1
00:00:00,590 --> 00:00:03,880
Нека решим няколко модулни уравнения.

2
00:00:03,880 --> 00:00:05,119
Нека първо си припомним

3
00:00:05,119 --> 00:00:07,650
какво означава модул или абсолютна стойност.

4
00:00:07,650 --> 00:00:10,680
Да вземем абсолютната стойност на –1.

5
00:00:10,680 --> 00:00:12,263
Абсолютната стойност означава

6
00:00:12,263 --> 00:00:16,090
на какво разстояние е числото от 0.

7
00:00:16,090 --> 00:00:20,620
В случая с –1, ако го отбележим на числовата ос...

8
00:00:20,620 --> 00:00:23,310
Това е една много грозна числова ос.

9
00:00:23,310 --> 00:00:26,230
На числовата ос нула е ето тук.

10
00:00:26,230 --> 00:00:28,470
Тук е –1.

11
00:00:28,470 --> 00:00:30,230
–1 и 0 са на разстояние 1.

12
00:00:30,230 --> 00:00:33,250
Значи абсолютната стойност на –1 е 1.

13
00:00:33,250 --> 00:00:38,850
Абсолютната стойност на 1 е също на разстояние 1 от 0.

14
00:00:38,850 --> 00:00:40,610
Тя също е 1.

15
00:00:40,610 --> 00:00:43,500
От една страна, абсолютната стойност е 
разстоянието на числото от 0.

16
00:00:43,500 --> 00:00:45,587
От друга, по-лесен начин да мислим за нея,

17
00:00:45,587 --> 00:00:48,600
е, че модулът е винаги същото число, 
но с положителен знак.

18
00:00:48,600 --> 00:00:59,360
Абсолютната стойност на –7346 е 7346.

19
00:00:59,360 --> 00:01:00,779
Предвид това, нека се опитаме

20
00:01:00,779 --> 00:01:05,050
да решим няколко модулни уравнения.

21
00:01:05,050 --> 00:01:06,675
Имаме следното уравнение:

22
00:01:06,675 --> 00:01:14,500
абсолютната стойност на (х – 5) е 10.

23
00:01:14,500 --> 00:01:15,895
Един начин да го разглеждаш, е...

24
00:01:15,895 --> 00:01:18,161
обърни внимание, това всъщност значи,

25
00:01:18,161 --> 00:01:23,120
че разстоянието между х и – 5 е 10.

26
00:01:23,120 --> 00:01:26,750
Колко числа има, които са на разстояние 
точно 10 единици от 5?

27
00:01:26,750 --> 00:01:29,430
Сигурно се досещаш какво е 
решението на уравнението,

28
00:01:29,430 --> 00:01:31,960
но нека го решим стъпка по стъпка.

29
00:01:31,960 --> 00:01:36,510
Това твърдение е вярно в два случая.

30
00:01:36,510 --> 00:01:41,800
Първи случай, х – 5 е равно на +10.

31
00:01:41,800 --> 00:01:44,630
В този случай,

32
00:01:44,630 --> 00:01:46,610
когато вземем абсолютната му стойност,

33
00:01:46,610 --> 00:01:48,380
ще получим +10.

34
00:01:48,380 --> 00:01:53,130
Втори случай, х – 5 е равно на –10.

35
00:01:53,130 --> 00:01:58,700
Ако х – 5 е равно на –10, ако вземем
абсолютната му стойност,

36
00:01:58,700 --> 00:01:59,950
ще получим отново 10.

37
00:01:59,950 --> 00:02:04,280
Така че х – 5 може да е равно също така и на –10.

38
00:02:04,280 --> 00:02:07,730
И двете удовлетворяват уравнението.

39
00:02:07,730 --> 00:02:08,958
За да решим това,

40
00:02:08,958 --> 00:02:11,500
нека прибавим 5 към двете страни
на уравнението.

41
00:02:11,500 --> 00:02:14,160
Получаваме х равно на 15.

42
00:02:14,160 --> 00:02:17,830
За да решим това, нека добавим 5 
към двете страни на това уравнение.

43
00:02:17,830 --> 00:02:20,900
х е равно на –5.

44
00:02:20,900 --> 00:02:21,963
Решението е,

45
00:02:21,963 --> 00:02:24,910
има две х, които удовлетворяват уравнението,

46
00:02:24,910 --> 00:02:26,890
х може да е 15.

47
00:02:26,890 --> 00:02:29,502
15 – 5 е 10; по абсолютна стойност

48
00:02:29,502 --> 00:02:32,690
получаваме 10, или х е равно на –5.

49
00:02:32,690 --> 00:02:36,060
–5 минус 5 е –10.

50
00:02:36,060 --> 00:02:39,020
Взимаме модул от –10 и получаваме 10.

51
00:02:39,020 --> 00:02:41,632
Забележи, че и двете числа

52
00:02:41,632 --> 00:02:45,750
са на точно 10 единици разстояние от 5.

53
00:02:45,750 --> 00:02:48,050
Нека решим още един пример.

54
00:02:48,050 --> 00:02:51,130
Нека решим още едно уравнение.

55
00:02:51,130 --> 00:02:52,182
Нека имаме следното:

56
00:02:52,182 --> 00:02:58,580
модул от х + 2 е равно на 6.

57
00:02:58,580 --> 00:02:59,610
Какво означава това?

58
00:02:59,610 --> 00:03:03,132
Означава, че х + 2,

59
00:03:03,132 --> 00:03:07,030
изразът вътре в модула, е равен на 6.

60
00:03:07,030 --> 00:03:10,380
Или изразът в модула,

61
00:03:10,380 --> 00:03:12,050
х + 2, може да е –6.

62
00:03:12,050 --> 00:03:13,910
Ако х + 2 е равно на –6,

63
00:03:13,910 --> 00:03:16,210
взимаме абсолютната му стойност и получаваме 6.

64
00:03:16,210 --> 00:03:20,340
Или х + 2 е равно на –6.

65
00:03:20,340 --> 00:03:22,880
Ако извадим 2 от двете страни на уравнението,

66
00:03:22,880 --> 00:03:25,850
получавме х равно на 4.

67
00:03:25,850 --> 00:03:29,780
Ако извадим 2 от двете страни на другото уравнение,

68
00:03:29,780 --> 00:03:33,690
получаваме х равно на –8.

69
00:03:33,690 --> 00:03:37,240
Това са двете решения на уравнението.

70
00:03:37,240 --> 00:03:39,740
И за да затвърдим,

71
00:03:39,740 --> 00:03:42,500
можем да приемем абсолютната стойност като разстояние.

72
00:03:42,500 --> 00:03:43,940
Можем да запишем уравнението

73
00:03:43,940 --> 00:03:50,410
като модул от х минус –2 е равно на 6.

74
00:03:50,410 --> 00:03:52,759
В този случай търсим

75
00:03:52,759 --> 00:03:57,590
какви са стойностите на х, 
които са на разстояние 6 от –2?

76
00:03:57,590 --> 00:03:59,168
Ето тук попитахме:

77
00:03:59,168 --> 00:04:03,560
какви са х, които са на разстояние 10 от +5?

78
00:04:03,560 --> 00:04:05,990
Каквото и число да вадим от +5,

79
00:04:05,990 --> 00:04:08,560
и двете са на разстояние 10 от +5.

80
00:04:08,560 --> 00:04:09,515
В този случай питаме

81
00:04:09,515 --> 00:04:13,080
кое число е на разстояние 6 от –2?

82
00:04:13,080 --> 00:04:15,510
Отговорът е или 4, или –8.

83
00:04:15,510 --> 00:04:17,959
Можеш да направиш проверка с тези числа.

84
00:04:17,959 --> 00:04:20,459
Нека решим още едно уравнение.

85
00:04:20,459 --> 00:04:25,330
Нека решим още едно, този път в лилаво.

86
00:04:25,330 --> 00:04:30,190
Имаме модул от 4х.

87
00:04:30,190 --> 00:04:31,430
Ще променя малко условието.

88
00:04:31,430 --> 00:04:33,390
4х – 1.

89
00:04:33,390 --> 00:04:36,583
Абсолютната стойност на 4х – 1 е равна на...

90
00:04:36,583 --> 00:04:40,200
всъщност, нека е равна на 19.

91
00:04:40,200 --> 00:04:41,769
Както при последните няколко задачи,

92
00:04:41,769 --> 00:04:47,640
4х – 1 може да бъде равно на 19.

93
00:04:47,640 --> 00:04:51,670
Или 4х – 1 може да е –19.

94
00:04:51,670 --> 00:04:53,130
Когато вземем абсолютната стойност,

95
00:04:53,130 --> 00:04:54,800
ще получим отново 19.

96
00:04:54,800 --> 00:04:59,100
Или 4х – 1 може да е равно на –19.

97
00:04:59,100 --> 00:05:00,970
Остава само да решим тези две уравнения.

98
00:05:00,970 --> 00:05:02,945
Прибавяме 1 към двете страни на уравнението,

99
00:05:02,945 --> 00:05:04,274
дори може да го направим едновременно и за двете.

100
00:05:04,274 --> 00:05:08,510
Прибавяме 1 към двете страни на това, 
получаваме 4х равно на 20.

101
00:05:08,510 --> 00:05:11,005
Прибавяме 1 към двете страни на другото уравнение,

102
00:05:11,005 --> 00:05:15,340
получаваме 4х равно на –18.

103
00:05:15,340 --> 00:05:20,210
Делим двете страни на уравнението на 4 
и получаваме х равно на 5.

104
00:05:20,210 --> 00:05:23,920
Делим двете страни на другото уравнение на 4 
и получаваме х равно на –18/4,

105
00:05:23,920 --> 00:05:31,770
което е равно на –9/2.

106
00:05:31,770 --> 00:05:35,730
И двете стойности на х удовлетворяват уравнението.

107
00:05:35,730 --> 00:05:36,587
Да ги проверим.

108
00:05:36,587 --> 00:05:39,580
–9/2 по 4.

109
00:05:39,580 --> 00:05:41,570
Това е равно на –18.

110
00:05:41,570 --> 00:05:44,200
–18 минус 1 е –19.

111
00:05:44,200 --> 00:05:46,740
Взимаме абсолютната стойност и получаваме 19.

112
00:05:46,740 --> 00:05:49,920
Заместваме х с 5, тогава 4 по 5 е 20.

113
00:05:49,920 --> 00:05:51,960
Минус 1, и получаваме +19.

114
00:05:51,960 --> 00:05:53,260
Взимаме абсолютната му стойност.

115
00:05:53,260 --> 00:05:55,920
И получаваме отново 19.

116
00:05:55,920 --> 00:05:58,580
Нека за по-забавно да представим графично 
едно от уравненията.

117
00:05:58,580 --> 00:05:59,283
Да вземем следното:

118
00:05:59,283 --> 00:06:04,990
имаме у равно на абсолютната стойност на х + 3.

119
00:06:04,990 --> 00:06:07,840
Това е функция, или графика,

120
00:06:07,840 --> 00:06:09,410
която съдържа абсолютна стойност.

121
00:06:09,410 --> 00:06:11,820
Да помислим за двата случая.

122
00:06:11,820 --> 00:06:13,136
В единия случай

123
00:06:13,136 --> 00:06:16,430
изразът в модула е положителен.

124
00:06:16,430 --> 00:06:18,873
Това е случаят, в който имаме х +3...

125
00:06:18,873 --> 00:06:23,420
Ще го запиша тук: х + 3 е по-голямо от 0.

126
00:06:23,420 --> 00:06:29,370
В другия случай имаме х + 3 < 0.

127
00:06:29,370 --> 00:06:32,658
Когато х + 3 > 0,

128
00:06:32,658 --> 00:06:36,490
тази графика, предполагам можем да я наречем линия,

129
00:06:36,490 --> 00:06:41,690
тази функция е една и съща с у = х + 3.

130
00:06:41,690 --> 00:06:44,370
Ако това нещо тук е > 0,

131
00:06:44,370 --> 00:06:46,750
то можем да пренебрегнем знака на модула.

132
00:06:46,750 --> 00:06:48,780
Тогава това нещо

133
00:06:48,780 --> 00:06:50,280
е същото като у = х + 3.

134
00:06:50,280 --> 00:06:52,590
Но кога х + 3 > 0?

135
00:06:52,590 --> 00:06:56,366
Ако извадим 3 от двете страни,

136
00:06:56,366 --> 00:06:59,910
ще получим х > –3.

137
00:06:59,910 --> 00:07:02,249
Когато х > –3,

138
00:07:02,249 --> 00:07:08,460
графиката ще изглежда като тази на у = х + 3.

139
00:07:08,460 --> 00:07:11,500
Да видим другия случай, х + 3 < 0.

140
00:07:11,500 --> 00:07:13,328
В този случай,

141
00:07:13,328 --> 00:07:16,509
изразът в модула ни е отрицателен.

142
00:07:16,509 --> 00:07:20,356
Като разкрием модула, уравнението ще бъде

143
00:07:20,356 --> 00:07:26,250
у равно на отрицателната стойност на х +3

144
00:07:26,250 --> 00:07:27,540
Как разбираме това?

145
00:07:27,540 --> 00:07:30,520
Ако това нещо е отрицателно число,

146
00:07:30,520 --> 00:07:33,060
ако х плюс 3 е отрицателно число, 
това допускаме,

147
00:07:33,060 --> 00:07:36,010
ако е отрицателно число,

148
00:07:36,010 --> 00:07:38,090
тогава, когато вземем абсолютната стойност
на отрицателното число,

149
00:07:38,090 --> 00:07:40,050
ние го превръщаме в положително.

150
00:07:40,050 --> 00:07:43,280
Все едно умножаваме по минус 1.

151
00:07:43,280 --> 00:07:45,870
Ако взимаме абсолютната стойност 
на отрицателно число,

152
00:07:45,870 --> 00:07:48,890
това е все едно го умножаваме по минус 1,

153
00:07:48,890 --> 00:07:51,010
защото го превръщаме в положително.

154
00:07:51,010 --> 00:07:53,870
Това е случаят, в който

155
00:07:53,870 --> 00:07:55,840
х + 3 е по-малко от 0.

156
00:07:55,840 --> 00:07:59,850
Ако извадим 3 от двете страни,

157
00:07:59,850 --> 00:08:01,280
получаваме х < –3.

158
00:08:01,280 --> 00:08:03,920
Когато х е по-малко от минус 3,

159
00:08:03,920 --> 00:08:05,040
графиката изглежда така.

160
00:08:05,040 --> 00:08:07,760
Когато х е по-голямо от минус 3,

161
00:08:07,760 --> 00:08:09,600
графиката изглежда така.

162
00:08:09,600 --> 00:08:11,300
Нека разгледаме как ще изглежда

163
00:08:11,300 --> 00:08:13,670
цялата графика.

164
00:08:13,670 --> 00:08:21,520
Ще начертая координатните оси.

165
00:08:21,520 --> 00:08:26,070
Това е оста х, а това – оста у.

166
00:08:26,070 --> 00:08:29,090
Нека разкрием скобите, за да приведем във вид

167
00:08:29,090 --> 00:08:29,870
mx + b.

168
00:08:29,870 --> 00:08:36,070
Това е равно на минус х минус 3.

169
00:08:36,070 --> 00:08:38,659
Да видим как би изглеждала тази графика
принципно.

170
00:08:38,659 --> 00:08:42,020
Минус х минус 3.

171
00:08:42,020 --> 00:08:47,380
Пресечната точка на графиката с оста у е –3.

172
00:08:47,380 --> 00:08:51,060
Отрицателно х означава, че графиката намалява,

173
00:08:51,060 --> 00:08:52,290
има наклон 1.

174
00:08:52,290 --> 00:08:53,540
Ще изглежда ето така.

175
00:08:56,840 --> 00:09:02,830
Пресечната точка с х ще е при какво х?

176
00:09:02,830 --> 00:09:07,740
Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.

177
00:09:07,740 --> 00:09:08,575
Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.

178
00:09:08,575 --> 00:09:10,380
Така че ще премине през тази линия,

179
00:09:10,380 --> 00:09:11,920
през точно тази точка.

180
00:09:11,920 --> 00:09:14,190
А графиката, ако нямахме това условие,

181
00:09:14,190 --> 00:09:15,600
щеше да изглежда така.

182
00:09:19,890 --> 00:09:22,760
Щеше да изглежда така, ако не беше ограничена

183
00:09:22,760 --> 00:09:23,880
в интервал по оста х.

184
00:09:23,880 --> 00:09:27,080
Как ще изглежда тази графика?

185
00:09:27,080 --> 00:09:27,480
Да видим.

186
00:09:27,480 --> 00:09:31,810
Пресечната точка с оста у е плюс 3.

187
00:09:31,810 --> 00:09:33,230
Просто така.

188
00:09:33,230 --> 00:09:35,260
Къде е пресечната точка с оста х?

189
00:09:35,260 --> 00:09:37,970
Когато у е равно на 0, х е минус 3.

190
00:09:37,970 --> 00:09:39,760
Значи също минава през тази точка

191
00:09:39,760 --> 00:09:40,620
и има наклон 1.

192
00:09:40,620 --> 00:09:43,710
Така че ще изглежда ето така.

193
00:09:43,710 --> 00:09:45,330
Така изглежда графиката.

194
00:09:45,330 --> 00:09:48,100
Разбрахме, че функцията на абсолютната стойност

195
00:09:48,100 --> 00:09:52,030
изглежда като тази лилава графика,

196
00:09:52,030 --> 00:09:53,830
когато х е по-малко от минус 3.

197
00:09:53,830 --> 00:09:57,070
Когато х е по-малко от минус 3,

198
00:09:57,070 --> 00:09:59,593
х е равно на –3 тук, когато х е по-малко от минус 3,

199
00:09:59,593 --> 00:10:03,170
изглежда като тази лилава графика.

200
00:10:03,170 --> 00:10:04,570
Точно тук.

201
00:10:04,570 --> 00:10:07,390
Това е случаят, в който х е по-малко от –3.

202
00:10:07,390 --> 00:10:10,830
Но когато х е по-голямо от –3,

203
00:10:10,830 --> 00:10:12,160
изглежда като зелената графика.

204
00:10:12,160 --> 00:10:14,640
Изглежда точно така.

205
00:10:14,640 --> 00:10:17,480
Значи, графиката изглежда като странно V.

206
00:10:17,480 --> 00:10:21,430
Когато х е по-голямо от –3, това е положително.

207
00:10:21,430 --> 00:10:24,950
Имаме графика с положителен наклон.

208
00:10:24,950 --> 00:10:28,270
Но когато х е по-малко от минус 3,

209
00:10:28,270 --> 00:10:30,550
взимаме отрицателната част на функцията,

210
00:10:30,550 --> 00:10:32,280
имаме отрицателен наклон.

211
00:10:32,280 --> 00:10:35,060
Имаме V-образна функция,

212
00:10:35,060 --> 00:10:40,190
V-образна графика, която съответства
на функция от абсолютно стойност.