-
V minulém videu jsem tvrdil, že výsledek,
který jsme získali pro obsah trojúhelníku,
-
který má strany délek 'a', 'b' a 'c',
-
je roven Heronově vzorci.
-
V tomto videu vám chci ukázat,
že je to rovno Heronově vzorci,
-
pomocí algebraických úprav.
-
Takže nejprve, co chceme udělat…
-
Dostaňme polovinu 'c' pod odmocninu.
-
Polovina krát 'c' je to samé jako
odmocnina z ('c' na druhou lomeno 4).
-
Odmocníte toto,
dostanete polovinu 'c'.
-
Takže celý tento výraz je roven,
-
místo znaménka pro odmocninu
napíšeme odmocnina z…
-
… 'c' na druhou lomeno 4,
krát tohle všechno.
-
Zkopíruji to a vložím.
-
Zkopíruji to a vložím.
-
Takže krát tohle všechno.
-
Samozřejmě platí distributivita.
-
Takže 'c' na druhou lomeno 4,
krát tohle všechno.
-
Uzavřeme odmocninu.
-
Roznásobím to tím 'c' na druhou lomeno 4.
-
Bude to rovno odmocnině…
-
Bude to hrozné, ale myslím,
že vás to uspokojí,
-
až uvidíte, jak se to změní na něco
tak jednoduchého jako je Heronův vzorec.
-
Odmocnina z…
'c' na druhou lomeno 4 krát 'a' na druhou
-
je 'c' na druhou krát 'a' na druhou
lomeno 4.
-
Minus 'c' na druhou lomeno 4.
-
Jen to roznásobuji.
-
A napíšu to jako čitatel na druhou
lomeno jmenovatel na druhou.
-
Tedy krát 'c' na druhou plus 'a' na druhou
minus 'b' na druhou, to celé na druhou.
-
Lomeno… umocním-li jmenovatel na druhou,
pak je to 4 krát ('c' na druhou).
-
A okamžitě vidíme, že tohle
a tohle 'c' na druhou se vykrátí.
-
Uzavřu všechny závorky.
-
A samozřejmě, tohle 4 krát 4,
to bude…
-
Napíšu to takto.
-
To je stejné jako 4 na druhou.
-
A místo toho abych psal 16…
Uvidíte, proč to píšu takto.
-
Teď můžu tohle přepsat jako…
-
Tohle bude rovno odmocnině…
-
… náhodně měním barvy…
-
… ('ca' lomeno 2) na druhou.
-
To je to samé jako tohle, že?
-
Jen to píšu jako něco na druhou.
-
Kdybych to umocnil, je to
'ca' na druhou
-
lomeno 2 na druhou - lomeno 4.
-
Minus… napíšu to jako
nějaký výraz na druhou.
-
Je to 'c' na druhou plus 'a' na druhou
minus 'b' na druhou lomeno 4.
-
A umocňujeme čitatel i jmenovatel.
-
Tohle pro vás může vypadat zajímavě.
-
Udělám závorky v trochu odlišné barvě.
-
Můžete si vzpomenout
z rozkladů polynomů na součin,
-
že mám-li něco ve tvaru
'x' na druhou minus 'y' na druhou,
-
tak se to rozloží na součin
('x' plus 'y') krát ('x' minus 'y').
-
A to budeme používat stále dokola.
-
Nazvete-li ('ca' lomeno 2) jako 'x'
a celý tento výraz jako 'y',
-
máme 'x' na druhou minus 'y' na druhou.
-
Rozložme to na součin.
-
Takže tohle celé se bude rovnat
odmocnině z ('x' plus 'y'),
-
v tomto případě 'ca' lomeno 2 plus 'y',
-
což je 'c' na druhou plus 'a' na druhou
minus 'b' na druhou lomeno 4,
-
krát ('x' minus 'y').
-
Tohle je naše 'x'.
-
'ca' lomeno 2
minus celý tento výraz zde.
-
Nebo lépe, řeknu plus
a napíšu to jako záporné.
-
Takže plus -'c' na druhou
minus 'a' na druhou plus 'b' na druhou.
-
To celé lomeno 4.
-
Teď jsem jen řekl, že tohle je stejné jako
(toto plus toto) krát (toto minus toto).
-
Tady jsem řekl plus
záporné tohle.
-
Takže minus 'c' na druhou
minus 'a' na druhou plus 'b' na druhou.
-
Udělal jsem jen tohle.
-
Teď se podívejme,
zda-li to lze zjednodušit.
-
Nebo jestli zvládneme sečíst tyto zlomky.
-
Můžeme získat společný jmenovatel.
-
'ca' lomeno dvěma je stejné jako
2 'ca' lomeno 4.
-
'ca' lomeno dvěma je stejné jako
2 'ca' lomeno 4.
-
Jen násobím čitatel i jmenovatel 2.
-
A teď můžeme sečíst čitatele.
-
Takže celý náš výraz bude roven
odmocnině z…
-
První výraz bude… a napíšu to takto.
-
Napíšu 'c' na druhou plus 2 'ca'
plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou,
-
to celé lomeno 4.
-
To je náš první výraz.
-
A náš druhý výraz bude…
-
Celé to bude lomeno 4,
takže to napíšu rovnou.
-
To celé lomeno 4.
-
Můžeme to napsat jako
-
'b' na druhou minus ('c' na druhou
minus 2 'ca' plus 'a' na druhou).
-
Jen se ujistím,
mám minus 'a' na druhou tady.
-
Plus krát (-1), stále je to
minus 'a' na druhou.
-
Mám plus 2 'ca' zde.
-
Minus krát minus, to je plus 2 'ca'.
-
Mám minus 'c' na druhou zde.
-
A mám minus 'c' na druhou zde.
-
Takže tyto dva výrazy jsou si rovny.
-
Další věc kterou musíme rozpoznat,
nebo spíš snad rozpoznáme,
-
že tento výraz zde…
… teď to může být trochu nepřehledné…
-
… je stejný jako ('c' plus 'a') na druhou.
-
Napíšu to.
-
To je rovno odmocnině z…
-
Tohle je ('c' plus 'a') na druhou
minus 'b' na druhou, to celé lomeno 4.
-
To je první výraz.
-
Teď druhý výraz.
-
Tohle zde je stejné jako
('c' minus 'a') na druhou.
-
Takže se to zjednoduší na 'b' na druhou
minus ('c' minus 'a') na druhou,
-
to celé lomeno 4.
-
Takže postupujeme vpřed.
-
Jak jsem říkal, je to děsná úloha.
-
Ale vidíme krásné využití
rozkladu polynomů na součin
-
a vidíme, jak se zdánlivě otřesný výraz
může změnit na mnohem snazší.
-
Teď využijeme té samé vlastnosti,
máme tu vzor,
-
něco na druhou
minus něco jiného na druhou.
-
Takže to rozložíme na součin
na jeden řádek.
-
Takže to bude rovno…
-
Napíšu to menší, aby mi nedošlo místo.
-
… odmocnině.
-
To se rozloží na tohle plus tohle.
-
Takže 'c' plus 'a' plus 'b'
krát 'c' plus 'a' minus 'b', že?
-
Je to stejný postup jako jsem dělal zde.
-
Tohle je 'x' na druhou,
tohle 'y' na druhou.
-
Takže 'c' plus 'a' minus 'b',
to celé lomeno 4.
-
A pak tu máme tento.
-
To bude 'b' plus 'c' minus 'a'…
-
Posunu se trochu doprava.
-
… krát 'b' plus 'c' minus 'a',
to je 'x' plus 'y'
-
krát ['b' minus ('c' minus 'a')].
-
To je stejné jako
'b' minus 'c' plus 'a'.
-
To je 'b' minus ('c' minus 'a'), že?
-
Dobrá.
-
A to celé lomeno 4.
-
Teď můžu přepsat celý výraz.
-
Nechci se připravit o prostor.
-
To celé mohu přepsat jako…
-
4 je součin 2 krát 2.
-
Celý výraz pro obsah byl právě,
pravděpodobně, zjednodušen na…
-
Je roven odmocnině…
… a to je vlastně cílová rovinka…
-
… tohoto zde, což můžu přepsat jako
('a' plus 'b' plus 'c') lomeno 2.
-
To je tento výraz.
-
Krát tento výraz.
-
Krát tento výraz.
-
A zjednoduším to.
-
'c' plus 'a' minus 'b' je to stejné jako
'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'b'.
-
Tyto výrazy jsou stejné, že?
-
Máte 'a', máte 'c'
a pak 'b' minus 2 'b' je rovno minus 'b'.
-
Že? 'b' minus 2 'b' je rovno minus 'b'.
-
Takže tento výraz bude
'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'b',
-
lomeno 2.
-
Nebo místo toho napíšu tohle lomeno 2
minus tohle lomeno 2.
-
A pak náš další výraz zde.
-
Stejný postup.
-
To je stejné jako
'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'a',
-
to celé lomeno 2, že?
-
Přičteme-li -2 'a' k 'a',
dostaneme minus 'a'.
-
Dostaneme 'b' plus 'c' minus 'a'.
-
To jsou stejné výrazy.
-
Takže to celé lomeno 2,
nebo můžeme rozdělit čitatel,
-
přesně takto… lomeno 2.
-
A pak poslední výraz.
-
A už můžete rozpoznávat Heronovo pravidlo.
-
Ne Heronovo pravidlo,
ale Heronův vzorec.
-
Ten výraz zde je stejný jako
-
'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'c', že?
-
Odečtete 2 'c' od 'c',
dostanete minus 'c',
-
pak vám zbyde 'a' a 'b'.
-
A to celé lomeno 2.
-
Můžete napsat tohle lomeno 2
minus tamto lomeno 2.
-
A samozřejmě to celé
pod druhou odmocninou.
-
Teď pokud zadefinujeme 'S' rovno
'a' plus 'b' plus 'c' lomeno 2,
-
pak se výraz opět velmi zjednoduší.
-
Tohle je 'S'.
-
Támhle to je 'S'.
-
Támhle to je 'S'.
-
A tohle je 'S'.
-
A tohle se také mnohem zjednoduší.
-
Minus 2 'b' lomeno 2,
to bude stejné jako minus 'b'.
-
Minus 2 'a' lomeno 2,
to bude stejné jako minus 'a'.
-
Minus 2 'c' lomeno 2,
to bude stejné jako minus 'c'.
-
Celý náš vzorec pro obsah bude roven…
-
Jen přepíšu odmocninu.
-
Odmocnina z 'S'…
-
To je tohle zde.
-
Udělám to stejnou barvou.
-
… krát ('S' minus 'b')
-
krát ('S' minus 'a')
-
krát… a jsme na konci… ('S' minus 'c').
-
A dokázali jsme,
-
že Heronův vzorec je stejný jako to,
co jsme ukázali na konci minulého videa.
-
Takže to bylo docela hezké.
-
Jen jsme museli dělat algebraické úpravy,
abychom to dokázali.
