1
00:00:00,690 --> 00:00:03,450
В това видео искам да докажа още едно-две

2
00:00:03,450 --> 00:00:08,980
полезни неща по геометрия и по-точно това, 
че вписан ъгъл

3
00:00:08,980 --> 00:00:14,950
е този ъгъл, чийто връх лежи

4
00:00:14,950 --> 00:00:17,080
на окръжност.

5
00:00:17,080 --> 00:00:19,800
Това е нашият вписан ъгъл.

6
00:00:19,800 --> 00:00:24,950
Ще го обознача като ψ (пси), ще ползвам ψ за вписан ъгъл

7
00:00:24,950 --> 00:00:27,170
и ъгли в това видео.

8
00:00:27,170 --> 00:00:33,530
Ъгъл ψ, вписаният ъгъл, е точно 1/2 от

9
00:00:33,530 --> 00:00:37,880
централния ъгъл, който отсича същата дъга.

10
00:00:37,880 --> 00:00:40,730
Използвах доста сложни думи, но мисля, че

11
00:00:40,730 --> 00:00:41,650
разбираш какво имам предвид.

12
00:00:41,650 --> 00:00:42,820
Значи това е ψ.

13
00:00:42,820 --> 00:00:44,470
Това е вписан ъгъл.

14
00:00:44,470 --> 00:00:48,710
Той лежи, неговият връх лежи на окръжността.

15
00:00:48,710 --> 00:00:52,570
Ако построиш двете рамена, прилежащи към този ъгъл,

16
00:00:52,570 --> 00:00:56,040
или двете хорди, които определят този ъгъл, те пресичат

17
00:00:56,040 --> 00:00:57,340
окръжността в другия край.

18
00:00:57,340 --> 00:01:00,390
Ако погледнеш частта от окръжността,

19
00:01:00,390 --> 00:01:03,730
която е отсечена от него, това е дъгата, която е

20
00:01:03,730 --> 00:01:06,160
съответстваща на ъгъл ψ.

21
00:01:06,160 --> 00:01:09,010
Много сложни думи, но мисля, че идеята е

22
00:01:09,010 --> 00:01:09,920
ясна.

23
00:01:09,920 --> 00:01:28,485
Това тук е дъгата, съответна на ъгъл ψ, където ψ е

24
00:01:28,485 --> 00:01:31,560
този вписан ъгъл тук, върхът му лежи

25
00:01:31,560 --> 00:01:32,400
на окръжността.

26
00:01:32,400 --> 00:01:37,920
Сега, централен ъгъл е ъгъл, чийто връх

27
00:01:37,920 --> 00:01:39,460
лежи в центъра на окръжността.

28
00:01:39,460 --> 00:01:41,880
Да речем, че това тук... ще опитам на око...

29
00:01:41,880 --> 00:01:45,510
това тук е центърът на окръжността.

30
00:01:45,510 --> 00:01:51,360
Ще начертая централен ъгъл, 
който допира същата дъга.

31
00:01:51,360 --> 00:01:58,470
Това изглежда като централен ъгъл, 
отсичащ същата дъга.

32
00:01:58,470 --> 00:01:59,390
Така.

33
00:01:59,390 --> 00:02:01,440
Да наречем това тита.

34
00:02:01,440 --> 00:02:06,030
Този ъгъл е ψ, този ъгъл тук е θ (тита).

35
00:02:06,030 --> 00:02:10,120
В това видео ще докажа, че ψ е винаги

36
00:02:10,120 --> 00:02:14,050
равно на 1/2 θ.

37
00:02:14,050 --> 00:02:18,220
Ако ти кажа, че ψ е равно на... не знам,

38
00:02:18,220 --> 00:02:21,330
25 градуса, то ти можеш веднага да намериш, че θ

39
00:02:21,330 --> 00:02:23,090
е равно на 50 градуса.

40
00:02:23,090 --> 00:02:26,080
Ако кажа, че θ е 80 градуса, можеш

41
00:02:26,080 --> 00:02:29,300
веднага да намериш, че ψ е 40 градуса.

42
00:02:29,300 --> 00:02:31,500
Да докажем това всъщност.

43
00:02:31,500 --> 00:02:34,520
Ще изчистя това.

44
00:02:34,520 --> 00:02:37,730
Добро начало е... или тук ще започна

45
00:02:37,730 --> 00:02:40,460
от един специален случай.

46
00:02:40,460 --> 00:02:45,250
Ще начертая вписан ъгъл, но една от хордите,

47
00:02:45,250 --> 00:02:47,910
които го определят, ще бъде
диаметър на окръжността.

48
00:02:47,910 --> 00:02:50,526
Няма да бъде обичайният случай, това ще е

49
00:02:50,526 --> 00:02:51,320
специален случай.

50
00:02:51,320 --> 00:02:55,325
Да видим, това е центърът на моята окръжност.

51
00:02:55,325 --> 00:02:59,030
Опитвам да го направя на око.

52
00:02:59,030 --> 00:03:00,770
Центърът изглежда така.

53
00:03:00,770 --> 00:03:04,210
Ще построя диаметър.

54
00:03:04,210 --> 00:03:06,440
Диаметърът изглежда така.

55
00:03:06,440 --> 00:03:09,410
После ще дефинирам моя вписан ъгъл.

56
00:03:09,410 --> 00:03:11,860
Този диаметър е едното му рамо.

57
00:03:11,860 --> 00:03:15,910
И после другото рамо може да е така.

58
00:03:15,910 --> 00:03:20,520
Ще нарека това тук ψ (пси).

59
00:03:20,520 --> 00:03:27,120
Ако това е ψ, тази дължина тук е радиус – това е

60
00:03:27,120 --> 00:03:29,330
нашият радиус на нашата окръжност.

61
00:03:29,330 --> 00:03:33,080
После тази дължина тук също е радиус на

62
00:03:33,080 --> 00:03:35,760
нашата окръжност, от центъра към обиколката.

63
00:03:35,760 --> 00:03:38,130
Окръжността представлява множеството от 
всички точки, които са

64
00:03:38,130 --> 00:03:40,340
точно на един радиус разстояние от центъра.

65
00:03:40,340 --> 00:03:43,610
Това също е радиус.

66
00:03:43,610 --> 00:03:47,920
Този триъгълник тук е равнобедрен триъгълник.

67
00:03:47,920 --> 00:03:49,890
Той има две страни, които са равни.

68
00:03:49,890 --> 00:03:51,880
Две страни, които определено са равни.

69
00:03:51,880 --> 00:03:54,630
Знаем, че когато имаме две равни страни,

70
00:03:54,630 --> 00:03:57,290
прилежащите им ъгли при основата
са също равни.

71
00:03:57,290 --> 00:04:00,640
Това ще бъде също равно на ψ.

72
00:04:00,640 --> 00:04:02,130
Може да не разпознаваш това, защото

73
00:04:02,130 --> 00:04:03,180
е наклонено така.

74
00:04:03,180 --> 00:04:05,720
Но мисля, че много от нас, когато видят триъгълник, 
който изглежда така,

75
00:04:05,720 --> 00:04:10,940
ако кажем, че това е r
и това е r, тези двете

76
00:04:10,940 --> 00:04:17,860
страни са равни, и ако това е r, то също

77
00:04:17,860 --> 00:04:20,830
знаеш, че този ъгъл също ще бъде ψ.

78
00:04:20,830 --> 00:04:23,930
Ъглите при основата са равни 
в равнобедрения триъгълник.

79
00:04:23,930 --> 00:04:26,720
Това е ψ, това е също ψ.

80
00:04:26,720 --> 00:04:29,770
Сега да видим централния ъгъл.

81
00:04:29,770 --> 00:04:32,710
Това е централният ъгъл, 
отсичащ същата дъга.

82
00:04:32,710 --> 00:04:35,920
Да подчертаем дъгата, 
която и двата ъгъла отсичат.

83
00:04:35,920 --> 00:04:40,300
Това тук е дъгата, която и двата отсичат.

84
00:04:40,300 --> 00:04:44,350
Това е моят централен ъгъл тук, ъгъл θ.

85
00:04:44,350 --> 00:04:49,000
Ако този ъгъл е θ, 
какъв ще бъде този ъгъл?

86
00:04:49,000 --> 00:04:50,620
Този ъгъл тук.

87
00:04:50,620 --> 00:04:53,010
Добре, този ъгъл е допълващ до 180 за θ,

88
00:04:53,010 --> 00:04:56,640
значи е 180 – θ.

89
00:04:56,640 --> 00:04:59,560
Когато събереш тези два ъгъла, става 180 градуса

90
00:04:59,560 --> 00:05:01,750
или те образуват права.

91
00:05:01,750 --> 00:05:03,790
Те са допълващи се до 180 градуса.

92
00:05:03,790 --> 00:05:06,740
Сега ние също така знаем, че тези три ъгъла лежат

93
00:05:06,740 --> 00:05:08,260
в един и същ триъгълник.

94
00:05:08,260 --> 00:05:12,030
Те трябва общо да са 180 градуса.

95
00:05:12,030 --> 00:05:19,300
Получаваме това ψ плюс това ψ, 
плюс този

96
00:05:19,300 --> 00:05:25,420
ъгъл, който е 180 – θ, 
т.е. плюс 180 – θ.

97
00:05:25,420 --> 00:05:29,130
Тези три ъгъла са общо 180 градуса.

98
00:05:29,130 --> 00:05:31,740
Те са трите ъгъла на триъгълника.

99
00:05:31,740 --> 00:05:37,115
Сега можем да извадим 180 от двете страни.

100
00:05:37,140 --> 00:05:43,260
ψ + ψ е 2 ψ, 
минус θ е равно на 0.

101
00:05:43,260 --> 00:05:44,890
Добавяме θ от двете страни.

102
00:05:44,890 --> 00:05:48,750
И получаваме, че 2ψ = θ.

103
00:05:48,750 --> 00:05:52,850
Умножаваме двете страни по 1/2 
или разделяме двете страни на 2.

104
00:05:52,850 --> 00:05:56,680
Получаваме, че ψ е равно на 1/2 θ.

105
00:05:56,680 --> 00:06:00,070
Току-що доказахме това, което искахме,
за специалния случай,

106
00:06:00,070 --> 00:06:07,120
в който нашият вписан ъгъл е 
определен, където едното рамо,

107
00:06:07,120 --> 00:06:11,200
ако искаш да разгледаш тези хорди като рамена, 
където едно от рамената,

108
00:06:11,200 --> 00:06:15,220
което определя този вписан ъгъл,

109
00:06:15,220 --> 00:06:17,180
лежи на диаметъра.

110
00:06:17,180 --> 00:06:19,200
Диаметърът образува част от този лъч.

111
00:06:19,200 --> 00:06:21,720
Това е специален случай, където едното рамо

112
00:06:21,720 --> 00:06:23,760
лежи на диаметъра.

113
00:06:23,760 --> 00:06:27,660
Вече можем да обобщим това.

114
00:06:27,660 --> 00:06:30,580
Сега знаем, че ако това е 50, то това е

115
00:06:30,580 --> 00:06:32,820
100 градуса и обратно, нали?

116
00:06:32,820 --> 00:06:37,460
За всяко ψ или θ, ψ ще бъде 1/2 от това

117
00:06:37,460 --> 00:06:40,450
или за всяко ψ ъгъл θ ще бъде

118
00:06:40,450 --> 00:06:41,830
2 по това.

119
00:06:41,830 --> 00:06:44,110
Сега това е вярно за всички случаи.

120
00:06:44,110 --> 00:06:55,440
Можем да ползваме тази идея по всяко време –
така просто като ползваме

121
00:06:55,440 --> 00:06:59,460
това решение, можем да обобщим малко,

122
00:06:59,460 --> 00:07:02,890
въпреки, че не се прилага за всички вписани ъгли.

123
00:07:02,890 --> 00:07:09,170
Да видим вписан ъгъл, който изглежда така.

124
00:07:10,680 --> 00:07:12,980
В тази ситуация, центърът, както виждаш, 
центърът

125
00:07:12,980 --> 00:07:15,470
лежи вътре в ъгъла.

126
00:07:15,470 --> 00:07:17,150
Това е моят вписан ъгъл.

127
00:07:17,150 --> 00:07:18,890
Искам да намеря връзка между този вписан ъгъл

128
00:07:18,890 --> 00:07:22,450
и централния ъгъл, който отсича

129
00:07:22,450 --> 00:07:24,360
същата дъга.

130
00:07:24,360 --> 00:07:29,880
Това е моят централен ъгъл, 
отсичащ същата дъга.

131
00:07:29,880 --> 00:07:33,550
Добре, ще кажеш: "Нито едно рамо, или пък тези

132
00:07:33,550 --> 00:07:37,310
хорди, които определят този ъгъл, 
нито едно от тях не е диаметър,

133
00:07:37,310 --> 00:07:40,400
но можем да построим диаметър.

134
00:07:40,400 --> 00:07:43,300
Ако центърът е между двете хорди

135
00:07:43,300 --> 00:07:46,100
можем да построим диаметър.

136
00:07:46,100 --> 00:07:48,920
Можем да построим диаметър по този начин.

137
00:07:48,920 --> 00:07:51,680
Ако построим диаметър така, ако определим този ъгъл

138
00:07:51,680 --> 00:07:55,430
като ψ1, то този ъгъл е ψ2.

139
00:07:55,430 --> 00:07:58,320
Очевидно е, че ψ е сумата от тези два ъгъла.

140
00:07:58,320 --> 00:08:04,350
Означаваме този ъгъл θ1, а този ъгъл θ2.

141
00:08:04,350 --> 00:08:07,240
Веднага знаем, че като ползваме резултата, 
който току-що получихме,

142
00:08:07,240 --> 00:08:12,540
тъй като едното рамо на нашия ъгъл в двата случая е

143
00:08:12,540 --> 00:08:18,260
диаметър сега, знаем, че това ψ1 ще бъде

144
00:08:18,260 --> 00:08:22,010
равно на 1/2 от ъгъл θ1.

145
00:08:22,010 --> 00:08:24,870
Знаем, че това ψ2 ще бъде 1/2 от θ2.

146
00:08:24,870 --> 00:08:30,140
ψ2 ще бъде 1/2 от ъгъл θ2.

147
00:08:30,140 --> 00:08:39,850
Значи ψ, което е ψ1 + ψ2 ще бъде

148
00:08:39,850 --> 00:08:41,120
равно на тези две неща.

149
00:08:41,120 --> 00:08:47,580
1/2 θ1 + 1/2 θ2.

150
00:08:47,580 --> 00:08:51,180
ψ1 + ψ2 е равно на първия вписан

151
00:08:51,180 --> 00:08:53,850
ъгъл, който искаме да разгледаме, обикновено ψ.

152
00:08:53,850 --> 00:08:54,980
Това е ψ.

153
00:08:54,980 --> 00:08:58,350
Този ъгъл тук, това е равно на 1/2 по

154
00:08:58,350 --> 00:09:00,960
θ1 плюс θ2.

155
00:09:00,960 --> 00:09:03,960
Какво е θ1 + θ2?

156
00:09:03,960 --> 00:09:06,470
Това е просто нашето начално θ, което

157
00:09:06,470 --> 00:09:08,490
имахме преди.

158
00:09:08,490 --> 00:09:12,080
Сега виждаме, че ψ = 1/2 θ.

159
00:09:12,080 --> 00:09:14,710
Сега сме доказали за малко по-общ случай,

160
00:09:14,710 --> 00:09:20,020
където нашият център е вътре между
двете рамена, които

161
00:09:20,020 --> 00:09:21,640
определят този ъгъл.

162
00:09:21,640 --> 00:09:27,100
Все още не сме разгледали
малко по-трудна ситуация или

163
00:09:27,100 --> 00:09:33,660
по-общ случай, където ако това е центърът на

164
00:09:33,660 --> 00:09:39,420
нашата окръжност и съм вписал ъгъл, 
където центърът не

165
00:09:39,420 --> 00:09:40,990
лежи между двете хорди.

166
00:09:40,990 --> 00:09:41,820
Ще начертая това.

167
00:09:41,820 --> 00:09:48,800
Това ще е моят връх, ще сменя цветовете.

168
00:09:48,800 --> 00:09:51,540
Да речем, че това е една от хордите, които определят

169
00:09:51,540 --> 00:09:53,320
ъгъла ето така.

170
00:09:53,320 --> 00:09:57,860
Да речем, че това е другата хорда, която определя

171
00:09:57,860 --> 00:09:59,170
ъгъла ето така.

172
00:09:59,170 --> 00:10:02,500
Как намираме връзката между...

173
00:10:02,500 --> 00:10:07,910
да кажем този ъгъл тук, да го наречем ψ1.

174
00:10:07,910 --> 00:10:13,050
Как намираме връзката между ψ1 и централния

175
00:10:13,050 --> 00:10:16,160
ъгъл, който отсича същата дъга?

176
00:10:16,160 --> 00:10:19,530
Когато говорим за същата дъга, тя е това тук.

177
00:10:19,530 --> 00:10:22,720
Централният ъгъл, който отсича същата дъга

178
00:10:22,720 --> 00:10:28,370
ще изглежда така.

179
00:10:28,370 --> 00:10:32,910
Да наречем това θ1.

180
00:10:32,910 --> 00:10:36,770
Можем да ползваме това, което намерихме току-що,
когато едното рамо на

181
00:10:36,770 --> 00:10:39,350
вписания ъгъл е диаметър.

182
00:10:39,350 --> 00:10:41,135
Да построим това.

183
00:10:41,135 --> 00:10:44,260
Ще построя диаметър тук.

184
00:10:44,260 --> 00:10:47,010
Търсим все още това да бъде 1/2 от

185
00:10:47,010 --> 00:10:48,180
това, но нека го докажем.

186
00:10:48,180 --> 00:10:57,560
Ще построя диаметър ето така.

187
00:10:57,560 --> 00:11:09,490
Ще нарека този ъгъл тук, ще го нарека ψ2.

188
00:11:09,490 --> 00:11:14,770
Той отсича тази дъга тук – ще я направя

189
00:11:14,770 --> 00:11:16,140
в по-тъмен цвят.

190
00:11:16,140 --> 00:11:19,770
Той отсича тази дъга тук.

191
00:11:19,770 --> 00:11:22,360
Централният ъгъл, който отсича тази дъга,

192
00:11:22,360 --> 00:11:25,300
ще го нарека θ2.

193
00:11:25,300 --> 00:11:30,890
От началото на видеото знаем, че ψ2

194
00:11:30,890 --> 00:11:37,600
е равно на 1/2 ъгъл θ2, нали?

195
00:11:37,600 --> 00:11:40,760
Те имат обща дъга... диаметърът е тук.

196
00:11:40,760 --> 00:11:44,300
Диаметърът е едната от хордите,
които образуват ъгъла.

197
00:11:44,300 --> 00:11:50,160
Така ψ2 ще бъде равно на 1/2 от θ2.

198
00:11:50,160 --> 00:11:52,810
Това е точно, което правихме 
в последното видео, нали?

199
00:11:52,810 --> 00:11:55,430
Това е вписан ъгъл.

200
00:11:55,430 --> 00:11:59,550
Една от хордите, които го определят,
лежи на диаметъра.

201
00:11:59,550 --> 00:12:02,740
Това ще бъде 1/2 от този ъгъл,
от централния ъгъл,

202
00:12:02,740 --> 00:12:05,980
който отсича същата дъга.

203
00:12:05,980 --> 00:12:09,000
Сега да видим този по-големия ъгъл.

204
00:12:09,000 --> 00:12:11,680
Този по-голям ъгъл тук.

205
00:12:11,680 --> 00:12:14,240
ψ1 + ψ2.

206
00:12:14,240 --> 00:12:22,720
Този по-голям ъгъл е ψ1 + ψ2.

207
00:12:22,720 --> 00:12:28,680
Още веднъж, това отсича тази цялата дъга тук и

208
00:12:28,680 --> 00:12:32,100
диаметърът е едното от рамената, които определят

209
00:12:32,100 --> 00:12:34,310
големия ъгъл.

210
00:12:34,310 --> 00:12:37,380
Това ще бъде 1/2 от централния ъгъл, който

211
00:12:37,380 --> 00:12:38,580
отсича същата дъга.

212
00:12:38,580 --> 00:12:42,270
Ето как използвахме това, което току-що
показахме в това видео.

213
00:12:42,270 --> 00:12:47,390
Това ще е равно на 1/2 от
този голям централен ъгъл

214
00:12:47,390 --> 00:12:54,250
θ1 + θ2.

215
00:12:54,310 --> 00:12:56,530
Дотук сме ползвали всичко, което научихме

216
00:12:56,530 --> 00:12:58,160
по-рано в това видео.

217
00:12:58,160 --> 00:13:03,160
Вече знаем, че това ψ2 е равно на 1/2 от θ2.

218
00:13:03,160 --> 00:13:05,630
Ще заместя това.

219
00:13:05,630 --> 00:13:07,030
Това е равно на това.

220
00:13:07,030 --> 00:13:15,330
Можем да кажем, че ψ1 плюс...
вместо ψ2 ще запиша

221
00:13:15,330 --> 00:13:30,350
1/2 θ2, което е равно на 1/2 θ1 + 1/2 θ2.

222
00:13:30,350 --> 00:13:34,020
Можем да извадим 1/2 θ2 от двете страни и

223
00:13:34,020 --> 00:13:35,740
ще получим отговора.

224
00:13:35,740 --> 00:13:40,900
ψ1 е равно на 1/2 θ1.

225
00:13:40,900 --> 00:13:41,970
И сме готови.

226
00:13:41,970 --> 00:13:44,990
Доказали сме ситуацията, в която вписан ъгъл е

227
00:13:44,990 --> 00:13:50,680
винаги 1/2 от централния ъгъл, 
който отсича същата дъга,

228
00:13:50,680 --> 00:13:53,980
независимо дали центърът на окръжността е вътре в

229
00:13:53,980 --> 00:13:58,990
ъгъла, извън ъгъла, дали имаме

230
00:13:58,990 --> 00:14:00,950
диаметър отстрани.

231
00:14:00,950 --> 00:14:05,860
Така за всеки ъгъл можем 
да кажем, че е сума от...

232
00:14:05,860 --> 00:14:08,300
всеки, или всички тези, 
които вече решихме.

233
00:14:08,300 --> 00:14:10,190
Надявам се, че ти е било от полза 
и сега можем всъщност

234
00:14:10,190 --> 00:14:14,630
да градим върху този резултат, за да 
направим някои още по-интересни

235
00:14:14,630 --> 00:14:16,460
геометрични доказателства.