-
В това видео искам да докажа още едно-две
-
полезни неща по геометрия и по-точно това,
че вписан ъгъл
-
е този ъгъл, чийто връх лежи
-
на окръжност.
-
Това е нашият вписан ъгъл.
-
Ще го обознача като ψ (пси), ще ползвам ψ за вписан ъгъл
-
и ъгли в това видео.
-
Ъгъл ψ, вписаният ъгъл, е точно 1/2 от
-
централния ъгъл, който отсича същата дъга.
-
Използвах доста сложни думи, но мисля, че
-
разбираш какво имам предвид.
-
Значи това е ψ.
-
Това е вписан ъгъл.
-
Той лежи, неговият връх лежи на окръжността.
-
Ако построиш двете рамена, прилежащи към този ъгъл,
-
или двете хорди, които определят този ъгъл, те пресичат
-
окръжността в другия край.
-
Ако погледнеш частта от окръжността,
-
която е отсечена от него, това е дъгата, която е
-
съответстваща на ъгъл ψ.
-
Много сложни думи, но мисля, че идеята е
-
ясна.
-
Това тук е дъгата, съответна на ъгъл ψ, където ψ е
-
този вписан ъгъл тук, върхът му лежи
-
на окръжността.
-
Сега, централен ъгъл е ъгъл, чийто връх
-
лежи в центъра на окръжността.
-
Да речем, че това тук... ще опитам на око...
-
това тук е центърът на окръжността.
-
Ще начертая централен ъгъл,
който допира същата дъга.
-
Това изглежда като централен ъгъл,
отсичащ същата дъга.
-
Така.
-
Да наречем това тита.
-
Този ъгъл е ψ, този ъгъл тук е θ (тита).
-
В това видео ще докажа, че ψ е винаги
-
равно на 1/2 θ.
-
Ако ти кажа, че ψ е равно на... не знам,
-
25 градуса, то ти можеш веднага да намериш, че θ
-
е равно на 50 градуса.
-
Ако кажа, че θ е 80 градуса, можеш
-
веднага да намериш, че ψ е 40 градуса.
-
Да докажем това всъщност.
-
Ще изчистя това.
-
Добро начало е... или тук ще започна
-
от един специален случай.
-
Ще начертая вписан ъгъл, но една от хордите,
-
които го определят, ще бъде
диаметър на окръжността.
-
Няма да бъде обичайният случай, това ще е
-
специален случай.
-
Да видим, това е центърът на моята окръжност.
-
Опитвам да го направя на око.
-
Центърът изглежда така.
-
Ще построя диаметър.
-
Диаметърът изглежда така.
-
После ще дефинирам моя вписан ъгъл.
-
Този диаметър е едното му рамо.
-
И после другото рамо може да е така.
-
Ще нарека това тук ψ (пси).
-
Ако това е ψ, тази дължина тук е радиус – това е
-
нашият радиус на нашата окръжност.
-
После тази дължина тук също е радиус на
-
нашата окръжност, от центъра към обиколката.
-
Окръжността представлява множеството от
всички точки, които са
-
точно на един радиус разстояние от центъра.
-
Това също е радиус.
-
Този триъгълник тук е равнобедрен триъгълник.
-
Той има две страни, които са равни.
-
Две страни, които определено са равни.
-
Знаем, че когато имаме две равни страни,
-
прилежащите им ъгли при основата
са също равни.
-
Това ще бъде също равно на ψ.
-
Може да не разпознаваш това, защото
-
е наклонено така.
-
Но мисля, че много от нас, когато видят триъгълник,
който изглежда така,
-
ако кажем, че това е r
и това е r, тези двете
-
страни са равни, и ако това е r, то също
-
знаеш, че този ъгъл също ще бъде ψ.
-
Ъглите при основата са равни
в равнобедрения триъгълник.
-
Това е ψ, това е също ψ.
-
Сега да видим централния ъгъл.
-
Това е централният ъгъл,
отсичащ същата дъга.
-
Да подчертаем дъгата,
която и двата ъгъла отсичат.
-
Това тук е дъгата, която и двата отсичат.
-
Това е моят централен ъгъл тук, ъгъл θ.
-
Ако този ъгъл е θ,
какъв ще бъде този ъгъл?
-
Този ъгъл тук.
-
Добре, този ъгъл е допълващ до 180 за θ,
-
значи е 180 – θ.
-
Когато събереш тези два ъгъла, става 180 градуса
-
или те образуват права.
-
Те са допълващи се до 180 градуса.
-
Сега ние също така знаем, че тези три ъгъла лежат
-
в един и същ триъгълник.
-
Те трябва общо да са 180 градуса.
-
Получаваме това ψ плюс това ψ,
плюс този
-
ъгъл, който е 180 – θ,
т.е. плюс 180 – θ.
-
Тези три ъгъла са общо 180 градуса.
-
Те са трите ъгъла на триъгълника.
-
Сега можем да извадим 180 от двете страни.
-
ψ + ψ е 2 ψ,
минус θ е равно на 0.
-
Добавяме θ от двете страни.
-
И получаваме, че 2ψ = θ.
-
Умножаваме двете страни по 1/2
или разделяме двете страни на 2.
-
Получаваме, че ψ е равно на 1/2 θ.
-
Току-що доказахме това, което искахме,
за специалния случай,
-
в който нашият вписан ъгъл е
определен, където едното рамо,
-
ако искаш да разгледаш тези хорди като рамена,
където едно от рамената,
-
което определя този вписан ъгъл,
-
лежи на диаметъра.
-
Диаметърът образува част от този лъч.
-
Това е специален случай, където едното рамо
-
лежи на диаметъра.
-
Вече можем да обобщим това.
-
Сега знаем, че ако това е 50, то това е
-
100 градуса и обратно, нали?
-
За всяко ψ или θ, ψ ще бъде 1/2 от това
-
или за всяко ψ ъгъл θ ще бъде
-
2 по това.
-
Сега това е вярно за всички случаи.
-
Можем да ползваме тази идея по всяко време –
така просто като ползваме
-
това решение, можем да обобщим малко,
-
въпреки, че не се прилага за всички вписани ъгли.
-
Да видим вписан ъгъл, който изглежда така.
-
В тази ситуация, центърът, както виждаш,
центърът
-
лежи вътре в ъгъла.
-
Това е моят вписан ъгъл.
-
Искам да намеря връзка между този вписан ъгъл
-
и централния ъгъл, който отсича
-
същата дъга.
-
Това е моят централен ъгъл,
отсичащ същата дъга.
-
Добре, ще кажеш: "Нито едно рамо, или пък тези
-
хорди, които определят този ъгъл,
нито едно от тях не е диаметър,
-
но можем да построим диаметър.
-
Ако центърът е между двете хорди
-
можем да построим диаметър.
-
Можем да построим диаметър по този начин.
-
Ако построим диаметър така, ако определим този ъгъл
-
като ψ1, то този ъгъл е ψ2.
-
Очевидно е, че ψ е сумата от тези два ъгъла.
-
Означаваме този ъгъл θ1, а този ъгъл θ2.
-
Веднага знаем, че като ползваме резултата,
който току-що получихме,
-
тъй като едното рамо на нашия ъгъл в двата случая е
-
диаметър сега, знаем, че това ψ1 ще бъде
-
равно на 1/2 от ъгъл θ1.
-
Знаем, че това ψ2 ще бъде 1/2 от θ2.
-
ψ2 ще бъде 1/2 от ъгъл θ2.
-
Значи ψ, което е ψ1 + ψ2 ще бъде
-
равно на тези две неща.
-
1/2 θ1 + 1/2 θ2.
-
ψ1 + ψ2 е равно на първия вписан
-
ъгъл, който искаме да разгледаме, обикновено ψ.
-
Това е ψ.
-
Този ъгъл тук, това е равно на 1/2 по
-
θ1 плюс θ2.
-
Какво е θ1 + θ2?
-
Това е просто нашето начално θ, което
-
имахме преди.
-
Сега виждаме, че ψ = 1/2 θ.
-
Сега сме доказали за малко по-общ случай,
-
където нашият център е вътре между
двете рамена, които
-
определят този ъгъл.
-
Все още не сме разгледали
малко по-трудна ситуация или
-
по-общ случай, където ако това е центърът на
-
нашата окръжност и съм вписал ъгъл,
където центърът не
-
лежи между двете хорди.
-
Ще начертая това.
-
Това ще е моят връх, ще сменя цветовете.
-
Да речем, че това е една от хордите, които определят
-
ъгъла ето така.
-
Да речем, че това е другата хорда, която определя
-
ъгъла ето така.
-
Как намираме връзката между...
-
да кажем този ъгъл тук, да го наречем ψ1.
-
Как намираме връзката между ψ1 и централния
-
ъгъл, който отсича същата дъга?
-
Когато говорим за същата дъга, тя е това тук.
-
Централният ъгъл, който отсича същата дъга
-
ще изглежда така.
-
Да наречем това θ1.
-
Можем да ползваме това, което намерихме току-що,
когато едното рамо на
-
вписания ъгъл е диаметър.
-
Да построим това.
-
Ще построя диаметър тук.
-
Търсим все още това да бъде 1/2 от
-
това, но нека го докажем.
-
Ще построя диаметър ето така.
-
Ще нарека този ъгъл тук, ще го нарека ψ2.
-
Той отсича тази дъга тук – ще я направя
-
в по-тъмен цвят.
-
Той отсича тази дъга тук.
-
Централният ъгъл, който отсича тази дъга,
-
ще го нарека θ2.
-
От началото на видеото знаем, че ψ2
-
е равно на 1/2 ъгъл θ2, нали?
-
Те имат обща дъга... диаметърът е тук.
-
Диаметърът е едната от хордите,
които образуват ъгъла.
-
Така ψ2 ще бъде равно на 1/2 от θ2.
-
Това е точно, което правихме
в последното видео, нали?
-
Това е вписан ъгъл.
-
Една от хордите, които го определят,
лежи на диаметъра.
-
Това ще бъде 1/2 от този ъгъл,
от централния ъгъл,
-
който отсича същата дъга.
-
Сега да видим този по-големия ъгъл.
-
Този по-голям ъгъл тук.
-
ψ1 + ψ2.
-
Този по-голям ъгъл е ψ1 + ψ2.
-
Още веднъж, това отсича тази цялата дъга тук и
-
диаметърът е едното от рамената, които определят
-
големия ъгъл.
-
Това ще бъде 1/2 от централния ъгъл, който
-
отсича същата дъга.
-
Ето как използвахме това, което току-що
показахме в това видео.
-
Това ще е равно на 1/2 от
този голям централен ъгъл
-
θ1 + θ2.
-
Дотук сме ползвали всичко, което научихме
-
по-рано в това видео.
-
Вече знаем, че това ψ2 е равно на 1/2 от θ2.
-
Ще заместя това.
-
Това е равно на това.
-
Можем да кажем, че ψ1 плюс...
вместо ψ2 ще запиша
-
1/2 θ2, което е равно на 1/2 θ1 + 1/2 θ2.
-
Можем да извадим 1/2 θ2 от двете страни и
-
ще получим отговора.
-
ψ1 е равно на 1/2 θ1.
-
И сме готови.
-
Доказали сме ситуацията, в която вписан ъгъл е
-
винаги 1/2 от централния ъгъл,
който отсича същата дъга,
-
независимо дали центърът на окръжността е вътре в
-
ъгъла, извън ъгъла, дали имаме
-
диаметър отстрани.
-
Така за всеки ъгъл можем
да кажем, че е сума от...
-
всеки, или всички тези,
които вече решихме.
-
Надявам се, че ти е било от полза
и сега можем всъщност
-
да градим върху този резултат, за да
направим някои още по-интересни
-
геометрични доказателства.
