0:00:05.041,0:00:06.036 Привет! 0:00:06.036,0:00:08.035 В этом видео я хочу использовать 0:00:08.035,0:00:11.056 результаты рассмотренного в предыдущих роликах 0:00:11.056,0:00:14.043 и немного попрактиковаться. 0:00:14.043,0:00:18.000 Допустим, у нас есть круг и вписанный в него 0:00:18.000,0:00:19.089 равносторонний треугольник. 0:00:19.089,0:00:23.012 Все вершины треугольника лежат на линии окружности. 0:00:23.012,0:00:25.056 Я попробую как можно лучше изобразить 0:00:25.056,0:00:29.088 равносторонний треугольник. 0:00:29.088,0:00:32.057 Думаю, что лучше у меня бы и не получилось. 0:00:32.057,0:00:34.011 Равносторонний треугольник - 0:00:34.011,0:00:37.000 значит, все эти стороны одинаковой длины. 0:00:37.000,0:00:38.089 Эта сторона «а», эта - «а» 0:00:38.089,0:00:40.092 и эта тоже «а». 0:00:40.092,0:00:46.088 Допустим, что радиус данного круга равен 2. 0:00:46.088,0:00:50.061 Я просто предложил это значение, чтобы решить задачу. 0:00:50.061,0:00:56.049 Итак, радиус равен 2. 0:00:56.049,0:00:59.035 Расстояние от центра круга до любой точки 0:00:59.035,0:01:02.096 на окружности (т.е. радиус) равно 2. 0:01:02.096,0:01:04.057 Мы будем пользоваться знаниями, 0:01:04.057,0:01:07.004 полученными из нескольких предыдущих видео, 0:01:07.004,0:01:10.007 и начальными знаниями по тригонометрии. 0:01:10.007,0:01:11.091 Если слово «тригонометрия» пугает вас, 0:01:11.091,0:01:14.065 то посмотрите 2-3 видео из раздела «Тригонометрия» - 0:01:14.065,0:01:17.057 и вы сразу поймёте, что я здесь буду делать. 0:01:17.057,0:01:23.056 Я хочу в этой задаче посчитать площадь участка, 0:01:23.056,0:01:25.035 который находится внутри круга, 0:01:25.035,0:01:27.015 но снаружи треугольника. 0:01:27.015,0:01:30.095 Т.е. площадь вот этого маленького кусочка, 0:01:30.095,0:01:36.057 этого кусочка и этого, всех вместе. 0:01:36.057,0:01:38.066 Очевидно, что я могу посчитать площадь круга 0:01:38.066,0:01:43.041 достаточно легко. Площадь круга 0:01:45.090,0:01:53.066 будет равна π*r² или π*2². 0:01:53.066,0:01:55.028 Т.е. 4π. 0:01:55.028,0:01:58.090 И я могу вычесть из 4π площадь треугольника. 0:01:58.090,0:02:02.004 Т.е. теперь нам нужно найти площадь треугольника. 0:02:02.004,0:02:04.092 Чему равняется площадь треугольника? 0:02:04.092,0:02:07.004 Несколько уроков назад я рассказывал вам 0:02:07.004,0:02:08.066 про формулу Герона. 0:02:08.066,0:02:10.089 Если вы знаете длину сторон треугольника, 0:02:10.089,0:02:13.028 вы можете вычислить его площадь. 0:02:13.028,0:02:15.059 Но мы же ещё не знаем длину сторон. 0:02:15.059,0:02:18.019 Если бы мы знали, возможно, нам бы и удалось 0:02:18.019,0:02:20.041 посчитать площадь. 0:02:20.041,0:02:21.099 Давайте применим формулу Герона, 0:02:21.099,0:02:24.072 ещё не зная длин сторон. 0:02:24.072,0:02:26.043 Давайте посмотрим. Все стороны 0:02:26.043,0:02:30.048 этого равностороннего треугольника равны «а». 0:02:30.048,0:02:32.024 Применяем формулу Герона. 0:02:32.024,0:02:44.019 Обозначим неизвестную площадь S=(а+а+а)/2 . 0:02:44.019,0:02:47.057 Это то же самое, что и 3а/2. 0:02:47.057,0:02:51.099 Площадь этого треугольника, если выразить через сторону а… 0:02:51.099,0:02:57.019 Площадь треугольника будет равна √S, 0:02:57.019,0:03:03.038 который у нас 3а/2, умножить на (S-a) - 0:03:03.038,0:03:07.043 это (3а/2)-а. 0:03:07.043,0:03:12.098 Или я могу написать 2а/2, так? 0:03:12.098,0:03:16.012 a – это то же самое, что и 2а/а. 0:03:16.012,0:03:21.096 Вы можете сократить эти двойки и получить «а». 0:03:21.096,0:03:24.046 И чтобы не повторять это все три раза, 0:03:24.046,0:03:27.018 мы можем просто написать «в кубе». 0:03:27.018,0:03:29.097 И чему же это всё у нас будет равняться? 0:03:29.097,0:03:36.080 Это будет равняться √(3а/2). 0:03:36.080,0:03:39.096 А здесь у нас будет: 3а-2а=а. 0:03:39.096,0:03:45.081 Т.е. (а/2)³. 0:03:45.081,0:03:50.001 Всё это будет равно - я сейчас поменяю цвет. 0:03:51.028,0:04:03.004 Итак, 3а*а³ - это равно 3а⁴, делить на 2*2³. 0:04:03.004,0:04:09.009 Это 2⁴ или 16. 0:04:09.098,0:04:12.071 Далее - извлекаем квадратный корень из числителя 0:04:12.071,0:04:20.040 и знаменателя - а⁴ превратится в а². 0:04:23.098,0:04:27.036 Умножить на - я сразу запишу √3 0:04:27.036,0:04:31.016 и разделить на квадратный корень из знаменателя, 0:04:31.016,0:04:33.004 который будет равен 4. 0:04:33.004,0:04:34.057 Если мы знаем «а», то, 0:04:34.057,0:04:37.007 воспользовавшись формулой Герона, 0:04:37.007,0:04:38.060 мы можем узнать, чему будет равна 0:04:38.060,0:04:41.043 площадь этого равностороннего треугольника. 0:04:41.043,0:04:43.081 А как же нам вычислить «а»? 0:04:43.081,0:04:47.027 Что ещё мы знаем о равносторонних треугольниках? 0:04:47.027,0:04:50.019 Мы знаем, что все эти углы равны. 0:04:50.019,0:04:53.047 И т.к. они должны в сумме составлять 180°, 0:04:53.047,0:04:55.047 значит, все они равны по 60°. 0:04:55.047,0:04:58.003 Этот 60°, этот и этот 60°. 0:04:58.003,0:05:00.081 Посмотрим, пригодится ли здесь мой последний урок, 0:05:00.081,0:05:03.034 в котором я описывал соотношения между 0:05:03.034,0:05:05.048 вписанными углами и центральными углами. 0:05:05.048,0:05:08.047 Вот здесь у нас вписанный угол. 0:05:08.047,0:05:11.056 Его вершина лежит на окружности. 0:05:11.056,0:05:23.048 И этот угол опирается (можно сказать - стягивает) на эту дугу. 0:05:27.068,0:05:32.047 А центральный угол, который опирается на ту же дугу... 0:05:32.047,0:05:35.047 Где он? Вот он. 0:05:35.047,0:05:37.056 Учитывая то, что мы видели в последнем уроке, 0:05:37.056,0:05:40.019 можем сказать, что центральный угол 0:05:40.019,0:05:42.065 в 2 раза больше вписанного угла, 0:05:42.065,0:05:46.004 если они опираются на одну и ту же дугу. 0:05:46.004,0:05:51.017 Т.е. центральный угол больше этого в 2 раза и равен 120°. 0:05:51.017,0:05:55.098 Давайте я стрелочкой обозначу – 120°. 0:05:55.098,0:05:58.027 Этот в два раза больше, чем вписанный. 0:05:58.027,0:06:00.090 Если я разделю этот угол пополам, 0:06:00.090,0:06:03.074 из середины угла проведу линию вниз. 0:06:03.074,0:06:08.006 Вот так. Чему будут равны 2 этих угла? 0:06:08.006,0:06:11.087 Они будут по 60°, т.к. я провел биссектрису. 0:06:11.087,0:06:14.065 Здесь 60°, и здесь 60°. 0:06:14.065,0:06:19.090 Мы знаем, что я делю эту сторону пополам, 0:06:19.090,0:06:22.036 т.к. это равнобедренный треугольник. 0:06:22.036,0:06:26.016 Тут у нас радиус, равный 2. 0:06:26.016,0:06:29.097 Здесь тоже радиус, равный 2. 0:06:29.097,0:06:31.019 Этот треугольник симметричен, 0:06:31.019,0:06:34.007 и если я провожу линию в середину отрезка, 0:06:34.007,0:06:37.038 длина этого отрезка равна половине стороны. 0:06:37.038,0:06:41.019 Здесь а/2 и здесь а/2. 0:06:41.019,0:06:44.057 Давайте я зарисую здесь равнобедренный треугольник. 0:06:44.057,0:06:45.090 Любой равнобедренный треугольник, 0:06:45.090,0:06:50.077 у которого эта сторона равна этой стороне. 0:06:50.077,0:06:53.016 В нашем случае это радиусы, да? 0:06:53.016,0:06:55.019 Этот угол равен этому углу. 0:06:55.019,0:06:57.068 Если я проведу здесь высоту, 0:06:57.068,0:07:00.049 то разделю основание на 2 равные части. 0:07:00.049,0:07:02.060 Эти отрезки будут равны. 0:07:02.060,0:07:05.039 В данном примере весь отрезок равен а, 0:07:05.039,0:07:09.019 значит каждая из частей равна а/2. 0:07:09.019,0:07:11.096 Теперь воспользуемся немного нашими знаниями 0:07:11.096,0:07:15.081 по тригонометрии, чтобы найти отношение между а и r. 0:07:15.081,0:07:18.074 Если мы сможем выразить а через r, 0:07:18.074,0:07:21.089 тогда мы сможем подставить значение «а» в формулу 0:07:21.089,0:07:25.024 и получим площадь нашего треугольника. 0:07:25.024,0:07:27.068 А потом мы вычтем полученную площадь 0:07:27.068,0:07:30.043 из площади круга, и -ура, мы победили! 0:07:30.043,0:07:32.090 Решили задачку. Давайте попробуем. 0:07:32.090,0:07:37.075 Этот угол равен 60°. Половина центрального угла. 0:07:37.075,0:07:41.082 60°, вот эта сторона равна а/2, 0:07:41.082,0:07:44.036 она противоположна данному углу. 0:07:44.036,0:07:48.074 Противоположная сторона равна а/2. 0:07:48.074,0:07:51.099 Мы также знаем гипотенузу. Здесь у нас прямой угол. 0:07:51.099,0:07:53.027 Мы провели высоту, 0:07:53.027,0:07:55.031 она в равнобедренном треугольнике является также 0:07:55.031,0:07:57.098 и медианой, и биссектрисой. 0:07:57.098,0:07:59.098 Это прямоугольный треугольник. 0:07:59.098,0:08:02.081 Воспользуемся знаниями по тригонометрии. 0:08:02.081,0:08:06.005 Противоположная сторона равна а/2, 0:08:06.005,0:08:09.027 и мы знаем гипотенузу, она равна r. 0:08:09.027,0:08:11.082 Это гипотенуза нашего равнобедренного треугольника. 0:08:11.082,0:08:13.072 Она равна 2. 0:08:13.072,0:08:15.051 Какое мы знаем соотношение между стороной, 0:08:15.051,0:08:20.075 противоположной углу в 60° и гипотенузой? 0:08:20.075,0:08:23.069 Давайте подумаем. 0:08:24.077,0:08:26.061 Синус угла равен 0:08:26.061,0:08:32.007 отношению противоположной стороны к гипотенузе. 0:08:32.007,0:08:34.036 Я опущу немного ниже, а то мне места не хватает. 0:08:34.036,0:08:38.012 Т.е. синус вот этого угла, 60°, 0:08:38.012,0:08:43.015 равен отношению противолежащей стороны, а/2, 0:08:43.015,0:08:48.097 к гипотенузе, это наш радиус, 2. 0:08:48.097,0:08:59.036 Получается: (а/2)/2=а/4. А чему равен синус 60°? 0:08:59.036,0:09:01.024 Если вы не знаете, что такое «sin», 0:09:01.024,0:09:04.006 посмотрите пару первых роликов по тригонометрии. 0:09:04.006,0:09:06.006 Они не такие уж и скучные. 0:09:06.006,0:09:08.080 Sin 60°, может быть вы помните из видео 0:09:08.080,0:09:12.014 про треугольники с углами 30, 60, 90°… 0:09:12.014,0:09:15.072 Давайте нарисую один вот тут. 0:09:15.072,0:09:24.032 Это треугольник с углами 30, 60, 90°. 0:09:24.032,0:09:28.051 Вы возможно помните. Пусть это будет 1. 0:09:28.051,0:09:33.027 Здесь - ½. А здесь - (√3)/2. 0:09:33.027,0:09:38.057 Синус 60° – отношение противолежащего катета к гипотенузе. 0:09:38.057,0:09:43.032 ((√3)/2)/1 - синус 60°. 0:09:43.032,0:09:44.088 Если нет под рукой калькулятора, 0:09:44.088,0:09:51.055 можете использовать это - (√3)/2. Здесь у нас (√3)/2. 0:09:51.055,0:09:59.024 Теперь можем вычислить «а». (√3)/2=а/4. 0:09:59.024,0:10:02.048 Умножим обе стороны равенства на 4. 0:10:02.048,0:10:08.057 Эта четвёрка сократится. Здесь останется 2. Здесь - 1. 0:10:08.057,0:10:13.048 Получаем а=2√3. Ура! Мы победили! 0:10:13.048,0:10:16.065 Мы только что посчитали длину всех этих сторон. 0:10:16.065,0:10:18.075 Мы применили формулу Герона, чтобы посчитать 0:10:18.075,0:10:21.089 площадь треугольника через эти стороны. 0:10:21.089,0:10:24.096 Мы подставляем это значение «а» 0:10:24.096,0:10:27.056 в формулу и получаем площадь. 0:10:27.056,0:10:34.044 Площадь треугольника равна а². Что у нас а²? 0:10:34.044,0:10:45.044 Это (2√3)²*((√3)/4). 0:10:45.044,0:10:54.012 Это будет равняться 43((√3)/4). 0:10:54.012,0:10:55.063 4-ки сокращаются, 0:10:55.063,0:11:02.036 и площадь нашего треугольника равна 3√3. 0:11:02.036,0:11:07.084 Это площадь всего целого треугольника. 0:11:07.084,0:11:10.063 Теперь вернёмся к основному вопросу. 0:11:10.063,0:11:13.024 Площадь оранжевого участка вне треугольника, 0:11:13.024,0:11:15.021 но внутри круга… 0:11:15.021,0:11:21.011 Площадь круга равна 4π. 0:11:21.011,0:11:26.051 Из этого вычитаем площадь треугольника 3√3. 0:11:26.051,0:11:28.027 И - вуаля! Мы сделали это! 0:11:28.027,0:11:32.086 Это наш ответ: 4π-3√3. 0:11:32.086,0:11:36.063 Это площадь этого оранжевого участка. 0:11:36.063,99:59:59.000 Надеюсь, урок вам понравился.