В това видео искам да докажа още едно-две полезни неща по геометрия и по-точно това, че вписан ъгъл е този ъгъл, чийто връх лежи на окръжност. Това е нашият вписан ъгъл. Ще го обознача като ψ (пси), ще ползвам ψ за вписан ъгъл и ъгли в това видео. Ъгъл ψ, вписаният ъгъл, е точно 1/2 от централния ъгъл, който отсича същата дъга. Използвах доста сложни думи, но мисля, че разбираш какво имам предвид. Значи това е ψ. Това е вписан ъгъл. Той лежи, неговият връх лежи на окръжността. Ако построиш двете рамена, прилежащи към този ъгъл, или двете хорди, които определят този ъгъл, те пресичат окръжността в другия край. Ако погледнеш частта от окръжността, която е отсечена от него, това е дъгата, която е съответстваща на ъгъл ψ. Много сложни думи, но мисля, че идеята е ясна. Това тук е дъгата, съответна на ъгъл ψ, където ψ е този вписан ъгъл тук, върхът му лежи на окръжността. Сега, централен ъгъл е ъгъл, чийто връх лежи в центъра на окръжността. Да речем, че това тук... ще опитам на око... това тук е центърът на окръжността. Ще начертая централен ъгъл, който допира същата дъга. Това изглежда като централен ъгъл, отсичащ същата дъга. Така. Да наречем това тита. Този ъгъл е ψ, този ъгъл тук е θ (тита). В това видео ще докажа, че ψ е винаги равно на 1/2 θ. Ако ти кажа, че ψ е равно на... не знам, 25 градуса, то ти можеш веднага да намериш, че θ е равно на 50 градуса. Ако кажа, че θ е 80 градуса, можеш веднага да намериш, че ψ е 40 градуса. Да докажем това всъщност. Ще изчистя това. Добро начало е... или тук ще започна от един специален случай. Ще начертая вписан ъгъл, но една от хордите, които го определят, ще бъде диаметър на окръжността. Няма да бъде обичайният случай, това ще е специален случай. Да видим, това е центърът на моята окръжност. Опитвам да го направя на око. Центърът изглежда така. Ще построя диаметър. Диаметърът изглежда така. После ще дефинирам моя вписан ъгъл. Този диаметър е едното му рамо. И после другото рамо може да е така. Ще нарека това тук ψ (пси). Ако това е ψ, тази дължина тук е радиус – това е нашият радиус на нашата окръжност. После тази дължина тук също е радиус на нашата окръжност, от центъра към обиколката. Окръжността представлява множеството от всички точки, които са точно на един радиус разстояние от центъра. Това също е радиус. Този триъгълник тук е равнобедрен триъгълник. Той има две страни, които са равни. Две страни, които определено са равни. Знаем, че когато имаме две равни страни, прилежащите им ъгли при основата са също равни. Това ще бъде също равно на ψ. Може да не разпознаваш това, защото е наклонено така. Но мисля, че много от нас, когато видят триъгълник, който изглежда така, ако кажем, че това е r и това е r, тези двете страни са равни, и ако това е r, то също знаеш, че този ъгъл също ще бъде ψ. Ъглите при основата са равни в равнобедрения триъгълник. Това е ψ, това е също ψ. Сега да видим централния ъгъл. Това е централният ъгъл, отсичащ същата дъга. Да подчертаем дъгата, която и двата ъгъла отсичат. Това тук е дъгата, която и двата отсичат. Това е моят централен ъгъл тук, ъгъл θ. Ако този ъгъл е θ, какъв ще бъде този ъгъл? Този ъгъл тук. Добре, този ъгъл е допълващ до 180 за θ, значи е 180 – θ. Когато събереш тези два ъгъла, става 180 градуса или те образуват права. Те са допълващи се до 180 градуса. Сега ние също така знаем, че тези три ъгъла лежат в един и същ триъгълник. Те трябва общо да са 180 градуса. Получаваме това ψ плюс това ψ, плюс този ъгъл, който е 180 – θ, т.е. плюс 180 – θ. Тези три ъгъла са общо 180 градуса. Те са трите ъгъла на триъгълника. Сега можем да извадим 180 от двете страни. ψ + ψ е 2 ψ, минус θ е равно на 0. Добавяме θ от двете страни. И получаваме, че 2ψ = θ. Умножаваме двете страни по 1/2 или разделяме двете страни на 2. Получаваме, че ψ е равно на 1/2 θ. Току-що доказахме това, което искахме, за специалния случай, в който нашият вписан ъгъл е определен, където едното рамо, ако искаш да разгледаш тези хорди като рамена, където едно от рамената, което определя този вписан ъгъл, лежи на диаметъра. Диаметърът образува част от този лъч. Това е специален случай, където едното рамо лежи на диаметъра. Вече можем да обобщим това. Сега знаем, че ако това е 50, то това е 100 градуса и обратно, нали? За всяко ψ или θ, ψ ще бъде 1/2 от това или за всяко ψ ъгъл θ ще бъде 2 по това. Сега това е вярно за всички случаи. Можем да ползваме тази идея по всяко време – така просто като ползваме това решение, можем да обобщим малко, въпреки, че не се прилага за всички вписани ъгли. Да видим вписан ъгъл, който изглежда така. В тази ситуация, центърът, както виждаш, центърът лежи вътре в ъгъла. Това е моят вписан ъгъл. Искам да намеря връзка между този вписан ъгъл и централния ъгъл, който отсича същата дъга. Това е моят централен ъгъл, отсичащ същата дъга. Добре, ще кажеш: "Нито едно рамо, или пък тези хорди, които определят този ъгъл, нито едно от тях не е диаметър, но можем да построим диаметър. Ако центърът е между двете хорди можем да построим диаметър. Можем да построим диаметър по този начин. Ако построим диаметър така, ако определим този ъгъл като ψ1, то този ъгъл е ψ2. Очевидно е, че ψ е сумата от тези два ъгъла. Означаваме този ъгъл θ1, а този ъгъл θ2. Веднага знаем, че като ползваме резултата, който току-що получихме, тъй като едното рамо на нашия ъгъл в двата случая е диаметър сега, знаем, че това ψ1 ще бъде равно на 1/2 от ъгъл θ1. Знаем, че това ψ2 ще бъде 1/2 от θ2. ψ2 ще бъде 1/2 от ъгъл θ2. Значи ψ, което е ψ1 + ψ2 ще бъде равно на тези две неща. 1/2 θ1 + 1/2 θ2. ψ1 + ψ2 е равно на първия вписан ъгъл, който искаме да разгледаме, обикновено ψ. Това е ψ. Този ъгъл тук, това е равно на 1/2 по θ1 плюс θ2. Какво е θ1 + θ2? Това е просто нашето начално θ, което имахме преди. Сега виждаме, че ψ = 1/2 θ. Сега сме доказали за малко по-общ случай, където нашият център е вътре между двете рамена, които определят този ъгъл. Все още не сме разгледали малко по-трудна ситуация или по-общ случай, където ако това е центърът на нашата окръжност и съм вписал ъгъл, където центърът не лежи между двете хорди. Ще начертая това. Това ще е моят връх, ще сменя цветовете. Да речем, че това е една от хордите, които определят ъгъла ето така. Да речем, че това е другата хорда, която определя ъгъла ето така. Как намираме връзката между... да кажем този ъгъл тук, да го наречем ψ1. Как намираме връзката между ψ1 и централния ъгъл, който отсича същата дъга? Когато говорим за същата дъга, тя е това тук. Централният ъгъл, който отсича същата дъга ще изглежда така. Да наречем това θ1. Можем да ползваме това, което намерихме току-що, когато едното рамо на вписания ъгъл е диаметър. Да построим това. Ще построя диаметър тук. Търсим все още това да бъде 1/2 от това, но нека го докажем. Ще построя диаметър ето така. Ще нарека този ъгъл тук, ще го нарека ψ2. Той отсича тази дъга тук – ще я направя в по-тъмен цвят. Той отсича тази дъга тук. Централният ъгъл, който отсича тази дъга, ще го нарека θ2. От началото на видеото знаем, че ψ2 е равно на 1/2 ъгъл θ2, нали? Те имат обща дъга... диаметърът е тук. Диаметърът е едната от хордите, които образуват ъгъла. Така ψ2 ще бъде равно на 1/2 от θ2. Това е точно, което правихме в последното видео, нали? Това е вписан ъгъл. Една от хордите, които го определят, лежи на диаметъра. Това ще бъде 1/2 от този ъгъл, от централния ъгъл, който отсича същата дъга. Сега да видим този по-големия ъгъл. Този по-голям ъгъл тук. ψ1 + ψ2. Този по-голям ъгъл е ψ1 + ψ2. Още веднъж, това отсича тази цялата дъга тук и диаметърът е едното от рамената, които определят големия ъгъл. Това ще бъде 1/2 от централния ъгъл, който отсича същата дъга. Ето как използвахме това, което току-що показахме в това видео. Това ще е равно на 1/2 от този голям централен ъгъл θ1 + θ2. Дотук сме ползвали всичко, което научихме по-рано в това видео. Вече знаем, че това ψ2 е равно на 1/2 от θ2. Ще заместя това. Това е равно на това. Можем да кажем, че ψ1 плюс... вместо ψ2 ще запиша 1/2 θ2, което е равно на 1/2 θ1 + 1/2 θ2. Можем да извадим 1/2 θ2 от двете страни и ще получим отговора. ψ1 е равно на 1/2 θ1. И сме готови. Доказали сме ситуацията, в която вписан ъгъл е винаги 1/2 от централния ъгъл, който отсича същата дъга, независимо дали центърът на окръжността е вътре в ъгъла, извън ъгъла, дали имаме диаметър отстрани. Така за всеки ъгъл можем да кажем, че е сума от... всеки, или всички тези, които вече решихме. Надявам се, че ти е било от полза и сега можем всъщност да градим върху този резултат, за да направим някои още по-интересни геометрични доказателства.