1 00:00:05,063 --> 00:00:08,033 Привет! В этом видео я расскажу вам, 2 00:00:08,033 --> 00:00:14,075 что такое теорема Пифагора. 3 00:00:14,075 --> 00:00:17,071 Вы знаете, она и сама по себе интересна. 4 00:00:17,071 --> 00:00:19,007 Но потом вы заметите, 5 00:00:19,007 --> 00:00:21,051 если долго будете изучать математику, 6 00:00:21,051 --> 00:00:27,009 что это одна из основополагающих теорем всей математики. 7 00:00:27,009 --> 00:00:28,055 Она применяется в геометрии, 8 00:00:28,055 --> 00:00:31,012 она является базисом для тригонометрии. 9 00:00:31,012 --> 00:00:32,067 Вы также пользуетесь ею, 10 00:00:32,067 --> 00:00:36,001 когда считаете расстояние между точками. 11 00:00:36,001 --> 00:00:39,047 Это действительно хорошая штука. Её нужно знать. 12 00:00:39,047 --> 00:00:41,026 Так, хватит разговоров с моей стороны. 13 00:00:41,026 --> 00:00:45,075 Давайте я расскажу, что же такое теорема Пифагора. 14 00:00:45,075 --> 00:00:48,050 Допустим, у нас есть треугольник. 15 00:00:48,050 --> 00:00:51,024 Это должен быть прямоугольный треугольник. 16 00:00:51,024 --> 00:00:54,056 Это значит, что один из трёх углов треугольника 17 00:00:54,056 --> 00:00:56,064 должен быть 90°. 18 00:00:56,064 --> 00:00:59,051 Вы определяете, что это прямой угол, 19 00:00:59,051 --> 00:01:03,008 дорисовывая такой маленький квадратик здесь. 20 00:01:03,008 --> 00:01:09,064 Этот угол – давайте другим цветом отмечу – 90°. 21 00:01:09,064 --> 00:01:14,032 Или же мы можем назвать его прямым углом. 22 00:01:14,032 --> 00:01:17,034 А треугольник, в котором имеется прямой угол, 23 00:01:17,034 --> 00:01:20,008 называется прямоугольным треугольником. 24 00:01:20,008 --> 00:01:26,049 Так что это – прямоугольный треугольник. 25 00:01:26,049 --> 00:01:29,051 Благодаря теореме Пифагора, 26 00:01:29,051 --> 00:01:32,034 если мы знаем 2 стороны прямоугольного треугольника, 27 00:01:32,034 --> 00:01:35,068 мы всегда можем вычислить третью сторону. 28 00:01:35,068 --> 00:01:38,033 И до того, как я покажу вам, как всё это работает, 29 00:01:38,033 --> 00:01:41,016 давайте окунёмся немного в терминологию. 30 00:01:41,016 --> 00:01:44,051 Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, 31 00:01:44,051 --> 00:01:51,004 противолежащая углу 90°, противолежащая прямому углу - 32 00:01:51,004 --> 00:01:53,042 в нашем случае это - данная сторона. 33 00:01:53,042 --> 00:01:55,056 Это самая длинная сторона. 34 00:01:55,056 --> 00:01:58,025 И для того, чтобы найти, где прямой угол, 35 00:01:58,025 --> 00:02:00,079 мы ищем угол как бы «смотрящий» 36 00:02:00,079 --> 00:02:03,050 на самую длинную сторону. 37 00:02:03,050 --> 00:02:09,049 Самая длинная сторона называется гипотенузой. 38 00:02:09,049 --> 00:02:12,000 И это нужно запомнить, т.к. мы впоследствии 39 00:02:12,000 --> 00:02:16,052 будем не раз возвращаться к данному термину. 40 00:02:16,052 --> 00:02:20,063 Итак, мы уже можем довольно легко определять гипотенузу, 41 00:02:20,063 --> 00:02:22,017 давайте рассмотрим ещё пару 42 00:02:22,017 --> 00:02:23,063 прямоугольных треугольников. 43 00:02:23,063 --> 00:02:28,025 Скажем, у нас есть вот такой треугольник. 44 00:02:28,025 --> 00:02:31,063 И мы уже можем сказать, что этот угол – 90°. 45 00:02:31,063 --> 00:02:36,056 В таком случае, это будет гипотенузой. 46 00:02:36,056 --> 00:02:39,017 Она противоположна углу в 90°. 47 00:02:39,017 --> 00:02:41,000 Это самая длинная сторона. 48 00:02:41,000 --> 00:02:43,049 Давайте зарисуем ещё один, просто чтобы убедиться, 49 00:02:43,049 --> 00:02:46,009 что мы хорошо определяем гипотенузу. 50 00:02:46,009 --> 00:02:50,071 Допустим, что это мой треугольник, а это угол 90°. 51 00:02:50,071 --> 00:02:52,084 И я полагаю, вы уже знаете, как всё делать. 52 00:02:52,084 --> 00:02:55,042 Вы ищете, на что «смотрит» угол. 53 00:02:55,042 --> 00:02:57,098 Это и есть гипотенуза. 54 00:02:57,098 --> 00:03:01,092 Это самая длинная сторона. 55 00:03:01,092 --> 00:03:06,003 Вы определили гипотенузу, пусть она имеет длину С. 56 00:03:06,003 --> 00:03:07,019 И сейчас мы узнаем, 57 00:03:07,019 --> 00:03:10,043 о чем же нам говорит теорема Пифагора. 58 00:03:10,043 --> 00:03:14,000 Допустим, что С – это длина гипотенузы. 59 00:03:14,000 --> 00:03:16,047 Назовём это С. 60 00:03:16,047 --> 00:03:20,050 А вот эту сторону давайте назовём А. 61 00:03:20,050 --> 00:03:24,008 А эту сторону назовём B. 62 00:03:24,008 --> 00:03:27,042 Теорема Пифагора говорит нам, что А² – 63 00:03:27,042 --> 00:03:33,009 длина одной из коротких сторон в треугольнике – 64 00:03:33,009 --> 00:03:37,075 плюс длина другой короткой стороны B² 65 00:03:37,075 --> 00:03:42,042 будет равняться длине гипотенузы C². 66 00:03:42,042 --> 00:03:44,059 Давайте теперь посмотрим на примере, 67 00:03:44,059 --> 00:03:48,041 и вы поймёте, что ничего сложного здесь нет. 68 00:03:48,041 --> 00:03:52,019 Допустим, что у меня есть треугольник, 69 00:03:52,019 --> 00:03:57,013 который выглядит вот так. Давайте нарисуем. 70 00:03:57,014 --> 00:03:58,058 Похож на вот такой. 71 00:03:58,058 --> 00:04:02,000 Пусть здесь у нас прямой угол. 72 00:04:02,000 --> 00:04:08,001 Длина этой стороны - я отмечу другим цветом - равна 3, 73 00:04:08,001 --> 00:04:12,012 а длина этой стороны равна 4. 74 00:04:12,012 --> 00:04:16,092 Нас просят посчитать, чему будет равна гипотенуза. 75 00:04:16,092 --> 00:04:19,004 Первое, что вы должны сделать перед тем, 76 00:04:19,004 --> 00:04:21,063 как будете применять теорему Пифагора, - 77 00:04:21,063 --> 00:04:23,075 определить гипотенузу. 78 00:04:23,075 --> 00:04:27,000 Убедитесь, что вы ищете нужную сторону. 79 00:04:27,000 --> 00:04:29,032 В данном случае мы вычисляем гипотенузу. 80 00:04:29,032 --> 00:04:31,009 Мы знаем это, поскольку эта сторона 81 00:04:31,009 --> 00:04:34,007 противоположна прямому углу. 82 00:04:34,007 --> 00:04:36,004 Если мы посмотрим на теорему Пифагора, 83 00:04:36,004 --> 00:04:38,036 то это у нас будет С. 84 00:04:38,036 --> 00:04:40,068 Это самая длинная сторона. 85 00:04:40,068 --> 00:04:43,049 Теперь мы готовы применить теорему Пифагора. 86 00:04:43,049 --> 00:04:48,008 Из теоремы Пифагора следует, что 4² – 87 00:04:48,008 --> 00:04:49,092 одна из самых коротких сторон – 88 00:04:49,092 --> 00:04:54,059 плюс 3² – другая короткая сторона в квадрате – 89 00:04:54,059 --> 00:04:59,075 будет равна длине этой длинной стороны в квадрате. 90 00:04:59,075 --> 00:05:02,048 Гипотенуза в квадрате будет равна С². 91 00:05:02,048 --> 00:05:04,080 А потом просто вычисляем С. 92 00:05:04,080 --> 00:05:10,000 4² всё равно, что и 4*4. Это 16. 93 00:05:10,000 --> 00:05:15,058 Плюс 3*3 - получаем 9. 94 00:05:15,058 --> 00:05:17,075 И всё это равно С². 95 00:05:17,075 --> 00:05:22,017 Теперь, сколько будет 16+9? 96 00:05:22,017 --> 00:05:26,068 Это 25. 25=С². 97 00:05:26,068 --> 00:05:28,058 И теперь мы извлекаем квадратный корень 98 00:05:28,058 --> 00:05:31,009 из обеих сторон равенства. 99 00:05:31,009 --> 00:05:33,092 Математически С могло бы быть и -5. 100 00:05:33,092 --> 00:05:35,072 Но мы же здесь работаем с длиной, 101 00:05:35,072 --> 00:05:37,068 а длина не может быть отрицательной, 102 00:05:37,068 --> 00:05:41,017 значит, корень будет только положительным числом. 103 00:05:41,017 --> 00:05:46,065 Арифметическое значение корня – это 5, значит С=5. 104 00:05:46,065 --> 00:05:50,068 Или длина самой длинной стороны равна 5. 105 00:05:50,068 --> 00:05:53,001 Вы также можете применить теорему Пифагора, 106 00:05:53,001 --> 00:05:55,072 чтобы вычислить третью сторону 107 00:05:55,072 --> 00:06:00,000 прямоугольного треугольника, если две остальные вам известны. 108 00:06:00,000 --> 00:06:02,034 Не важно, катет это или гипотенуза. 109 00:06:02,034 --> 00:06:05,024 Давайте решим еще одну задачку. 110 00:06:05,024 --> 00:06:12,039 Допустим, наш треугольник выглядит вот так. 111 00:06:12,039 --> 00:06:15,049 Это наш прямой угол. 112 00:06:15,049 --> 00:06:18,075 Длина этой стороны – 12. 113 00:06:18,075 --> 00:06:21,075 Длина этой стороны – 6. 114 00:06:21,075 --> 00:06:27,080 И мы хотим найти длину этой стороны. 115 00:06:27,080 --> 00:06:30,025 Первым делом, как я говорил, нужно определить, 116 00:06:30,025 --> 00:06:33,007 что из них – гипотенуза. 117 00:06:33,007 --> 00:06:36,075 И это будет сторона, противоположная прямому углу. 118 00:06:36,075 --> 00:06:38,033 Здесь у нас прямой угол. 119 00:06:38,033 --> 00:06:40,024 Вы ищете, на что он «смотрит». 120 00:06:40,024 --> 00:06:42,075 Самая длинная сторона, гипотенуза, 121 00:06:42,075 --> 00:06:45,025 будет находиться здесь. 122 00:06:45,025 --> 00:06:52,017 Если мы вернемся к теореме Пифагора, где А²+В²=С². 123 00:06:52,017 --> 00:06:54,049 12 вы можете подставить вместо С. 124 00:06:54,049 --> 00:06:56,019 Это гипотенуза. 125 00:06:56,019 --> 00:06:59,016 С² – это гипотенуза в квадрате. 126 00:06:59,016 --> 00:07:02,048 Можно просто сказать, что 12 равно С. 127 00:07:02,048 --> 00:07:03,072 А для этих сторон всё равно, 128 00:07:03,072 --> 00:07:06,031 какую из низ вы обозначите А, а какую В. 129 00:07:06,031 --> 00:07:09,083 Давайте обозначим эту сторону как А=6. 130 00:07:09,083 --> 00:07:14,042 А В такого цвета равняется знаку вопроса. 131 00:07:14,042 --> 00:07:17,025 Теперь мы можем применить теорему Пифагора. 132 00:07:17,025 --> 00:07:27,005 А² - это 6² плюс неизвестное нам В² 133 00:07:27,005 --> 00:07:29,042 равно гипотенузе в квадрате. 134 00:07:29,042 --> 00:07:36,057 Равно С², равно 12². Теперь можно найти В. 135 00:07:36,057 --> 00:07:37,060 Заметьте разницу. 136 00:07:37,060 --> 00:07:39,063 Сейчас мы ищем уже не гипотенузу. 137 00:07:39,063 --> 00:07:42,042 Мы ищем один из катетов. 138 00:07:42,042 --> 00:07:45,058 В прошлом примере мы находили длину гипотенузы. 139 00:07:45,058 --> 00:07:47,016 Мы искали С. 140 00:07:47,016 --> 00:07:49,000 Вот почему очень важно определить 141 00:07:49,000 --> 00:07:54,060 в формуле А²+В²=С², что С – это гипотенуза. 142 00:07:54,060 --> 00:07:56,058 Давайте найдём В. 143 00:07:56,058 --> 00:08:02,095 6²=36 плюс В² равно 12². 144 00:08:02,095 --> 00:08:07,017 12*12=144. 145 00:08:07,017 --> 00:08:11,092 Из обеих сторон равенства вычтем 36. 146 00:08:11,092 --> 00:08:14,065 Здесь сокращается всё. 147 00:08:14,065 --> 00:08:19,025 Слева у нас осталось только В². 148 00:08:19,025 --> 00:08:22,080 Равно 144–36. Равно чему? 149 00:08:22,080 --> 00:08:32,025 144–30=114. А потом вычтем 6 и получаем 108. 150 00:08:32,025 --> 00:08:36,048 Это будет равняться 108. 151 00:08:36,048 --> 00:08:38,060 Вот чему равняется В², 152 00:08:38,060 --> 00:08:41,024 теперь нужно извлечь квадратный корень. 153 00:08:41,024 --> 00:08:43,040 Положительное значение квадратного корня 154 00:08:43,040 --> 00:08:45,049 извлекаем из обеих сторон. 155 00:08:45,049 --> 00:08:49,067 И мы получим, что В=√108. 156 00:08:49,067 --> 00:08:52,040 Посмотрим, сможем ли мы что-то упростить. 157 00:08:52,040 --> 00:08:54,008 Сможем ли мы разложить на простые множители 158 00:08:54,008 --> 00:08:55,042 этот корень. 159 00:08:55,042 --> 00:09:09,050 108 – это то же самое, что и 2 раза по 54. 160 00:09:09,050 --> 00:09:13,035 54 – два раза по 27. 161 00:09:13,035 --> 00:09:17,025 27 – 3 раза по 9. 162 00:09:17,025 --> 00:09:19,072 Квадратный корень из 108 – 163 00:09:19,072 --> 00:09:25,096 то же самое, что и √(22…) , 164 00:09:25,096 --> 00:09:28,016 на самом деле, я до конца не разбил. 165 00:09:28,016 --> 00:09:31,065 9 можно представить в форме 3*3. 166 00:09:31,065 --> 00:09:35,067 Получаем 22333. 167 00:09:35,067 --> 00:09:39,040 И здесь у нас получилась пара квадратов. 168 00:09:39,040 --> 00:09:41,049 Давайте я перепишу это всё еще раз. 169 00:09:41,049 --> 00:09:43,058 Всё это вы можете найти в упражнениях 170 00:09:43,058 --> 00:09:45,035 на упрощение квадратных корней. 171 00:09:45,035 --> 00:09:46,084 Мы встретим много таких примеров, 172 00:09:46,084 --> 00:09:48,096 когда будем рассматривать теорему Пифагора. 173 00:09:48,096 --> 00:09:51,075 Так что прямо здесь не обязательно это делать. 174 00:09:51,075 --> 00:09:59,033 Это тоже самое, что и √(223*3) 175 00:09:59,033 --> 00:10:02,075 и умножить на квадратный корень из оставшейся 3. 176 00:10:02,075 --> 00:10:05,008 А это то же самое, что и… 177 00:10:05,008 --> 00:10:07,050 вам не нужно будет просчитывать всё это на бумаге, 178 00:10:07,050 --> 00:10:09,040 вы можете всё это делать в уме. 179 00:10:09,040 --> 00:10:10,033 Что у нас здесь? 180 00:10:10,033 --> 00:10:18,072 22 – это 4. 49 – это 36. √36*√3. 181 00:10:18,072 --> 00:10:25,024 √36=6, так что всё упрощается до 6√3. 182 00:10:25,024 --> 00:10:26,087 Итак, длина В… 183 00:10:26,087 --> 00:10:35,087 вы можете написать её √108 или же 6√3. 184 00:10:35,087 --> 00:10:37,096 Здесь - 12, здесь - 6. 185 00:10:37,096 --> 00:10:42,056 А √3 – это 1 и что-то после запятой. 186 00:10:42,056 --> 00:10:45,075 Т.е. она будет немного больше 6. 187 00:10:45,075 --> 99:59:59,000 Ну что ж, пока!