi.

95
00:05:12,030 --> 00:05:19,300
Quindi otteniamo che si --- questo si piu' questo si piu'

96
00:05:19,300 --> 00:05:25,420
quest'angolo, che e' 180 meno theta piu' 180 meno theta.

97
00:05:25,420 --> 00:05:29,130
La somma di questi tre angoli deve fare 180.

98
00:05:29,130 --> 00:05:31,740
Sono i tre angoli di un triangolo.

99
00:05:31,740 --> 00:05:34,605
Ora possiamo sottrarre 180 da entrambe le parti.

100
00:05:37,140 --> 00:05:43,260
Si piu' si fa 2si meno theta = 0.

101
00:05:43,260 --> 00:05:44,840
Sommiamo theta a entrambe le parti.

102
00:05:44,840 --> 00:05:48,770
Ottieni 2si = theta.

103
00:05:48,770 --> 00:05:52,850
Moltiplichi entrambe le parti per 1/2 o dividi entrambi i lati per 2.

104
00:05:52,850 --> 00:05:56,680
Ottieni si = 1/2 theta.

105
00:05:56,680 --> 00:06:00,070
Quindi abbiamo appena dimostrato quello che abbiamo impostato per il caso

106
00:06:00,070 --> 00:06:07,120
particolare dove ilnostro angolo inscritto e' definito, dove uno dei

107
00:06:07,120 --> 00:06:11,200
raggi, se vuoi vedere queste rette come raggi, dove uno dei

108
00:06:11,200 --> 00:06:15,220
raggi che definisce questo angolo inscritto sta

109
00:06:15,220 --> 00:06:17,180
lungo il diametro.

110
00:06:17,180 --> 00:06:19,200
Il diametro forma parte di quel raggio.

111
00:06:19,200 --> 00:06:21,720
Quindi questo e' un caso particolare dove un lato

112
00:06:21,720 --> 00:06:23,760
sta sul diametro.

113
00:06:23,760 --> 00:06:27,660
Quindi potremmo gia' generalizzare.

114
00:06:27,660 --> 00:06:30,580
Percio' ora sappiamo che se questo e' 50 questo

115
00:06:30,580 --> 00:06:32,820
sara' 100 gradi e similarmente, giusto?

116
00:06:32,820 --> 00:06:37,460
Qualsiasi sia si o qualsiasi sia theta, si sara' 1/2

117
00:06:37,460 --> 00:06:40,450
di questo, o qualsiasi sia si, theta sara'

118
00:06:40,450 --> 00:06:41,830
2 volte questo.

119
00:06:41,830 --> 00:06:44,110
E ora applichiamo la formula per tutti i casi.

120
00:06:44,110 --> 00:06:55,440
Possiamo usare questa nozione ogni volta che --- quindi semplicemente usando

121
00:06:55,440 --> 00:06:59,460
il risultato che abbiamo appena ottenuto, ora possiamo generalizzare un po',

122
00:06:59,460 --> 00:07:02,890
sebbene questa non si applica per tutti gli angoli inscritti.

123
00:07:02,890 --> 00:07:05,090
Facciamo che abbiamo un angolo fatto cosi'.

124
00:07:10,680 --> 00:07:12,980
Allora in questa situazione il centro lo puoi tipo vedere come

125
00:07:12,980 --> 00:07:15,470
se sta dentro all'angolo.

126
00:07:15,470 --> 00:07:17,150
Questo e' il mio angolo inscritto.

127
00:07:17,150 --> 00:07:18,890
E voglio trovare la relazione tra questo

128
00:07:18,890 --> 00:07:22,450
angolo inscritto e l'angolo centrale che sottende

129
00:07:22,450 --> 00:07:24,360
lo stesso arco.

130
00:07:24,360 --> 00:07:29,880
Percio' questo e' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco.

131
00:07:29,880 --> 00:07:33,550
Beh, potresti dire: hey, gee, nessuno di questi termini o

132
00:07:33,550 --> 00:07:37,310
corde che definiscono quest'angolo, nessuno e' un diametro,

133
00:07:37,310 --> 00:07:40,400
ma quello che possiamo fare e' disegnarlo, un diametro.

134
00:07:40,400 --> 00:07:43,300
Se il centro sta tra queste due corde

135
00:07:43,300 --> 00:07:46,100
possiamo disegnare un diametro.

136
00:07:46,100 --> 00:07:48,920
Possiamo disegnare un diametro cosi'.

137
00:07:48,920 --> 00:07:51,680
Se disegnamo un diametro in questo modo, se definiamo quest'angolo

138
00:07:51,680 --> 00:07:55,430
come si 1, quest'angolo come si 2.

139
00:07:55,430 --> 00:07:58,320
Chiaramente si e' la somma di questi due angoli.

140
00:07:58,320 --> 00:08:04,350
E chiamiamo quest'angolo theta 1 e quest'angolo theta 2.

141
00:08:04,350 --> 00:08:07,240
Sappiamo immediatamente che, semplicemente usando il risultato che ho appena

142
00:08:07,240 --> 00:08:12,540
ottenuto, dato che abbiamo che un lato degli angoli in entrambi i casi

143
00:08:12,540 --> 00:08:18,260
adesso e' un diametro, sappiamo che si 1 sara'

144
00:08:18,260 --> 00:08:22,010
uguale a 1/2 theta 1.

145
00:08:22,010 --> 00:08:24,870
E sappiamo che si 2 sara' un mezzo di theta 2.

146
00:08:24,870 --> 00:08:30,140
Si 2 sara' 1/2 di theta 2.

147
00:08:30,140 --> 00:08:39,850
Percio' si, che e' si 1 piu' s1 2, quindi si 1 piu' si 2 sara'

148
00:08:39,850 --> 00:08:41,120
uguale a queste due cose.

149
00:08:41,120 --> 00:08:47,580
1/2 theta 1 + 1/2 theta 2.

150
00:08:47,580 --> 00:08:51,180
Si 1 piu' si 2, questo e' uguale al primo angolo

151
00:08:51,180 --> 00:08:53,850
inscritto con cui vogliamo avere a che fare, il semplice si.

152
00:08:53,850 --> 00:08:54,980
Questo e' si.

153
00:08:54,980 --> 00:08:58,350
E questo qui, questo e' uguale a 1/2 per

154
00:08:58,350 --> 00:09:00,960
theta 1 piu' theta 2.

155
00:09:00,960 --> 00:09:03,960
Quant'e' theta 1 piu' theta 2?

156
00:09:03,960 --> 00:09:06,470
Beh e' il nostro theta originale

157
00:09:06,470 --> 00:09:08,490
con cui avevamo a che fare.

158
00:09:08,490 --> 00:09:12,080
Percio' ora si vede che si e' uguale a 1/2 theta.

159
00:09:12,080 --> 00:09:14,710
Percio' l'abbiamo dimostrato per un caso un po' piu' generico

160
00:09:14,710 --> 00:09:20,020
dove il centro sta all'interno di due raggi che

161
00:09:20,020 --> 00:09:21,640
definiscono l'angolo.

162
00:09:21,640 --> 00:09:27,100
Adesso, non abbiamo ancora affrontato la situazione un po' piu' complicata o

163
00:09:27,100 --> 00:09:33,660
la situazione piu' generale in cui se questo e' il centro

164
00:09:33,660 --> 00:09:39,420
del cerchio e ho un angolo inscritto in cui il centro

165
00:09:39,420 --> 00:09:40,990
non sta tra le due corde.

166
00:09:40,990 --> 00:09:41,820
Fammelo disegnare.

167
00:09:41,820 --> 00:09:48,800
Percio' questo sara' il mio vertice, e cambio colori,

168
00:09:48,800 --> 00:09:51,540
quindi diciamo che questa e' una delle corde che definisce

169
00:09:51,540 --> 00:09:53,320
l'angolo, in questo modo.

170
00:09:53,320 --> 00:09:57,860
E diciamo che questa e' l'altra corda che definisce

171
00:09:57,860 --> 00:09:59,170
l'angolo in questo modo.

172
00:09:59,170 --> 00:10:02,500
Quindi come troviamo la relazione tra,

173
00:10:02,500 --> 00:10:07,910
chiamiamolo, questo angolo qui, chiamiamolo si 1.

174
00:10:07,910 --> 00:10:13,050
Come troviamo la relazione tra si 1 e l'angolo

175
00:10:13,050 --> 00:10:16,160
centrale che sottende lo stesso arco?

176
00:10:16,160 --> 00:10:19,530
Allora quando parlo di stesso arco, e' questo qui.

177
00:10:19,530 --> 00:10:22,720
Percio' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco

178
00:10:22,720 --> 00:10:23,660
sara' fatto cosi'.

179
00:10:28,150 --> 00:10:32,910
Chiamiamolo theta 1.

180
00:10:32,910 --> 00:10:36,770
Quello che possiamo fare e' usare quello che abbiamo appena imparato quando un lato

181
00:10:36,770 --> 00:10:39,350
dell'angolo iscritto e' il diametro.

182
00:10:39,350 --> 00:10:41,135
Quindi costruiamolo.

183
00:10:41,135 --> 00:10:44,260
Allora qui fammici disegnare un diametro.

184
00:10:44,260 --> 00:10:47,010
Il risultato che vogliamo di nuovo e' che questo dovrebbe essere 1/2

185
00:10:47,010 --> 00:10:48,180
di questo, ma dimostriamolo.

186
00:10:48,180 --> 00:10:57,560
Disegnamo un diametro in questo modo.

187
00:10:57,560 --> 00:11:09,490
Fammi chiamare quest'angolo qui, fammelo chiamare si 2.

188
00:11:09,490 --> 00:11:14,770
E sta sottendendo quest'arco qui --- fammelo fare

189
00:11:14,770 --> 00:11:16,140
in un colore piu' scuro.

190
00:11:16,140 --> 00:11:19,770
Sta sottendendo quest'arco qui.

191
00:11:19,770 --> 00:11:22,360
Quindi l'angolo centrale che sottende lo stesso arco,

192
00:11:22,360 --> 00:11:25,300
fammelo chiamare theta 2.

193
00:11:25,300 --> 00:11:30,890
Ora, sappiamo dalla parte precedente di questo video che si 2

194
00:11:30,890 --> 00:11:37,600
sara' uguale a 1/2 theta 2, giusto?

195
00:11:37,600 --> 00:11:40,760
Condividono --- il diametro sta qui.

196
00:11:40,760 --> 00:11:44,300
Il diametro e' una delle corde che forma l'angolo.

197
00:11:44,300 --> 00:11:47,500
Quindi si 2 sara' uguale a 1/2 theta 2.

198
00:11:50,140 --> 00:11:52,810
Questo e' esattamente quello che abbiamo fatto nell'ultimo video, giusto?

199
00:11:52,810 --> 00:11:55,430
Questo e' un angolo inscritto.

200
00:11:55,430 --> 00:11:59,550
Una delle corde che lo definisce sta sul diametro.

201
00:11:59,550 --> 00:12:02,740
Percio' questo sara' 1/2 di quest'angolo, dell'angolo

202
00:12:02,740 --> 00:12:05,980
centrale che sottende lo stesso arco.

203
00:12:05,980 --> 00:12:09,000
Ora, diamo un'occhiata a quest'angolo piu' grande.

204
00:12:09,000 --> 00:12:11,680
Quest'angolo piu' grande qui.

205
00:12:11,680 --> 00:12:14,240
Si 1 piu' si 2.

206
00:12:14,240 --> 00:12:22,720
Giusto, quest'angolo piu' grande qui e' si 1 piu' si 2.

207
00:12:22,720 --> 00:12:28,680
Di nuovo questo sottende tutto quest'arco qui e

208
00:12:28,680 --> 00:12:32,100
ha un diametro come corde che definisce

209
00:12:32,100 --> 00:12:34,310
quest'angolo enorme.

210
00:12:34,310 --> 00:12:37,380
Percio' questo sara' 1/2 di quest'angolo centrale che

211
00:12:37,380 --> 00:12:38,580
sottende lo stesso arco.

212
00:12:38,580 --> 00:12:42,270
Stiamo solo usando quello che abbiamo gia' mostrato in questo video.

213
00:12:42,270 --> 00:12:47,390
Qui di questo sara' uguale a 1/2 di quest'angolo centrale enorme

214
00:12:47,390 --> 00:12:51,370
di theta 1 piu' theta 2.

215
00:12:54,310 --> 00:12:56,530
Finora abbiamo semplicemente usato tutto quello che abbiamo imparato

216
00:12:56,530 --> 00:12:58,160
precedentemente in questo video.

217
00:12:58,160 --> 00:13:03,160
Ora, sappiamo gia' che si 2 e' uguale a 1/2 di theta 2.

218
00:13:03,160 --> 00:13:05,630
Percio' fammi fare questa sostituzione.

219
00:13:05,630 --> 00:13:07,030
Questo e' uguale a questo.

220
00:13:07,030 --> 00:13:15,330
Percio' possiamo dire che si 1 piu' --- invece di si 2 ci scrivo

221
00:13:15,330 --> 00:13:26,630
1/2 theta2 = 1/2 theta1 + 1/2 theta2.

222
00:13:30,340 --> 00:13:34,020
Possiamo sottrarre 1/2 theta2 da entrambi i lati e

223
00:13:34,020 --> 00:13:35,740
otteniamo il nostro risultato.

224
00:13:35,740 --> 00:13:40,900
Si1 = 1/2 theta1.

225
00:13:40,900 --> 00:13:41,970
E abbiamo finito.

226
00:13:41,970 --> 00:13:44,990
Abbiamo dimostrato la situazione che l'angolo inscritto

227
00:13:44,990 --> 00:13:50,680
e' sempre 1/2 dell'angolo centrale che sottende lo stesso arco,

228
00:13:50,680 --> 00:13:53,980
a prescindere dal fatto che il centro del cerchio stia dentro

229
00:13:53,980 --> 00:13:58,990
l'angolo, fuori dall'angolo, o se c'e'

230
00:13:58,990 --> 00:14:00,950
il diametro su un lato.

231
00:14:00,950 --> 00:14:05,860
Percio' qualsiasi altro angolo puo' essere costruito come la somma di

232
00:14:05,860 --> 00:14:08,300
uno o tutti quelli che abbiamo gia' fatto.

233
00:14:08,300 --> 00:14:10,190
Quindi spero che tu l'abbia trovato utiel e ora possiamo

234
00:14:10,190 --> 00:14:14,630
costruire qualcosa su questo risultato per fare qualche altra

235
00:14:14,630 --> 00:14:16,460
dimostrazione di geometria interessante.