-
Привет!
-
В этом видео я хочу использовать
-
результаты рассмотренного в предыдущих роликах
-
и немного попрактиковаться.
-
Допустим, у нас есть круг и вписанный в него
-
равносторонний треугольник.
-
Все вершины треугольника лежат на линии окружности.
-
Я попробую как можно лучше изобразить
-
равносторонний треугольник.
-
Думаю, что лучше у меня бы и не получилось.
-
Равносторонний треугольник -
-
значит, все эти стороны одинаковой длины.
-
Эта сторона «а», эта - «а»
-
и эта тоже «а».
-
Допустим, что радиус данного круга равен 2.
-
Я просто предложил это значение, чтобы решить задачу.
-
Итак, радиус равен 2.
-
Расстояние от центра круга до любой точки
-
на окружности (т.е. радиус) равно 2.
-
Мы будем пользоваться знаниями,
-
полученными из нескольких предыдущих видео,
-
и начальными знаниями по тригонометрии.
-
Если слово «тригонометрия» пугает вас,
-
то посмотрите 2-3 видео из раздела «Тригонометрия» -
-
и вы сразу поймёте, что я здесь буду делать.
-
Я хочу в этой задаче посчитать площадь участка,
-
который находится внутри круга,
-
но снаружи треугольника.
-
Т.е. площадь вот этого маленького кусочка,
-
этого кусочка и этого, всех вместе.
-
Очевидно, что я могу посчитать площадь круга
-
достаточно легко. Площадь круга
-
будет равна π*r² или π*2².
-
Т.е. 4π.
-
И я могу вычесть из 4π площадь треугольника.
-
Т.е. теперь нам нужно найти площадь треугольника.
-
Чему равняется площадь треугольника?
-
Несколько уроков назад я рассказывал вам
-
про формулу Герона.
-
Если вы знаете длину сторон треугольника,
-
вы можете вычислить его площадь.
-
Но мы же ещё не знаем длину сторон.
-
Если бы мы знали, возможно, нам бы и удалось
-
посчитать площадь.
-
Давайте применим формулу Герона,
-
ещё не зная длин сторон.
-
Давайте посмотрим. Все стороны
-
этого равностороннего треугольника равны «а».
-
Применяем формулу Герона.
-
Обозначим неизвестную площадь S=(а+а+а)/2 .
-
Это то же самое, что и 3а/2.
-
Площадь этого треугольника, если выразить через сторону а…
-
Площадь треугольника будет равна √S,
-
который у нас 3а/2, умножить на (S-a) -
-
это (3а/2)-а.
-
Или я могу написать 2а/2, так?
-
a – это то же самое, что и 2а/а.
-
Вы можете сократить эти двойки и получить «а».
-
И чтобы не повторять это все три раза,
-
мы можем просто написать «в кубе».
-
И чему же это всё у нас будет равняться?
-
Это будет равняться √(3а/2).
-
А здесь у нас будет: 3а-2а=а.
-
Т.е. (а/2)³.
-
Всё это будет равно - я сейчас поменяю цвет.
-
Итак, 3а*а³ - это равно 3а⁴, делить на 2*2³.
-
Это 2⁴ или 16.
-
Далее - извлекаем квадратный корень из числителя
-
и знаменателя - а⁴ превратится в а².
-
Умножить на - я сразу запишу √3
-
и разделить на квадратный корень из знаменателя,
-
который будет равен 4.
-
Если мы знаем «а», то,
-
воспользовавшись формулой Герона,
-
мы можем узнать, чему будет равна
-
площадь этого равностороннего треугольника.
-
А как же нам вычислить «а»?
-
Что ещё мы знаем о равносторонних треугольниках?
-
Мы знаем, что все эти углы равны.
-
И т.к. они должны в сумме составлять 180°,
-
значит, все они равны по 60°.
-
Этот 60°, этот и этот 60°.
-
Посмотрим, пригодится ли здесь мой последний урок,
-
в котором я описывал соотношения между
-
вписанными углами и центральными углами.
-
Вот здесь у нас вписанный угол.
-
Его вершина лежит на окружности.
-
И этот угол опирается (можно сказать - стягивает) на эту дугу.
-
А центральный угол, который опирается на ту же дугу...
-
Где он? Вот он.
-
Учитывая то, что мы видели в последнем уроке,
-
можем сказать, что центральный угол
-
в 2 раза больше вписанного угла,
-
если они опираются на одну и ту же дугу.
-
Т.е. центральный угол больше этого в 2 раза и равен 120°.
-
Давайте я стрелочкой обозначу – 120°.
-
Этот в два раза больше, чем вписанный.
-
Если я разделю этот угол пополам,
-
из середины угла проведу линию вниз.
-
Вот так. Чему будут равны 2 этих угла?
-
Они будут по 60°, т.к. я провел биссектрису.
-
Здесь 60°, и здесь 60°.
-
Мы знаем, что я делю эту сторону пополам,
-
т.к. это равнобедренный треугольник.
-
Тут у нас радиус, равный 2.
-
Здесь тоже радиус, равный 2.
-
Этот треугольник симметричен,
-
и если я провожу линию в середину отрезка,
-
длина этого отрезка равна половине стороны.
-
Здесь а/2 и здесь а/2.
-
Давайте я зарисую здесь равнобедренный треугольник.
-
Любой равнобедренный треугольник,
-
у которого эта сторона равна этой стороне.
-
В нашем случае это радиусы, да?
-
Этот угол равен этому углу.
-
Если я проведу здесь высоту,
-
то разделю основание на 2 равные части.
-
Эти отрезки будут равны.
-
В данном примере весь отрезок равен а,
-
значит каждая из частей равна а/2.
-
Теперь воспользуемся немного нашими знаниями
-
по тригонометрии, чтобы найти отношение между а и r.
-
Если мы сможем выразить а через r,
-
тогда мы сможем подставить значение «а» в формулу
-
и получим площадь нашего треугольника.
-
А потом мы вычтем полученную площадь
-
из площади круга, и -ура, мы победили!
-
Решили задачку. Давайте попробуем.
-
Этот угол равен 60°. Половина центрального угла.
-
60°, вот эта сторона равна а/2,
-
она противоположна данному углу.
-
Противоположная сторона равна а/2.
-
Мы также знаем гипотенузу. Здесь у нас прямой угол.
-
Мы провели высоту,
-
она в равнобедренном треугольнике является также
-
и медианой, и биссектрисой.
-
Это прямоугольный треугольник.
-
Воспользуемся знаниями по тригонометрии.
-
Противоположная сторона равна а/2,
-
и мы знаем гипотенузу, она равна r.
-
Это гипотенуза нашего равнобедренного треугольника.
-
Она равна 2.
-
Какое мы знаем соотношение между стороной,
-
противоположной углу в 60° и гипотенузой?
-
Давайте подумаем.
-
Синус угла равен
-
отношению противоположной стороны к гипотенузе.
-
Я опущу немного ниже, а то мне места не хватает.
-
Т.е. синус вот этого угла, 60°,
-
равен отношению противолежащей стороны, а/2,
-
к гипотенузе, это наш радиус, 2.
-
Получается: (а/2)/2=а/4. А чему равен синус 60°?
-
Если вы не знаете, что такое «sin»,
-
посмотрите пару первых роликов по тригонометрии.
-
Они не такие уж и скучные.
-
Sin 60°, может быть вы помните из видео
-
про треугольники с углами 30, 60, 90°…
-
Давайте нарисую один вот тут.
-
Это треугольник с углами 30, 60, 90°.
-
Вы возможно помните. Пусть это будет 1.
-
Здесь - ½. А здесь - (√3)/2.
-
Синус 60° – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
-
((√3)/2)/1 - синус 60°.
-
Если нет под рукой калькулятора,
-
можете использовать это - (√3)/2. Здесь у нас (√3)/2.
-
Теперь можем вычислить «а». (√3)/2=а/4.
-
Умножим обе стороны равенства на 4.
-
Эта четвёрка сократится. Здесь останется 2. Здесь - 1.
-
Получаем а=2√3. Ура! Мы победили!
-
Мы только что посчитали длину всех этих сторон.
-
Мы применили формулу Герона, чтобы посчитать
-
площадь треугольника через эти стороны.
-
Мы подставляем это значение «а»
-
в формулу и получаем площадь.
-
Площадь треугольника равна а². Что у нас а²?
-
Это (2√3)²*((√3)/4).
-
Это будет равняться 43((√3)/4).
-
4-ки сокращаются,
-
и площадь нашего треугольника равна 3√3.
-
Это площадь всего целого треугольника.
-
Теперь вернёмся к основному вопросу.
-
Площадь оранжевого участка вне треугольника,
-
но внутри круга…
-
Площадь круга равна 4π.
-
Из этого вычитаем площадь треугольника 3√3.
-
И - вуаля! Мы сделали это!
-
Это наш ответ: 4π-3√3.
-
Это площадь этого оранжевого участка.
-
Надеюсь, урок вам понравился.