WEBVTT

00:00:00.590 --> 00:00:03.880
Нека решим няколко модулни уравнения.

00:00:03.880 --> 00:00:05.119
Нека първо си припомним

00:00:05.119 --> 00:00:07.650
какво означава модул или абсолютна стойност.

00:00:07.650 --> 00:00:10.680
Да вземем абсолютната стойност на –1.

00:00:10.680 --> 00:00:12.263
Абсолютната стойност означава

00:00:12.263 --> 00:00:16.090
на какво разстояние е числото от 0.

00:00:16.090 --> 00:00:20.620
В случая с –1, ако го отбележим на числовата ос...

00:00:20.620 --> 00:00:23.310
Това е една много грозна числова ос.

00:00:23.310 --> 00:00:26.230
На числовата ос нула е ето тук.

00:00:26.230 --> 00:00:28.470
Тук е –1.

00:00:28.470 --> 00:00:30.230
–1 и 0 са на разстояние 1.

00:00:30.230 --> 00:00:33.250
Значи абсолютната стойност на –1 е 1.

00:00:33.250 --> 00:00:38.850
Абсолютната стойност на 1 е също на разстояние 1 от 0.

00:00:38.850 --> 00:00:40.610
Тя също е 1.

00:00:40.610 --> 00:00:43.500
От една страна, абсолютната стойност е 
разстоянието на числото от 0.

00:00:43.500 --> 00:00:45.587
От друга, по-лесен начин да мислим за нея,

00:00:45.587 --> 00:00:48.600
е, че модулът е винаги същото число, 
но с положителен знак.

00:00:48.600 --> 00:00:59.360
Абсолютната стойност на –7346 е 7346.

00:00:59.360 --> 00:01:00.779
Предвид това, нека се опитаме

00:01:00.779 --> 00:01:05.050
да решим няколко модулни уравнения.

00:01:05.050 --> 00:01:06.675
Имаме следното уравнение:

00:01:06.675 --> 00:01:14.500
абсолютната стойност на (х – 5) е 10.

00:01:14.500 --> 00:01:15.895
Един начин да го разглеждаш, е...

00:01:15.895 --> 00:01:18.161
обърни внимание, това всъщност значи,

00:01:18.161 --> 00:01:23.120
че разстоянието между х и – 5 е 10.

00:01:23.120 --> 00:01:26.750
Колко числа има, които са на разстояние 
точно 10 единици от 5?

00:01:26.750 --> 00:01:29.430
Сигурно се досещаш какво е 
решението на уравнението,

00:01:29.430 --> 00:01:31.960
но нека го решим стъпка по стъпка.

00:01:31.960 --> 00:01:36.510
Това твърдение е вярно в два случая.

00:01:36.510 --> 00:01:41.800
Първи случай, х – 5 е равно на +10.

00:01:41.800 --> 00:01:44.630
В този случай,

00:01:44.630 --> 00:01:46.610
когато вземем абсолютната му стойност,

00:01:46.610 --> 00:01:48.380
ще получим +10.

00:01:48.380 --> 00:01:53.130
Втори случай, х – 5 е равно на –10.

00:01:53.130 --> 00:01:58.700
Ако х – 5 е равно на –10, ако вземем
абсолютната му стойност,

00:01:58.700 --> 00:01:59.950
ще получим отново 10.

00:01:59.950 --> 00:02:04.280
Така че х – 5 може да е равно също така и на –10.

00:02:04.280 --> 00:02:07.730
И двете удовлетворяват уравнението.

00:02:07.730 --> 00:02:08.958
За да решим това,

00:02:08.958 --> 00:02:11.500
нека прибавим 5 към двете страни
на уравнението.

00:02:11.500 --> 00:02:14.160
Получаваме х равно на 15.

00:02:14.160 --> 00:02:17.830
За да решим това, нека добавим 5 
към двете страни на това уравнение.

00:02:17.830 --> 00:02:20.900
х е равно на –5.

00:02:20.900 --> 00:02:21.963
Решението е,

00:02:21.963 --> 00:02:24.910
има две х, които удовлетворяват уравнението,

00:02:24.910 --> 00:02:26.890
х може да е 15.

00:02:26.890 --> 00:02:29.502
15 – 5 е 10; по абсолютна стойност

00:02:29.502 --> 00:02:32.690
получаваме 10, или х е равно на –5.

00:02:32.690 --> 00:02:36.060
–5 минус 5 е –10.

00:02:36.060 --> 00:02:39.020
Взимаме модул от –10 и получаваме 10.

00:02:39.020 --> 00:02:41.632
Забележи, че и двете числа

00:02:41.632 --> 00:02:45.750
са на точно 10 единици разстояние от 5.

00:02:45.750 --> 00:02:48.050
Нека решим още един пример.

00:02:48.050 --> 00:02:51.130
Нека решим още едно уравнение.

00:02:51.130 --> 00:02:52.182
Нека имаме следното:

00:02:52.182 --> 00:02:58.580
модул от х + 2 е равно на 6.

00:02:58.580 --> 00:02:59.610
Какво означава това?

00:02:59.610 --> 00:03:03.132
Означава, че х + 2,

00:03:03.132 --> 00:03:07.030
изразът вътре в модула, е равен на 6.

00:03:07.030 --> 00:03:10.380
Или изразът в модула,

00:03:10.380 --> 00:03:12.050
х + 2, може да е –6.

00:03:12.050 --> 00:03:13.910
Ако х + 2 е равно на –6,

00:03:13.910 --> 00:03:16.210
взимаме абсолютната му стойност и получаваме 6.

00:03:16.210 --> 00:03:20.340
Или х + 2 е равно на –6.

00:03:20.340 --> 00:03:22.880
Ако извадим 2 от двете страни на уравнението,

00:03:22.880 --> 00:03:25.850
получавме х равно на 4.

00:03:25.850 --> 00:03:29.780
Ако извадим 2 от двете страни на другото уравнение,

00:03:29.780 --> 00:03:33.690
получаваме х равно на –8.

00:03:33.690 --> 00:03:37.240
Това са двете решения на уравнението.

00:03:37.240 --> 00:03:39.740
И за да затвърдим,

00:03:39.740 --> 00:03:42.500
можем да приемем абсолютната стойност като разстояние.

00:03:42.500 --> 00:03:43.940
Можем да запишем уравнението

00:03:43.940 --> 00:03:50.410
като модул от х минус –2 е равно на 6.

00:03:50.410 --> 00:03:52.759
В този случай търсим

00:03:52.759 --> 00:03:57.590
какви са стойностите на х, 
които са на разстояние 6 от –2?

00:03:57.590 --> 00:03:59.168
Ето тук попитахме:

00:03:59.168 --> 00:04:03.560
какви са х, които са на разстояние 10 от +5?

00:04:03.560 --> 00:04:05.990
Каквото и число да вадим от +5,

00:04:05.990 --> 00:04:08.560
и двете са на разстояние 10 от +5.

00:04:08.560 --> 00:04:09.515
В този случай питаме

00:04:09.515 --> 00:04:13.080
кое число е на разстояние 6 от –2?

00:04:13.080 --> 00:04:15.510
Отговорът е или 4, или –8.

00:04:15.510 --> 00:04:17.959
Можеш да направиш проверка с тези числа.

00:04:17.959 --> 00:04:20.459
Нека решим още едно уравнение.

00:04:20.459 --> 00:04:25.330
Нека решим още едно, този път в лилаво.

00:04:25.330 --> 00:04:30.190
Имаме модул от 4х.

00:04:30.190 --> 00:04:31.430
Ще променя малко условието.

00:04:31.430 --> 00:04:33.390
4х – 1.

00:04:33.390 --> 00:04:36.583
Абсолютната стойност на 4х – 1 е равна на...

00:04:36.583 --> 00:04:40.200
всъщност, нека е равна на 19.

00:04:40.200 --> 00:04:41.769
Както при последните няколко задачи,

00:04:41.769 --> 00:04:47.640
4х – 1 може да бъде равно на 19.

00:04:47.640 --> 00:04:51.670
Или 4х – 1 може да е –19.

00:04:51.670 --> 00:04:53.130
Когато вземем абсолютната стойност,

00:04:53.130 --> 00:04:54.800
ще получим отново 19.

00:04:54.800 --> 00:04:59.100
Или 4х – 1 може да е равно на –19.

00:04:59.100 --> 00:05:00.970
Остава само да решим тези две уравнения.

00:05:00.970 --> 00:05:02.945
Прибавяме 1 към двете страни на уравнението,

00:05:02.945 --> 00:05:04.274
дори може да го направим едновременно и за двете.

00:05:04.274 --> 00:05:08.510
Прибавяме 1 към двете страни на това, 
получаваме 4х равно на 20.

00:05:08.510 --> 00:05:11.005
Прибавяме 1 към двете страни на другото уравнение,

00:05:11.005 --> 00:05:15.340
получаваме 4х равно на –18.

00:05:15.340 --> 00:05:20.210
Делим двете страни на уравнението на 4 
и получаваме х равно на 5.

00:05:20.210 --> 00:05:23.920
Делим двете страни на другото уравнение на 4 
и получаваме х равно на –18/4,

00:05:23.920 --> 00:05:31.770
което е равно на –9/2.

00:05:31.770 --> 00:05:35.730
И двете стойности на х удовлетворяват уравнението.

00:05:35.730 --> 00:05:36.587
Да ги проверим.

00:05:36.587 --> 00:05:39.580
–9/2 по 4.

00:05:39.580 --> 00:05:41.570
Това е равно на –18.

00:05:41.570 --> 00:05:44.200
–18 минус 1 е –19.

00:05:44.200 --> 00:05:46.740
Взимаме абсолютната стойност и получаваме 19.

00:05:46.740 --> 00:05:49.920
Заместваме х с 5, тогава 4 по 5 е 20.

00:05:49.920 --> 00:05:51.960
Минус 1, и получаваме +19.

00:05:51.960 --> 00:05:53.260
Взимаме абсолютната му стойност.

00:05:53.260 --> 00:05:55.920
И получаваме отново 19.

00:05:55.920 --> 00:05:58.580
Нека за по-забавно да представим графично 
едно от уравненията.

00:05:58.580 --> 00:05:59.283
Да вземем следното:

00:05:59.283 --> 00:06:04.990
имаме у равно на абсолютната стойност на х + 3.

00:06:04.990 --> 00:06:07.840
Това е функция, или графика,

00:06:07.840 --> 00:06:09.410
която съдържа абсолютна стойност.

00:06:09.410 --> 00:06:11.820
Да помислим за двата случая.

00:06:11.820 --> 00:06:13.136
В единия случай

00:06:13.136 --> 00:06:16.430
изразът в модула е положителен.

00:06:16.430 --> 00:06:18.873
Това е случаят, в който имаме х +3...

00:06:18.873 --> 00:06:23.420
Ще го запиша тук: х + 3 е по-голямо от 0.

00:06:23.420 --> 00:06:29.370
В другия случай имаме х + 3 < 0.

00:06:29.370 --> 00:06:32.658
Когато х + 3 > 0,

00:06:32.658 --> 00:06:36.490
тази графика, предполагам можем да я наречем линия,

00:06:36.490 --> 00:06:41.690
тази функция е една и съща с у = х + 3.

00:06:41.690 --> 00:06:44.370
Ако това нещо тук е > 0,

00:06:44.370 --> 00:06:46.750
то можем да пренебрегнем знака на модула.

00:06:46.750 --> 00:06:48.780
Тогава това нещо

00:06:48.780 --> 00:06:50.280
е същото като у = х + 3.

00:06:50.280 --> 00:06:52.590
Но кога х + 3 > 0?

00:06:52.590 --> 00:06:56.366
Ако извадим 3 от двете страни,

00:06:56.366 --> 00:06:59.910
ще получим х > –3.

00:06:59.910 --> 00:07:02.249
Когато х > –3,

00:07:02.249 --> 00:07:08.460
графиката ще изглежда като тази на у = х + 3.

00:07:08.460 --> 00:07:11.500
Да видим другия случай, х + 3 < 0.

00:07:11.500 --> 00:07:13.328
В този случай,

00:07:13.328 --> 00:07:16.509
изразът в модула ни е отрицателен.

00:07:16.509 --> 00:07:20.356
Като разкрием модула, уравнението ще бъде

00:07:20.356 --> 00:07:26.250
у равно на отрицателната стойност на х +3

00:07:26.250 --> 00:07:27.540
Как разбираме това?

00:07:27.540 --> 00:07:30.520
Ако това нещо е отрицателно число,

00:07:30.520 --> 00:07:33.060
ако х плюс 3 е отрицателно число, 
това допускаме,

00:07:33.060 --> 00:07:36.010
ако е отрицателно число,

00:07:36.010 --> 00:07:38.090
тогава, когато вземем абсолютната стойност
на отрицателното число,

00:07:38.090 --> 00:07:40.050
ние го превръщаме в положително.

00:07:40.050 --> 00:07:43.280
Все едно умножаваме по минус 1.

00:07:43.280 --> 00:07:45.870
Ако взимаме абсолютната стойност 
на отрицателно число,

00:07:45.870 --> 00:07:48.890
това е все едно го умножаваме по минус 1,

00:07:48.890 --> 00:07:51.010
защото го превръщаме в положително.

00:07:51.010 --> 00:07:53.870
Това е случаят, в който

00:07:53.870 --> 00:07:55.840
х + 3 е по-малко от 0.

00:07:55.840 --> 00:07:59.850
Ако извадим 3 от двете страни,

00:07:59.850 --> 00:08:01.280
получаваме х < –3.

00:08:01.280 --> 00:08:03.920
Когато х е по-малко от минус 3,

00:08:03.920 --> 00:08:05.040
графиката изглежда така.

00:08:05.040 --> 00:08:07.760
Когато х е по-голямо от минус 3,

00:08:07.760 --> 00:08:09.600
графиката изглежда така.

00:08:09.600 --> 00:08:11.300
Нека разгледаме как ще изглежда

00:08:11.300 --> 00:08:13.670
цялата графика.

00:08:13.670 --> 00:08:21.520
Ще начертая координатните оси.

00:08:21.520 --> 00:08:26.070
Това е оста х, а това – оста у.

00:08:26.070 --> 00:08:29.090
Нека разкрием скобите, за да приведем във вид

00:08:29.090 --> 00:08:29.870
mx + b.

00:08:29.870 --> 00:08:36.070
Това е равно на минус х минус 3.

00:08:36.070 --> 00:08:38.659
Да видим как би изглеждала тази графика
принципно.

00:08:38.659 --> 00:08:42.020
Минус х минус 3.

00:08:42.020 --> 00:08:47.380
Пресечната точка на графиката с оста у е –3.

00:08:47.380 --> 00:08:51.060
Отрицателно х означава, че графиката намалява,

00:08:51.060 --> 00:08:52.290
има наклон 1.

00:08:52.290 --> 00:08:53.540
Ще изглежда ето така.

00:08:56.840 --> 00:09:02.830
Пресечната точка с х ще е при какво х?

00:09:02.830 --> 00:09:07.740
Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.

00:09:07.740 --> 00:09:08.575
Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.

00:09:08.575 --> 00:09:10.380
Така че ще премине през тази линия,

00:09:10.380 --> 00:09:11.920
през точно тази точка.

00:09:11.920 --> 00:09:14.190
А графиката, ако нямахме това условие,

00:09:14.190 --> 00:09:15.600
щеше да изглежда така.

00:09:19.890 --> 00:09:22.760
Щеше да изглежда така, ако не беше ограничена

00:09:22.760 --> 00:09:23.880
в интервал по оста х.

00:09:23.880 --> 00:09:27.080
Как ще изглежда тази графика?

00:09:27.080 --> 00:09:27.480
Да видим.

00:09:27.480 --> 00:09:31.810
Пресечната точка с оста у е плюс 3.

00:09:31.810 --> 00:09:33.230
Просто така.

00:09:33.230 --> 00:09:35.260
Къде е пресечната точка с оста х?

00:09:35.260 --> 00:09:37.970
Когато у е равно на 0, х е минус 3.

00:09:37.970 --> 00:09:39.760
Значи също минава през тази точка

00:09:39.760 --> 00:09:40.620
и има наклон 1.

00:09:40.620 --> 00:09:43.710
Така че ще изглежда ето така.

00:09:43.710 --> 00:09:45.330
Така изглежда графиката.

00:09:45.330 --> 00:09:48.100
Разбрахме, че функцията на абсолютната стойност

00:09:48.100 --> 00:09:52.030
изглежда като тази лилава графика,

00:09:52.030 --> 00:09:53.830
когато х е по-малко от минус 3.

00:09:53.830 --> 00:09:57.070
Когато х е по-малко от минус 3,

00:09:57.070 --> 00:09:59.593
х е равно на –3 тук, когато х е по-малко от минус 3,

00:09:59.593 --> 00:10:03.170
изглежда като тази лилава графика.

00:10:03.170 --> 00:10:04.570
Точно тук.

00:10:04.570 --> 00:10:07.390
Това е случаят, в който х е по-малко от –3.

00:10:07.390 --> 00:10:10.830
Но когато х е по-голямо от –3,

00:10:10.830 --> 00:10:12.160
изглежда като зелената графика.

00:10:12.160 --> 00:10:14.640
Изглежда точно така.

00:10:14.640 --> 00:10:17.480
Значи, графиката изглежда като странно V.

00:10:17.480 --> 00:10:21.430
Когато х е по-голямо от –3, това е положително.

00:10:21.430 --> 00:10:24.950
Имаме графика с положителен наклон.

00:10:24.950 --> 00:10:28.270
Но когато х е по-малко от минус 3,

00:10:28.270 --> 00:10:30.550
взимаме отрицателната част на функцията,

00:10:30.550 --> 00:10:32.280
имаме отрицателен наклон.

00:10:32.280 --> 00:10:35.060
Имаме V-образна функция,

00:10:35.060 --> 00:10:40.190
V-образна графика, която съответства
на функция от абсолютно стойност.