WEBVTT 00:00:05.063 --> 00:00:08.033 Привет! В этом видео я расскажу вам, 00:00:08.033 --> 00:00:14.075 что такое теорема Пифагора. 00:00:14.075 --> 00:00:17.071 Вы знаете, она и сама по себе интересна. 00:00:17.071 --> 00:00:19.007 Но потом вы заметите, 00:00:19.007 --> 00:00:21.051 если долго будете изучать математику, 00:00:21.051 --> 00:00:27.009 что это одна из основополагающих теорем всей математики. 00:00:27.009 --> 00:00:28.055 Она применяется в геометрии, 00:00:28.055 --> 00:00:31.012 она является базисом для тригонометрии. 00:00:31.012 --> 00:00:32.067 Вы также пользуетесь ею, 00:00:32.067 --> 00:00:36.001 когда считаете расстояние между точками. 00:00:36.001 --> 00:00:39.047 Это действительно хорошая штука. Её нужно знать. 00:00:39.047 --> 00:00:41.026 Так, хватит разговоров с моей стороны. 00:00:41.026 --> 00:00:45.075 Давайте я расскажу, что же такое теорема Пифагора. 00:00:45.075 --> 00:00:48.050 Допустим, у нас есть треугольник. 00:00:48.050 --> 00:00:51.024 Это должен быть прямоугольный треугольник. 00:00:51.024 --> 00:00:54.056 Это значит, что один из трёх углов треугольника 00:00:54.056 --> 00:00:56.064 должен быть 90°. 00:00:56.064 --> 00:00:59.051 Вы определяете, что это прямой угол, 00:00:59.051 --> 00:01:03.008 дорисовывая такой маленький квадратик здесь. 00:01:03.008 --> 00:01:09.064 Этот угол – давайте другим цветом отмечу – 90°. 00:01:09.064 --> 00:01:14.032 Или же мы можем назвать его прямым углом. 00:01:14.032 --> 00:01:17.034 А треугольник, в котором имеется прямой угол, 00:01:17.034 --> 00:01:20.008 называется прямоугольным треугольником. 00:01:20.008 --> 00:01:26.049 Так что это – прямоугольный треугольник. 00:01:26.049 --> 00:01:29.051 Благодаря теореме Пифагора, 00:01:29.051 --> 00:01:32.034 если мы знаем 2 стороны прямоугольного треугольника, 00:01:32.034 --> 00:01:35.068 мы всегда можем вычислить третью сторону. 00:01:35.068 --> 00:01:38.033 И до того, как я покажу вам, как всё это работает, 00:01:38.033 --> 00:01:41.016 давайте окунёмся немного в терминологию. 00:01:41.016 --> 00:01:44.051 Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, 00:01:44.051 --> 00:01:51.004 противолежащая углу 90°, противолежащая прямому углу - 00:01:51.004 --> 00:01:53.042 в нашем случае это - данная сторона. 00:01:53.042 --> 00:01:55.056 Это самая длинная сторона. 00:01:55.056 --> 00:01:58.025 И для того, чтобы найти, где прямой угол, 00:01:58.025 --> 00:02:00.079 мы ищем угол как бы «смотрящий» 00:02:00.079 --> 00:02:03.050 на самую длинную сторону. 00:02:03.050 --> 00:02:09.049 Самая длинная сторона называется гипотенузой. 00:02:09.049 --> 00:02:12.000 И это нужно запомнить, т.к. мы впоследствии 00:02:12.000 --> 00:02:16.052 будем не раз возвращаться к данному термину. 00:02:16.052 --> 00:02:20.063 Итак, мы уже можем довольно легко определять гипотенузу, 00:02:20.063 --> 00:02:22.017 давайте рассмотрим ещё пару 00:02:22.017 --> 00:02:23.063 прямоугольных треугольников. 00:02:23.063 --> 00:02:28.025 Скажем, у нас есть вот такой треугольник. 00:02:28.025 --> 00:02:31.063 И мы уже можем сказать, что этот угол – 90°. 00:02:31.063 --> 00:02:36.056 В таком случае, это будет гипотенузой. 00:02:36.056 --> 00:02:39.017 Она противоположна углу в 90°. 00:02:39.017 --> 00:02:41.000 Это самая длинная сторона. 00:02:41.000 --> 00:02:43.049 Давайте зарисуем ещё один, просто чтобы убедиться, 00:02:43.049 --> 00:02:46.009 что мы хорошо определяем гипотенузу. 00:02:46.009 --> 00:02:50.071 Допустим, что это мой треугольник, а это угол 90°. 00:02:50.071 --> 00:02:52.084 И я полагаю, вы уже знаете, как всё делать. 00:02:52.084 --> 00:02:55.042 Вы ищете, на что «смотрит» угол. 00:02:55.042 --> 00:02:57.098 Это и есть гипотенуза. 00:02:57.098 --> 00:03:01.092 Это самая длинная сторона. 00:03:01.092 --> 00:03:06.003 Вы определили гипотенузу, пусть она имеет длину С. 00:03:06.003 --> 00:03:07.019 И сейчас мы узнаем, 00:03:07.019 --> 00:03:10.043 о чем же нам говорит теорема Пифагора. 00:03:10.043 --> 00:03:14.000 Допустим, что С – это длина гипотенузы. 00:03:14.000 --> 00:03:16.047 Назовём это С. 00:03:16.047 --> 00:03:20.050 А вот эту сторону давайте назовём А. 00:03:20.050 --> 00:03:24.008 А эту сторону назовём B. 00:03:24.008 --> 00:03:27.042 Теорема Пифагора говорит нам, что А² – 00:03:27.042 --> 00:03:33.009 длина одной из коротких сторон в треугольнике – 00:03:33.009 --> 00:03:37.075 плюс длина другой короткой стороны B² 00:03:37.075 --> 00:03:42.042 будет равняться длине гипотенузы C². 00:03:42.042 --> 00:03:44.059 Давайте теперь посмотрим на примере, 00:03:44.059 --> 00:03:48.041 и вы поймёте, что ничего сложного здесь нет. 00:03:48.041 --> 00:03:52.019 Допустим, что у меня есть треугольник, 00:03:52.019 --> 00:03:57.013 который выглядит вот так. Давайте нарисуем. 00:03:57.014 --> 00:03:58.058 Похож на вот такой. 00:03:58.058 --> 00:04:02.000 Пусть здесь у нас прямой угол. 00:04:02.000 --> 00:04:08.001 Длина этой стороны - я отмечу другим цветом - равна 3, 00:04:08.001 --> 00:04:12.012 а длина этой стороны равна 4. 00:04:12.012 --> 00:04:16.092 Нас просят посчитать, чему будет равна гипотенуза. 00:04:16.092 --> 00:04:19.004 Первое, что вы должны сделать перед тем, 00:04:19.004 --> 00:04:21.063 как будете применять теорему Пифагора, - 00:04:21.063 --> 00:04:23.075 определить гипотенузу. 00:04:23.075 --> 00:04:27.000 Убедитесь, что вы ищете нужную сторону. 00:04:27.000 --> 00:04:29.032 В данном случае мы вычисляем гипотенузу. 00:04:29.032 --> 00:04:31.009 Мы знаем это, поскольку эта сторона 00:04:31.009 --> 00:04:34.007 противоположна прямому углу. 00:04:34.007 --> 00:04:36.004 Если мы посмотрим на теорему Пифагора, 00:04:36.004 --> 00:04:38.036 то это у нас будет С. 00:04:38.036 --> 00:04:40.068 Это самая длинная сторона. 00:04:40.068 --> 00:04:43.049 Теперь мы готовы применить теорему Пифагора. 00:04:43.049 --> 00:04:48.008 Из теоремы Пифагора следует, что 4² – 00:04:48.008 --> 00:04:49.092 одна из самых коротких сторон – 00:04:49.092 --> 00:04:54.059 плюс 3² – другая короткая сторона в квадрате – 00:04:54.059 --> 00:04:59.075 будет равна длине этой длинной стороны в квадрате. 00:04:59.075 --> 00:05:02.048 Гипотенуза в квадрате будет равна С². 00:05:02.048 --> 00:05:04.080 А потом просто вычисляем С. 00:05:04.080 --> 00:05:10.000 4² всё равно, что и 4*4. Это 16. 00:05:10.000 --> 00:05:15.058 Плюс 3*3 - получаем 9. 00:05:15.058 --> 00:05:17.075 И всё это равно С². 00:05:17.075 --> 00:05:22.017 Теперь, сколько будет 16+9? 00:05:22.017 --> 00:05:26.068 Это 25. 25=С². 00:05:26.068 --> 00:05:28.058 И теперь мы извлекаем квадратный корень 00:05:28.058 --> 00:05:31.009 из обеих сторон равенства. 00:05:31.009 --> 00:05:33.092 Математически С могло бы быть и -5. 00:05:33.092 --> 00:05:35.072 Но мы же здесь работаем с длиной, 00:05:35.072 --> 00:05:37.068 а длина не может быть отрицательной, 00:05:37.068 --> 00:05:41.017 значит, корень будет только положительным числом. 00:05:41.017 --> 00:05:46.065 Арифметическое значение корня – это 5, значит С=5. 00:05:46.065 --> 00:05:50.068 Или длина самой длинной стороны равна 5. 00:05:50.068 --> 00:05:53.001 Вы также можете применить теорему Пифагора, 00:05:53.001 --> 00:05:55.072 чтобы вычислить третью сторону 00:05:55.072 --> 00:06:00.000 прямоугольного треугольника, если две остальные вам известны. 00:06:00.000 --> 00:06:02.034 Не важно, катет это или гипотенуза. 00:06:02.034 --> 00:06:05.024 Давайте решим еще одну задачку. 00:06:05.024 --> 00:06:12.039 Допустим, наш треугольник выглядит вот так. 00:06:12.039 --> 00:06:15.049 Это наш прямой угол. 00:06:15.049 --> 00:06:18.075 Длина этой стороны – 12. 00:06:18.075 --> 00:06:21.075 Длина этой стороны – 6. 00:06:21.075 --> 00:06:27.080 И мы хотим найти длину этой стороны. 00:06:27.080 --> 00:06:30.025 Первым делом, как я говорил, нужно определить, 00:06:30.025 --> 00:06:33.007 что из них – гипотенуза. 00:06:33.007 --> 00:06:36.075 И это будет сторона, противоположная прямому углу. 00:06:36.075 --> 00:06:38.033 Здесь у нас прямой угол. 00:06:38.033 --> 00:06:40.024 Вы ищете, на что он «смотрит». 00:06:40.024 --> 00:06:42.075 Самая длинная сторона, гипотенуза, 00:06:42.075 --> 00:06:45.025 будет находиться здесь. 00:06:45.025 --> 00:06:52.017 Если мы вернемся к теореме Пифагора, где А²+В²=С². 00:06:52.017 --> 00:06:54.049 12 вы можете подставить вместо С. 00:06:54.049 --> 00:06:56.019 Это гипотенуза. 00:06:56.019 --> 00:06:59.016 С² – это гипотенуза в квадрате. 00:06:59.016 --> 00:07:02.048 Можно просто сказать, что 12 равно С. 00:07:02.048 --> 00:07:03.072 А для этих сторон всё равно, 00:07:03.072 --> 00:07:06.031 какую из низ вы обозначите А, а какую В. 00:07:06.031 --> 00:07:09.083 Давайте обозначим эту сторону как А=6. 00:07:09.083 --> 00:07:14.042 А В такого цвета равняется знаку вопроса. 00:07:14.042 --> 00:07:17.025 Теперь мы можем применить теорему Пифагора. 00:07:17.025 --> 00:07:27.005 А² - это 6² плюс неизвестное нам В² 00:07:27.005 --> 00:07:29.042 равно гипотенузе в квадрате. 00:07:29.042 --> 00:07:36.057 Равно С², равно 12². Теперь можно найти В. 00:07:36.057 --> 00:07:37.060 Заметьте разницу. 00:07:37.060 --> 00:07:39.063 Сейчас мы ищем уже не гипотенузу. 00:07:39.063 --> 00:07:42.042 Мы ищем один из катетов. 00:07:42.042 --> 00:07:45.058 В прошлом примере мы находили длину гипотенузы. 00:07:45.058 --> 00:07:47.016 Мы искали С. 00:07:47.016 --> 00:07:49.000 Вот почему очень важно определить 00:07:49.000 --> 00:07:54.060 в формуле А²+В²=С², что С – это гипотенуза. 00:07:54.060 --> 00:07:56.058 Давайте найдём В. 00:07:56.058 --> 00:08:02.095 6²=36 плюс В² равно 12². 00:08:02.095 --> 00:08:07.017 12*12=144. 00:08:07.017 --> 00:08:11.092 Из обеих сторон равенства вычтем 36. 00:08:11.092 --> 00:08:14.065 Здесь сокращается всё. 00:08:14.065 --> 00:08:19.025 Слева у нас осталось только В². 00:08:19.025 --> 00:08:22.080 Равно 144–36. Равно чему? 00:08:22.080 --> 00:08:32.025 144–30=114. А потом вычтем 6 и получаем 108. 00:08:32.025 --> 00:08:36.048 Это будет равняться 108. 00:08:36.048 --> 00:08:38.060 Вот чему равняется В², 00:08:38.060 --> 00:08:41.024 теперь нужно извлечь квадратный корень. 00:08:41.024 --> 00:08:43.040 Положительное значение квадратного корня 00:08:43.040 --> 00:08:45.049 извлекаем из обеих сторон. 00:08:45.049 --> 00:08:49.067 И мы получим, что В=√108. 00:08:49.067 --> 00:08:52.040 Посмотрим, сможем ли мы что-то упростить. 00:08:52.040 --> 00:08:54.008 Сможем ли мы разложить на простые множители 00:08:54.008 --> 00:08:55.042 этот корень. 00:08:55.042 --> 00:09:09.050 108 – это то же самое, что и 2 раза по 54. 00:09:09.050 --> 00:09:13.035 54 – два раза по 27. 00:09:13.035 --> 00:09:17.025 27 – 3 раза по 9. 00:09:17.025 --> 00:09:19.072 Квадратный корень из 108 – 00:09:19.072 --> 00:09:25.096 то же самое, что и √(22…) , 00:09:25.096 --> 00:09:28.016 на самом деле, я до конца не разбил. 00:09:28.016 --> 00:09:31.065 9 можно представить в форме 3*3. 00:09:31.065 --> 00:09:35.067 Получаем 22333. 00:09:35.067 --> 00:09:39.040 И здесь у нас получилась пара квадратов. 00:09:39.040 --> 00:09:41.049 Давайте я перепишу это всё еще раз. 00:09:41.049 --> 00:09:43.058 Всё это вы можете найти в упражнениях 00:09:43.058 --> 00:09:45.035 на упрощение квадратных корней. 00:09:45.035 --> 00:09:46.084 Мы встретим много таких примеров, 00:09:46.084 --> 00:09:48.096 когда будем рассматривать теорему Пифагора. 00:09:48.096 --> 00:09:51.075 Так что прямо здесь не обязательно это делать. 00:09:51.075 --> 00:09:59.033 Это тоже самое, что и √(223*3) 00:09:59.033 --> 00:10:02.075 и умножить на квадратный корень из оставшейся 3. 00:10:02.075 --> 00:10:05.008 А это то же самое, что и… 00:10:05.008 --> 00:10:07.050 вам не нужно будет просчитывать всё это на бумаге, 00:10:07.050 --> 00:10:09.040 вы можете всё это делать в уме. 00:10:09.040 --> 00:10:10.033 Что у нас здесь? 00:10:10.033 --> 00:10:18.072 22 – это 4. 49 – это 36. √36*√3. 00:10:18.072 --> 00:10:25.024 √36=6, так что всё упрощается до 6√3. 00:10:25.024 --> 00:10:26.087 Итак, длина В… 00:10:26.087 --> 00:10:35.087 вы можете написать её √108 или же 6√3. 00:10:35.087 --> 00:10:37.096 Здесь - 12, здесь - 6. 00:10:37.096 --> 00:10:42.056 А √3 – это 1 и что-то после запятой. 00:10:42.056 --> 00:10:45.075 Т.е. она будет немного больше 6. 00:10:45.075 --> 99:59:59.000 Ну что ж, пока!