WEBVTT

00:00:00.690 --> 00:00:03.450
В това видео искам да докажа още едно-две

00:00:03.450 --> 00:00:08.980
полезни неща по геометрия и по-точно това, 
че вписан ъгъл

00:00:08.980 --> 00:00:14.950
е този ъгъл, чийто връх лежи

00:00:14.950 --> 00:00:17.080
на окръжност.

00:00:17.080 --> 00:00:19.800
Това е нашият вписан ъгъл.

00:00:19.800 --> 00:00:24.950
Ще го обознача като ψ (пси), ще ползвам ψ за вписан ъгъл

00:00:24.950 --> 00:00:27.170
и ъгли в това видео.

00:00:27.170 --> 00:00:33.530
Ъгъл ψ, вписаният ъгъл, е точно 1/2 от

00:00:33.530 --> 00:00:37.880
централния ъгъл, който отсича същата дъга.

00:00:37.880 --> 00:00:40.730
Използвах доста сложни думи, но мисля, че

00:00:40.730 --> 00:00:41.650
разбираш какво имам предвид.

00:00:41.650 --> 00:00:42.820
Значи това е ψ.

00:00:42.820 --> 00:00:44.470
Това е вписан ъгъл.

00:00:44.470 --> 00:00:48.710
Той лежи, неговият връх лежи на окръжността.

00:00:48.710 --> 00:00:52.570
Ако построиш двете рамена, прилежащи към този ъгъл,

00:00:52.570 --> 00:00:56.040
или двете хорди, които определят този ъгъл, те пресичат

00:00:56.040 --> 00:00:57.340
окръжността в другия край.

00:00:57.340 --> 00:01:00.390
Ако погледнеш частта от окръжността,

00:01:00.390 --> 00:01:03.730
която е отсечена от него, това е дъгата, която е

00:01:03.730 --> 00:01:06.160
съответстваща на ъгъл ψ.

00:01:06.160 --> 00:01:09.010
Много сложни думи, но мисля, че идеята е

00:01:09.010 --> 00:01:09.920
ясна.

00:01:09.920 --> 00:01:28.485
Това тук е дъгата, съответна на ъгъл ψ, където ψ е

00:01:28.485 --> 00:01:31.560
този вписан ъгъл тук, върхът му лежи

00:01:31.560 --> 00:01:32.400
на окръжността.

00:01:32.400 --> 00:01:37.920
Сега, централен ъгъл е ъгъл, чийто връх

00:01:37.920 --> 00:01:39.460
лежи в центъра на окръжността.

00:01:39.460 --> 00:01:41.880
Да речем, че това тук... ще опитам на око...

00:01:41.880 --> 00:01:45.510
това тук е центърът на окръжността.

00:01:45.510 --> 00:01:51.360
Ще начертая централен ъгъл, 
който допира същата дъга.

00:01:51.360 --> 00:01:58.470
Това изглежда като централен ъгъл, 
отсичащ същата дъга.

00:01:58.470 --> 00:01:59.390
Така.

00:01:59.390 --> 00:02:01.440
Да наречем това тита.

00:02:01.440 --> 00:02:06.030
Този ъгъл е ψ, този ъгъл тук е θ (тита).

00:02:06.030 --> 00:02:10.120
В това видео ще докажа, че ψ е винаги

00:02:10.120 --> 00:02:14.050
равно на 1/2 θ.

00:02:14.050 --> 00:02:18.220
Ако ти кажа, че ψ е равно на... не знам,

00:02:18.220 --> 00:02:21.330
25 градуса, то ти можеш веднага да намериш, че θ

00:02:21.330 --> 00:02:23.090
е равно на 50 градуса.

00:02:23.090 --> 00:02:26.080
Ако кажа, че θ е 80 градуса, можеш

00:02:26.080 --> 00:02:29.300
веднага да намериш, че ψ е 40 градуса.

00:02:29.300 --> 00:02:31.500
Да докажем това всъщност.

00:02:31.500 --> 00:02:34.520
Ще изчистя това.

00:02:34.520 --> 00:02:37.730
Добро начало е... или тук ще започна

00:02:37.730 --> 00:02:40.460
от един специален случай.

00:02:40.460 --> 00:02:45.250
Ще начертая вписан ъгъл, но една от хордите,

00:02:45.250 --> 00:02:47.910
които го определят, ще бъде
диаметър на окръжността.

00:02:47.910 --> 00:02:50.526
Няма да бъде обичайният случай, това ще е

00:02:50.526 --> 00:02:51.320
специален случай.

00:02:51.320 --> 00:02:55.325
Да видим, това е центърът на моята окръжност.

00:02:55.325 --> 00:02:59.030
Опитвам да го направя на око.

00:02:59.030 --> 00:03:00.770
Центърът изглежда така.

00:03:00.770 --> 00:03:04.210
Ще построя диаметър.

00:03:04.210 --> 00:03:06.440
Диаметърът изглежда така.

00:03:06.440 --> 00:03:09.410
После ще дефинирам моя вписан ъгъл.

00:03:09.410 --> 00:03:11.860
Този диаметър е едното му рамо.

00:03:11.860 --> 00:03:15.910
И после другото рамо може да е така.

00:03:15.910 --> 00:03:20.520
Ще нарека това тук ψ (пси).

00:03:20.520 --> 00:03:27.120
Ако това е ψ, тази дължина тук е радиус – това е

00:03:27.120 --> 00:03:29.330
нашият радиус на нашата окръжност.

00:03:29.330 --> 00:03:33.080
После тази дължина тук също е радиус на

00:03:33.080 --> 00:03:35.760
нашата окръжност, от центъра към обиколката.

00:03:35.760 --> 00:03:38.130
Окръжността представлява множеството от 
всички точки, които са

00:03:38.130 --> 00:03:40.340
точно на един радиус разстояние от центъра.

00:03:40.340 --> 00:03:43.610
Това също е радиус.

00:03:43.610 --> 00:03:47.920
Този триъгълник тук е равнобедрен триъгълник.

00:03:47.920 --> 00:03:49.890
Той има две страни, които са равни.

00:03:49.890 --> 00:03:51.880
Две страни, които определено са равни.

00:03:51.880 --> 00:03:54.630
Знаем, че когато имаме две равни страни,

00:03:54.630 --> 00:03:57.290
прилежащите им ъгли при основата
са също равни.

00:03:57.290 --> 00:04:00.640
Това ще бъде също равно на ψ.

00:04:00.640 --> 00:04:02.130
Може да не разпознаваш това, защото

00:04:02.130 --> 00:04:03.180
е наклонено така.

00:04:03.180 --> 00:04:05.720
Но мисля, че много от нас, когато видят триъгълник, 
който изглежда така,

00:04:05.720 --> 00:04:10.940
ако кажем, че това е r
и това е r, тези двете

00:04:10.940 --> 00:04:17.860
страни са равни, и ако това е r, то също

00:04:17.860 --> 00:04:20.830
знаеш, че този ъгъл също ще бъде ψ.

00:04:20.830 --> 00:04:23.930
Ъглите при основата са равни 
в равнобедрения триъгълник.

00:04:23.930 --> 00:04:26.720
Това е ψ, това е също ψ.

00:04:26.720 --> 00:04:29.770
Сега да видим централния ъгъл.

00:04:29.770 --> 00:04:32.710
Това е централният ъгъл, 
отсичащ същата дъга.

00:04:32.710 --> 00:04:35.920
Да подчертаем дъгата, 
която и двата ъгъла отсичат.

00:04:35.920 --> 00:04:40.300
Това тук е дъгата, която и двата отсичат.

00:04:40.300 --> 00:04:44.350
Това е моят централен ъгъл тук, ъгъл θ.

00:04:44.350 --> 00:04:49.000
Ако този ъгъл е θ, 
какъв ще бъде този ъгъл?

00:04:49.000 --> 00:04:50.620
Този ъгъл тук.

00:04:50.620 --> 00:04:53.010
Добре, този ъгъл е допълващ до 180 за θ,

00:04:53.010 --> 00:04:56.640
значи е 180 – θ.

00:04:56.640 --> 00:04:59.560
Когато събереш тези два ъгъла, става 180 градуса

00:04:59.560 --> 00:05:01.750
или те образуват права.

00:05:01.750 --> 00:05:03.790
Те са допълващи се до 180 градуса.

00:05:03.790 --> 00:05:06.740
Сега ние също така знаем, че тези три ъгъла лежат

00:05:06.740 --> 00:05:08.260
в един и същ триъгълник.

00:05:08.260 --> 00:05:12.030
Те трябва общо да са 180 градуса.

00:05:12.030 --> 00:05:19.300
Получаваме това ψ плюс това ψ, 
плюс този

00:05:19.300 --> 00:05:25.420
ъгъл, който е 180 – θ, 
т.е. плюс 180 – θ.

00:05:25.420 --> 00:05:29.130
Тези три ъгъла са общо 180 градуса.

00:05:29.130 --> 00:05:31.740
Те са трите ъгъла на триъгълника.

00:05:31.740 --> 00:05:37.115
Сега можем да извадим 180 от двете страни.

00:05:37.140 --> 00:05:43.260
ψ + ψ е 2 ψ, 
минус θ е равно на 0.

00:05:43.260 --> 00:05:44.890
Добавяме θ от двете страни.

00:05:44.890 --> 00:05:48.750
И получаваме, че 2ψ = θ.

00:05:48.750 --> 00:05:52.850
Умножаваме двете страни по 1/2 
или разделяме двете страни на 2.

00:05:52.850 --> 00:05:56.680
Получаваме, че ψ е равно на 1/2 θ.

00:05:56.680 --> 00:06:00.070
Току-що доказахме това, което искахме,
за специалния случай,

00:06:00.070 --> 00:06:07.120
в който нашият вписан ъгъл е 
определен, където едното рамо,

00:06:07.120 --> 00:06:11.200
ако искаш да разгледаш тези хорди като рамена, 
където едно от рамената,

00:06:11.200 --> 00:06:15.220
което определя този вписан ъгъл,

00:06:15.220 --> 00:06:17.180
лежи на диаметъра.

00:06:17.180 --> 00:06:19.200
Диаметърът образува част от този лъч.

00:06:19.200 --> 00:06:21.720
Това е специален случай, където едното рамо

00:06:21.720 --> 00:06:23.760
лежи на диаметъра.

00:06:23.760 --> 00:06:27.660
Вече можем да обобщим това.

00:06:27.660 --> 00:06:30.580
Сега знаем, че ако това е 50, то това е

00:06:30.580 --> 00:06:32.820
100 градуса и обратно, нали?

00:06:32.820 --> 00:06:37.460
За всяко ψ или θ, ψ ще бъде 1/2 от това

00:06:37.460 --> 00:06:40.450
или за всяко ψ ъгъл θ ще бъде

00:06:40.450 --> 00:06:41.830
2 по това.

00:06:41.830 --> 00:06:44.110
Сега това е вярно за всички случаи.

00:06:44.110 --> 00:06:55.440
Можем да ползваме тази идея по всяко време –
така просто като ползваме

00:06:55.440 --> 00:06:59.460
това решение, можем да обобщим малко,

00:06:59.460 --> 00:07:02.890
въпреки, че не се прилага за всички вписани ъгли.

00:07:02.890 --> 00:07:09.170
Да видим вписан ъгъл, който изглежда така.

00:07:10.680 --> 00:07:12.980
В тази ситуация, центърът, както виждаш, 
центърът

00:07:12.980 --> 00:07:15.470
лежи вътре в ъгъла.

00:07:15.470 --> 00:07:17.150
Това е моят вписан ъгъл.

00:07:17.150 --> 00:07:18.890
Искам да намеря връзка между този вписан ъгъл

00:07:18.890 --> 00:07:22.450
и централния ъгъл, който отсича

00:07:22.450 --> 00:07:24.360
същата дъга.

00:07:24.360 --> 00:07:29.880
Това е моят централен ъгъл, 
отсичащ същата дъга.

00:07:29.880 --> 00:07:33.550
Добре, ще кажеш: "Нито едно рамо, или пък тези

00:07:33.550 --> 00:07:37.310
хорди, които определят този ъгъл, 
нито едно от тях не е диаметър,

00:07:37.310 --> 00:07:40.400
но можем да построим диаметър.

00:07:40.400 --> 00:07:43.300
Ако центърът е между двете хорди

00:07:43.300 --> 00:07:46.100
можем да построим диаметър.

00:07:46.100 --> 00:07:48.920
Можем да построим диаметър по този начин.

00:07:48.920 --> 00:07:51.680
Ако построим диаметър така, ако определим този ъгъл

00:07:51.680 --> 00:07:55.430
като ψ1, то този ъгъл е ψ2.

00:07:55.430 --> 00:07:58.320
Очевидно е, че ψ е сумата от тези два ъгъла.

00:07:58.320 --> 00:08:04.350
Означаваме този ъгъл θ1, а този ъгъл θ2.

00:08:04.350 --> 00:08:07.240
Веднага знаем, че като ползваме резултата, 
който току-що получихме,

00:08:07.240 --> 00:08:12.540
тъй като едното рамо на нашия ъгъл в двата случая е

00:08:12.540 --> 00:08:18.260
диаметър сега, знаем, че това ψ1 ще бъде

00:08:18.260 --> 00:08:22.010
равно на 1/2 от ъгъл θ1.

00:08:22.010 --> 00:08:24.870
Знаем, че това ψ2 ще бъде 1/2 от θ2.

00:08:24.870 --> 00:08:30.140
ψ2 ще бъде 1/2 от ъгъл θ2.

00:08:30.140 --> 00:08:39.850
Значи ψ, което е ψ1 + ψ2 ще бъде

00:08:39.850 --> 00:08:41.120
равно на тези две неща.

00:08:41.120 --> 00:08:47.580
1/2 θ1 + 1/2 θ2.

00:08:47.580 --> 00:08:51.180
ψ1 + ψ2 е равно на първия вписан

00:08:51.180 --> 00:08:53.850
ъгъл, който искаме да разгледаме, обикновено ψ.

00:08:53.850 --> 00:08:54.980
Това е ψ.

00:08:54.980 --> 00:08:58.350
Този ъгъл тук, това е равно на 1/2 по

00:08:58.350 --> 00:09:00.960
θ1 плюс θ2.

00:09:00.960 --> 00:09:03.960
Какво е θ1 + θ2?

00:09:03.960 --> 00:09:06.470
Това е просто нашето начално θ, което

00:09:06.470 --> 00:09:08.490
имахме преди.

00:09:08.490 --> 00:09:12.080
Сега виждаме, че ψ = 1/2 θ.

00:09:12.080 --> 00:09:14.710
Сега сме доказали за малко по-общ случай,

00:09:14.710 --> 00:09:20.020
където нашият център е вътре между
двете рамена, които

00:09:20.020 --> 00:09:21.640
определят този ъгъл.

00:09:21.640 --> 00:09:27.100
Все още не сме разгледали
малко по-трудна ситуация или

00:09:27.100 --> 00:09:33.660
по-общ случай, където ако това е центърът на

00:09:33.660 --> 00:09:39.420
нашата окръжност и съм вписал ъгъл, 
където центърът не

00:09:39.420 --> 00:09:40.990
лежи между двете хорди.

00:09:40.990 --> 00:09:41.820
Ще начертая това.

00:09:41.820 --> 00:09:48.800
Това ще е моят връх, ще сменя цветовете.

00:09:48.800 --> 00:09:51.540
Да речем, че това е една от хордите, които определят

00:09:51.540 --> 00:09:53.320
ъгъла ето така.

00:09:53.320 --> 00:09:57.860
Да речем, че това е другата хорда, която определя

00:09:57.860 --> 00:09:59.170
ъгъла ето така.

00:09:59.170 --> 00:10:02.500
Как намираме връзката между...

00:10:02.500 --> 00:10:07.910
да кажем този ъгъл тук, да го наречем ψ1.

00:10:07.910 --> 00:10:13.050
Как намираме връзката между ψ1 и централния

00:10:13.050 --> 00:10:16.160
ъгъл, който отсича същата дъга?

00:10:16.160 --> 00:10:19.530
Когато говорим за същата дъга, тя е това тук.

00:10:19.530 --> 00:10:22.720
Централният ъгъл, който отсича същата дъга

00:10:22.720 --> 00:10:28.370
ще изглежда така.

00:10:28.370 --> 00:10:32.910
Да наречем това θ1.

00:10:32.910 --> 00:10:36.770
Можем да ползваме това, което намерихме току-що,
когато едното рамо на

00:10:36.770 --> 00:10:39.350
вписания ъгъл е диаметър.

00:10:39.350 --> 00:10:41.135
Да построим това.

00:10:41.135 --> 00:10:44.260
Ще построя диаметър тук.

00:10:44.260 --> 00:10:47.010
Търсим все още това да бъде 1/2 от

00:10:47.010 --> 00:10:48.180
това, но нека го докажем.

00:10:48.180 --> 00:10:57.560
Ще построя диаметър ето така.

00:10:57.560 --> 00:11:09.490
Ще нарека този ъгъл тук, ще го нарека ψ2.

00:11:09.490 --> 00:11:14.770
Той отсича тази дъга тук – ще я направя

00:11:14.770 --> 00:11:16.140
в по-тъмен цвят.

00:11:16.140 --> 00:11:19.770
Той отсича тази дъга тук.

00:11:19.770 --> 00:11:22.360
Централният ъгъл, който отсича тази дъга,

00:11:22.360 --> 00:11:25.300
ще го нарека θ2.

00:11:25.300 --> 00:11:30.890
От началото на видеото знаем, че ψ2

00:11:30.890 --> 00:11:37.600
е равно на 1/2 ъгъл θ2, нали?

00:11:37.600 --> 00:11:40.760
Те имат обща дъга... диаметърът е тук.

00:11:40.760 --> 00:11:44.300
Диаметърът е едната от хордите,
които образуват ъгъла.

00:11:44.300 --> 00:11:50.160
Така ψ2 ще бъде равно на 1/2 от θ2.

00:11:50.160 --> 00:11:52.810
Това е точно, което правихме 
в последното видео, нали?

00:11:52.810 --> 00:11:55.430
Това е вписан ъгъл.

00:11:55.430 --> 00:11:59.550
Една от хордите, които го определят,
лежи на диаметъра.

00:11:59.550 --> 00:12:02.740
Това ще бъде 1/2 от този ъгъл,
от централния ъгъл,

00:12:02.740 --> 00:12:05.980
който отсича същата дъга.

00:12:05.980 --> 00:12:09.000
Сега да видим този по-големия ъгъл.

00:12:09.000 --> 00:12:11.680
Този по-голям ъгъл тук.

00:12:11.680 --> 00:12:14.240
ψ1 + ψ2.

00:12:14.240 --> 00:12:22.720
Този по-голям ъгъл е ψ1 + ψ2.

00:12:22.720 --> 00:12:28.680
Още веднъж, това отсича тази цялата дъга тук и

00:12:28.680 --> 00:12:32.100
диаметърът е едното от рамената, които определят

00:12:32.100 --> 00:12:34.310
големия ъгъл.

00:12:34.310 --> 00:12:37.380
Това ще бъде 1/2 от централния ъгъл, който

00:12:37.380 --> 00:12:38.580
отсича същата дъга.

00:12:38.580 --> 00:12:42.270
Ето как използвахме това, което току-що
показахме в това видео.

00:12:42.270 --> 00:12:47.390
Това ще е равно на 1/2 от
този голям централен ъгъл

00:12:47.390 --> 00:12:54.250
θ1 + θ2.

00:12:54.310 --> 00:12:56.530
Дотук сме ползвали всичко, което научихме

00:12:56.530 --> 00:12:58.160
по-рано в това видео.

00:12:58.160 --> 00:13:03.160
Вече знаем, че това ψ2 е равно на 1/2 от θ2.

00:13:03.160 --> 00:13:05.630
Ще заместя това.

00:13:05.630 --> 00:13:07.030
Това е равно на това.

00:13:07.030 --> 00:13:15.330
Можем да кажем, че ψ1 плюс...
вместо ψ2 ще запиша

00:13:15.330 --> 00:13:30.350
1/2 θ2, което е равно на 1/2 θ1 + 1/2 θ2.

00:13:30.350 --> 00:13:34.020
Можем да извадим 1/2 θ2 от двете страни и

00:13:34.020 --> 00:13:35.740
ще получим отговора.

00:13:35.740 --> 00:13:40.900
ψ1 е равно на 1/2 θ1.

00:13:40.900 --> 00:13:41.970
И сме готови.

00:13:41.970 --> 00:13:44.990
Доказали сме ситуацията, в която вписан ъгъл е

00:13:44.990 --> 00:13:50.680
винаги 1/2 от централния ъгъл, 
който отсича същата дъга,

00:13:50.680 --> 00:13:53.980
независимо дали центърът на окръжността е вътре в

00:13:53.980 --> 00:13:58.990
ъгъла, извън ъгъла, дали имаме

00:13:58.990 --> 00:14:00.950
диаметър отстрани.

00:14:00.950 --> 00:14:05.860
Така за всеки ъгъл можем 
да кажем, че е сума от...

00:14:05.860 --> 00:14:08.300
всеки, или всички тези, 
които вече решихме.

00:14:08.300 --> 00:14:10.190
Надявам се, че ти е било от полза 
и сега можем всъщност

00:14:10.190 --> 00:14:14.630
да градим върху този резултат, за да 
направим някои още по-интересни

00:14:14.630 --> 00:14:16.460
геометрични доказателства.