0:00:00.690,0:00:03.450
В това видео искам да докажа още едно-две

0:00:03.450,0:00:08.980
полезни неща по геометрия и по-точно това, [br]че вписан ъгъл

0:00:08.980,0:00:14.950
е този ъгъл, чийто връх лежи

0:00:14.950,0:00:17.080
на окръжност.

0:00:17.080,0:00:19.800
Това е нашият вписан ъгъл.

0:00:19.800,0:00:24.950
Ще го обознача като ψ (пси), ще ползвам ψ за вписан ъгъл

0:00:24.950,0:00:27.170
и ъгли в това видео.

0:00:27.170,0:00:33.530
Ъгъл ψ, вписаният ъгъл, е точно 1/2 от

0:00:33.530,0:00:37.880
централния ъгъл, който отсича същата дъга.

0:00:37.880,0:00:40.730
Използвах доста сложни думи, но мисля, че

0:00:40.730,0:00:41.650
разбираш какво имам предвид.

0:00:41.650,0:00:42.820
Значи това е ψ.

0:00:42.820,0:00:44.470
Това е вписан ъгъл.

0:00:44.470,0:00:48.710
Той лежи, неговият връх лежи на окръжността.

0:00:48.710,0:00:52.570
Ако построиш двете рамена, прилежащи към този ъгъл,

0:00:52.570,0:00:56.040
или двете хорди, които определят този ъгъл, те пресичат

0:00:56.040,0:00:57.340
окръжността в другия край.

0:00:57.340,0:01:00.390
Ако погледнеш частта от окръжността,

0:01:00.390,0:01:03.730
която е отсечена от него, това е дъгата, която е

0:01:03.730,0:01:06.160
съответстваща на ъгъл ψ.

0:01:06.160,0:01:09.010
Много сложни думи, но мисля, че идеята е

0:01:09.010,0:01:09.920
ясна.

0:01:09.920,0:01:28.485
Това тук е дъгата, съответна на ъгъл ψ, където ψ е

0:01:28.485,0:01:31.560
този вписан ъгъл тук, върхът му лежи

0:01:31.560,0:01:32.400
на окръжността.

0:01:32.400,0:01:37.920
Сега, централен ъгъл е ъгъл, чийто връх

0:01:37.920,0:01:39.460
лежи в центъра на окръжността.

0:01:39.460,0:01:41.880
Да речем, че това тук... ще опитам на око...

0:01:41.880,0:01:45.510
това тук е центърът на окръжността.

0:01:45.510,0:01:51.360
Ще начертая централен ъгъл, [br]който допира същата дъга.

0:01:51.360,0:01:58.470
Това изглежда като централен ъгъл, [br]отсичащ същата дъга.

0:01:58.470,0:01:59.390
Така.

0:01:59.390,0:02:01.440
Да наречем това тита.

0:02:01.440,0:02:06.030
Този ъгъл е ψ, този ъгъл тук е θ (тита).

0:02:06.030,0:02:10.120
В това видео ще докажа, че ψ е винаги

0:02:10.120,0:02:14.050
равно на 1/2 θ.

0:02:14.050,0:02:18.220
Ако ти кажа, че ψ е равно на... не знам,

0:02:18.220,0:02:21.330
25 градуса, то ти можеш веднага да намериш, че θ

0:02:21.330,0:02:23.090
е равно на 50 градуса.

0:02:23.090,0:02:26.080
Ако кажа, че θ е 80 градуса, можеш

0:02:26.080,0:02:29.300
веднага да намериш, че ψ е 40 градуса.

0:02:29.300,0:02:31.500
Да докажем това всъщност.

0:02:31.500,0:02:34.520
Ще изчистя това.

0:02:34.520,0:02:37.730
Добро начало е... или тук ще започна

0:02:37.730,0:02:40.460
от един специален случай.

0:02:40.460,0:02:45.250
Ще начертая вписан ъгъл, но една от хордите,

0:02:45.250,0:02:47.910
които го определят, ще бъде[br]диаметър на окръжността.

0:02:47.910,0:02:50.526
Няма да бъде обичайният случай, това ще е

0:02:50.526,0:02:51.320
специален случай.

0:02:51.320,0:02:55.325
Да видим, това е центърът на моята окръжност.

0:02:55.325,0:02:59.030
Опитвам да го направя на око.

0:02:59.030,0:03:00.770
Центърът изглежда така.

0:03:00.770,0:03:04.210
Ще построя диаметър.

0:03:04.210,0:03:06.440
Диаметърът изглежда така.

0:03:06.440,0:03:09.410
После ще дефинирам моя вписан ъгъл.

0:03:09.410,0:03:11.860
Този диаметър е едното му рамо.

0:03:11.860,0:03:15.910
И после другото рамо може да е така.

0:03:15.910,0:03:20.520
Ще нарека това тук ψ (пси).

0:03:20.520,0:03:27.120
Ако това е ψ, тази дължина тук е радиус – това е

0:03:27.120,0:03:29.330
нашият радиус на нашата окръжност.

0:03:29.330,0:03:33.080
После тази дължина тук също е радиус на

0:03:33.080,0:03:35.760
нашата окръжност, от центъра към обиколката.

0:03:35.760,0:03:38.130
Окръжността представлява множеството от [br]всички точки, които са

0:03:38.130,0:03:40.340
точно на един радиус разстояние от центъра.

0:03:40.340,0:03:43.610
Това също е радиус.

0:03:43.610,0:03:47.920
Този триъгълник тук е равнобедрен триъгълник.

0:03:47.920,0:03:49.890
Той има две страни, които са равни.

0:03:49.890,0:03:51.880
Две страни, които определено са равни.

0:03:51.880,0:03:54.630
Знаем, че когато имаме две равни страни,

0:03:54.630,0:03:57.290
прилежащите им ъгли при основата[br]са също равни.

0:03:57.290,0:04:00.640
Това ще бъде също равно на ψ.

0:04:00.640,0:04:02.130
Може да не разпознаваш това, защото

0:04:02.130,0:04:03.180
е наклонено така.

0:04:03.180,0:04:05.720
Но мисля, че много от нас, когато видят триъгълник, [br]който изглежда така,

0:04:05.720,0:04:10.940
ако кажем, че това е r[br]и това е r, тези двете

0:04:10.940,0:04:17.860
страни са равни, и ако това е r, то също

0:04:17.860,0:04:20.830
знаеш, че този ъгъл също ще бъде ψ.

0:04:20.830,0:04:23.930
Ъглите при основата са равни [br]в равнобедрения триъгълник.

0:04:23.930,0:04:26.720
Това е ψ, това е също ψ.

0:04:26.720,0:04:29.770
Сега да видим централния ъгъл.

0:04:29.770,0:04:32.710
Това е централният ъгъл, [br]отсичащ същата дъга.

0:04:32.710,0:04:35.920
Да подчертаем дъгата, [br]която и двата ъгъла отсичат.

0:04:35.920,0:04:40.300
Това тук е дъгата, която и двата отсичат.

0:04:40.300,0:04:44.350
Това е моят централен ъгъл тук, ъгъл θ.

0:04:44.350,0:04:49.000
Ако този ъгъл е θ, [br]какъв ще бъде този ъгъл?

0:04:49.000,0:04:50.620
Този ъгъл тук.

0:04:50.620,0:04:53.010
Добре, този ъгъл е допълващ до 180 за θ,

0:04:53.010,0:04:56.640
значи е 180 – θ.

0:04:56.640,0:04:59.560
Когато събереш тези два ъгъла, става 180 градуса

0:04:59.560,0:05:01.750
или те образуват права.

0:05:01.750,0:05:03.790
Те са допълващи се до 180 градуса.

0:05:03.790,0:05:06.740
Сега ние също така знаем, че тези три ъгъла лежат

0:05:06.740,0:05:08.260
в един и същ триъгълник.

0:05:08.260,0:05:12.030
Те трябва общо да са 180 градуса.

0:05:12.030,0:05:19.300
Получаваме това ψ плюс това ψ, [br]плюс този

0:05:19.300,0:05:25.420
ъгъл, който е 180 – θ, [br]т.е. плюс 180 – θ.

0:05:25.420,0:05:29.130
Тези три ъгъла са общо 180 градуса.

0:05:29.130,0:05:31.740
Те са трите ъгъла на триъгълника.

0:05:31.740,0:05:37.115
Сега можем да извадим 180 от двете страни.

0:05:37.140,0:05:43.260
ψ + ψ е 2 ψ, [br]минус θ е равно на 0.

0:05:43.260,0:05:44.890
Добавяме θ от двете страни.

0:05:44.890,0:05:48.750
И получаваме, че 2ψ = θ.

0:05:48.750,0:05:52.850
Умножаваме двете страни по 1/2 [br]или разделяме двете страни на 2.

0:05:52.850,0:05:56.680
Получаваме, че ψ е равно на 1/2 θ.

0:05:56.680,0:06:00.070
Току-що доказахме това, което искахме,[br]за специалния случай,

0:06:00.070,0:06:07.120
в който нашият вписан ъгъл е [br]определен, където едното рамо,

0:06:07.120,0:06:11.200
ако искаш да разгледаш тези хорди като рамена, [br]където едно от рамената,

0:06:11.200,0:06:15.220
което определя този вписан ъгъл,

0:06:15.220,0:06:17.180
лежи на диаметъра.

0:06:17.180,0:06:19.200
Диаметърът образува част от този лъч.

0:06:19.200,0:06:21.720
Това е специален случай, където едното рамо

0:06:21.720,0:06:23.760
лежи на диаметъра.

0:06:23.760,0:06:27.660
Вече можем да обобщим това.

0:06:27.660,0:06:30.580
Сега знаем, че ако това е 50, то това е

0:06:30.580,0:06:32.820
100 градуса и обратно, нали?

0:06:32.820,0:06:37.460
За всяко ψ или θ, ψ ще бъде 1/2 от това

0:06:37.460,0:06:40.450
или за всяко ψ ъгъл θ ще бъде

0:06:40.450,0:06:41.830
2 по това.

0:06:41.830,0:06:44.110
Сега това е вярно за всички случаи.

0:06:44.110,0:06:55.440
Можем да ползваме тази идея по всяко време –[br]така просто като ползваме

0:06:55.440,0:06:59.460
това решение, можем да обобщим малко,

0:06:59.460,0:07:02.890
въпреки, че не се прилага за всички вписани ъгли.

0:07:02.890,0:07:09.170
Да видим вписан ъгъл, който изглежда така.

0:07:10.680,0:07:12.980
В тази ситуация, центърът, както виждаш, [br]центърът

0:07:12.980,0:07:15.470
лежи вътре в ъгъла.

0:07:15.470,0:07:17.150
Това е моят вписан ъгъл.

0:07:17.150,0:07:18.890
Искам да намеря връзка между този вписан ъгъл

0:07:18.890,0:07:22.450
и централния ъгъл, който отсича

0:07:22.450,0:07:24.360
същата дъга.

0:07:24.360,0:07:29.880
Това е моят централен ъгъл, [br]отсичащ същата дъга.

0:07:29.880,0:07:33.550
Добре, ще кажеш: "Нито едно рамо, или пък тези

0:07:33.550,0:07:37.310
хорди, които определят този ъгъл, [br]нито едно от тях не е диаметър,

0:07:37.310,0:07:40.400
но можем да построим диаметър.

0:07:40.400,0:07:43.300
Ако центърът е между двете хорди

0:07:43.300,0:07:46.100
можем да построим диаметър.

0:07:46.100,0:07:48.920
Можем да построим диаметър по този начин.

0:07:48.920,0:07:51.680
Ако построим диаметър така, ако определим този ъгъл

0:07:51.680,0:07:55.430
като ψ1, то този ъгъл е ψ2.

0:07:55.430,0:07:58.320
Очевидно е, че ψ е сумата от тези два ъгъла.

0:07:58.320,0:08:04.350
Означаваме този ъгъл θ1, а този ъгъл θ2.

0:08:04.350,0:08:07.240
Веднага знаем, че като ползваме резултата, [br]който току-що получихме,

0:08:07.240,0:08:12.540
тъй като едното рамо на нашия ъгъл в двата случая е

0:08:12.540,0:08:18.260
диаметър сега, знаем, че това ψ1 ще бъде

0:08:18.260,0:08:22.010
равно на 1/2 от ъгъл θ1.

0:08:22.010,0:08:24.870
Знаем, че това ψ2 ще бъде 1/2 от θ2.

0:08:24.870,0:08:30.140
ψ2 ще бъде 1/2 от ъгъл θ2.

0:08:30.140,0:08:39.850
Значи ψ, което е ψ1 + ψ2 ще бъде

0:08:39.850,0:08:41.120
равно на тези две неща.

0:08:41.120,0:08:47.580
1/2 θ1 + 1/2 θ2.

0:08:47.580,0:08:51.180
ψ1 + ψ2 е равно на първия вписан

0:08:51.180,0:08:53.850
ъгъл, който искаме да разгледаме, обикновено ψ.

0:08:53.850,0:08:54.980
Това е ψ.

0:08:54.980,0:08:58.350
Този ъгъл тук, това е равно на 1/2 по

0:08:58.350,0:09:00.960
θ1 плюс θ2.

0:09:00.960,0:09:03.960
Какво е θ1 + θ2?

0:09:03.960,0:09:06.470
Това е просто нашето начално θ, което

0:09:06.470,0:09:08.490
имахме преди.

0:09:08.490,0:09:12.080
Сега виждаме, че ψ = 1/2 θ.

0:09:12.080,0:09:14.710
Сега сме доказали за малко по-общ случай,

0:09:14.710,0:09:20.020
където нашият център е вътре между[br]двете рамена, които

0:09:20.020,0:09:21.640
определят този ъгъл.

0:09:21.640,0:09:27.100
Все още не сме разгледали[br]малко по-трудна ситуация или

0:09:27.100,0:09:33.660
по-общ случай, където ако това е центърът на

0:09:33.660,0:09:39.420
нашата окръжност и съм вписал ъгъл, [br]където центърът не

0:09:39.420,0:09:40.990
лежи между двете хорди.

0:09:40.990,0:09:41.820
Ще начертая това.

0:09:41.820,0:09:48.800
Това ще е моят връх, ще сменя цветовете.

0:09:48.800,0:09:51.540
Да речем, че това е една от хордите, които определят

0:09:51.540,0:09:53.320
ъгъла ето така.

0:09:53.320,0:09:57.860
Да речем, че това е другата хорда, която определя

0:09:57.860,0:09:59.170
ъгъла ето така.

0:09:59.170,0:10:02.500
Как намираме връзката между...

0:10:02.500,0:10:07.910
да кажем този ъгъл тук, да го наречем ψ1.

0:10:07.910,0:10:13.050
Как намираме връзката между ψ1 и централния

0:10:13.050,0:10:16.160
ъгъл, който отсича същата дъга?

0:10:16.160,0:10:19.530
Когато говорим за същата дъга, тя е това тук.

0:10:19.530,0:10:22.720
Централният ъгъл, който отсича същата дъга

0:10:22.720,0:10:28.370
ще изглежда така.

0:10:28.370,0:10:32.910
Да наречем това θ1.

0:10:32.910,0:10:36.770
Можем да ползваме това, което намерихме току-що,[br]когато едното рамо на

0:10:36.770,0:10:39.350
вписания ъгъл е диаметър.

0:10:39.350,0:10:41.135
Да построим това.

0:10:41.135,0:10:44.260
Ще построя диаметър тук.

0:10:44.260,0:10:47.010
Търсим все още това да бъде 1/2 от

0:10:47.010,0:10:48.180
това, но нека го докажем.

0:10:48.180,0:10:57.560
Ще построя диаметър ето така.

0:10:57.560,0:11:09.490
Ще нарека този ъгъл тук, ще го нарека ψ2.

0:11:09.490,0:11:14.770
Той отсича тази дъга тук – ще я направя

0:11:14.770,0:11:16.140
в по-тъмен цвят.

0:11:16.140,0:11:19.770
Той отсича тази дъга тук.

0:11:19.770,0:11:22.360
Централният ъгъл, който отсича тази дъга,

0:11:22.360,0:11:25.300
ще го нарека θ2.

0:11:25.300,0:11:30.890
От началото на видеото знаем, че ψ2

0:11:30.890,0:11:37.600
е равно на 1/2 ъгъл θ2, нали?

0:11:37.600,0:11:40.760
Те имат обща дъга... диаметърът е тук.

0:11:40.760,0:11:44.300
Диаметърът е едната от хордите,[br]които образуват ъгъла.

0:11:44.300,0:11:50.160
Така ψ2 ще бъде равно на 1/2 от θ2.

0:11:50.160,0:11:52.810
Това е точно, което правихме [br]в последното видео, нали?

0:11:52.810,0:11:55.430
Това е вписан ъгъл.

0:11:55.430,0:11:59.550
Една от хордите, които го определят,[br]лежи на диаметъра.

0:11:59.550,0:12:02.740
Това ще бъде 1/2 от този ъгъл,[br]от централния ъгъл,

0:12:02.740,0:12:05.980
който отсича същата дъга.

0:12:05.980,0:12:09.000
Сега да видим този по-големия ъгъл.

0:12:09.000,0:12:11.680
Този по-голям ъгъл тук.

0:12:11.680,0:12:14.240
ψ1 + ψ2.

0:12:14.240,0:12:22.720
Този по-голям ъгъл е ψ1 + ψ2.

0:12:22.720,0:12:28.680
Още веднъж, това отсича тази цялата дъга тук и

0:12:28.680,0:12:32.100
диаметърът е едното от рамената, които определят

0:12:32.100,0:12:34.310
големия ъгъл.

0:12:34.310,0:12:37.380
Това ще бъде 1/2 от централния ъгъл, който

0:12:37.380,0:12:38.580
отсича същата дъга.

0:12:38.580,0:12:42.270
Ето как използвахме това, което току-що[br]показахме в това видео.

0:12:42.270,0:12:47.390
Това ще е равно на 1/2 от[br]този голям централен ъгъл

0:12:47.390,0:12:54.250
θ1 + θ2.

0:12:54.310,0:12:56.530
Дотук сме ползвали всичко, което научихме

0:12:56.530,0:12:58.160
по-рано в това видео.

0:12:58.160,0:13:03.160
Вече знаем, че това ψ2 е равно на 1/2 от θ2.

0:13:03.160,0:13:05.630
Ще заместя това.

0:13:05.630,0:13:07.030
Това е равно на това.

0:13:07.030,0:13:15.330
Можем да кажем, че ψ1 плюс...[br]вместо ψ2 ще запиша

0:13:15.330,0:13:30.350
1/2 θ2, което е равно на 1/2 θ1 + 1/2 θ2.

0:13:30.350,0:13:34.020
Можем да извадим 1/2 θ2 от двете страни и

0:13:34.020,0:13:35.740
ще получим отговора.

0:13:35.740,0:13:40.900
ψ1 е равно на 1/2 θ1.

0:13:40.900,0:13:41.970
И сме готови.

0:13:41.970,0:13:44.990
Доказали сме ситуацията, в която вписан ъгъл е

0:13:44.990,0:13:50.680
винаги 1/2 от централния ъгъл, [br]който отсича същата дъга,

0:13:50.680,0:13:53.980
независимо дали центърът на окръжността е вътре в

0:13:53.980,0:13:58.990
ъгъла, извън ъгъла, дали имаме

0:13:58.990,0:14:00.950
диаметър отстрани.

0:14:00.950,0:14:05.860
Така за всеки ъгъл можем [br]да кажем, че е сума от...

0:14:05.860,0:14:08.300
всеки, или всички тези, [br]които вече решихме.

0:14:08.300,0:14:10.190
Надявам се, че ти е било от полза [br]и сега можем всъщност

0:14:10.190,0:14:14.630
да градим върху този резултат, за да [br]направим някои още по-интересни

0:14:14.630,0:14:16.460
геометрични доказателства.