0:00:00.690,0:00:03.450
Quello che voglio fare in questo video e' dimostrare uno dei risultati

0:00:03.450,0:00:08.980
piu' utili in geometria, cioe' che un angolo inscritto

0:00:08.980,0:00:14.950
non e' altro che un angolo il cui vertice sta sulla circonferenza

0:00:14.950,0:00:17.080
di un cerchio.

0:00:17.080,0:00:19.800
Quindi questo e' il nostro angolo inscritto.

0:00:19.800,0:00:24.950
Lo identifico con si --- uso si per l'angolo inscritto

0:00:24.950,0:00:27.170
e gli angoli di questo video.

0:00:27.170,0:00:33.530
Questo si, l'angolo inscritto, sara' esattamente 1/2

0:00:33.530,0:00:37.880
dell'angolo centrale che insiste sullo stesso arco.

0:00:37.880,0:00:40.730
Allora ho appena usato un sacco di paroloni, ma penso che

0:00:40.730,0:00:41.650
tu abbia capito cosa sto dicendo.

0:00:41.650,0:00:42.820
Allora questo e' si.

0:00:42.820,0:00:44.470
E' un angolo inscritto.

0:00:44.470,0:00:48.710
Sta, il suo vertice sta sulla circonferenza.

0:00:48.710,0:00:52.570
E se disegni i due raggi che escono da questo angolo

0:00:52.570,0:00:56.040
o le due corde che definiscono quest'angolo, interseca il

0:00:56.040,0:00:57.340
cerchio all'altro capo.

0:00:57.340,0:01:00.390
E se guardi la parte di circonferenza del cerchio

0:01:00.390,0:01:03.730
che ci sta dentro, quello e' l'arco

0:01:03.730,0:01:06.160
sotteso da si.

0:01:06.160,0:01:09.010
Sono un sacco di paroloni, ma penso che l'idea

0:01:09.010,0:01:09.920
sia piuttosto semplice.

0:01:09.920,0:01:28.485
Questo qui e' l'arco sotteso da si, dove si e'

0:01:28.485,0:01:31.560
quest''angolo inscritto qui, col vertice che sta

0:01:31.560,0:01:32.400
sulla circonferenza.

0:01:32.400,0:01:37.920
Ora, un angolo centrale e' un angolo il cui vertice

0:01:37.920,0:01:39.460
sta al centro del cerchio.

0:01:39.460,0:01:41.880
Quindi diciamo che questo qui --- provo a farlo a occhio ---

0:01:41.880,0:01:45.510
questo qui e' il centro del cerchio.

0:01:45.510,0:01:51.360
Quindi fammi disegnare un angolo centrale che sottende questo stesso arco.

0:01:51.360,0:01:58.470
Allora questo sembra un angolo centrale che sottende lo stesso arco.

0:01:58.470,0:01:59.390
Cosi'.

0:01:59.390,0:02:01.440
Chiamiamolo theta.

0:02:01.440,0:02:06.030
Quindi quest'angolo e' si, quest'angolo qui e' theta.

0:02:06.030,0:02:10.120
Quello che dimostrero' in questo video e' che si e' sempre

0:02:10.120,0:02:14.050
uguale a 1/2 di theta.

0:02:14.050,0:02:18.220
Quindi se ti dicessi che si e' uguale a, non lo so,

0:02:18.220,0:02:21.330
25 gradi, allora sapresti immediatamente che theta

0:02:21.330,0:02:23.090
deve essere uguale a 50 gradi.

0:02:23.090,0:02:26.080
O se ti dicessi che theta e' di 80 gradi allora sapresti

0:02:26.080,0:02:29.300
immediatamente che si e' 40 gradi.

0:02:29.300,0:02:31.500
Quindi fammetelo dimostrare.

0:02:31.500,0:02:34.520
Fammi pulire qui.

0:02:34.520,0:02:37.730
Allora un buon punto di partenza, o un punto da cui mi piace

0:02:37.730,0:02:40.460
partire, e' un caso particolare.

0:02:40.460,0:02:45.250
Disegno un angolo inscritto, ma una delle corde

0:02:45.250,0:02:47.910
che lo definisce sara' il diametro del cerchio.

0:02:47.910,0:02:50.526
Quindi questo non sara' un caso generico, sara'

0:02:50.526,0:02:51.320
un caso particolare.

0:02:51.320,0:02:55.325
Dunque vediamo, questo e' il centro del cerchio.

0:02:55.325,0:02:59.030
Lo sto facendo a occhio.

0:02:59.030,0:03:00.770
Il centro sta qui.

0:03:00.770,0:03:04.210
Percio' fammi disegnare il diametro.

0:03:04.210,0:03:06.440
Quindi il diametro sta qui.

0:03:06.440,0:03:09.410
Poi fammi definire l'angolo inscritto.

0:03:09.410,0:03:11.860
Il diametro ne e' un lato.

0:03:11.860,0:03:15.910
E poi l'altro lato magari e' fatto cosi'.

0:03:15.910,0:03:20.520
Quindi fammi chiamare questo si.

0:03:20.520,0:03:27.120
Se questo e' si, questa lunghezza qui e' un raggio ---

0:03:27.120,0:03:29.330
questo e' il raggio del nostro cerchio.

0:03:29.330,0:03:33.080
Questa lunghezza qui sara' anche il raggio

0:03:33.080,0:03:35.760
del cerchio, dal centro alla circonferenza.

0:03:35.760,0:03:38.130
La circonferenza e' definita come tutti i punti che stanno

0:03:38.130,0:03:40.340
lontani esattamente un raggio dal centro.

0:03:40.340,0:03:43.610
Quindi anche questo e' un raggio.

0:03:43.610,0:03:47.920
Ora, questo triangolo qui e' un triangolo isoscele.

0:03:47.920,0:03:49.890
Ha questi due lati che sono uguali.

0:03:49.890,0:03:51.880
Due lati che sono sicuramente uguali.

0:03:51.880,0:03:54.630
Sappiamo che quando abbiamo due lati che sono uguali,

0:03:54.630,0:03:57.290
anche i loro angoli sono uguali.

0:03:57.290,0:04:00.640
Quindi anche questo sara' uguale a si.

0:04:00.640,0:04:02.130
Potresti non riconoscerlo perche'

0:04:02.130,0:04:03.180
e' girato cosi'.

0:04:03.180,0:04:05.720
Ma penso che molti di noi quando vedono un triangolo fatto cosi',

0:04:05.720,0:04:10.940
se ti dico che questo e' r e questo e' r, che questi due

0:04:10.940,0:04:17.860
lati sono uguali e se questo e' si, allora sai anche

0:04:17.860,0:04:20.830
che anche questo angolo sara' si.

0:04:20.830,0:04:23.930
Gli angoli della base sono equivalenti in un triangolo isoscele.

0:04:23.930,0:04:26.720
Quindi questo e' si, anche questo e' si.

0:04:26.720,0:04:29.770
Ora, fammi dare un'occhiata all'angolo centrale.

0:04:29.770,0:04:32.710
Questo e' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco.

0:04:32.710,0:04:35.920
Evidenziamo l'arco sotteso da entrambi.

0:04:35.920,0:04:40.300
Questo qui e' l'arco che entrambi sottendono.

0:04:40.300,0:04:44.350
Questo e' l'angolo centrale, theta.

0:04:44.350,0:04:49.000
Ora se quest'angolo e' theta, quanto sara' quest'angolo?

0:04:49.000,0:04:50.620
Questo angolo qui.

0:04:50.620,0:04:53.010
Beh, quest'angolo e' supplementare a theta.

0:04:53.010,0:04:56.640
Quindi e' 180 - theta.

0:04:56.640,0:04:59.560
Quando sommi questi angoli giri di180 gradi

0:04:59.560,0:05:01.750
o tipo formano una retta.

0:05:01.750,0:05:03.790
Sono supplementari.

0:05:03.790,0:05:06.740
Ora sappiamo anche che questi tre angoli stanno

0:05:06.740,0:05:08.260
nello stesso triangolo.

0:05:08.260,0:05:12.030
Quindi la somma deve essere 180 gradi.

0:05:12.030,0:05:19.300
Quindi otteniamo che si --- questo si piu' questo si piu'

0:05:19.300,0:05:25.420
quest'angolo, che e' 180 meno theta piu' 180 meno theta.

0:05:25.420,0:05:29.130
La somma di questi tre angoli deve fare 180.

0:05:29.130,0:05:31.740
Sono i tre angoli di un triangolo.

0:05:31.740,0:05:34.605
Ora possiamo sottrarre 180 da entrambe le parti.

0:05:37.140,0:05:43.260
Si piu' si fa 2si meno theta = 0.

0:05:43.260,0:05:44.840
Sommiamo theta a entrambe le parti.

0:05:44.840,0:05:48.770
Ottieni 2si = theta.

0:05:48.770,0:05:52.850
Moltiplichi entrambe le parti per 1/2 o dividi entrambi i lati per 2.

0:05:52.850,0:05:56.680
Ottieni si = 1/2 theta.

0:05:56.680,0:06:00.070
Quindi abbiamo appena dimostrato quello che abbiamo impostato per il caso

0:06:00.070,0:06:07.120
particolare dove ilnostro angolo inscritto e' definito, dove uno dei

0:06:07.120,0:06:11.200
raggi, se vuoi vedere queste rette come raggi, dove uno dei

0:06:11.200,0:06:15.220
raggi che definisce questo angolo inscritto sta

0:06:15.220,0:06:17.180
lungo il diametro.

0:06:17.180,0:06:19.200
Il diametro forma parte di quel raggio.

0:06:19.200,0:06:21.720
Quindi questo e' un caso particolare dove un lato

0:06:21.720,0:06:23.760
sta sul diametro.

0:06:23.760,0:06:27.660
Quindi potremmo gia' generalizzare.

0:06:27.660,0:06:30.580
Percio' ora sappiamo che se questo e' 50 questo

0:06:30.580,0:06:32.820
sara' 100 gradi e similarmente, giusto?

0:06:32.820,0:06:37.460
Qualsiasi sia si o qualsiasi sia theta, si sara' 1/2

0:06:37.460,0:06:40.450
di questo, o qualsiasi sia si, theta sara'

0:06:40.450,0:06:41.830
2 volte questo.

0:06:41.830,0:06:44.110
E ora applichiamo la formula per tutti i casi.

0:06:44.110,0:06:55.440
Possiamo usare questa nozione ogni volta che --- quindi semplicemente usando

0:06:55.440,0:06:59.460
il risultato che abbiamo appena ottenuto, ora possiamo generalizzare un po',

0:06:59.460,0:07:02.890
sebbene questa non si applica per tutti gli angoli inscritti.

0:07:02.890,0:07:05.090
Facciamo che abbiamo un angolo fatto cosi'.

0:07:10.680,0:07:12.980
Allora in questa situazione il centro lo puoi tipo vedere come

0:07:12.980,0:07:15.470
se sta dentro all'angolo.

0:07:15.470,0:07:17.150
Questo e' il mio angolo inscritto.

0:07:17.150,0:07:18.890
E voglio trovare la relazione tra questo

0:07:18.890,0:07:22.450
angolo inscritto e l'angolo centrale che sottende

0:07:22.450,0:07:24.360
lo stesso arco.

0:07:24.360,0:07:29.880
Percio' questo e' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco.

0:07:29.880,0:07:33.550
Beh, potresti dire: hey, gee, nessuno di questi termini o

0:07:33.550,0:07:37.310
corde che definiscono quest'angolo, nessuno e' un diametro,

0:07:37.310,0:07:40.400
ma quello che possiamo fare e' disegnarlo, un diametro.

0:07:40.400,0:07:43.300
Se il centro sta tra queste due corde

0:07:43.300,0:07:46.100
possiamo disegnare un diametro.

0:07:46.100,0:07:48.920
Possiamo disegnare un diametro cosi'.

0:07:48.920,0:07:51.680
Se disegnamo un diametro in questo modo, se definiamo quest'angolo

0:07:51.680,0:07:55.430
come si 1, quest'angolo come si 2.

0:07:55.430,0:07:58.320
Chiaramente si e' la somma di questi due angoli.

0:07:58.320,0:08:04.350
E chiamiamo quest'angolo theta 1 e quest'angolo theta 2.

0:08:04.350,0:08:07.240
Sappiamo immediatamente che, semplicemente usando il risultato che ho appena

0:08:07.240,0:08:12.540
ottenuto, dato che abbiamo che un lato degli angoli in entrambi i casi

0:08:12.540,0:08:18.260
adesso e' un diametro, sappiamo che si 1 sara'

0:08:18.260,0:08:22.010
uguale a 1/2 theta 1.

0:08:22.010,0:08:24.870
E sappiamo che si 2 sara' un mezzo di theta 2.

0:08:24.870,0:08:30.140
Si 2 sara' 1/2 di theta 2.

0:08:30.140,0:08:39.850
Percio' si, che e' si 1 piu' s1 2, quindi si 1 piu' si 2 sara'

0:08:39.850,0:08:41.120
uguale a queste due cose.

0:08:41.120,0:08:47.580
1/2 theta 1 + 1/2 theta 2.

0:08:47.580,0:08:51.180
Si 1 piu' si 2, questo e' uguale al primo angolo

0:08:51.180,0:08:53.850
inscritto con cui vogliamo avere a che fare, il semplice si.

0:08:53.850,0:08:54.980
Questo e' si.

0:08:54.980,0:08:58.350
E questo qui, questo e' uguale a 1/2 per

0:08:58.350,0:09:00.960
theta 1 piu' theta 2.

0:09:00.960,0:09:03.960
Quant'e' theta 1 piu' theta 2?

0:09:03.960,0:09:06.470
Beh e' il nostro theta originale

0:09:06.470,0:09:08.490
con cui avevamo a che fare.

0:09:08.490,0:09:12.080
Percio' ora si vede che si e' uguale a 1/2 theta.

0:09:12.080,0:09:14.710
Percio' l'abbiamo dimostrato per un caso un po' piu' generico

0:09:14.710,0:09:20.020
dove il centro sta all'interno di due raggi che

0:09:20.020,0:09:21.640
definiscono l'angolo.

0:09:21.640,0:09:27.100
Adesso, non abbiamo ancora affrontato la situazione un po' piu' complicata o

0:09:27.100,0:09:33.660
la situazione piu' generale in cui se questo e' il centro

0:09:33.660,0:09:39.420
del cerchio e ho un angolo inscritto in cui il centro

0:09:39.420,0:09:40.990
non sta tra le due corde.

0:09:40.990,0:09:41.820
Fammelo disegnare.

0:09:41.820,0:09:48.800
Percio' questo sara' il mio vertice, e cambio colori,

0:09:48.800,0:09:51.540
quindi diciamo che questa e' una delle corde che definisce

0:09:51.540,0:09:53.320
l'angolo, in questo modo.

0:09:53.320,0:09:57.860
E diciamo che questa e' l'altra corda che definisce

0:09:57.860,0:09:59.170
l'angolo in questo modo.

0:09:59.170,0:10:02.500
Quindi come troviamo la relazione tra,

0:10:02.500,0:10:07.910
chiamiamolo, questo angolo qui, chiamiamolo si 1.

0:10:07.910,0:10:13.050
Come troviamo la relazione tra si 1 e l'angolo

0:10:13.050,0:10:16.160
centrale che sottende lo stesso arco?

0:10:16.160,0:10:19.530
Allora quando parlo di stesso arco, e' questo qui.

0:10:19.530,0:10:22.720
Percio' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco

0:10:22.720,0:10:23.660
sara' fatto cosi'.

0:10:28.150,0:10:32.910
Chiamiamolo theta 1.

0:10:32.910,0:10:36.770
Quello che possiamo fare e' usare quello che abbiamo appena imparato quando un lato

0:10:36.770,0:10:39.350
dell'angolo iscritto e' il diametro.

0:10:39.350,0:10:41.135
Quindi costruiamolo.

0:10:41.135,0:10:44.260
Allora qui fammici disegnare un diametro.

0:10:44.260,0:10:47.010
Il risultato che vogliamo di nuovo e' che questo dovrebbe essere 1/2

0:10:47.010,0:10:48.180
di questo, ma dimostriamolo.

0:10:48.180,0:10:57.560
Disegnamo un diametro in questo modo.

0:10:57.560,0:11:09.490
Fammi chiamare quest'angolo qui, fammelo chiamare si 2.

0:11:09.490,0:11:14.770
E sta sottendendo quest'arco qui --- fammelo fare

0:11:14.770,0:11:16.140
in un colore piu' scuro.

0:11:16.140,0:11:19.770
Sta sottendendo quest'arco qui.

0:11:19.770,0:11:22.360
Quindi l'angolo centrale che sottende lo stesso arco,

0:11:22.360,0:11:25.300
fammelo chiamare theta 2.

0:11:25.300,0:11:30.890
Ora, sappiamo dalla parte precedente di questo video che si 2

0:11:30.890,0:11:37.600
sara' uguale a 1/2 theta 2, giusto?

0:11:37.600,0:11:40.760
Condividono --- il diametro sta qui.

0:11:40.760,0:11:44.300
Il diametro e' una delle corde che forma l'angolo.

0:11:44.300,0:11:47.500
Quindi si 2 sara' uguale a 1/2 theta 2.

0:11:50.140,0:11:52.810
Questo e' esattamente quello che abbiamo fatto nell'ultimo video, giusto?

0:11:52.810,0:11:55.430
Questo e' un angolo inscritto.

0:11:55.430,0:11:59.550
Una delle corde che lo definisce sta sul diametro.

0:11:59.550,0:12:02.740
Percio' questo sara' 1/2 di quest'angolo, dell'angolo

0:12:02.740,0:12:05.980
centrale che sottende lo stesso arco.

0:12:05.980,0:12:09.000
Ora, diamo un'occhiata a quest'angolo piu' grande.

0:12:09.000,0:12:11.680
Quest'angolo piu' grande qui.

0:12:11.680,0:12:14.240
Si 1 piu' si 2.

0:12:14.240,0:12:22.720
Giusto, quest'angolo piu' grande qui e' si 1 piu' si 2.

0:12:22.720,0:12:28.680
Di nuovo questo sottende tutto quest'arco qui e

0:12:28.680,0:12:32.100
ha un diametro come corde che definisce

0:12:32.100,0:12:34.310
quest'angolo enorme.

0:12:34.310,0:12:37.380
Percio' questo sara' 1/2 di quest'angolo centrale che

0:12:37.380,0:12:38.580
sottende lo stesso arco.

0:12:38.580,0:12:42.270
Stiamo solo usando quello che abbiamo gia' mostrato in questo video.

0:12:42.270,0:12:47.390
Qui di questo sara' uguale a 1/2 di quest'angolo centrale enorme

0:12:47.390,0:12:51.370
di theta 1 piu' theta 2.

0:12:54.310,0:12:56.530
Finora abbiamo semplicemente usato tutto quello che abbiamo imparato

0:12:56.530,0:12:58.160
precedentemente in questo video.

0:12:58.160,0:13:03.160
Ora, sappiamo gia' che si 2 e' uguale a 1/2 di theta 2.

0:13:03.160,0:13:05.630
Percio' fammi fare questa sostituzione.

0:13:05.630,0:13:07.030
Questo e' uguale a questo.

0:13:07.030,0:13:15.330
Percio' possiamo dire che si 1 piu' --- invece di si 2 ci scrivo

0:13:15.330,0:13:26.630
1/2 theta2 = 1/2 theta1 + 1/2 theta2.

0:13:30.340,0:13:34.020
Possiamo sottrarre 1/2 theta2 da entrambi i lati e

0:13:34.020,0:13:35.740
otteniamo il nostro risultato.

0:13:35.740,0:13:40.900
Si1 = 1/2 theta1.

0:13:40.900,0:13:41.970
E abbiamo finito.

0:13:41.970,0:13:44.990
Abbiamo dimostrato la situazione che l'angolo inscritto

0:13:44.990,0:13:50.680
e' sempre 1/2 dell'angolo centrale che sottende lo stesso arco,

0:13:50.680,0:13:53.980
a prescindere dal fatto che il centro del cerchio stia dentro

0:13:53.980,0:13:58.990
l'angolo, fuori dall'angolo, o se c'e'

0:13:58.990,0:14:00.950
il diametro su un lato.

0:14:00.950,0:14:05.860
Percio' qualsiasi altro angolo puo' essere costruito come la somma di

0:14:05.860,0:14:08.300
uno o tutti quelli che abbiamo gia' fatto.

0:14:08.300,0:14:10.190
Quindi spero che tu l'abbia trovato utiel e ora possiamo

0:14:10.190,0:14:14.630
costruire qualcosa su questo risultato per fare qualche altra

0:14:14.630,0:14:16.460
dimostrazione di geometria interessante.