-
Нека решим няколко модулни уравнения.
-
Нека първо си припомним
-
какво означава модул или абсолютна стойност.
-
Да вземем абсолютната стойност на –1.
-
Абсолютната стойност означава
-
на какво разстояние е числото от 0.
-
В случая с –1, ако го отбележим на числовата ос...
-
Това е една много грозна числова ос.
-
На числовата ос нула е ето тук.
-
Тук е –1.
-
–1 и 0 са на разстояние 1.
-
Значи абсолютната стойност на –1 е 1.
-
Абсолютната стойност на 1 е също на разстояние 1 от 0.
-
Тя също е 1.
-
От една страна, абсолютната стойност е
разстоянието на числото от 0.
-
От друга, по-лесен начин да мислим за нея,
-
е, че модулът е винаги същото число,
но с положителен знак.
-
Абсолютната стойност на –7346 е 7346.
-
Предвид това, нека се опитаме
-
да решим няколко модулни уравнения.
-
Имаме следното уравнение:
-
абсолютната стойност на (х – 5) е 10.
-
Един начин да го разглеждаш, е...
-
обърни внимание, това всъщност значи,
-
че разстоянието между х и – 5 е 10.
-
Колко числа има, които са на разстояние
точно 10 единици от 5?
-
Сигурно се досещаш какво е
решението на уравнението,
-
но нека го решим стъпка по стъпка.
-
Това твърдение е вярно в два случая.
-
Първи случай, х – 5 е равно на +10.
-
В този случай,
-
когато вземем абсолютната му стойност,
-
ще получим +10.
-
Втори случай, х – 5 е равно на –10.
-
Ако х – 5 е равно на –10, ако вземем
абсолютната му стойност,
-
ще получим отново 10.
-
Така че х – 5 може да е равно също така и на –10.
-
И двете удовлетворяват уравнението.
-
За да решим това,
-
нека прибавим 5 към двете страни
на уравнението.
-
Получаваме х равно на 15.
-
За да решим това, нека добавим 5
към двете страни на това уравнение.
-
х е равно на –5.
-
Решението е,
-
има две х, които удовлетворяват уравнението,
-
х може да е 15.
-
15 – 5 е 10; по абсолютна стойност
-
получаваме 10, или х е равно на –5.
-
–5 минус 5 е –10.
-
Взимаме модул от –10 и получаваме 10.
-
Забележи, че и двете числа
-
са на точно 10 единици разстояние от 5.
-
Нека решим още един пример.
-
Нека решим още едно уравнение.
-
Нека имаме следното:
-
модул от х + 2 е равно на 6.
-
Какво означава това?
-
Означава, че х + 2,
-
изразът вътре в модула, е равен на 6.
-
Или изразът в модула,
-
х + 2, може да е –6.
-
Ако х + 2 е равно на –6,
-
взимаме абсолютната му стойност и получаваме 6.
-
Или х + 2 е равно на –6.
-
Ако извадим 2 от двете страни на уравнението,
-
получавме х равно на 4.
-
Ако извадим 2 от двете страни на другото уравнение,
-
получаваме х равно на –8.
-
Това са двете решения на уравнението.
-
И за да затвърдим,
-
можем да приемем абсолютната стойност като разстояние.
-
Можем да запишем уравнението
-
като модул от х минус –2 е равно на 6.
-
В този случай търсим
-
какви са стойностите на х,
които са на разстояние 6 от –2?
-
Ето тук попитахме:
-
какви са х, които са на разстояние 10 от +5?
-
Каквото и число да вадим от +5,
-
и двете са на разстояние 10 от +5.
-
В този случай питаме
-
кое число е на разстояние 6 от –2?
-
Отговорът е или 4, или –8.
-
Можеш да направиш проверка с тези числа.
-
Нека решим още едно уравнение.
-
Нека решим още едно, този път в лилаво.
-
Имаме модул от 4х.
-
Ще променя малко условието.
-
4х – 1.
-
Абсолютната стойност на 4х – 1 е равна на...
-
всъщност, нека е равна на 19.
-
Както при последните няколко задачи,
-
4х – 1 може да бъде равно на 19.
-
Или 4х – 1 може да е –19.
-
Когато вземем абсолютната стойност,
-
ще получим отново 19.
-
Или 4х – 1 може да е равно на –19.
-
Остава само да решим тези две уравнения.
-
Прибавяме 1 към двете страни на уравнението,
-
дори може да го направим едновременно и за двете.
-
Прибавяме 1 към двете страни на това,
получаваме 4х равно на 20.
-
Прибавяме 1 към двете страни на другото уравнение,
-
получаваме 4х равно на –18.
-
Делим двете страни на уравнението на 4
и получаваме х равно на 5.
-
Делим двете страни на другото уравнение на 4
и получаваме х равно на –18/4,
-
което е равно на –9/2.
-
И двете стойности на х удовлетворяват уравнението.
-
Да ги проверим.
-
–9/2 по 4.
-
Това е равно на –18.
-
–18 минус 1 е –19.
-
Взимаме абсолютната стойност и получаваме 19.
-
Заместваме х с 5, тогава 4 по 5 е 20.
-
Минус 1, и получаваме +19.
-
Взимаме абсолютната му стойност.
-
И получаваме отново 19.
-
Нека за по-забавно да представим графично
едно от уравненията.
-
Да вземем следното:
-
имаме у равно на абсолютната стойност на х + 3.
-
Това е функция, или графика,
-
която съдържа абсолютна стойност.
-
Да помислим за двата случая.
-
В единия случай
-
изразът в модула е положителен.
-
Това е случаят, в който имаме х +3...
-
Ще го запиша тук: х + 3 е по-голямо от 0.
-
В другия случай имаме х + 3 < 0.
-
Когато х + 3 > 0,
-
тази графика, предполагам можем да я наречем линия,
-
тази функция е една и съща с у = х + 3.
-
Ако това нещо тук е > 0,
-
то можем да пренебрегнем знака на модула.
-
Тогава това нещо
-
е същото като у = х + 3.
-
Но кога х + 3 > 0?
-
Ако извадим 3 от двете страни,
-
ще получим х > –3.
-
Когато х > –3,
-
графиката ще изглежда като тази на у = х + 3.
-
Да видим другия случай, х + 3 < 0.
-
В този случай,
-
изразът в модула ни е отрицателен.
-
Като разкрием модула, уравнението ще бъде
-
у равно на отрицателната стойност на х +3
-
Как разбираме това?
-
Ако това нещо е отрицателно число,
-
ако х плюс 3 е отрицателно число,
това допускаме,
-
ако е отрицателно число,
-
тогава, когато вземем абсолютната стойност
на отрицателното число,
-
ние го превръщаме в положително.
-
Все едно умножаваме по минус 1.
-
Ако взимаме абсолютната стойност
на отрицателно число,
-
това е все едно го умножаваме по минус 1,
-
защото го превръщаме в положително.
-
Това е случаят, в който
-
х + 3 е по-малко от 0.
-
Ако извадим 3 от двете страни,
-
получаваме х < –3.
-
Когато х е по-малко от минус 3,
-
графиката изглежда така.
-
Когато х е по-голямо от минус 3,
-
графиката изглежда така.
-
Нека разгледаме как ще изглежда
-
цялата графика.
-
Ще начертая координатните оси.
-
Това е оста х, а това – оста у.
-
Нека разкрием скобите, за да приведем във вид
-
mx + b.
-
Това е равно на минус х минус 3.
-
Да видим как би изглеждала тази графика
принципно.
-
Минус х минус 3.
-
Пресечната точка на графиката с оста у е –3.
-
Отрицателно х означава, че графиката намалява,
-
има наклон 1.
-
Ще изглежда ето така.
-
Пресечната точка с х ще е при какво х?
-
Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.
-
Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.
-
Така че ще премине през тази линия,
-
през точно тази точка.
-
А графиката, ако нямахме това условие,
-
щеше да изглежда така.
-
Щеше да изглежда така, ако не беше ограничена
-
в интервал по оста х.
-
Как ще изглежда тази графика?
-
Да видим.
-
Пресечната точка с оста у е плюс 3.
-
Просто така.
-
Къде е пресечната точка с оста х?
-
Когато у е равно на 0, х е минус 3.
-
Значи също минава през тази точка
-
и има наклон 1.
-
Така че ще изглежда ето така.
-
Така изглежда графиката.
-
Разбрахме, че функцията на абсолютната стойност
-
изглежда като тази лилава графика,
-
когато х е по-малко от минус 3.
-
Когато х е по-малко от минус 3,
-
х е равно на –3 тук, когато х е по-малко от минус 3,
-
изглежда като тази лилава графика.
-
Точно тук.
-
Това е случаят, в който х е по-малко от –3.
-
Но когато х е по-голямо от –3,
-
изглежда като зелената графика.
-
Изглежда точно така.
-
Значи, графиката изглежда като странно V.
-
Когато х е по-голямо от –3, това е положително.
-
Имаме графика с положителен наклон.
-
Но когато х е по-малко от минус 3,
-
взимаме отрицателната част на функцията,
-
имаме отрицателен наклон.
-
Имаме V-образна функция,
-
V-образна графика, която съответства
на функция от абсолютно стойност.
