Нека решим няколко модулни уравнения.

Нека първо си припомним

какво означава модул или абсолютна стойност.

Да вземем абсолютната стойност на –1.

Абсолютната стойност означава

на какво разстояние е числото от 0.

В случая с –1, ако го отбележим на числовата ос...

Това е една много грозна числова ос.

На числовата ос нула е ето тук.

Тук е –1.

–1 и 0 са на разстояние 1.

Значи абсолютната стойност на –1 е 1.

Абсолютната стойност на 1 е също на разстояние 1 от 0.

Тя също е 1.

От една страна, абсолютната стойност е 
разстоянието на числото от 0.

От друга, по-лесен начин да мислим за нея,

е, че модулът е винаги същото число, 
но с положителен знак.

Абсолютната стойност на –7346 е 7346.

Предвид това, нека се опитаме

да решим няколко модулни уравнения.

Имаме следното уравнение:

абсолютната стойност на (х – 5) е 10.

Един начин да го разглеждаш, е...

обърни внимание, това всъщност значи,

че разстоянието между х и – 5 е 10.

Колко числа има, които са на разстояние 
точно 10 единици от 5?

Сигурно се досещаш какво е 
решението на уравнението,

но нека го решим стъпка по стъпка.

Това твърдение е вярно в два случая.

Първи случай, х – 5 е равно на +10.

В този случай,

когато вземем абсолютната му стойност,

ще получим +10.

Втори случай, х – 5 е равно на –10.

Ако х – 5 е равно на –10, ако вземем
абсолютната му стойност,

ще получим отново 10.

Така че х – 5 може да е равно също така и на –10.

И двете удовлетворяват уравнението.

За да решим това,

нека прибавим 5 към двете страни
на уравнението.

Получаваме х равно на 15.

За да решим това, нека добавим 5 
към двете страни на това уравнение.

х е равно на –5.

Решението е,

има две х, които удовлетворяват уравнението,

х може да е 15.

15 – 5 е 10; по абсолютна стойност

получаваме 10, или х е равно на –5.

–5 минус 5 е –10.

Взимаме модул от –10 и получаваме 10.

Забележи, че и двете числа

са на точно 10 единици разстояние от 5.

Нека решим още един пример.

Нека решим още едно уравнение.

Нека имаме следното:

модул от х + 2 е равно на 6.

Какво означава това?

Означава, че х + 2,

изразът вътре в модула, е равен на 6.

Или изразът в модула,

х + 2, може да е –6.

Ако х + 2 е равно на –6,

взимаме абсолютната му стойност и получаваме 6.

Или х + 2 е равно на –6.

Ако извадим 2 от двете страни на уравнението,

получавме х равно на 4.

Ако извадим 2 от двете страни на другото уравнение,

получаваме х равно на –8.

Това са двете решения на уравнението.

И за да затвърдим,

можем да приемем абсолютната стойност като разстояние.

Можем да запишем уравнението

като модул от х минус –2 е равно на 6.

В този случай търсим

какви са стойностите на х, 
които са на разстояние 6 от –2?

Ето тук попитахме:

какви са х, които са на разстояние 10 от +5?

Каквото и число да вадим от +5,

и двете са на разстояние 10 от +5.

В този случай питаме

кое число е на разстояние 6 от –2?

Отговорът е или 4, или –8.

Можеш да направиш проверка с тези числа.

Нека решим още едно уравнение.

Нека решим още едно, този път в лилаво.

Имаме модул от 4х.

Ще променя малко условието.

4х – 1.

Абсолютната стойност на 4х – 1 е равна на...

всъщност, нека е равна на 19.

Както при последните няколко задачи,

4х – 1 може да бъде равно на 19.

Или 4х – 1 може да е –19.

Когато вземем абсолютната стойност,

ще получим отново 19.

Или 4х – 1 може да е равно на –19.

Остава само да решим тези две уравнения.

Прибавяме 1 към двете страни на уравнението,

дори може да го направим едновременно и за двете.

Прибавяме 1 към двете страни на това, 
получаваме 4х равно на 20.

Прибавяме 1 към двете страни на другото уравнение,

получаваме 4х равно на –18.

Делим двете страни на уравнението на 4 
и получаваме х равно на 5.

Делим двете страни на другото уравнение на 4 
и получаваме х равно на –18/4,

което е равно на –9/2.

И двете стойности на х удовлетворяват уравнението.

Да ги проверим.

–9/2 по 4.

Това е равно на –18.

–18 минус 1 е –19.

Взимаме абсолютната стойност и получаваме 19.

Заместваме х с 5, тогава 4 по 5 е 20.

Минус 1, и получаваме +19.

Взимаме абсолютната му стойност.

И получаваме отново 19.

Нека за по-забавно да представим графично 
едно от уравненията.

Да вземем следното:

имаме у равно на абсолютната стойност на х + 3.

Това е функция, или графика,

която съдържа абсолютна стойност.

Да помислим за двата случая.

В единия случай

изразът в модула е положителен.

Това е случаят, в който имаме х +3...

Ще го запиша тук: х + 3 е по-голямо от 0.

В другия случай имаме х + 3 < 0.

Когато х + 3 > 0,

тази графика, предполагам можем да я наречем линия,

тази функция е една и съща с у = х + 3.

Ако това нещо тук е > 0,

то можем да пренебрегнем знака на модула.

Тогава това нещо

е същото като у = х + 3.

Но кога х + 3 > 0?

Ако извадим 3 от двете страни,

ще получим х > –3.

Когато х > –3,

графиката ще изглежда като тази на у = х + 3.

Да видим другия случай, х + 3 < 0.

В този случай,

изразът в модула ни е отрицателен.

Като разкрием модула, уравнението ще бъде

у равно на отрицателната стойност на х +3

Как разбираме това?

Ако това нещо е отрицателно число,

ако х плюс 3 е отрицателно число, 
това допускаме,

ако е отрицателно число,

тогава, когато вземем абсолютната стойност
на отрицателното число,

ние го превръщаме в положително.

Все едно умножаваме по минус 1.

Ако взимаме абсолютната стойност 
на отрицателно число,

това е все едно го умножаваме по минус 1,

защото го превръщаме в положително.

Това е случаят, в който

х + 3 е по-малко от 0.

Ако извадим 3 от двете страни,

получаваме х < –3.

Когато х е по-малко от минус 3,

графиката изглежда така.

Когато х е по-голямо от минус 3,

графиката изглежда така.

Нека разгледаме как ще изглежда

цялата графика.

Ще начертая координатните оси.

Това е оста х, а това – оста у.

Нека разкрием скобите, за да приведем във вид

mx + b.

Това е равно на минус х минус 3.

Да видим как би изглеждала тази графика
принципно.

Минус х минус 3.

Пресечната точка на графиката с оста у е –3.

Отрицателно х означава, че графиката намалява,

има наклон 1.

Ще изглежда ето така.

Пресечната точка с х ще е при какво х?

Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.

Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.

Така че ще премине през тази линия,

през точно тази точка.

А графиката, ако нямахме това условие,

щеше да изглежда така.

Щеше да изглежда така, ако не беше ограничена

в интервал по оста х.

Как ще изглежда тази графика?

Да видим.

Пресечната точка с оста у е плюс 3.

Просто така.

Къде е пресечната точка с оста х?

Когато у е равно на 0, х е минус 3.

Значи също минава през тази точка

и има наклон 1.

Така че ще изглежда ето така.

Така изглежда графиката.

Разбрахме, че функцията на абсолютната стойност

изглежда като тази лилава графика,

когато х е по-малко от минус 3.

Когато х е по-малко от минус 3,

х е равно на –3 тук, когато х е по-малко от минус 3,

изглежда като тази лилава графика.

Точно тук.

Това е случаят, в който х е по-малко от –3.

Но когато х е по-голямо от –3,

изглежда като зелената графика.

Изглежда точно така.

Значи, графиката изглежда като странно V.

Когато х е по-голямо от –3, това е положително.

Имаме графика с положителен наклон.

Но когато х е по-малко от минус 3,

взимаме отрицателната част на функцията,

имаме отрицателен наклон.

Имаме V-образна функция,

V-образна графика, която съответства
на функция от абсолютно стойност.