1
00:00:05,063 --> 00:00:08,033
Привет! В этом видео я расскажу вам,
2
00:00:08,033 --> 00:00:14,075
что такое теорема Пифагора.
3
00:00:14,075 --> 00:00:17,071
Вы знаете, она и сама по себе интересна.
4
00:00:17,071 --> 00:00:19,007
Но потом вы заметите,
5
00:00:19,007 --> 00:00:21,051
если долго будете изучать математику,
6
00:00:21,051 --> 00:00:27,009
что это одна из основополагающих теорем всей математики.
7
00:00:27,009 --> 00:00:28,055
Она применяется в геометрии,
8
00:00:28,055 --> 00:00:31,012
она является базисом для тригонометрии.
9
00:00:31,012 --> 00:00:32,067
Вы также пользуетесь ею,
10
00:00:32,067 --> 00:00:36,001
когда считаете расстояние между точками.
11
00:00:36,001 --> 00:00:39,047
Это действительно хорошая штука. Её нужно знать.
12
00:00:39,047 --> 00:00:41,026
Так, хватит разговоров с моей стороны.
13
00:00:41,026 --> 00:00:45,075
Давайте я расскажу, что же такое теорема Пифагора.
14
00:00:45,075 --> 00:00:48,050
Допустим, у нас есть треугольник.
15
00:00:48,050 --> 00:00:51,024
Это должен быть прямоугольный треугольник.
16
00:00:51,024 --> 00:00:54,056
Это значит, что один из трёх углов треугольника
17
00:00:54,056 --> 00:00:56,064
должен быть 90°.
18
00:00:56,064 --> 00:00:59,051
Вы определяете, что это прямой угол,
19
00:00:59,051 --> 00:01:03,008
дорисовывая такой маленький квадратик здесь.
20
00:01:03,008 --> 00:01:09,064
Этот угол – давайте другим цветом отмечу – 90°.
21
00:01:09,064 --> 00:01:14,032
Или же мы можем назвать его прямым углом.
22
00:01:14,032 --> 00:01:17,034
А треугольник, в котором имеется прямой угол,
23
00:01:17,034 --> 00:01:20,008
называется прямоугольным треугольником.
24
00:01:20,008 --> 00:01:26,049
Так что это – прямоугольный треугольник.
25
00:01:26,049 --> 00:01:29,051
Благодаря теореме Пифагора,
26
00:01:29,051 --> 00:01:32,034
если мы знаем 2 стороны прямоугольного треугольника,
27
00:01:32,034 --> 00:01:35,068
мы всегда можем вычислить третью сторону.
28
00:01:35,068 --> 00:01:38,033
И до того, как я покажу вам, как всё это работает,
29
00:01:38,033 --> 00:01:41,016
давайте окунёмся немного в терминологию.
30
00:01:41,016 --> 00:01:44,051
Самая длинная сторона прямоугольного треугольника,
31
00:01:44,051 --> 00:01:51,004
противолежащая углу 90°, противолежащая прямому углу -
32
00:01:51,004 --> 00:01:53,042
в нашем случае это - данная сторона.
33
00:01:53,042 --> 00:01:55,056
Это самая длинная сторона.
34
00:01:55,056 --> 00:01:58,025
И для того, чтобы найти, где прямой угол,
35
00:01:58,025 --> 00:02:00,079
мы ищем угол как бы «смотрящий»
36
00:02:00,079 --> 00:02:03,050
на самую длинную сторону.
37
00:02:03,050 --> 00:02:09,049
Самая длинная сторона называется гипотенузой.
38
00:02:09,049 --> 00:02:12,000
И это нужно запомнить, т.к. мы впоследствии
39
00:02:12,000 --> 00:02:16,052
будем не раз возвращаться к данному термину.
40
00:02:16,052 --> 00:02:20,063
Итак, мы уже можем довольно легко определять гипотенузу,
41
00:02:20,063 --> 00:02:22,017
давайте рассмотрим ещё пару
42
00:02:22,017 --> 00:02:23,063
прямоугольных треугольников.
43
00:02:23,063 --> 00:02:28,025
Скажем, у нас есть вот такой треугольник.
44
00:02:28,025 --> 00:02:31,063
И мы уже можем сказать, что этот угол – 90°.
45
00:02:31,063 --> 00:02:36,056
В таком случае, это будет гипотенузой.
46
00:02:36,056 --> 00:02:39,017
Она противоположна углу в 90°.
47
00:02:39,017 --> 00:02:41,000
Это самая длинная сторона.
48
00:02:41,000 --> 00:02:43,049
Давайте зарисуем ещё один, просто чтобы убедиться,
49
00:02:43,049 --> 00:02:46,009
что мы хорошо определяем гипотенузу.
50
00:02:46,009 --> 00:02:50,071
Допустим, что это мой треугольник, а это угол 90°.
51
00:02:50,071 --> 00:02:52,084
И я полагаю, вы уже знаете, как всё делать.
52
00:02:52,084 --> 00:02:55,042
Вы ищете, на что «смотрит» угол.
53
00:02:55,042 --> 00:02:57,098
Это и есть гипотенуза.
54
00:02:57,098 --> 00:03:01,092
Это самая длинная сторона.
55
00:03:01,092 --> 00:03:06,003
Вы определили гипотенузу, пусть она имеет длину С.
56
00:03:06,003 --> 00:03:07,019
И сейчас мы узнаем,
57
00:03:07,019 --> 00:03:10,043
о чем же нам говорит теорема Пифагора.
58
00:03:10,043 --> 00:03:14,000
Допустим, что С – это длина гипотенузы.
59
00:03:14,000 --> 00:03:16,047
Назовём это С.
60
00:03:16,047 --> 00:03:20,050
А вот эту сторону давайте назовём А.
61
00:03:20,050 --> 00:03:24,008
А эту сторону назовём B.
62
00:03:24,008 --> 00:03:27,042
Теорема Пифагора говорит нам, что А² –
63
00:03:27,042 --> 00:03:33,009
длина одной из коротких сторон в треугольнике –
64
00:03:33,009 --> 00:03:37,075
плюс длина другой короткой стороны B²
65
00:03:37,075 --> 00:03:42,042
будет равняться длине гипотенузы C².
66
00:03:42,042 --> 00:03:44,059
Давайте теперь посмотрим на примере,
67
00:03:44,059 --> 00:03:48,041
и вы поймёте, что ничего сложного здесь нет.
68
00:03:48,041 --> 00:03:52,019
Допустим, что у меня есть треугольник,
69
00:03:52,019 --> 00:03:57,013
который выглядит вот так. Давайте нарисуем.
70
00:03:57,014 --> 00:03:58,058
Похож на вот такой.
71
00:03:58,058 --> 00:04:02,000
Пусть здесь у нас прямой угол.
72
00:04:02,000 --> 00:04:08,001
Длина этой стороны - я отмечу другим цветом - равна 3,
73
00:04:08,001 --> 00:04:12,012
а длина этой стороны равна 4.
74
00:04:12,012 --> 00:04:16,092
Нас просят посчитать, чему будет равна гипотенуза.
75
00:04:16,092 --> 00:04:19,004
Первое, что вы должны сделать перед тем,
76
00:04:19,004 --> 00:04:21,063
как будете применять теорему Пифагора, -
77
00:04:21,063 --> 00:04:23,075
определить гипотенузу.
78
00:04:23,075 --> 00:04:27,000
Убедитесь, что вы ищете нужную сторону.
79
00:04:27,000 --> 00:04:29,032
В данном случае мы вычисляем гипотенузу.
80
00:04:29,032 --> 00:04:31,009
Мы знаем это, поскольку эта сторона
81
00:04:31,009 --> 00:04:34,007
противоположна прямому углу.
82
00:04:34,007 --> 00:04:36,004
Если мы посмотрим на теорему Пифагора,
83
00:04:36,004 --> 00:04:38,036
то это у нас будет С.
84
00:04:38,036 --> 00:04:40,068
Это самая длинная сторона.
85
00:04:40,068 --> 00:04:43,049
Теперь мы готовы применить теорему Пифагора.
86
00:04:43,049 --> 00:04:48,008
Из теоремы Пифагора следует, что 4² –
87
00:04:48,008 --> 00:04:49,092
одна из самых коротких сторон –
88
00:04:49,092 --> 00:04:54,059
плюс 3² – другая короткая сторона в квадрате –
89
00:04:54,059 --> 00:04:59,075
будет равна длине этой длинной стороны в квадрате.
90
00:04:59,075 --> 00:05:02,048
Гипотенуза в квадрате будет равна С².
91
00:05:02,048 --> 00:05:04,080
А потом просто вычисляем С.
92
00:05:04,080 --> 00:05:10,000
4² всё равно, что и 4*4. Это 16.
93
00:05:10,000 --> 00:05:15,058
Плюс 3*3 - получаем 9.
94
00:05:15,058 --> 00:05:17,075
И всё это равно С².
95
00:05:17,075 --> 00:05:22,017
Теперь, сколько будет 16+9?
96
00:05:22,017 --> 00:05:26,068
Это 25. 25=С².
97
00:05:26,068 --> 00:05:28,058
И теперь мы извлекаем квадратный корень
98
00:05:28,058 --> 00:05:31,009
из обеих сторон равенства.
99
00:05:31,009 --> 00:05:33,092
Математически С могло бы быть и -5.
100
00:05:33,092 --> 00:05:35,072
Но мы же здесь работаем с длиной,
101
00:05:35,072 --> 00:05:37,068
а длина не может быть отрицательной,
102
00:05:37,068 --> 00:05:41,017
значит, корень будет только положительным числом.
103
00:05:41,017 --> 00:05:46,065
Арифметическое значение корня – это 5, значит С=5.
104
00:05:46,065 --> 00:05:50,068
Или длина самой длинной стороны равна 5.
105
00:05:50,068 --> 00:05:53,001
Вы также можете применить теорему Пифагора,
106
00:05:53,001 --> 00:05:55,072
чтобы вычислить третью сторону
107
00:05:55,072 --> 00:06:00,000
прямоугольного треугольника, если две остальные вам известны.
108
00:06:00,000 --> 00:06:02,034
Не важно, катет это или гипотенуза.
109
00:06:02,034 --> 00:06:05,024
Давайте решим еще одну задачку.
110
00:06:05,024 --> 00:06:12,039
Допустим, наш треугольник выглядит вот так.
111
00:06:12,039 --> 00:06:15,049
Это наш прямой угол.
112
00:06:15,049 --> 00:06:18,075
Длина этой стороны – 12.
113
00:06:18,075 --> 00:06:21,075
Длина этой стороны – 6.
114
00:06:21,075 --> 00:06:27,080
И мы хотим найти длину этой стороны.
115
00:06:27,080 --> 00:06:30,025
Первым делом, как я говорил, нужно определить,
116
00:06:30,025 --> 00:06:33,007
что из них – гипотенуза.
117
00:06:33,007 --> 00:06:36,075
И это будет сторона, противоположная прямому углу.
118
00:06:36,075 --> 00:06:38,033
Здесь у нас прямой угол.
119
00:06:38,033 --> 00:06:40,024
Вы ищете, на что он «смотрит».
120
00:06:40,024 --> 00:06:42,075
Самая длинная сторона, гипотенуза,
121
00:06:42,075 --> 00:06:45,025
будет находиться здесь.
122
00:06:45,025 --> 00:06:52,017
Если мы вернемся к теореме Пифагора, где А²+В²=С².
123
00:06:52,017 --> 00:06:54,049
12 вы можете подставить вместо С.
124
00:06:54,049 --> 00:06:56,019
Это гипотенуза.
125
00:06:56,019 --> 00:06:59,016
С² – это гипотенуза в квадрате.
126
00:06:59,016 --> 00:07:02,048
Можно просто сказать, что 12 равно С.
127
00:07:02,048 --> 00:07:03,072
А для этих сторон всё равно,
128
00:07:03,072 --> 00:07:06,031
какую из низ вы обозначите А, а какую В.
129
00:07:06,031 --> 00:07:09,083
Давайте обозначим эту сторону как А=6.
130
00:07:09,083 --> 00:07:14,042
А В такого цвета равняется знаку вопроса.
131
00:07:14,042 --> 00:07:17,025
Теперь мы можем применить теорему Пифагора.
132
00:07:17,025 --> 00:07:27,005
А² - это 6² плюс неизвестное нам В²
133
00:07:27,005 --> 00:07:29,042
равно гипотенузе в квадрате.
134
00:07:29,042 --> 00:07:36,057
Равно С², равно 12². Теперь можно найти В.
135
00:07:36,057 --> 00:07:37,060
Заметьте разницу.
136
00:07:37,060 --> 00:07:39,063
Сейчас мы ищем уже не гипотенузу.
137
00:07:39,063 --> 00:07:42,042
Мы ищем один из катетов.
138
00:07:42,042 --> 00:07:45,058
В прошлом примере мы находили длину гипотенузы.
139
00:07:45,058 --> 00:07:47,016
Мы искали С.
140
00:07:47,016 --> 00:07:49,000
Вот почему очень важно определить
141
00:07:49,000 --> 00:07:54,060
в формуле А²+В²=С², что С – это гипотенуза.
142
00:07:54,060 --> 00:07:56,058
Давайте найдём В.
143
00:07:56,058 --> 00:08:02,095
6²=36 плюс В² равно 12².
144
00:08:02,095 --> 00:08:07,017
12*12=144.
145
00:08:07,017 --> 00:08:11,092
Из обеих сторон равенства вычтем 36.
146
00:08:11,092 --> 00:08:14,065
Здесь сокращается всё.
147
00:08:14,065 --> 00:08:19,025
Слева у нас осталось только В².
148
00:08:19,025 --> 00:08:22,080
Равно 144–36. Равно чему?
149
00:08:22,080 --> 00:08:32,025
144–30=114. А потом вычтем 6 и получаем 108.
150
00:08:32,025 --> 00:08:36,048
Это будет равняться 108.
151
00:08:36,048 --> 00:08:38,060
Вот чему равняется В²,
152
00:08:38,060 --> 00:08:41,024
теперь нужно извлечь квадратный корень.
153
00:08:41,024 --> 00:08:43,040
Положительное значение квадратного корня
154
00:08:43,040 --> 00:08:45,049
извлекаем из обеих сторон.
155
00:08:45,049 --> 00:08:49,067
И мы получим, что В=√108.
156
00:08:49,067 --> 00:08:52,040
Посмотрим, сможем ли мы что-то упростить.
157
00:08:52,040 --> 00:08:54,008
Сможем ли мы разложить на простые множители
158
00:08:54,008 --> 00:08:55,042
этот корень.
159
00:08:55,042 --> 00:09:09,050
108 – это то же самое, что и 2 раза по 54.
160
00:09:09,050 --> 00:09:13,035
54 – два раза по 27.
161
00:09:13,035 --> 00:09:17,025
27 – 3 раза по 9.
162
00:09:17,025 --> 00:09:19,072
Квадратный корень из 108 –
163
00:09:19,072 --> 00:09:25,096
то же самое, что и √(22…) ,
164
00:09:25,096 --> 00:09:28,016
на самом деле, я до конца не разбил.
165
00:09:28,016 --> 00:09:31,065
9 можно представить в форме 3*3.
166
00:09:31,065 --> 00:09:35,067
Получаем 22333.
167
00:09:35,067 --> 00:09:39,040
И здесь у нас получилась пара квадратов.
168
00:09:39,040 --> 00:09:41,049
Давайте я перепишу это всё еще раз.
169
00:09:41,049 --> 00:09:43,058
Всё это вы можете найти в упражнениях
170
00:09:43,058 --> 00:09:45,035
на упрощение квадратных корней.
171
00:09:45,035 --> 00:09:46,084
Мы встретим много таких примеров,
172
00:09:46,084 --> 00:09:48,096
когда будем рассматривать теорему Пифагора.
173
00:09:48,096 --> 00:09:51,075
Так что прямо здесь не обязательно это делать.
174
00:09:51,075 --> 00:09:59,033
Это тоже самое, что и √(223*3)
175
00:09:59,033 --> 00:10:02,075
и умножить на квадратный корень из оставшейся 3.
176
00:10:02,075 --> 00:10:05,008
А это то же самое, что и…
177
00:10:05,008 --> 00:10:07,050
вам не нужно будет просчитывать всё это на бумаге,
178
00:10:07,050 --> 00:10:09,040
вы можете всё это делать в уме.
179
00:10:09,040 --> 00:10:10,033
Что у нас здесь?
180
00:10:10,033 --> 00:10:18,072
22 – это 4. 49 – это 36. √36*√3.
181
00:10:18,072 --> 00:10:25,024
√36=6, так что всё упрощается до 6√3.
182
00:10:25,024 --> 00:10:26,087
Итак, длина В…
183
00:10:26,087 --> 00:10:35,087
вы можете написать её √108 или же 6√3.
184
00:10:35,087 --> 00:10:37,096
Здесь - 12, здесь - 6.
185
00:10:37,096 --> 00:10:42,056
А √3 – это 1 и что-то после запятой.
186
00:10:42,056 --> 00:10:45,075
Т.е. она будет немного больше 6.
187
00:10:45,075 --> 99:59:59,000
Ну что ж, пока!