WEBVTT 00:00:00.690 --> 00:00:03.450 Quello che voglio fare in questo video e' dimostrare uno dei risultati 00:00:03.450 --> 00:00:08.980 piu' utili in geometria, cioe' che un angolo inscritto 00:00:08.980 --> 00:00:14.950 non e' altro che un angolo il cui vertice sta sulla circonferenza 00:00:14.950 --> 00:00:17.080 di un cerchio. 00:00:17.080 --> 00:00:19.800 Quindi questo e' il nostro angolo inscritto. 00:00:19.800 --> 00:00:24.950 Lo identifico con si --- uso si per l'angolo inscritto 00:00:24.950 --> 00:00:27.170 e gli angoli di questo video. 00:00:27.170 --> 00:00:33.530 Questo si, l'angolo inscritto, sara' esattamente 1/2 00:00:33.530 --> 00:00:37.880 dell'angolo centrale che insiste sullo stesso arco. 00:00:37.880 --> 00:00:40.730 Allora ho appena usato un sacco di paroloni, ma penso che 00:00:40.730 --> 00:00:41.650 tu abbia capito cosa sto dicendo. 00:00:41.650 --> 00:00:42.820 Allora questo e' si. 00:00:42.820 --> 00:00:44.470 E' un angolo inscritto. 00:00:44.470 --> 00:00:48.710 Sta, il suo vertice sta sulla circonferenza. 00:00:48.710 --> 00:00:52.570 E se disegni i due raggi che escono da questo angolo 00:00:52.570 --> 00:00:56.040 o le due corde che definiscono quest'angolo, interseca il 00:00:56.040 --> 00:00:57.340 cerchio all'altro capo. 00:00:57.340 --> 00:01:00.390 E se guardi la parte di circonferenza del cerchio 00:01:00.390 --> 00:01:03.730 che ci sta dentro, quello e' l'arco 00:01:03.730 --> 00:01:06.160 sotteso da si. 00:01:06.160 --> 00:01:09.010 Sono un sacco di paroloni, ma penso che l'idea 00:01:09.010 --> 00:01:09.920 sia piuttosto semplice. 00:01:09.920 --> 00:01:28.485 Questo qui e' l'arco sotteso da si, dove si e' 00:01:28.485 --> 00:01:31.560 quest''angolo inscritto qui, col vertice che sta 00:01:31.560 --> 00:01:32.400 sulla circonferenza. 00:01:32.400 --> 00:01:37.920 Ora, un angolo centrale e' un angolo il cui vertice 00:01:37.920 --> 00:01:39.460 sta al centro del cerchio. 00:01:39.460 --> 00:01:41.880 Quindi diciamo che questo qui --- provo a farlo a occhio --- 00:01:41.880 --> 00:01:45.510 questo qui e' il centro del cerchio. 00:01:45.510 --> 00:01:51.360 Quindi fammi disegnare un angolo centrale che sottende questo stesso arco. 00:01:51.360 --> 00:01:58.470 Allora questo sembra un angolo centrale che sottende lo stesso arco. 00:01:58.470 --> 00:01:59.390 Cosi'. 00:01:59.390 --> 00:02:01.440 Chiamiamolo theta. 00:02:01.440 --> 00:02:06.030 Quindi quest'angolo e' si, quest'angolo qui e' theta. 00:02:06.030 --> 00:02:10.120 Quello che dimostrero' in questo video e' che si e' sempre 00:02:10.120 --> 00:02:14.050 uguale a 1/2 di theta. 00:02:14.050 --> 00:02:18.220 Quindi se ti dicessi che si e' uguale a, non lo so, 00:02:18.220 --> 00:02:21.330 25 gradi, allora sapresti immediatamente che theta 00:02:21.330 --> 00:02:23.090 deve essere uguale a 50 gradi. 00:02:23.090 --> 00:02:26.080 O se ti dicessi che theta e' di 80 gradi allora sapresti 00:02:26.080 --> 00:02:29.300 immediatamente che si e' 40 gradi. 00:02:29.300 --> 00:02:31.500 Quindi fammetelo dimostrare. 00:02:31.500 --> 00:02:34.520 Fammi pulire qui. 00:02:34.520 --> 00:02:37.730 Allora un buon punto di partenza, o un punto da cui mi piace 00:02:37.730 --> 00:02:40.460 partire, e' un caso particolare. 00:02:40.460 --> 00:02:45.250 Disegno un angolo inscritto, ma una delle corde 00:02:45.250 --> 00:02:47.910 che lo definisce sara' il diametro del cerchio. 00:02:47.910 --> 00:02:50.526 Quindi questo non sara' un caso generico, sara' 00:02:50.526 --> 00:02:51.320 un caso particolare. 00:02:51.320 --> 00:02:55.325 Dunque vediamo, questo e' il centro del cerchio. 00:02:55.325 --> 00:02:59.030 Lo sto facendo a occhio. 00:02:59.030 --> 00:03:00.770 Il centro sta qui. 00:03:00.770 --> 00:03:04.210 Percio' fammi disegnare il diametro. 00:03:04.210 --> 00:03:06.440 Quindi il diametro sta qui. 00:03:06.440 --> 00:03:09.410 Poi fammi definire l'angolo inscritto. 00:03:09.410 --> 00:03:11.860 Il diametro ne e' un lato. 00:03:11.860 --> 00:03:15.910 E poi l'altro lato magari e' fatto cosi'. 00:03:15.910 --> 00:03:20.520 Quindi fammi chiamare questo si. 00:03:20.520 --> 00:03:27.120 Se questo e' si, questa lunghezza qui e' un raggio --- 00:03:27.120 --> 00:03:29.330 questo e' il raggio del nostro cerchio. 00:03:29.330 --> 00:03:33.080 Questa lunghezza qui sara' anche il raggio 00:03:33.080 --> 00:03:35.760 del cerchio, dal centro alla circonferenza. 00:03:35.760 --> 00:03:38.130 La circonferenza e' definita come tutti i punti che stanno 00:03:38.130 --> 00:03:40.340 lontani esattamente un raggio dal centro. 00:03:40.340 --> 00:03:43.610 Quindi anche questo e' un raggio. 00:03:43.610 --> 00:03:47.920 Ora, questo triangolo qui e' un triangolo isoscele. 00:03:47.920 --> 00:03:49.890 Ha questi due lati che sono uguali. 00:03:49.890 --> 00:03:51.880 Due lati che sono sicuramente uguali. 00:03:51.880 --> 00:03:54.630 Sappiamo che quando abbiamo due lati che sono uguali, 00:03:54.630 --> 00:03:57.290 anche i loro angoli sono uguali. 00:03:57.290 --> 00:04:00.640 Quindi anche questo sara' uguale a si. 00:04:00.640 --> 00:04:02.130 Potresti non riconoscerlo perche' 00:04:02.130 --> 00:04:03.180 e' girato cosi'. 00:04:03.180 --> 00:04:05.720 Ma penso che molti di noi quando vedono un triangolo fatto cosi', 00:04:05.720 --> 00:04:10.940 se ti dico che questo e' r e questo e' r, che questi due 00:04:10.940 --> 00:04:17.860 lati sono uguali e se questo e' si, allora sai anche 00:04:17.860 --> 00:04:20.830 che anche questo angolo sara' si. 00:04:20.830 --> 00:04:23.930 Gli angoli della base sono equivalenti in un triangolo isoscele. 00:04:23.930 --> 00:04:26.720 Quindi questo e' si, anche questo e' si. 00:04:26.720 --> 00:04:29.770 Ora, fammi dare un'occhiata all'angolo centrale. 00:04:29.770 --> 00:04:32.710 Questo e' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco. 00:04:32.710 --> 00:04:35.920 Evidenziamo l'arco sotteso da entrambi. 00:04:35.920 --> 00:04:40.300 Questo qui e' l'arco che entrambi sottendono. 00:04:40.300 --> 00:04:44.350 Questo e' l'angolo centrale, theta. 00:04:44.350 --> 00:04:49.000 Ora se quest'angolo e' theta, quanto sara' quest'angolo? 00:04:49.000 --> 00:04:50.620 Questo angolo qui. 00:04:50.620 --> 00:04:53.010 Beh, quest'angolo e' supplementare a theta. 00:04:53.010 --> 00:04:56.640 Quindi e' 180 - theta. 00:04:56.640 --> 00:04:59.560 Quando sommi questi angoli giri di180 gradi 00:04:59.560 --> 00:05:01.750 o tipo formano una retta. 00:05:01.750 --> 00:05:03.790 Sono supplementari. 00:05:03.790 --> 00:05:06.740 Ora sappiamo anche che questi tre angoli stanno 00:05:06.740 --> 00:05:08.260 nello stesso triangolo. 00:05:08.260 --> 00:05:12.030 Quindi la somma deve essere 180 gradi. 00:05:12.030 --> 00:05:19.300 Quindi otteniamo che si --- questo si piu' questo si piu' 00:05:19.300 --> 00:05:25.420 quest'angolo, che e' 180 meno theta piu' 180 meno theta. 00:05:25.420 --> 00:05:29.130 La somma di questi tre angoli deve fare 180. 00:05:29.130 --> 00:05:31.740 Sono i tre angoli di un triangolo. 00:05:31.740 --> 00:05:34.605 Ora possiamo sottrarre 180 da entrambe le parti. 00:05:37.140 --> 00:05:43.260 Si piu' si fa 2si meno theta = 0. 00:05:43.260 --> 00:05:44.840 Sommiamo theta a entrambe le parti. 00:05:44.840 --> 00:05:48.770 Ottieni 2si = theta. 00:05:48.770 --> 00:05:52.850 Moltiplichi entrambe le parti per 1/2 o dividi entrambi i lati per 2. 00:05:52.850 --> 00:05:56.680 Ottieni si = 1/2 theta. 00:05:56.680 --> 00:06:00.070 Quindi abbiamo appena dimostrato quello che abbiamo impostato per il caso 00:06:00.070 --> 00:06:07.120 particolare dove ilnostro angolo inscritto e' definito, dove uno dei 00:06:07.120 --> 00:06:11.200 raggi, se vuoi vedere queste rette come raggi, dove uno dei 00:06:11.200 --> 00:06:15.220 raggi che definisce questo angolo inscritto sta 00:06:15.220 --> 00:06:17.180 lungo il diametro. 00:06:17.180 --> 00:06:19.200 Il diametro forma parte di quel raggio. 00:06:19.200 --> 00:06:21.720 Quindi questo e' un caso particolare dove un lato 00:06:21.720 --> 00:06:23.760 sta sul diametro. 00:06:23.760 --> 00:06:27.660 Quindi potremmo gia' generalizzare. 00:06:27.660 --> 00:06:30.580 Percio' ora sappiamo che se questo e' 50 questo 00:06:30.580 --> 00:06:32.820 sara' 100 gradi e similarmente, giusto? 00:06:32.820 --> 00:06:37.460 Qualsiasi sia si o qualsiasi sia theta, si sara' 1/2 00:06:37.460 --> 00:06:40.450 di questo, o qualsiasi sia si, theta sara' 00:06:40.450 --> 00:06:41.830 2 volte questo. 00:06:41.830 --> 00:06:44.110 E ora applichiamo la formula per tutti i casi. 00:06:44.110 --> 00:06:55.440 Possiamo usare questa nozione ogni volta che --- quindi semplicemente usando 00:06:55.440 --> 00:06:59.460 il risultato che abbiamo appena ottenuto, ora possiamo generalizzare un po', 00:06:59.460 --> 00:07:02.890 sebbene questa non si applica per tutti gli angoli inscritti. 00:07:02.890 --> 00:07:05.090 Facciamo che abbiamo un angolo fatto cosi'. 00:07:10.680 --> 00:07:12.980 Allora in questa situazione il centro lo puoi tipo vedere come 00:07:12.980 --> 00:07:15.470 se sta dentro all'angolo. 00:07:15.470 --> 00:07:17.150 Questo e' il mio angolo inscritto. 00:07:17.150 --> 00:07:18.890 E voglio trovare la relazione tra questo 00:07:18.890 --> 00:07:22.450 angolo inscritto e l'angolo centrale che sottende 00:07:22.450 --> 00:07:24.360 lo stesso arco. 00:07:24.360 --> 00:07:29.880 Percio' questo e' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco. 00:07:29.880 --> 00:07:33.550 Beh, potresti dire: hey, gee, nessuno di questi termini o 00:07:33.550 --> 00:07:37.310 corde che definiscono quest'angolo, nessuno e' un diametro, 00:07:37.310 --> 00:07:40.400 ma quello che possiamo fare e' disegnarlo, un diametro. 00:07:40.400 --> 00:07:43.300 Se il centro sta tra queste due corde 00:07:43.300 --> 00:07:46.100 possiamo disegnare un diametro. 00:07:46.100 --> 00:07:48.920 Possiamo disegnare un diametro cosi'. 00:07:48.920 --> 00:07:51.680 Se disegnamo un diametro in questo modo, se definiamo quest'angolo 00:07:51.680 --> 00:07:55.430 come si 1, quest'angolo come si 2. 00:07:55.430 --> 00:07:58.320 Chiaramente si e' la somma di questi due angoli. 00:07:58.320 --> 00:08:04.350 E chiamiamo quest'angolo theta 1 e quest'angolo theta 2. 00:08:04.350 --> 00:08:07.240 Sappiamo immediatamente che, semplicemente usando il risultato che ho appena 00:08:07.240 --> 00:08:12.540 ottenuto, dato che abbiamo che un lato degli angoli in entrambi i casi 00:08:12.540 --> 00:08:18.260 adesso e' un diametro, sappiamo che si 1 sara' 00:08:18.260 --> 00:08:22.010 uguale a 1/2 theta 1. 00:08:22.010 --> 00:08:24.870 E sappiamo che si 2 sara' un mezzo di theta 2. 00:08:24.870 --> 00:08:30.140 Si 2 sara' 1/2 di theta 2. 00:08:30.140 --> 00:08:39.850 Percio' si, che e' si 1 piu' s1 2, quindi si 1 piu' si 2 sara' 00:08:39.850 --> 00:08:41.120 uguale a queste due cose. 00:08:41.120 --> 00:08:47.580 1/2 theta 1 + 1/2 theta 2. 00:08:47.580 --> 00:08:51.180 Si 1 piu' si 2, questo e' uguale al primo angolo 00:08:51.180 --> 00:08:53.850 inscritto con cui vogliamo avere a che fare, il semplice si. 00:08:53.850 --> 00:08:54.980 Questo e' si. 00:08:54.980 --> 00:08:58.350 E questo qui, questo e' uguale a 1/2 per 00:08:58.350 --> 00:09:00.960 theta 1 piu' theta 2. 00:09:00.960 --> 00:09:03.960 Quant'e' theta 1 piu' theta 2? 00:09:03.960 --> 00:09:06.470 Beh e' il nostro theta originale 00:09:06.470 --> 00:09:08.490 con cui avevamo a che fare. 00:09:08.490 --> 00:09:12.080 Percio' ora si vede che si e' uguale a 1/2 theta. 00:09:12.080 --> 00:09:14.710 Percio' l'abbiamo dimostrato per un caso un po' piu' generico 00:09:14.710 --> 00:09:20.020 dove il centro sta all'interno di due raggi che 00:09:20.020 --> 00:09:21.640 definiscono l'angolo. 00:09:21.640 --> 00:09:27.100 Adesso, non abbiamo ancora affrontato la situazione un po' piu' complicata o 00:09:27.100 --> 00:09:33.660 la situazione piu' generale in cui se questo e' il centro 00:09:33.660 --> 00:09:39.420 del cerchio e ho un angolo inscritto in cui il centro 00:09:39.420 --> 00:09:40.990 non sta tra le due corde. 00:09:40.990 --> 00:09:41.820 Fammelo disegnare. 00:09:41.820 --> 00:09:48.800 Percio' questo sara' il mio vertice, e cambio colori, 00:09:48.800 --> 00:09:51.540 quindi diciamo che questa e' una delle corde che definisce 00:09:51.540 --> 00:09:53.320 l'angolo, in questo modo. 00:09:53.320 --> 00:09:57.860 E diciamo che questa e' l'altra corda che definisce 00:09:57.860 --> 00:09:59.170 l'angolo in questo modo. 00:09:59.170 --> 00:10:02.500 Quindi come troviamo la relazione tra, 00:10:02.500 --> 00:10:07.910 chiamiamolo, questo angolo qui, chiamiamolo si 1. 00:10:07.910 --> 00:10:13.050 Come troviamo la relazione tra si 1 e l'angolo 00:10:13.050 --> 00:10:16.160 centrale che sottende lo stesso arco? 00:10:16.160 --> 00:10:19.530 Allora quando parlo di stesso arco, e' questo qui. 00:10:19.530 --> 00:10:22.720 Percio' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco 00:10:22.720 --> 00:10:23.660 sara' fatto cosi'. 00:10:28.150 --> 00:10:32.910 Chiamiamolo theta 1. 00:10:32.910 --> 00:10:36.770 Quello che possiamo fare e' usare quello che abbiamo appena imparato quando un lato 00:10:36.770 --> 00:10:39.350 dell'angolo iscritto e' il diametro. 00:10:39.350 --> 00:10:41.135 Quindi costruiamolo. 00:10:41.135 --> 00:10:44.260 Allora qui fammici disegnare un diametro. 00:10:44.260 --> 00:10:47.010 Il risultato che vogliamo di nuovo e' che questo dovrebbe essere 1/2 00:10:47.010 --> 00:10:48.180 di questo, ma dimostriamolo. 00:10:48.180 --> 00:10:57.560 Disegnamo un diametro in questo modo. 00:10:57.560 --> 00:11:09.490 Fammi chiamare quest'angolo qui, fammelo chiamare si 2. 00:11:09.490 --> 00:11:14.770 E sta sottendendo quest'arco qui --- fammelo fare 00:11:14.770 --> 00:11:16.140 in un colore piu' scuro. 00:11:16.140 --> 00:11:19.770 Sta sottendendo quest'arco qui. 00:11:19.770 --> 00:11:22.360 Quindi l'angolo centrale che sottende lo stesso arco, 00:11:22.360 --> 00:11:25.300 fammelo chiamare theta 2. 00:11:25.300 --> 00:11:30.890 Ora, sappiamo dalla parte precedente di questo video che si 2 00:11:30.890 --> 00:11:37.600 sara' uguale a 1/2 theta 2, giusto? 00:11:37.600 --> 00:11:40.760 Condividono --- il diametro sta qui. 00:11:40.760 --> 00:11:44.300 Il diametro e' una delle corde che forma l'angolo. 00:11:44.300 --> 00:11:47.500 Quindi si 2 sara' uguale a 1/2 theta 2. 00:11:50.140 --> 00:11:52.810 Questo e' esattamente quello che abbiamo fatto nell'ultimo video, giusto? 00:11:52.810 --> 00:11:55.430 Questo e' un angolo inscritto. 00:11:55.430 --> 00:11:59.550 Una delle corde che lo definisce sta sul diametro. 00:11:59.550 --> 00:12:02.740 Percio' questo sara' 1/2 di quest'angolo, dell'angolo 00:12:02.740 --> 00:12:05.980 centrale che sottende lo stesso arco. 00:12:05.980 --> 00:12:09.000 Ora, diamo un'occhiata a quest'angolo piu' grande. 00:12:09.000 --> 00:12:11.680 Quest'angolo piu' grande qui. 00:12:11.680 --> 00:12:14.240 Si 1 piu' si 2. 00:12:14.240 --> 00:12:22.720 Giusto, quest'angolo piu' grande qui e' si 1 piu' si 2. 00:12:22.720 --> 00:12:28.680 Di nuovo questo sottende tutto quest'arco qui e 00:12:28.680 --> 00:12:32.100 ha un diametro come corde che definisce 00:12:32.100 --> 00:12:34.310 quest'angolo enorme. 00:12:34.310 --> 00:12:37.380 Percio' questo sara' 1/2 di quest'angolo centrale che 00:12:37.380 --> 00:12:38.580 sottende lo stesso arco. 00:12:38.580 --> 00:12:42.270 Stiamo solo usando quello che abbiamo gia' mostrato in questo video. 00:12:42.270 --> 00:12:47.390 Qui di questo sara' uguale a 1/2 di quest'angolo centrale enorme 00:12:47.390 --> 00:12:51.370 di theta 1 piu' theta 2. 00:12:54.310 --> 00:12:56.530 Finora abbiamo semplicemente usato tutto quello che abbiamo imparato 00:12:56.530 --> 00:12:58.160 precedentemente in questo video. 00:12:58.160 --> 00:13:03.160 Ora, sappiamo gia' che si 2 e' uguale a 1/2 di theta 2. 00:13:03.160 --> 00:13:05.630 Percio' fammi fare questa sostituzione. 00:13:05.630 --> 00:13:07.030 Questo e' uguale a questo. 00:13:07.030 --> 00:13:15.330 Percio' possiamo dire che si 1 piu' --- invece di si 2 ci scrivo 00:13:15.330 --> 00:13:26.630 1/2 theta2 = 1/2 theta1 + 1/2 theta2. 00:13:30.340 --> 00:13:34.020 Possiamo sottrarre 1/2 theta2 da entrambi i lati e 00:13:34.020 --> 00:13:35.740 otteniamo il nostro risultato. 00:13:35.740 --> 00:13:40.900 Si1 = 1/2 theta1. 00:13:40.900 --> 00:13:41.970 E abbiamo finito. 00:13:41.970 --> 00:13:44.990 Abbiamo dimostrato la situazione che l'angolo inscritto 00:13:44.990 --> 00:13:50.680 e' sempre 1/2 dell'angolo centrale che sottende lo stesso arco, 00:13:50.680 --> 00:13:53.980 a prescindere dal fatto che il centro del cerchio stia dentro 00:13:53.980 --> 00:13:58.990 l'angolo, fuori dall'angolo, o se c'e' 00:13:58.990 --> 00:14:00.950 il diametro su un lato. 00:14:00.950 --> 00:14:05.860 Percio' qualsiasi altro angolo puo' essere costruito come la somma di 00:14:05.860 --> 00:14:08.300 uno o tutti quelli che abbiamo gia' fatto. 00:14:08.300 --> 00:14:10.190 Quindi spero che tu l'abbia trovato utiel e ora possiamo 00:14:10.190 --> 00:14:14.630 costruire qualcosa su questo risultato per fare qualche altra 00:14:14.630 --> 00:14:16.460 dimostrazione di geometria interessante.