WEBVTT

00:00:05.041 --> 00:00:06.036
Привет!

00:00:06.036 --> 00:00:08.035
В этом видео я хочу использовать

00:00:08.035 --> 00:00:11.056
результаты рассмотренного в предыдущих роликах

00:00:11.056 --> 00:00:14.043
и немного попрактиковаться.

00:00:14.043 --> 00:00:18.000
Допустим, у нас есть круг и вписанный в него

00:00:18.000 --> 00:00:19.089
равносторонний треугольник.

00:00:19.089 --> 00:00:23.012
Все вершины треугольника лежат на линии окружности.

00:00:23.012 --> 00:00:25.056
Я попробую как можно лучше изобразить

00:00:25.056 --> 00:00:29.088
равносторонний треугольник.

00:00:29.088 --> 00:00:32.057
Думаю, что лучше у меня бы и не получилось.

00:00:32.057 --> 00:00:34.011
Равносторонний треугольник -

00:00:34.011 --> 00:00:37.000
значит, все эти стороны одинаковой длины.

00:00:37.000 --> 00:00:38.089
Эта сторона «а», эта - «а»

00:00:38.089 --> 00:00:40.092
и эта тоже «а».

00:00:40.092 --> 00:00:46.088
Допустим, что радиус данного круга равен 2.

00:00:46.088 --> 00:00:50.061
Я просто предложил это значение, чтобы решить задачу.

00:00:50.061 --> 00:00:56.049
Итак, радиус равен 2.

00:00:56.049 --> 00:00:59.035
Расстояние от центра круга до любой точки

00:00:59.035 --> 00:01:02.096
на окружности (т.е. радиус) равно 2.

00:01:02.096 --> 00:01:04.057
Мы будем пользоваться знаниями,

00:01:04.057 --> 00:01:07.004
полученными из нескольких предыдущих видео,

00:01:07.004 --> 00:01:10.007
и начальными знаниями по тригонометрии.

00:01:10.007 --> 00:01:11.091
Если слово «тригонометрия» пугает вас,

00:01:11.091 --> 00:01:14.065
то посмотрите 2-3 видео из раздела «Тригонометрия» -

00:01:14.065 --> 00:01:17.057
и вы сразу поймёте, что я здесь буду делать.

00:01:17.057 --> 00:01:23.056
Я хочу в этой задаче посчитать площадь участка,

00:01:23.056 --> 00:01:25.035
который находится внутри круга,

00:01:25.035 --> 00:01:27.015
но снаружи треугольника.

00:01:27.015 --> 00:01:30.095
Т.е. площадь вот этого маленького кусочка,

00:01:30.095 --> 00:01:36.057
этого кусочка и этого, всех вместе.

00:01:36.057 --> 00:01:38.066
Очевидно, что я могу посчитать площадь круга

00:01:38.066 --> 00:01:43.041
достаточно легко. Площадь круга

00:01:45.090 --> 00:01:53.066
будет равна π*r² или π*2².

00:01:53.066 --> 00:01:55.028
Т.е. 4π.

00:01:55.028 --> 00:01:58.090
И я могу вычесть из 4π площадь треугольника.

00:01:58.090 --> 00:02:02.004
Т.е. теперь нам нужно найти площадь треугольника.

00:02:02.004 --> 00:02:04.092
Чему равняется площадь треугольника?

00:02:04.092 --> 00:02:07.004
Несколько уроков назад я рассказывал вам

00:02:07.004 --> 00:02:08.066
про формулу Герона.

00:02:08.066 --> 00:02:10.089
Если вы знаете длину сторон треугольника,

00:02:10.089 --> 00:02:13.028
вы можете вычислить его площадь.

00:02:13.028 --> 00:02:15.059
Но мы же ещё не знаем длину сторон.

00:02:15.059 --> 00:02:18.019
Если бы мы знали, возможно, нам бы и удалось

00:02:18.019 --> 00:02:20.041
посчитать площадь.

00:02:20.041 --> 00:02:21.099
Давайте применим формулу Герона,

00:02:21.099 --> 00:02:24.072
ещё не зная длин сторон.

00:02:24.072 --> 00:02:26.043
Давайте посмотрим. Все стороны

00:02:26.043 --> 00:02:30.048
этого равностороннего треугольника равны «а».

00:02:30.048 --> 00:02:32.024
Применяем формулу Герона.

00:02:32.024 --> 00:02:44.019
Обозначим неизвестную площадь S=(а+а+а)/2 .

00:02:44.019 --> 00:02:47.057
Это то же самое, что и 3а/2.

00:02:47.057 --> 00:02:51.099
Площадь этого треугольника, если выразить через сторону а…

00:02:51.099 --> 00:02:57.019
Площадь треугольника будет равна √S,

00:02:57.019 --> 00:03:03.038
который у нас 3а/2, умножить на (S-a) -

00:03:03.038 --> 00:03:07.043
это (3а/2)-а.

00:03:07.043 --> 00:03:12.098
Или я могу написать 2а/2, так?

00:03:12.098 --> 00:03:16.012
a – это то же самое, что и 2а/а.

00:03:16.012 --> 00:03:21.096
Вы можете сократить эти двойки и получить «а».

00:03:21.096 --> 00:03:24.046
И чтобы не повторять это все три раза,

00:03:24.046 --> 00:03:27.018
мы можем просто написать «в кубе».

00:03:27.018 --> 00:03:29.097
И чему же это всё у нас будет равняться?

00:03:29.097 --> 00:03:36.080
Это будет равняться √(3а/2).

00:03:36.080 --> 00:03:39.096
А здесь у нас будет: 3а-2а=а.

00:03:39.096 --> 00:03:45.081
Т.е. (а/2)³.

00:03:45.081 --> 00:03:50.001
Всё это будет равно - я сейчас поменяю цвет.

00:03:51.028 --> 00:04:03.004
Итак, 3а*а³ - это равно 3а⁴, делить на 2*2³.

00:04:03.004 --> 00:04:09.009
Это 2⁴ или 16.

00:04:09.098 --> 00:04:12.071
Далее - извлекаем квадратный корень из числителя

00:04:12.071 --> 00:04:20.040
и знаменателя - а⁴ превратится в а².

00:04:23.098 --> 00:04:27.036
Умножить на - я сразу запишу √3

00:04:27.036 --> 00:04:31.016
и разделить на квадратный корень из знаменателя,

00:04:31.016 --> 00:04:33.004
который будет равен 4.

00:04:33.004 --> 00:04:34.057
Если мы знаем «а», то,

00:04:34.057 --> 00:04:37.007
воспользовавшись формулой Герона,

00:04:37.007 --> 00:04:38.060
мы можем узнать, чему будет равна

00:04:38.060 --> 00:04:41.043
площадь этого равностороннего треугольника.

00:04:41.043 --> 00:04:43.081
А как же нам вычислить «а»?

00:04:43.081 --> 00:04:47.027
Что ещё мы знаем о равносторонних треугольниках?

00:04:47.027 --> 00:04:50.019
Мы знаем, что все эти углы равны.

00:04:50.019 --> 00:04:53.047
И т.к. они должны в сумме составлять 180°,

00:04:53.047 --> 00:04:55.047
значит, все они равны по 60°.

00:04:55.047 --> 00:04:58.003
Этот 60°, этот и этот 60°.

00:04:58.003 --> 00:05:00.081
Посмотрим, пригодится ли здесь мой последний урок,

00:05:00.081 --> 00:05:03.034
в котором я описывал соотношения между

00:05:03.034 --> 00:05:05.048
вписанными углами и центральными углами.

00:05:05.048 --> 00:05:08.047
Вот здесь у нас вписанный угол.

00:05:08.047 --> 00:05:11.056
Его вершина лежит на окружности.

00:05:11.056 --> 00:05:23.048
И этот угол опирается (можно сказать - стягивает) на эту дугу.

00:05:27.068 --> 00:05:32.047
А центральный угол, который опирается на ту же дугу...

00:05:32.047 --> 00:05:35.047
Где он? Вот он.

00:05:35.047 --> 00:05:37.056
Учитывая то, что мы видели в последнем уроке,

00:05:37.056 --> 00:05:40.019
можем сказать, что центральный угол

00:05:40.019 --> 00:05:42.065
в 2 раза больше вписанного угла,

00:05:42.065 --> 00:05:46.004
если они опираются на одну и ту же дугу.

00:05:46.004 --> 00:05:51.017
Т.е. центральный угол больше этого в 2 раза и равен 120°.

00:05:51.017 --> 00:05:55.098
Давайте я стрелочкой обозначу – 120°.

00:05:55.098 --> 00:05:58.027
Этот в два раза больше, чем вписанный.

00:05:58.027 --> 00:06:00.090
Если я разделю этот угол пополам,

00:06:00.090 --> 00:06:03.074
из середины угла проведу линию вниз.

00:06:03.074 --> 00:06:08.006
Вот так. Чему будут равны 2 этих угла?

00:06:08.006 --> 00:06:11.087
Они будут по 60°, т.к. я провел биссектрису.

00:06:11.087 --> 00:06:14.065
Здесь 60°, и здесь 60°.

00:06:14.065 --> 00:06:19.090
Мы знаем, что я делю эту сторону пополам,

00:06:19.090 --> 00:06:22.036
т.к. это равнобедренный треугольник.

00:06:22.036 --> 00:06:26.016
Тут у нас радиус, равный 2.

00:06:26.016 --> 00:06:29.097
Здесь тоже радиус, равный 2.

00:06:29.097 --> 00:06:31.019
Этот треугольник симметричен,

00:06:31.019 --> 00:06:34.007
и если я провожу линию в середину отрезка,

00:06:34.007 --> 00:06:37.038
длина этого отрезка равна половине стороны.

00:06:37.038 --> 00:06:41.019
Здесь а/2 и здесь а/2.

00:06:41.019 --> 00:06:44.057
Давайте я зарисую здесь равнобедренный треугольник.

00:06:44.057 --> 00:06:45.090
Любой равнобедренный треугольник,

00:06:45.090 --> 00:06:50.077
у которого эта сторона равна этой стороне.

00:06:50.077 --> 00:06:53.016
В нашем случае это радиусы, да?

00:06:53.016 --> 00:06:55.019
Этот угол равен этому углу.

00:06:55.019 --> 00:06:57.068
Если я проведу здесь высоту,

00:06:57.068 --> 00:07:00.049
то разделю основание на 2 равные части.

00:07:00.049 --> 00:07:02.060
Эти отрезки будут равны.

00:07:02.060 --> 00:07:05.039
В данном примере весь отрезок равен а,

00:07:05.039 --> 00:07:09.019
значит каждая из частей равна а/2.

00:07:09.019 --> 00:07:11.096
Теперь воспользуемся немного нашими знаниями

00:07:11.096 --> 00:07:15.081
по тригонометрии, чтобы найти отношение между а и r.

00:07:15.081 --> 00:07:18.074
Если мы сможем выразить а через r,

00:07:18.074 --> 00:07:21.089
тогда мы сможем подставить значение «а» в формулу

00:07:21.089 --> 00:07:25.024
и получим площадь нашего треугольника.

00:07:25.024 --> 00:07:27.068
А потом мы вычтем полученную площадь

00:07:27.068 --> 00:07:30.043
из площади круга, и -ура, мы победили!

00:07:30.043 --> 00:07:32.090
Решили задачку. Давайте попробуем.

00:07:32.090 --> 00:07:37.075
Этот угол равен 60°. Половина центрального угла.

00:07:37.075 --> 00:07:41.082
60°, вот эта сторона равна а/2,

00:07:41.082 --> 00:07:44.036
она противоположна данному углу.

00:07:44.036 --> 00:07:48.074
Противоположная сторона равна а/2.

00:07:48.074 --> 00:07:51.099
Мы также знаем гипотенузу. Здесь у нас прямой угол.

00:07:51.099 --> 00:07:53.027
Мы провели высоту,

00:07:53.027 --> 00:07:55.031
она в равнобедренном треугольнике является также

00:07:55.031 --> 00:07:57.098
и медианой, и биссектрисой.

00:07:57.098 --> 00:07:59.098
Это прямоугольный треугольник.

00:07:59.098 --> 00:08:02.081
Воспользуемся знаниями по тригонометрии.

00:08:02.081 --> 00:08:06.005
Противоположная сторона равна а/2,

00:08:06.005 --> 00:08:09.027
и мы знаем гипотенузу, она равна r.

00:08:09.027 --> 00:08:11.082
Это гипотенуза нашего равнобедренного треугольника.

00:08:11.082 --> 00:08:13.072
Она равна 2.

00:08:13.072 --> 00:08:15.051
Какое мы знаем соотношение между стороной,

00:08:15.051 --> 00:08:20.075
противоположной углу в 60° и гипотенузой?

00:08:20.075 --> 00:08:23.069
Давайте подумаем.

00:08:24.077 --> 00:08:26.061
Синус угла равен

00:08:26.061 --> 00:08:32.007
отношению противоположной стороны к гипотенузе.

00:08:32.007 --> 00:08:34.036
Я опущу немного ниже, а то мне места не хватает.

00:08:34.036 --> 00:08:38.012
Т.е. синус вот этого угла, 60°,

00:08:38.012 --> 00:08:43.015
равен отношению противолежащей стороны, а/2,

00:08:43.015 --> 00:08:48.097
к гипотенузе, это наш радиус, 2.

00:08:48.097 --> 00:08:59.036
Получается: (а/2)/2=а/4. А чему равен синус 60°?

00:08:59.036 --> 00:09:01.024
Если вы не знаете, что такое «sin»,

00:09:01.024 --> 00:09:04.006
посмотрите пару первых роликов по тригонометрии.

00:09:04.006 --> 00:09:06.006
Они не такие уж и скучные.

00:09:06.006 --> 00:09:08.080
Sin 60°, может быть вы помните из видео

00:09:08.080 --> 00:09:12.014
про треугольники с углами 30, 60, 90°…

00:09:12.014 --> 00:09:15.072
Давайте нарисую один вот тут.

00:09:15.072 --> 00:09:24.032
Это треугольник с углами 30, 60, 90°.

00:09:24.032 --> 00:09:28.051
Вы возможно помните. Пусть это будет 1.

00:09:28.051 --> 00:09:33.027
Здесь - ½. А здесь - (√3)/2.

00:09:33.027 --> 00:09:38.057
Синус 60° – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

00:09:38.057 --> 00:09:43.032
((√3)/2)/1 - синус 60°.

00:09:43.032 --> 00:09:44.088
Если нет под рукой калькулятора,

00:09:44.088 --> 00:09:51.055
можете использовать это - (√3)/2. Здесь у нас (√3)/2.

00:09:51.055 --> 00:09:59.024
Теперь можем вычислить «а». (√3)/2=а/4.

00:09:59.024 --> 00:10:02.048
Умножим обе стороны равенства на 4.

00:10:02.048 --> 00:10:08.057
Эта четвёрка сократится. Здесь останется 2. Здесь - 1.

00:10:08.057 --> 00:10:13.048
Получаем а=2√3. Ура! Мы победили!

00:10:13.048 --> 00:10:16.065
Мы только что посчитали длину всех этих сторон.

00:10:16.065 --> 00:10:18.075
Мы применили формулу Герона, чтобы посчитать

00:10:18.075 --> 00:10:21.089
площадь треугольника через эти стороны.

00:10:21.089 --> 00:10:24.096
Мы подставляем это значение «а»

00:10:24.096 --> 00:10:27.056
в формулу и получаем площадь.

00:10:27.056 --> 00:10:34.044
Площадь треугольника равна а². Что у нас а²?

00:10:34.044 --> 00:10:45.044
Это (2√3)²*((√3)/4).

00:10:45.044 --> 00:10:54.012
Это будет равняться 4<i>3</i>((√3)/4).

00:10:54.012 --> 00:10:55.063
4-ки сокращаются,

00:10:55.063 --> 00:11:02.036
и площадь нашего треугольника равна 3√3.

00:11:02.036 --> 00:11:07.084
Это площадь всего целого треугольника.

00:11:07.084 --> 00:11:10.063
Теперь вернёмся к основному вопросу.

00:11:10.063 --> 00:11:13.024
Площадь оранжевого участка вне треугольника,

00:11:13.024 --> 00:11:15.021
но внутри круга…

00:11:15.021 --> 00:11:21.011
Площадь круга равна 4π.

00:11:21.011 --> 00:11:26.051
Из этого вычитаем площадь треугольника 3√3.

00:11:26.051 --> 00:11:28.027
И - вуаля! Мы сделали это!

00:11:28.027 --> 00:11:32.086
Это наш ответ: 4π-3√3.

00:11:32.086 --> 00:11:36.063
Это площадь этого оранжевого участка.

00:11:36.063 --> 99:59:59.000
Надеюсь, урок вам понравился.