-
Привет! В этом видео я расскажу вам,
-
что такое теорема Пифагора.
-
Вы знаете, она и сама по себе интересна.
-
Но потом вы заметите,
-
если долго будете изучать математику,
-
что это одна из основополагающих теорем всей математики.
-
Она применяется в геометрии,
-
она является базисом для тригонометрии.
-
Вы также пользуетесь ею,
-
когда считаете расстояние между точками.
-
Это действительно хорошая штука. Её нужно знать.
-
Так, хватит разговоров с моей стороны.
-
Давайте я расскажу, что же такое теорема Пифагора.
-
Допустим, у нас есть треугольник.
-
Это должен быть прямоугольный треугольник.
-
Это значит, что один из трёх углов треугольника
-
должен быть 90°.
-
Вы определяете, что это прямой угол,
-
дорисовывая такой маленький квадратик здесь.
-
Этот угол – давайте другим цветом отмечу – 90°.
-
Или же мы можем назвать его прямым углом.
-
А треугольник, в котором имеется прямой угол,
-
называется прямоугольным треугольником.
-
Так что это – прямоугольный треугольник.
-
Благодаря теореме Пифагора,
-
если мы знаем 2 стороны прямоугольного треугольника,
-
мы всегда можем вычислить третью сторону.
-
И до того, как я покажу вам, как всё это работает,
-
давайте окунёмся немного в терминологию.
-
Самая длинная сторона прямоугольного треугольника,
-
противолежащая углу 90°, противолежащая прямому углу -
-
в нашем случае это - данная сторона.
-
Это самая длинная сторона.
-
И для того, чтобы найти, где прямой угол,
-
мы ищем угол как бы «смотрящий»
-
на самую длинную сторону.
-
Самая длинная сторона называется гипотенузой.
-
И это нужно запомнить, т.к. мы впоследствии
-
будем не раз возвращаться к данному термину.
-
Итак, мы уже можем довольно легко определять гипотенузу,
-
давайте рассмотрим ещё пару
-
прямоугольных треугольников.
-
Скажем, у нас есть вот такой треугольник.
-
И мы уже можем сказать, что этот угол – 90°.
-
В таком случае, это будет гипотенузой.
-
Она противоположна углу в 90°.
-
Это самая длинная сторона.
-
Давайте зарисуем ещё один, просто чтобы убедиться,
-
что мы хорошо определяем гипотенузу.
-
Допустим, что это мой треугольник, а это угол 90°.
-
И я полагаю, вы уже знаете, как всё делать.
-
Вы ищете, на что «смотрит» угол.
-
Это и есть гипотенуза.
-
Это самая длинная сторона.
-
Вы определили гипотенузу, пусть она имеет длину С.
-
И сейчас мы узнаем,
-
о чем же нам говорит теорема Пифагора.
-
Допустим, что С – это длина гипотенузы.
-
Назовём это С.
-
А вот эту сторону давайте назовём А.
-
А эту сторону назовём B.
-
Теорема Пифагора говорит нам, что А² –
-
длина одной из коротких сторон в треугольнике –
-
плюс длина другой короткой стороны B²
-
будет равняться длине гипотенузы C².
-
Давайте теперь посмотрим на примере,
-
и вы поймёте, что ничего сложного здесь нет.
-
Допустим, что у меня есть треугольник,
-
который выглядит вот так. Давайте нарисуем.
-
Похож на вот такой.
-
Пусть здесь у нас прямой угол.
-
Длина этой стороны - я отмечу другим цветом - равна 3,
-
а длина этой стороны равна 4.
-
Нас просят посчитать, чему будет равна гипотенуза.
-
Первое, что вы должны сделать перед тем,
-
как будете применять теорему Пифагора, -
-
определить гипотенузу.
-
Убедитесь, что вы ищете нужную сторону.
-
В данном случае мы вычисляем гипотенузу.
-
Мы знаем это, поскольку эта сторона
-
противоположна прямому углу.
-
Если мы посмотрим на теорему Пифагора,
-
то это у нас будет С.
-
Это самая длинная сторона.
-
Теперь мы готовы применить теорему Пифагора.
-
Из теоремы Пифагора следует, что 4² –
-
одна из самых коротких сторон –
-
плюс 3² – другая короткая сторона в квадрате –
-
будет равна длине этой длинной стороны в квадрате.
-
Гипотенуза в квадрате будет равна С².
-
А потом просто вычисляем С.
-
4² всё равно, что и 4*4. Это 16.
-
Плюс 3*3 - получаем 9.
-
И всё это равно С².
-
Теперь, сколько будет 16+9?
-
Это 25. 25=С².
-
И теперь мы извлекаем квадратный корень
-
из обеих сторон равенства.
-
Математически С могло бы быть и -5.
-
Но мы же здесь работаем с длиной,
-
а длина не может быть отрицательной,
-
значит, корень будет только положительным числом.
-
Арифметическое значение корня – это 5, значит С=5.
-
Или длина самой длинной стороны равна 5.
-
Вы также можете применить теорему Пифагора,
-
чтобы вычислить третью сторону
-
прямоугольного треугольника, если две остальные вам известны.
-
Не важно, катет это или гипотенуза.
-
Давайте решим еще одну задачку.
-
Допустим, наш треугольник выглядит вот так.
-
Это наш прямой угол.
-
Длина этой стороны – 12.
-
Длина этой стороны – 6.
-
И мы хотим найти длину этой стороны.
-
Первым делом, как я говорил, нужно определить,
-
что из них – гипотенуза.
-
И это будет сторона, противоположная прямому углу.
-
Здесь у нас прямой угол.
-
Вы ищете, на что он «смотрит».
-
Самая длинная сторона, гипотенуза,
-
будет находиться здесь.
-
Если мы вернемся к теореме Пифагора, где А²+В²=С².
-
12 вы можете подставить вместо С.
-
Это гипотенуза.
-
С² – это гипотенуза в квадрате.
-
Можно просто сказать, что 12 равно С.
-
А для этих сторон всё равно,
-
какую из низ вы обозначите А, а какую В.
-
Давайте обозначим эту сторону как А=6.
-
А В такого цвета равняется знаку вопроса.
-
Теперь мы можем применить теорему Пифагора.
-
А² - это 6² плюс неизвестное нам В²
-
равно гипотенузе в квадрате.
-
Равно С², равно 12². Теперь можно найти В.
-
Заметьте разницу.
-
Сейчас мы ищем уже не гипотенузу.
-
Мы ищем один из катетов.
-
В прошлом примере мы находили длину гипотенузы.
-
Мы искали С.
-
Вот почему очень важно определить
-
в формуле А²+В²=С², что С – это гипотенуза.
-
Давайте найдём В.
-
6²=36 плюс В² равно 12².
-
12*12=144.
-
Из обеих сторон равенства вычтем 36.
-
Здесь сокращается всё.
-
Слева у нас осталось только В².
-
Равно 144–36. Равно чему?
-
144–30=114. А потом вычтем 6 и получаем 108.
-
Это будет равняться 108.
-
Вот чему равняется В²,
-
теперь нужно извлечь квадратный корень.
-
Положительное значение квадратного корня
-
извлекаем из обеих сторон.
-
И мы получим, что В=√108.
-
Посмотрим, сможем ли мы что-то упростить.
-
Сможем ли мы разложить на простые множители
-
этот корень.
-
108 – это то же самое, что и 2 раза по 54.
-
54 – два раза по 27.
-
27 – 3 раза по 9.
-
Квадратный корень из 108 –
-
то же самое, что и √(22…) ,
-
на самом деле, я до конца не разбил.
-
9 можно представить в форме 3*3.
-
Получаем 22333.
-
И здесь у нас получилась пара квадратов.
-
Давайте я перепишу это всё еще раз.
-
Всё это вы можете найти в упражнениях
-
на упрощение квадратных корней.
-
Мы встретим много таких примеров,
-
когда будем рассматривать теорему Пифагора.
-
Так что прямо здесь не обязательно это делать.
-
Это тоже самое, что и √(223*3)
-
и умножить на квадратный корень из оставшейся 3.
-
А это то же самое, что и…
-
вам не нужно будет просчитывать всё это на бумаге,
-
вы можете всё это делать в уме.
-
Что у нас здесь?
-
22 – это 4. 49 – это 36. √36*√3.
-
√36=6, так что всё упрощается до 6√3.
-
Итак, длина В…
-
вы можете написать её √108 или же 6√3.
-
Здесь - 12, здесь - 6.
-
А √3 – это 1 и что-то после запятой.
-
Т.е. она будет немного больше 6.
-
Ну что ж, пока!
