Quello che voglio fare in questo video e' dimostrare uno dei risultati
piu' utili in geometria, cioe' che un angolo inscritto
non e' altro che un angolo il cui vertice sta sulla circonferenza
di un cerchio.
Quindi questo e' il nostro angolo inscritto.
Lo identifico con si --- uso si per l'angolo inscritto
e gli angoli di questo video.
Questo si, l'angolo inscritto, sara' esattamente 1/2
dell'angolo centrale che insiste sullo stesso arco.
Allora ho appena usato un sacco di paroloni, ma penso che
tu abbia capito cosa sto dicendo.
Allora questo e' si.
E' un angolo inscritto.
Sta, il suo vertice sta sulla circonferenza.
E se disegni i due raggi che escono da questo angolo
o le due corde che definiscono quest'angolo, interseca il
cerchio all'altro capo.
E se guardi la parte di circonferenza del cerchio
che ci sta dentro, quello e' l'arco
sotteso da si.
Sono un sacco di paroloni, ma penso che l'idea
sia piuttosto semplice.
Questo qui e' l'arco sotteso da si, dove si e'
quest''angolo inscritto qui, col vertice che sta
sulla circonferenza.
Ora, un angolo centrale e' un angolo il cui vertice
sta al centro del cerchio.
Quindi diciamo che questo qui --- provo a farlo a occhio ---
questo qui e' il centro del cerchio.
Quindi fammi disegnare un angolo centrale che sottende questo stesso arco.
Allora questo sembra un angolo centrale che sottende lo stesso arco.
Cosi'.
Chiamiamolo theta.
Quindi quest'angolo e' si, quest'angolo qui e' theta.
Quello che dimostrero' in questo video e' che si e' sempre
uguale a 1/2 di theta.
Quindi se ti dicessi che si e' uguale a, non lo so,
25 gradi, allora sapresti immediatamente che theta
deve essere uguale a 50 gradi.
O se ti dicessi che theta e' di 80 gradi allora sapresti
immediatamente che si e' 40 gradi.
Quindi fammetelo dimostrare.
Fammi pulire qui.
Allora un buon punto di partenza, o un punto da cui mi piace
partire, e' un caso particolare.
Disegno un angolo inscritto, ma una delle corde
che lo definisce sara' il diametro del cerchio.
Quindi questo non sara' un caso generico, sara'
un caso particolare.
Dunque vediamo, questo e' il centro del cerchio.
Lo sto facendo a occhio.
Il centro sta qui.
Percio' fammi disegnare il diametro.
Quindi il diametro sta qui.
Poi fammi definire l'angolo inscritto.
Il diametro ne e' un lato.
E poi l'altro lato magari e' fatto cosi'.
Quindi fammi chiamare questo si.
Se questo e' si, questa lunghezza qui e' un raggio ---
questo e' il raggio del nostro cerchio.
Questa lunghezza qui sara' anche il raggio
del cerchio, dal centro alla circonferenza.
La circonferenza e' definita come tutti i punti che stanno
lontani esattamente un raggio dal centro.
Quindi anche questo e' un raggio.
Ora, questo triangolo qui e' un triangolo isoscele.
Ha questi due lati che sono uguali.
Due lati che sono sicuramente uguali.
Sappiamo che quando abbiamo due lati che sono uguali,
anche i loro angoli sono uguali.
Quindi anche questo sara' uguale a si.
Potresti non riconoscerlo perche'
e' girato cosi'.
Ma penso che molti di noi quando vedono un triangolo fatto cosi',
se ti dico che questo e' r e questo e' r, che questi due
lati sono uguali e se questo e' si, allora sai anche
che anche questo angolo sara' si.
Gli angoli della base sono equivalenti in un triangolo isoscele.
Quindi questo e' si, anche questo e' si.
Ora, fammi dare un'occhiata all'angolo centrale.
Questo e' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco.
Evidenziamo l'arco sotteso da entrambi.
Questo qui e' l'arco che entrambi sottendono.
Questo e' l'angolo centrale, theta.
Ora se quest'angolo e' theta, quanto sara' quest'angolo?
Questo angolo qui.
Beh, quest'angolo e' supplementare a theta.
Quindi e' 180 - theta.
Quando sommi questi angoli giri di180 gradi
o tipo formano una retta.
Sono supplementari.
Ora sappiamo anche che questi tre angoli stanno
nello stesso triangolo.
Quindi la somma deve essere 180 gradi.
Quindi otteniamo che si --- questo si piu' questo si piu'
quest'angolo, che e' 180 meno theta piu' 180 meno theta.
La somma di questi tre angoli deve fare 180.
Sono i tre angoli di un triangolo.
Ora possiamo sottrarre 180 da entrambe le parti.
Si piu' si fa 2si meno theta = 0.
Sommiamo theta a entrambe le parti.
Ottieni 2si = theta.
Moltiplichi entrambe le parti per 1/2 o dividi entrambi i lati per 2.
Ottieni si = 1/2 theta.
Quindi abbiamo appena dimostrato quello che abbiamo impostato per il caso
particolare dove ilnostro angolo inscritto e' definito, dove uno dei
raggi, se vuoi vedere queste rette come raggi, dove uno dei
raggi che definisce questo angolo inscritto sta
lungo il diametro.
Il diametro forma parte di quel raggio.
Quindi questo e' un caso particolare dove un lato
sta sul diametro.
Quindi potremmo gia' generalizzare.
Percio' ora sappiamo che se questo e' 50 questo
sara' 100 gradi e similarmente, giusto?
Qualsiasi sia si o qualsiasi sia theta, si sara' 1/2
di questo, o qualsiasi sia si, theta sara'
2 volte questo.
E ora applichiamo la formula per tutti i casi.
Possiamo usare questa nozione ogni volta che --- quindi semplicemente usando
il risultato che abbiamo appena ottenuto, ora possiamo generalizzare un po',
sebbene questa non si applica per tutti gli angoli inscritti.
Facciamo che abbiamo un angolo fatto cosi'.
Allora in questa situazione il centro lo puoi tipo vedere come
se sta dentro all'angolo.
Questo e' il mio angolo inscritto.
E voglio trovare la relazione tra questo
angolo inscritto e l'angolo centrale che sottende
lo stesso arco.
Percio' questo e' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco.
Beh, potresti dire: hey, gee, nessuno di questi termini o
corde che definiscono quest'angolo, nessuno e' un diametro,
ma quello che possiamo fare e' disegnarlo, un diametro.
Se il centro sta tra queste due corde
possiamo disegnare un diametro.
Possiamo disegnare un diametro cosi'.
Se disegnamo un diametro in questo modo, se definiamo quest'angolo
come si 1, quest'angolo come si 2.
Chiaramente si e' la somma di questi due angoli.
E chiamiamo quest'angolo theta 1 e quest'angolo theta 2.
Sappiamo immediatamente che, semplicemente usando il risultato che ho appena
ottenuto, dato che abbiamo che un lato degli angoli in entrambi i casi
adesso e' un diametro, sappiamo che si 1 sara'
uguale a 1/2 theta 1.
E sappiamo che si 2 sara' un mezzo di theta 2.
Si 2 sara' 1/2 di theta 2.
Percio' si, che e' si 1 piu' s1 2, quindi si 1 piu' si 2 sara'
uguale a queste due cose.
1/2 theta 1 + 1/2 theta 2.
Si 1 piu' si 2, questo e' uguale al primo angolo
inscritto con cui vogliamo avere a che fare, il semplice si.
Questo e' si.
E questo qui, questo e' uguale a 1/2 per
theta 1 piu' theta 2.
Quant'e' theta 1 piu' theta 2?
Beh e' il nostro theta originale
con cui avevamo a che fare.
Percio' ora si vede che si e' uguale a 1/2 theta.
Percio' l'abbiamo dimostrato per un caso un po' piu' generico
dove il centro sta all'interno di due raggi che
definiscono l'angolo.
Adesso, non abbiamo ancora affrontato la situazione un po' piu' complicata o
la situazione piu' generale in cui se questo e' il centro
del cerchio e ho un angolo inscritto in cui il centro
non sta tra le due corde.
Fammelo disegnare.
Percio' questo sara' il mio vertice, e cambio colori,
quindi diciamo che questa e' una delle corde che definisce
l'angolo, in questo modo.
E diciamo che questa e' l'altra corda che definisce
l'angolo in questo modo.
Quindi come troviamo la relazione tra,
chiamiamolo, questo angolo qui, chiamiamolo si 1.
Come troviamo la relazione tra si 1 e l'angolo
centrale che sottende lo stesso arco?
Allora quando parlo di stesso arco, e' questo qui.
Percio' l'angolo centrale che sottende lo stesso arco
sara' fatto cosi'.
Chiamiamolo theta 1.
Quello che possiamo fare e' usare quello che abbiamo appena imparato quando un lato
dell'angolo iscritto e' il diametro.
Quindi costruiamolo.
Allora qui fammici disegnare un diametro.
Il risultato che vogliamo di nuovo e' che questo dovrebbe essere 1/2
di questo, ma dimostriamolo.
Disegnamo un diametro in questo modo.
Fammi chiamare quest'angolo qui, fammelo chiamare si 2.
E sta sottendendo quest'arco qui --- fammelo fare
in un colore piu' scuro.
Sta sottendendo quest'arco qui.
Quindi l'angolo centrale che sottende lo stesso arco,
fammelo chiamare theta 2.
Ora, sappiamo dalla parte precedente di questo video che si 2
sara' uguale a 1/2 theta 2, giusto?
Condividono --- il diametro sta qui.
Il diametro e' una delle corde che forma l'angolo.
Quindi si 2 sara' uguale a 1/2 theta 2.
Questo e' esattamente quello che abbiamo fatto nell'ultimo video, giusto?
Questo e' un angolo inscritto.
Una delle corde che lo definisce sta sul diametro.
Percio' questo sara' 1/2 di quest'angolo, dell'angolo
centrale che sottende lo stesso arco.
Ora, diamo un'occhiata a quest'angolo piu' grande.
Quest'angolo piu' grande qui.
Si 1 piu' si 2.
Giusto, quest'angolo piu' grande qui e' si 1 piu' si 2.
Di nuovo questo sottende tutto quest'arco qui e
ha un diametro come corde che definisce
quest'angolo enorme.
Percio' questo sara' 1/2 di quest'angolo centrale che
sottende lo stesso arco.
Stiamo solo usando quello che abbiamo gia' mostrato in questo video.
Qui di questo sara' uguale a 1/2 di quest'angolo centrale enorme
di theta 1 piu' theta 2.
Finora abbiamo semplicemente usato tutto quello che abbiamo imparato
precedentemente in questo video.
Ora, sappiamo gia' che si 2 e' uguale a 1/2 di theta 2.
Percio' fammi fare questa sostituzione.
Questo e' uguale a questo.
Percio' possiamo dire che si 1 piu' --- invece di si 2 ci scrivo
1/2 theta2 = 1/2 theta1 + 1/2 theta2.
Possiamo sottrarre 1/2 theta2 da entrambi i lati e
otteniamo il nostro risultato.
Si1 = 1/2 theta1.
E abbiamo finito.
Abbiamo dimostrato la situazione che l'angolo inscritto
e' sempre 1/2 dell'angolo centrale che sottende lo stesso arco,
a prescindere dal fatto che il centro del cerchio stia dentro
l'angolo, fuori dall'angolo, o se c'e'
il diametro su un lato.
Percio' qualsiasi altro angolo puo' essere costruito come la somma di
uno o tutti quelli che abbiamo gia' fatto.
Quindi spero che tu l'abbia trovato utiel e ora possiamo
costruire qualcosa su questo risultato per fare qualche altra
dimostrazione di geometria interessante.