0:00:05.063,0:00:08.033
Привет! В этом видео я расскажу вам,

0:00:08.033,0:00:14.075
что такое теорема Пифагора.

0:00:14.075,0:00:17.071
Вы знаете, она и сама по себе интересна.

0:00:17.071,0:00:19.007
Но потом вы заметите,

0:00:19.007,0:00:21.051
если долго будете изучать математику,

0:00:21.051,0:00:27.009
что это одна из основополагающих теорем всей математики.

0:00:27.009,0:00:28.055
Она применяется в геометрии,

0:00:28.055,0:00:31.012
она является базисом для тригонометрии.

0:00:31.012,0:00:32.067
Вы также пользуетесь ею,

0:00:32.067,0:00:36.001
когда считаете расстояние между точками.

0:00:36.001,0:00:39.047
Это действительно хорошая штука. Её нужно знать.

0:00:39.047,0:00:41.026
Так, хватит разговоров с моей стороны.

0:00:41.026,0:00:45.075
Давайте я расскажу, что же такое теорема Пифагора.

0:00:45.075,0:00:48.050
Допустим, у нас есть треугольник.

0:00:48.050,0:00:51.024
Это должен быть прямоугольный треугольник.

0:00:51.024,0:00:54.056
Это значит, что один из трёх углов треугольника

0:00:54.056,0:00:56.064
должен быть 90°.

0:00:56.064,0:00:59.051
Вы определяете, что это прямой угол,

0:00:59.051,0:01:03.008
дорисовывая такой маленький квадратик здесь.

0:01:03.008,0:01:09.064
Этот угол – давайте другим цветом отмечу – 90°.

0:01:09.064,0:01:14.032
Или же мы можем назвать его прямым углом.

0:01:14.032,0:01:17.034
А треугольник, в котором имеется прямой угол,

0:01:17.034,0:01:20.008
называется прямоугольным треугольником.

0:01:20.008,0:01:26.049
Так что это – прямоугольный треугольник.

0:01:26.049,0:01:29.051
Благодаря теореме Пифагора,

0:01:29.051,0:01:32.034
если мы знаем 2 стороны прямоугольного треугольника,

0:01:32.034,0:01:35.068
мы всегда можем вычислить третью сторону.

0:01:35.068,0:01:38.033
И до того, как я покажу вам, как всё это работает,

0:01:38.033,0:01:41.016
давайте окунёмся немного в терминологию.

0:01:41.016,0:01:44.051
Самая длинная сторона прямоугольного треугольника,

0:01:44.051,0:01:51.004
противолежащая углу 90°, противолежащая прямому углу -

0:01:51.004,0:01:53.042
в нашем случае это - данная сторона.

0:01:53.042,0:01:55.056
Это самая длинная сторона.

0:01:55.056,0:01:58.025
И для того, чтобы найти, где прямой угол,

0:01:58.025,0:02:00.079
мы ищем угол как бы «смотрящий»

0:02:00.079,0:02:03.050
на самую длинную сторону.

0:02:03.050,0:02:09.049
Самая длинная сторона называется гипотенузой.

0:02:09.049,0:02:12.000
И это нужно запомнить, т.к. мы впоследствии

0:02:12.000,0:02:16.052
будем не раз возвращаться к данному термину.

0:02:16.052,0:02:20.063
Итак, мы уже можем довольно легко определять гипотенузу,

0:02:20.063,0:02:22.017
давайте рассмотрим ещё пару

0:02:22.017,0:02:23.063
прямоугольных треугольников.

0:02:23.063,0:02:28.025
Скажем, у нас есть вот такой треугольник.

0:02:28.025,0:02:31.063
И мы уже можем сказать, что этот угол – 90°.

0:02:31.063,0:02:36.056
В таком случае, это будет гипотенузой.

0:02:36.056,0:02:39.017
Она противоположна углу в 90°.

0:02:39.017,0:02:41.000
Это самая длинная сторона.

0:02:41.000,0:02:43.049
Давайте зарисуем ещё один, просто чтобы убедиться,

0:02:43.049,0:02:46.009
что мы хорошо определяем гипотенузу.

0:02:46.009,0:02:50.071
Допустим, что это мой треугольник, а это угол 90°.

0:02:50.071,0:02:52.084
И я полагаю, вы уже знаете, как всё делать.

0:02:52.084,0:02:55.042
Вы ищете, на что «смотрит» угол.

0:02:55.042,0:02:57.098
Это и есть гипотенуза.

0:02:57.098,0:03:01.092
Это самая длинная сторона.

0:03:01.092,0:03:06.003
Вы определили гипотенузу, пусть она имеет длину С.

0:03:06.003,0:03:07.019
И сейчас мы узнаем,

0:03:07.019,0:03:10.043
о чем же нам говорит теорема Пифагора.

0:03:10.043,0:03:14.000
Допустим, что С – это длина гипотенузы.

0:03:14.000,0:03:16.047
Назовём это С.

0:03:16.047,0:03:20.050
А вот эту сторону давайте назовём А.

0:03:20.050,0:03:24.008
А эту сторону назовём B.

0:03:24.008,0:03:27.042
Теорема Пифагора говорит нам, что А² –

0:03:27.042,0:03:33.009
длина одной из коротких сторон в треугольнике –

0:03:33.009,0:03:37.075
плюс длина другой короткой стороны B²

0:03:37.075,0:03:42.042
будет равняться длине гипотенузы C².

0:03:42.042,0:03:44.059
Давайте теперь посмотрим на примере,

0:03:44.059,0:03:48.041
и вы поймёте, что ничего сложного здесь нет.

0:03:48.041,0:03:52.019
Допустим, что у меня есть треугольник,

0:03:52.019,0:03:57.013
который выглядит вот так. Давайте нарисуем.

0:03:57.014,0:03:58.058
Похож на вот такой.

0:03:58.058,0:04:02.000
Пусть здесь у нас прямой угол.

0:04:02.000,0:04:08.001
Длина этой стороны - я отмечу другим цветом - равна 3,

0:04:08.001,0:04:12.012
а длина этой стороны равна 4.

0:04:12.012,0:04:16.092
Нас просят посчитать, чему будет равна гипотенуза.

0:04:16.092,0:04:19.004
Первое, что вы должны сделать перед тем,

0:04:19.004,0:04:21.063
как будете применять теорему Пифагора, -

0:04:21.063,0:04:23.075
определить гипотенузу.

0:04:23.075,0:04:27.000
Убедитесь, что вы ищете нужную сторону.

0:04:27.000,0:04:29.032
В данном случае мы вычисляем гипотенузу.

0:04:29.032,0:04:31.009
Мы знаем это, поскольку эта сторона

0:04:31.009,0:04:34.007
противоположна прямому углу.

0:04:34.007,0:04:36.004
Если мы посмотрим на теорему Пифагора,

0:04:36.004,0:04:38.036
то это у нас будет С.

0:04:38.036,0:04:40.068
Это самая длинная сторона.

0:04:40.068,0:04:43.049
Теперь мы готовы применить теорему Пифагора.

0:04:43.049,0:04:48.008
Из теоремы Пифагора следует, что 4² –

0:04:48.008,0:04:49.092
одна из самых коротких сторон –

0:04:49.092,0:04:54.059
плюс 3² – другая короткая сторона в квадрате –

0:04:54.059,0:04:59.075
будет равна длине этой длинной стороны в квадрате.

0:04:59.075,0:05:02.048
Гипотенуза в квадрате будет равна С².

0:05:02.048,0:05:04.080
А потом просто вычисляем С.

0:05:04.080,0:05:10.000
4² всё равно, что и 4*4. Это 16.

0:05:10.000,0:05:15.058
Плюс 3*3 - получаем 9.

0:05:15.058,0:05:17.075
И всё это равно С².

0:05:17.075,0:05:22.017
Теперь, сколько будет 16+9?

0:05:22.017,0:05:26.068
Это 25. 25=С².

0:05:26.068,0:05:28.058
И теперь мы извлекаем квадратный корень

0:05:28.058,0:05:31.009
из обеих сторон равенства.

0:05:31.009,0:05:33.092
Математически С могло бы быть и -5.

0:05:33.092,0:05:35.072
Но мы же здесь работаем с длиной,

0:05:35.072,0:05:37.068
а длина не может быть отрицательной,

0:05:37.068,0:05:41.017
значит, корень будет только положительным числом.

0:05:41.017,0:05:46.065
Арифметическое значение корня – это 5, значит С=5.

0:05:46.065,0:05:50.068
Или длина самой длинной стороны равна 5.

0:05:50.068,0:05:53.001
Вы также можете применить теорему Пифагора,

0:05:53.001,0:05:55.072
чтобы вычислить третью сторону

0:05:55.072,0:06:00.000
прямоугольного треугольника, если две остальные вам известны.

0:06:00.000,0:06:02.034
Не важно, катет это или гипотенуза.

0:06:02.034,0:06:05.024
Давайте решим еще одну задачку.

0:06:05.024,0:06:12.039
Допустим, наш треугольник выглядит вот так.

0:06:12.039,0:06:15.049
Это наш прямой угол.

0:06:15.049,0:06:18.075
Длина этой стороны – 12.

0:06:18.075,0:06:21.075
Длина этой стороны – 6.

0:06:21.075,0:06:27.080
И мы хотим найти длину этой стороны.

0:06:27.080,0:06:30.025
Первым делом, как я говорил, нужно определить,

0:06:30.025,0:06:33.007
что из них – гипотенуза.

0:06:33.007,0:06:36.075
И это будет сторона, противоположная прямому углу.

0:06:36.075,0:06:38.033
Здесь у нас прямой угол.

0:06:38.033,0:06:40.024
Вы ищете, на что он «смотрит».

0:06:40.024,0:06:42.075
Самая длинная сторона, гипотенуза,

0:06:42.075,0:06:45.025
будет находиться здесь.

0:06:45.025,0:06:52.017
Если мы вернемся к теореме Пифагора, где А²+В²=С².

0:06:52.017,0:06:54.049
12 вы можете подставить вместо С.

0:06:54.049,0:06:56.019
Это гипотенуза.

0:06:56.019,0:06:59.016
С² – это гипотенуза в квадрате.

0:06:59.016,0:07:02.048
Можно просто сказать, что 12 равно С.

0:07:02.048,0:07:03.072
А для этих сторон всё равно,

0:07:03.072,0:07:06.031
какую из низ вы обозначите А, а какую В.

0:07:06.031,0:07:09.083
Давайте обозначим эту сторону как А=6.

0:07:09.083,0:07:14.042
А В такого цвета равняется знаку вопроса.

0:07:14.042,0:07:17.025
Теперь мы можем применить теорему Пифагора.

0:07:17.025,0:07:27.005
А² - это 6² плюс неизвестное нам В²

0:07:27.005,0:07:29.042
равно гипотенузе в квадрате.

0:07:29.042,0:07:36.057
Равно С², равно 12². Теперь можно найти В.

0:07:36.057,0:07:37.060
Заметьте разницу.

0:07:37.060,0:07:39.063
Сейчас мы ищем уже не гипотенузу.

0:07:39.063,0:07:42.042
Мы ищем один из катетов.

0:07:42.042,0:07:45.058
В прошлом примере мы находили длину гипотенузы.

0:07:45.058,0:07:47.016
Мы искали С.

0:07:47.016,0:07:49.000
Вот почему очень важно определить

0:07:49.000,0:07:54.060
в формуле А²+В²=С², что С – это гипотенуза.

0:07:54.060,0:07:56.058
Давайте найдём В.

0:07:56.058,0:08:02.095
6²=36 плюс В² равно 12².

0:08:02.095,0:08:07.017
12*12=144.

0:08:07.017,0:08:11.092
Из обеих сторон равенства вычтем 36.

0:08:11.092,0:08:14.065
Здесь сокращается всё.

0:08:14.065,0:08:19.025
Слева у нас осталось только В².

0:08:19.025,0:08:22.080
Равно 144–36. Равно чему?

0:08:22.080,0:08:32.025
144–30=114. А потом вычтем 6 и получаем 108.

0:08:32.025,0:08:36.048
Это будет равняться 108.

0:08:36.048,0:08:38.060
Вот чему равняется В²,

0:08:38.060,0:08:41.024
теперь нужно извлечь квадратный корень.

0:08:41.024,0:08:43.040
Положительное значение квадратного корня

0:08:43.040,0:08:45.049
извлекаем из обеих сторон.

0:08:45.049,0:08:49.067
И мы получим, что В=√108.

0:08:49.067,0:08:52.040
Посмотрим, сможем ли мы что-то упростить.

0:08:52.040,0:08:54.008
Сможем ли мы разложить на простые множители

0:08:54.008,0:08:55.042
этот корень.

0:08:55.042,0:09:09.050
108 – это то же самое, что и 2 раза по 54.

0:09:09.050,0:09:13.035
54 – два раза по 27.

0:09:13.035,0:09:17.025
27 – 3 раза по 9.

0:09:17.025,0:09:19.072
Квадратный корень из 108 –

0:09:19.072,0:09:25.096
то же самое, что и √(2<i>2</i>…) ,

0:09:25.096,0:09:28.016
на самом деле, я до конца не разбил.

0:09:28.016,0:09:31.065
9 можно представить в форме 3*3.

0:09:31.065,0:09:35.067
Получаем 2<i>2</i>3<i>3</i>3.

0:09:35.067,0:09:39.040
И здесь у нас получилась пара квадратов.

0:09:39.040,0:09:41.049
Давайте я перепишу это всё еще раз.

0:09:41.049,0:09:43.058
Всё это вы можете найти в упражнениях

0:09:43.058,0:09:45.035
на упрощение квадратных корней.

0:09:45.035,0:09:46.084
Мы встретим много таких примеров,

0:09:46.084,0:09:48.096
когда будем рассматривать теорему Пифагора.

0:09:48.096,0:09:51.075
Так что прямо здесь не обязательно это делать.

0:09:51.075,0:09:59.033
Это тоже самое, что и √(2<i>2</i>3*3)

0:09:59.033,0:10:02.075
и умножить на квадратный корень из оставшейся 3.

0:10:02.075,0:10:05.008
А это то же самое, что и…

0:10:05.008,0:10:07.050
вам не нужно будет просчитывать всё это на бумаге,

0:10:07.050,0:10:09.040
вы можете всё это делать в уме.

0:10:09.040,0:10:10.033
Что у нас здесь?

0:10:10.033,0:10:18.072
2<i>2 – это 4. 4</i>9 – это 36. √36*√3.

0:10:18.072,0:10:25.024
√36=6, так что всё упрощается до 6√3.

0:10:25.024,0:10:26.087
Итак, длина В…

0:10:26.087,0:10:35.087
вы можете написать её √108 или же 6√3.

0:10:35.087,0:10:37.096
Здесь - 12, здесь - 6.

0:10:37.096,0:10:42.056
А √3 – это 1 и что-то после запятой.

0:10:42.056,0:10:45.075
Т.е. она будет немного больше 6.

0:10:45.075,99:59:59.000
Ну что ж, пока!