1 00:00:05,041 --> 00:00:06,036 Привет! 2 00:00:06,036 --> 00:00:08,035 В этом видео я хочу использовать 3 00:00:08,035 --> 00:00:11,056 результаты рассмотренного в предыдущих роликах 4 00:00:11,056 --> 00:00:14,043 и немного попрактиковаться. 5 00:00:14,043 --> 00:00:18,000 Допустим, у нас есть круг и вписанный в него 6 00:00:18,000 --> 00:00:19,089 равносторонний треугольник. 7 00:00:19,089 --> 00:00:23,012 Все вершины треугольника лежат на линии окружности. 8 00:00:23,012 --> 00:00:25,056 Я попробую как можно лучше изобразить 9 00:00:25,056 --> 00:00:29,088 равносторонний треугольник. 10 00:00:29,088 --> 00:00:32,057 Думаю, что лучше у меня бы и не получилось. 11 00:00:32,057 --> 00:00:34,011 Равносторонний треугольник - 12 00:00:34,011 --> 00:00:37,000 значит, все эти стороны одинаковой длины. 13 00:00:37,000 --> 00:00:38,089 Эта сторона «а», эта - «а» 14 00:00:38,089 --> 00:00:40,092 и эта тоже «а». 15 00:00:40,092 --> 00:00:46,088 Допустим, что радиус данного круга равен 2. 16 00:00:46,088 --> 00:00:50,061 Я просто предложил это значение, чтобы решить задачу. 17 00:00:50,061 --> 00:00:56,049 Итак, радиус равен 2. 18 00:00:56,049 --> 00:00:59,035 Расстояние от центра круга до любой точки 19 00:00:59,035 --> 00:01:02,096 на окружности (т.е. радиус) равно 2. 20 00:01:02,096 --> 00:01:04,057 Мы будем пользоваться знаниями, 21 00:01:04,057 --> 00:01:07,004 полученными из нескольких предыдущих видео, 22 00:01:07,004 --> 00:01:10,007 и начальными знаниями по тригонометрии. 23 00:01:10,007 --> 00:01:11,091 Если слово «тригонометрия» пугает вас, 24 00:01:11,091 --> 00:01:14,065 то посмотрите 2-3 видео из раздела «Тригонометрия» - 25 00:01:14,065 --> 00:01:17,057 и вы сразу поймёте, что я здесь буду делать. 26 00:01:17,057 --> 00:01:23,056 Я хочу в этой задаче посчитать площадь участка, 27 00:01:23,056 --> 00:01:25,035 который находится внутри круга, 28 00:01:25,035 --> 00:01:27,015 но снаружи треугольника. 29 00:01:27,015 --> 00:01:30,095 Т.е. площадь вот этого маленького кусочка, 30 00:01:30,095 --> 00:01:36,057 этого кусочка и этого, всех вместе. 31 00:01:36,057 --> 00:01:38,066 Очевидно, что я могу посчитать площадь круга 32 00:01:38,066 --> 00:01:43,041 достаточно легко. Площадь круга 33 00:01:45,090 --> 00:01:53,066 будет равна π*r² или π*2². 34 00:01:53,066 --> 00:01:55,028 Т.е. 4π. 35 00:01:55,028 --> 00:01:58,090 И я могу вычесть из 4π площадь треугольника. 36 00:01:58,090 --> 00:02:02,004 Т.е. теперь нам нужно найти площадь треугольника. 37 00:02:02,004 --> 00:02:04,092 Чему равняется площадь треугольника? 38 00:02:04,092 --> 00:02:07,004 Несколько уроков назад я рассказывал вам 39 00:02:07,004 --> 00:02:08,066 про формулу Герона. 40 00:02:08,066 --> 00:02:10,089 Если вы знаете длину сторон треугольника, 41 00:02:10,089 --> 00:02:13,028 вы можете вычислить его площадь. 42 00:02:13,028 --> 00:02:15,059 Но мы же ещё не знаем длину сторон. 43 00:02:15,059 --> 00:02:18,019 Если бы мы знали, возможно, нам бы и удалось 44 00:02:18,019 --> 00:02:20,041 посчитать площадь. 45 00:02:20,041 --> 00:02:21,099 Давайте применим формулу Герона, 46 00:02:21,099 --> 00:02:24,072 ещё не зная длин сторон. 47 00:02:24,072 --> 00:02:26,043 Давайте посмотрим. Все стороны 48 00:02:26,043 --> 00:02:30,048 этого равностороннего треугольника равны «а». 49 00:02:30,048 --> 00:02:32,024 Применяем формулу Герона. 50 00:02:32,024 --> 00:02:44,019 Обозначим неизвестную площадь S=(а+а+а)/2 . 51 00:02:44,019 --> 00:02:47,057 Это то же самое, что и 3а/2. 52 00:02:47,057 --> 00:02:51,099 Площадь этого треугольника, если выразить через сторону а… 53 00:02:51,099 --> 00:02:57,019 Площадь треугольника будет равна √S, 54 00:02:57,019 --> 00:03:03,038 который у нас 3а/2, умножить на (S-a) - 55 00:03:03,038 --> 00:03:07,043 это (3а/2)-а. 56 00:03:07,043 --> 00:03:12,098 Или я могу написать 2а/2, так? 57 00:03:12,098 --> 00:03:16,012 a – это то же самое, что и 2а/а. 58 00:03:16,012 --> 00:03:21,096 Вы можете сократить эти двойки и получить «а». 59 00:03:21,096 --> 00:03:24,046 И чтобы не повторять это все три раза, 60 00:03:24,046 --> 00:03:27,018 мы можем просто написать «в кубе». 61 00:03:27,018 --> 00:03:29,097 И чему же это всё у нас будет равняться? 62 00:03:29,097 --> 00:03:36,080 Это будет равняться √(3а/2). 63 00:03:36,080 --> 00:03:39,096 А здесь у нас будет: 3а-2а=а. 64 00:03:39,096 --> 00:03:45,081 Т.е. (а/2)³. 65 00:03:45,081 --> 00:03:50,001 Всё это будет равно - я сейчас поменяю цвет. 66 00:03:51,028 --> 00:04:03,004 Итак, 3а*а³ - это равно 3а⁴, делить на 2*2³. 67 00:04:03,004 --> 00:04:09,009 Это 2⁴ или 16. 68 00:04:09,098 --> 00:04:12,071 Далее - извлекаем квадратный корень из числителя 69 00:04:12,071 --> 00:04:20,040 и знаменателя - а⁴ превратится в а². 70 00:04:23,098 --> 00:04:27,036 Умножить на - я сразу запишу √3 71 00:04:27,036 --> 00:04:31,016 и разделить на квадратный корень из знаменателя, 72 00:04:31,016 --> 00:04:33,004 который будет равен 4. 73 00:04:33,004 --> 00:04:34,057 Если мы знаем «а», то, 74 00:04:34,057 --> 00:04:37,007 воспользовавшись формулой Герона, 75 00:04:37,007 --> 00:04:38,060 мы можем узнать, чему будет равна 76 00:04:38,060 --> 00:04:41,043 площадь этого равностороннего треугольника. 77 00:04:41,043 --> 00:04:43,081 А как же нам вычислить «а»? 78 00:04:43,081 --> 00:04:47,027 Что ещё мы знаем о равносторонних треугольниках? 79 00:04:47,027 --> 00:04:50,019 Мы знаем, что все эти углы равны. 80 00:04:50,019 --> 00:04:53,047 И т.к. они должны в сумме составлять 180°, 81 00:04:53,047 --> 00:04:55,047 значит, все они равны по 60°. 82 00:04:55,047 --> 00:04:58,003 Этот 60°, этот и этот 60°. 83 00:04:58,003 --> 00:05:00,081 Посмотрим, пригодится ли здесь мой последний урок, 84 00:05:00,081 --> 00:05:03,034 в котором я описывал соотношения между 85 00:05:03,034 --> 00:05:05,048 вписанными углами и центральными углами. 86 00:05:05,048 --> 00:05:08,047 Вот здесь у нас вписанный угол. 87 00:05:08,047 --> 00:05:11,056 Его вершина лежит на окружности. 88 00:05:11,056 --> 00:05:23,048 И этот угол опирается (можно сказать - стягивает) на эту дугу. 89 00:05:27,068 --> 00:05:32,047 А центральный угол, который опирается на ту же дугу... 90 00:05:32,047 --> 00:05:35,047 Где он? Вот он. 91 00:05:35,047 --> 00:05:37,056 Учитывая то, что мы видели в последнем уроке, 92 00:05:37,056 --> 00:05:40,019 можем сказать, что центральный угол 93 00:05:40,019 --> 00:05:42,065 в 2 раза больше вписанного угла, 94 00:05:42,065 --> 00:05:46,004 если они опираются на одну и ту же дугу. 95 00:05:46,004 --> 00:05:51,017 Т.е. центральный угол больше этого в 2 раза и равен 120°. 96 00:05:51,017 --> 00:05:55,098 Давайте я стрелочкой обозначу – 120°. 97 00:05:55,098 --> 00:05:58,027 Этот в два раза больше, чем вписанный. 98 00:05:58,027 --> 00:06:00,090 Если я разделю этот угол пополам, 99 00:06:00,090 --> 00:06:03,074 из середины угла проведу линию вниз. 100 00:06:03,074 --> 00:06:08,006 Вот так. Чему будут равны 2 этих угла? 101 00:06:08,006 --> 00:06:11,087 Они будут по 60°, т.к. я провел биссектрису. 102 00:06:11,087 --> 00:06:14,065 Здесь 60°, и здесь 60°. 103 00:06:14,065 --> 00:06:19,090 Мы знаем, что я делю эту сторону пополам, 104 00:06:19,090 --> 00:06:22,036 т.к. это равнобедренный треугольник. 105 00:06:22,036 --> 00:06:26,016 Тут у нас радиус, равный 2. 106 00:06:26,016 --> 00:06:29,097 Здесь тоже радиус, равный 2. 107 00:06:29,097 --> 00:06:31,019 Этот треугольник симметричен, 108 00:06:31,019 --> 00:06:34,007 и если я провожу линию в середину отрезка, 109 00:06:34,007 --> 00:06:37,038 длина этого отрезка равна половине стороны. 110 00:06:37,038 --> 00:06:41,019 Здесь а/2 и здесь а/2. 111 00:06:41,019 --> 00:06:44,057 Давайте я зарисую здесь равнобедренный треугольник. 112 00:06:44,057 --> 00:06:45,090 Любой равнобедренный треугольник, 113 00:06:45,090 --> 00:06:50,077 у которого эта сторона равна этой стороне. 114 00:06:50,077 --> 00:06:53,016 В нашем случае это радиусы, да? 115 00:06:53,016 --> 00:06:55,019 Этот угол равен этому углу. 116 00:06:55,019 --> 00:06:57,068 Если я проведу здесь высоту, 117 00:06:57,068 --> 00:07:00,049 то разделю основание на 2 равные части. 118 00:07:00,049 --> 00:07:02,060 Эти отрезки будут равны. 119 00:07:02,060 --> 00:07:05,039 В данном примере весь отрезок равен а, 120 00:07:05,039 --> 00:07:09,019 значит каждая из частей равна а/2. 121 00:07:09,019 --> 00:07:11,096 Теперь воспользуемся немного нашими знаниями 122 00:07:11,096 --> 00:07:15,081 по тригонометрии, чтобы найти отношение между а и r. 123 00:07:15,081 --> 00:07:18,074 Если мы сможем выразить а через r, 124 00:07:18,074 --> 00:07:21,089 тогда мы сможем подставить значение «а» в формулу 125 00:07:21,089 --> 00:07:25,024 и получим площадь нашего треугольника. 126 00:07:25,024 --> 00:07:27,068 А потом мы вычтем полученную площадь 127 00:07:27,068 --> 00:07:30,043 из площади круга, и -ура, мы победили! 128 00:07:30,043 --> 00:07:32,090 Решили задачку. Давайте попробуем. 129 00:07:32,090 --> 00:07:37,075 Этот угол равен 60°. Половина центрального угла. 130 00:07:37,075 --> 00:07:41,082 60°, вот эта сторона равна а/2, 131 00:07:41,082 --> 00:07:44,036 она противоположна данному углу. 132 00:07:44,036 --> 00:07:48,074 Противоположная сторона равна а/2. 133 00:07:48,074 --> 00:07:51,099 Мы также знаем гипотенузу. Здесь у нас прямой угол. 134 00:07:51,099 --> 00:07:53,027 Мы провели высоту, 135 00:07:53,027 --> 00:07:55,031 она в равнобедренном треугольнике является также 136 00:07:55,031 --> 00:07:57,098 и медианой, и биссектрисой. 137 00:07:57,098 --> 00:07:59,098 Это прямоугольный треугольник. 138 00:07:59,098 --> 00:08:02,081 Воспользуемся знаниями по тригонометрии. 139 00:08:02,081 --> 00:08:06,005 Противоположная сторона равна а/2, 140 00:08:06,005 --> 00:08:09,027 и мы знаем гипотенузу, она равна r. 141 00:08:09,027 --> 00:08:11,082 Это гипотенуза нашего равнобедренного треугольника. 142 00:08:11,082 --> 00:08:13,072 Она равна 2. 143 00:08:13,072 --> 00:08:15,051 Какое мы знаем соотношение между стороной, 144 00:08:15,051 --> 00:08:20,075 противоположной углу в 60° и гипотенузой? 145 00:08:20,075 --> 00:08:23,069 Давайте подумаем. 146 00:08:24,077 --> 00:08:26,061 Синус угла равен 147 00:08:26,061 --> 00:08:32,007 отношению противоположной стороны к гипотенузе. 148 00:08:32,007 --> 00:08:34,036 Я опущу немного ниже, а то мне места не хватает. 149 00:08:34,036 --> 00:08:38,012 Т.е. синус вот этого угла, 60°, 150 00:08:38,012 --> 00:08:43,015 равен отношению противолежащей стороны, а/2, 151 00:08:43,015 --> 00:08:48,097 к гипотенузе, это наш радиус, 2. 152 00:08:48,097 --> 00:08:59,036 Получается: (а/2)/2=а/4. А чему равен синус 60°? 153 00:08:59,036 --> 00:09:01,024 Если вы не знаете, что такое «sin», 154 00:09:01,024 --> 00:09:04,006 посмотрите пару первых роликов по тригонометрии. 155 00:09:04,006 --> 00:09:06,006 Они не такие уж и скучные. 156 00:09:06,006 --> 00:09:08,080 Sin 60°, может быть вы помните из видео 157 00:09:08,080 --> 00:09:12,014 про треугольники с углами 30, 60, 90°… 158 00:09:12,014 --> 00:09:15,072 Давайте нарисую один вот тут. 159 00:09:15,072 --> 00:09:24,032 Это треугольник с углами 30, 60, 90°. 160 00:09:24,032 --> 00:09:28,051 Вы возможно помните. Пусть это будет 1. 161 00:09:28,051 --> 00:09:33,027 Здесь - ½. А здесь - (√3)/2. 162 00:09:33,027 --> 00:09:38,057 Синус 60° – отношение противолежащего катета к гипотенузе. 163 00:09:38,057 --> 00:09:43,032 ((√3)/2)/1 - синус 60°. 164 00:09:43,032 --> 00:09:44,088 Если нет под рукой калькулятора, 165 00:09:44,088 --> 00:09:51,055 можете использовать это - (√3)/2. Здесь у нас (√3)/2. 166 00:09:51,055 --> 00:09:59,024 Теперь можем вычислить «а». (√3)/2=а/4. 167 00:09:59,024 --> 00:10:02,048 Умножим обе стороны равенства на 4. 168 00:10:02,048 --> 00:10:08,057 Эта четвёрка сократится. Здесь останется 2. Здесь - 1. 169 00:10:08,057 --> 00:10:13,048 Получаем а=2√3. Ура! Мы победили! 170 00:10:13,048 --> 00:10:16,065 Мы только что посчитали длину всех этих сторон. 171 00:10:16,065 --> 00:10:18,075 Мы применили формулу Герона, чтобы посчитать 172 00:10:18,075 --> 00:10:21,089 площадь треугольника через эти стороны. 173 00:10:21,089 --> 00:10:24,096 Мы подставляем это значение «а» 174 00:10:24,096 --> 00:10:27,056 в формулу и получаем площадь. 175 00:10:27,056 --> 00:10:34,044 Площадь треугольника равна а². Что у нас а²? 176 00:10:34,044 --> 00:10:45,044 Это (2√3)²*((√3)/4). 177 00:10:45,044 --> 00:10:54,012 Это будет равняться 43((√3)/4). 178 00:10:54,012 --> 00:10:55,063 4-ки сокращаются, 179 00:10:55,063 --> 00:11:02,036 и площадь нашего треугольника равна 3√3. 180 00:11:02,036 --> 00:11:07,084 Это площадь всего целого треугольника. 181 00:11:07,084 --> 00:11:10,063 Теперь вернёмся к основному вопросу. 182 00:11:10,063 --> 00:11:13,024 Площадь оранжевого участка вне треугольника, 183 00:11:13,024 --> 00:11:15,021 но внутри круга… 184 00:11:15,021 --> 00:11:21,011 Площадь круга равна 4π. 185 00:11:21,011 --> 00:11:26,051 Из этого вычитаем площадь треугольника 3√3. 186 00:11:26,051 --> 00:11:28,027 И - вуаля! Мы сделали это! 187 00:11:28,027 --> 00:11:32,086 Это наш ответ: 4π-3√3. 188 00:11:32,086 --> 00:11:36,063 Это площадь этого оранжевого участка. 189 00:11:36,063 --> 99:59:59,000 Надеюсь, урок вам понравился.