WEBVTT
00:00:05.063 --> 00:00:08.033
Привет! В этом видео я расскажу вам,
00:00:08.033 --> 00:00:14.075
что такое теорема Пифагора.
00:00:14.075 --> 00:00:17.071
Вы знаете, она и сама по себе интересна.
00:00:17.071 --> 00:00:19.007
Но потом вы заметите,
00:00:19.007 --> 00:00:21.051
если долго будете изучать математику,
00:00:21.051 --> 00:00:27.009
что это одна из основополагающих теорем всей математики.
00:00:27.009 --> 00:00:28.055
Она применяется в геометрии,
00:00:28.055 --> 00:00:31.012
она является базисом для тригонометрии.
00:00:31.012 --> 00:00:32.067
Вы также пользуетесь ею,
00:00:32.067 --> 00:00:36.001
когда считаете расстояние между точками.
00:00:36.001 --> 00:00:39.047
Это действительно хорошая штука. Её нужно знать.
00:00:39.047 --> 00:00:41.026
Так, хватит разговоров с моей стороны.
00:00:41.026 --> 00:00:45.075
Давайте я расскажу, что же такое теорема Пифагора.
00:00:45.075 --> 00:00:48.050
Допустим, у нас есть треугольник.
00:00:48.050 --> 00:00:51.024
Это должен быть прямоугольный треугольник.
00:00:51.024 --> 00:00:54.056
Это значит, что один из трёх углов треугольника
00:00:54.056 --> 00:00:56.064
должен быть 90°.
00:00:56.064 --> 00:00:59.051
Вы определяете, что это прямой угол,
00:00:59.051 --> 00:01:03.008
дорисовывая такой маленький квадратик здесь.
00:01:03.008 --> 00:01:09.064
Этот угол – давайте другим цветом отмечу – 90°.
00:01:09.064 --> 00:01:14.032
Или же мы можем назвать его прямым углом.
00:01:14.032 --> 00:01:17.034
А треугольник, в котором имеется прямой угол,
00:01:17.034 --> 00:01:20.008
называется прямоугольным треугольником.
00:01:20.008 --> 00:01:26.049
Так что это – прямоугольный треугольник.
00:01:26.049 --> 00:01:29.051
Благодаря теореме Пифагора,
00:01:29.051 --> 00:01:32.034
если мы знаем 2 стороны прямоугольного треугольника,
00:01:32.034 --> 00:01:35.068
мы всегда можем вычислить третью сторону.
00:01:35.068 --> 00:01:38.033
И до того, как я покажу вам, как всё это работает,
00:01:38.033 --> 00:01:41.016
давайте окунёмся немного в терминологию.
00:01:41.016 --> 00:01:44.051
Самая длинная сторона прямоугольного треугольника,
00:01:44.051 --> 00:01:51.004
противолежащая углу 90°, противолежащая прямому углу -
00:01:51.004 --> 00:01:53.042
в нашем случае это - данная сторона.
00:01:53.042 --> 00:01:55.056
Это самая длинная сторона.
00:01:55.056 --> 00:01:58.025
И для того, чтобы найти, где прямой угол,
00:01:58.025 --> 00:02:00.079
мы ищем угол как бы «смотрящий»
00:02:00.079 --> 00:02:03.050
на самую длинную сторону.
00:02:03.050 --> 00:02:09.049
Самая длинная сторона называется гипотенузой.
00:02:09.049 --> 00:02:12.000
И это нужно запомнить, т.к. мы впоследствии
00:02:12.000 --> 00:02:16.052
будем не раз возвращаться к данному термину.
00:02:16.052 --> 00:02:20.063
Итак, мы уже можем довольно легко определять гипотенузу,
00:02:20.063 --> 00:02:22.017
давайте рассмотрим ещё пару
00:02:22.017 --> 00:02:23.063
прямоугольных треугольников.
00:02:23.063 --> 00:02:28.025
Скажем, у нас есть вот такой треугольник.
00:02:28.025 --> 00:02:31.063
И мы уже можем сказать, что этот угол – 90°.
00:02:31.063 --> 00:02:36.056
В таком случае, это будет гипотенузой.
00:02:36.056 --> 00:02:39.017
Она противоположна углу в 90°.
00:02:39.017 --> 00:02:41.000
Это самая длинная сторона.
00:02:41.000 --> 00:02:43.049
Давайте зарисуем ещё один, просто чтобы убедиться,
00:02:43.049 --> 00:02:46.009
что мы хорошо определяем гипотенузу.
00:02:46.009 --> 00:02:50.071
Допустим, что это мой треугольник, а это угол 90°.
00:02:50.071 --> 00:02:52.084
И я полагаю, вы уже знаете, как всё делать.
00:02:52.084 --> 00:02:55.042
Вы ищете, на что «смотрит» угол.
00:02:55.042 --> 00:02:57.098
Это и есть гипотенуза.
00:02:57.098 --> 00:03:01.092
Это самая длинная сторона.
00:03:01.092 --> 00:03:06.003
Вы определили гипотенузу, пусть она имеет длину С.
00:03:06.003 --> 00:03:07.019
И сейчас мы узнаем,
00:03:07.019 --> 00:03:10.043
о чем же нам говорит теорема Пифагора.
00:03:10.043 --> 00:03:14.000
Допустим, что С – это длина гипотенузы.
00:03:14.000 --> 00:03:16.047
Назовём это С.
00:03:16.047 --> 00:03:20.050
А вот эту сторону давайте назовём А.
00:03:20.050 --> 00:03:24.008
А эту сторону назовём B.
00:03:24.008 --> 00:03:27.042
Теорема Пифагора говорит нам, что А² –
00:03:27.042 --> 00:03:33.009
длина одной из коротких сторон в треугольнике –
00:03:33.009 --> 00:03:37.075
плюс длина другой короткой стороны B²
00:03:37.075 --> 00:03:42.042
будет равняться длине гипотенузы C².
00:03:42.042 --> 00:03:44.059
Давайте теперь посмотрим на примере,
00:03:44.059 --> 00:03:48.041
и вы поймёте, что ничего сложного здесь нет.
00:03:48.041 --> 00:03:52.019
Допустим, что у меня есть треугольник,
00:03:52.019 --> 00:03:57.013
который выглядит вот так. Давайте нарисуем.
00:03:57.014 --> 00:03:58.058
Похож на вот такой.
00:03:58.058 --> 00:04:02.000
Пусть здесь у нас прямой угол.
00:04:02.000 --> 00:04:08.001
Длина этой стороны - я отмечу другим цветом - равна 3,
00:04:08.001 --> 00:04:12.012
а длина этой стороны равна 4.
00:04:12.012 --> 00:04:16.092
Нас просят посчитать, чему будет равна гипотенуза.
00:04:16.092 --> 00:04:19.004
Первое, что вы должны сделать перед тем,
00:04:19.004 --> 00:04:21.063
как будете применять теорему Пифагора, -
00:04:21.063 --> 00:04:23.075
определить гипотенузу.
00:04:23.075 --> 00:04:27.000
Убедитесь, что вы ищете нужную сторону.
00:04:27.000 --> 00:04:29.032
В данном случае мы вычисляем гипотенузу.
00:04:29.032 --> 00:04:31.009
Мы знаем это, поскольку эта сторона
00:04:31.009 --> 00:04:34.007
противоположна прямому углу.
00:04:34.007 --> 00:04:36.004
Если мы посмотрим на теорему Пифагора,
00:04:36.004 --> 00:04:38.036
то это у нас будет С.
00:04:38.036 --> 00:04:40.068
Это самая длинная сторона.
00:04:40.068 --> 00:04:43.049
Теперь мы готовы применить теорему Пифагора.
00:04:43.049 --> 00:04:48.008
Из теоремы Пифагора следует, что 4² –
00:04:48.008 --> 00:04:49.092
одна из самых коротких сторон –
00:04:49.092 --> 00:04:54.059
плюс 3² – другая короткая сторона в квадрате –
00:04:54.059 --> 00:04:59.075
будет равна длине этой длинной стороны в квадрате.
00:04:59.075 --> 00:05:02.048
Гипотенуза в квадрате будет равна С².
00:05:02.048 --> 00:05:04.080
А потом просто вычисляем С.
00:05:04.080 --> 00:05:10.000
4² всё равно, что и 4*4. Это 16.
00:05:10.000 --> 00:05:15.058
Плюс 3*3 - получаем 9.
00:05:15.058 --> 00:05:17.075
И всё это равно С².
00:05:17.075 --> 00:05:22.017
Теперь, сколько будет 16+9?
00:05:22.017 --> 00:05:26.068
Это 25. 25=С².
00:05:26.068 --> 00:05:28.058
И теперь мы извлекаем квадратный корень
00:05:28.058 --> 00:05:31.009
из обеих сторон равенства.
00:05:31.009 --> 00:05:33.092
Математически С могло бы быть и -5.
00:05:33.092 --> 00:05:35.072
Но мы же здесь работаем с длиной,
00:05:35.072 --> 00:05:37.068
а длина не может быть отрицательной,
00:05:37.068 --> 00:05:41.017
значит, корень будет только положительным числом.
00:05:41.017 --> 00:05:46.065
Арифметическое значение корня – это 5, значит С=5.
00:05:46.065 --> 00:05:50.068
Или длина самой длинной стороны равна 5.
00:05:50.068 --> 00:05:53.001
Вы также можете применить теорему Пифагора,
00:05:53.001 --> 00:05:55.072
чтобы вычислить третью сторону
00:05:55.072 --> 00:06:00.000
прямоугольного треугольника, если две остальные вам известны.
00:06:00.000 --> 00:06:02.034
Не важно, катет это или гипотенуза.
00:06:02.034 --> 00:06:05.024
Давайте решим еще одну задачку.
00:06:05.024 --> 00:06:12.039
Допустим, наш треугольник выглядит вот так.
00:06:12.039 --> 00:06:15.049
Это наш прямой угол.
00:06:15.049 --> 00:06:18.075
Длина этой стороны – 12.
00:06:18.075 --> 00:06:21.075
Длина этой стороны – 6.
00:06:21.075 --> 00:06:27.080
И мы хотим найти длину этой стороны.
00:06:27.080 --> 00:06:30.025
Первым делом, как я говорил, нужно определить,
00:06:30.025 --> 00:06:33.007
что из них – гипотенуза.
00:06:33.007 --> 00:06:36.075
И это будет сторона, противоположная прямому углу.
00:06:36.075 --> 00:06:38.033
Здесь у нас прямой угол.
00:06:38.033 --> 00:06:40.024
Вы ищете, на что он «смотрит».
00:06:40.024 --> 00:06:42.075
Самая длинная сторона, гипотенуза,
00:06:42.075 --> 00:06:45.025
будет находиться здесь.
00:06:45.025 --> 00:06:52.017
Если мы вернемся к теореме Пифагора, где А²+В²=С².
00:06:52.017 --> 00:06:54.049
12 вы можете подставить вместо С.
00:06:54.049 --> 00:06:56.019
Это гипотенуза.
00:06:56.019 --> 00:06:59.016
С² – это гипотенуза в квадрате.
00:06:59.016 --> 00:07:02.048
Можно просто сказать, что 12 равно С.
00:07:02.048 --> 00:07:03.072
А для этих сторон всё равно,
00:07:03.072 --> 00:07:06.031
какую из низ вы обозначите А, а какую В.
00:07:06.031 --> 00:07:09.083
Давайте обозначим эту сторону как А=6.
00:07:09.083 --> 00:07:14.042
А В такого цвета равняется знаку вопроса.
00:07:14.042 --> 00:07:17.025
Теперь мы можем применить теорему Пифагора.
00:07:17.025 --> 00:07:27.005
А² - это 6² плюс неизвестное нам В²
00:07:27.005 --> 00:07:29.042
равно гипотенузе в квадрате.
00:07:29.042 --> 00:07:36.057
Равно С², равно 12². Теперь можно найти В.
00:07:36.057 --> 00:07:37.060
Заметьте разницу.
00:07:37.060 --> 00:07:39.063
Сейчас мы ищем уже не гипотенузу.
00:07:39.063 --> 00:07:42.042
Мы ищем один из катетов.
00:07:42.042 --> 00:07:45.058
В прошлом примере мы находили длину гипотенузы.
00:07:45.058 --> 00:07:47.016
Мы искали С.
00:07:47.016 --> 00:07:49.000
Вот почему очень важно определить
00:07:49.000 --> 00:07:54.060
в формуле А²+В²=С², что С – это гипотенуза.
00:07:54.060 --> 00:07:56.058
Давайте найдём В.
00:07:56.058 --> 00:08:02.095
6²=36 плюс В² равно 12².
00:08:02.095 --> 00:08:07.017
12*12=144.
00:08:07.017 --> 00:08:11.092
Из обеих сторон равенства вычтем 36.
00:08:11.092 --> 00:08:14.065
Здесь сокращается всё.
00:08:14.065 --> 00:08:19.025
Слева у нас осталось только В².
00:08:19.025 --> 00:08:22.080
Равно 144–36. Равно чему?
00:08:22.080 --> 00:08:32.025
144–30=114. А потом вычтем 6 и получаем 108.
00:08:32.025 --> 00:08:36.048
Это будет равняться 108.
00:08:36.048 --> 00:08:38.060
Вот чему равняется В²,
00:08:38.060 --> 00:08:41.024
теперь нужно извлечь квадратный корень.
00:08:41.024 --> 00:08:43.040
Положительное значение квадратного корня
00:08:43.040 --> 00:08:45.049
извлекаем из обеих сторон.
00:08:45.049 --> 00:08:49.067
И мы получим, что В=√108.
00:08:49.067 --> 00:08:52.040
Посмотрим, сможем ли мы что-то упростить.
00:08:52.040 --> 00:08:54.008
Сможем ли мы разложить на простые множители
00:08:54.008 --> 00:08:55.042
этот корень.
00:08:55.042 --> 00:09:09.050
108 – это то же самое, что и 2 раза по 54.
00:09:09.050 --> 00:09:13.035
54 – два раза по 27.
00:09:13.035 --> 00:09:17.025
27 – 3 раза по 9.
00:09:17.025 --> 00:09:19.072
Квадратный корень из 108 –
00:09:19.072 --> 00:09:25.096
то же самое, что и √(22…) ,
00:09:25.096 --> 00:09:28.016
на самом деле, я до конца не разбил.
00:09:28.016 --> 00:09:31.065
9 можно представить в форме 3*3.
00:09:31.065 --> 00:09:35.067
Получаем 22333.
00:09:35.067 --> 00:09:39.040
И здесь у нас получилась пара квадратов.
00:09:39.040 --> 00:09:41.049
Давайте я перепишу это всё еще раз.
00:09:41.049 --> 00:09:43.058
Всё это вы можете найти в упражнениях
00:09:43.058 --> 00:09:45.035
на упрощение квадратных корней.
00:09:45.035 --> 00:09:46.084
Мы встретим много таких примеров,
00:09:46.084 --> 00:09:48.096
когда будем рассматривать теорему Пифагора.
00:09:48.096 --> 00:09:51.075
Так что прямо здесь не обязательно это делать.
00:09:51.075 --> 00:09:59.033
Это тоже самое, что и √(223*3)
00:09:59.033 --> 00:10:02.075
и умножить на квадратный корень из оставшейся 3.
00:10:02.075 --> 00:10:05.008
А это то же самое, что и…
00:10:05.008 --> 00:10:07.050
вам не нужно будет просчитывать всё это на бумаге,
00:10:07.050 --> 00:10:09.040
вы можете всё это делать в уме.
00:10:09.040 --> 00:10:10.033
Что у нас здесь?
00:10:10.033 --> 00:10:18.072
22 – это 4. 49 – это 36. √36*√3.
00:10:18.072 --> 00:10:25.024
√36=6, так что всё упрощается до 6√3.
00:10:25.024 --> 00:10:26.087
Итак, длина В…
00:10:26.087 --> 00:10:35.087
вы можете написать её √108 или же 6√3.
00:10:35.087 --> 00:10:37.096
Здесь - 12, здесь - 6.
00:10:37.096 --> 00:10:42.056
А √3 – это 1 и что-то после запятой.
00:10:42.056 --> 00:10:45.075
Т.е. она будет немного больше 6.
00:10:45.075 --> 99:59:59.000
Ну что ж, пока!