0:00:00.674,0:00:05.270
V minulém videu jsem tvrdil, že výsledek,[br]který jsme získali pro obsah trojúhelníku,

0:00:05.440,0:00:08.711
který má strany délek 'a', 'b' a 'c',

0:00:08.861,0:00:11.626
je roven Heronově vzorci.

0:00:11.807,0:00:15.503
V tomto videu vám chci ukázat,[br]že je to rovno Heronově vzorci,

0:00:15.732,0:00:18.676
pomocí algebraických úprav.

0:00:18.877,0:00:20.506
Takže nejprve, co chceme udělat…

0:00:20.677,0:00:23.430
Dostaňme polovinu 'c' pod odmocninu.

0:00:23.590,0:00:30.342
Polovina krát 'c' je to samé jako[br]odmocnina z ('c' na druhou lomeno 4).

0:00:30.480,0:00:32.591
Odmocníte toto,[br]dostanete polovinu 'c'.

0:00:32.811,0:00:35.207
Takže celý tento výraz je roven,

0:00:35.348,0:00:40.258
místo znaménka pro odmocninu [br]napíšeme odmocnina z…

0:00:41.564,0:00:47.160
… 'c' na druhou lomeno 4,[br]krát tohle všechno.

0:00:48.200,0:00:49.530
Zkopíruji to a vložím.

0:00:53.040,0:00:55.293
Zkopíruji to a vložím.

0:00:55.497,0:00:57.100
Takže krát tohle všechno.

0:00:57.230,0:01:01.054
Samozřejmě platí distributivita.

0:01:01.160,0:01:03.632
Takže 'c' na druhou lomeno 4,[br]krát tohle všechno.

0:01:03.835,0:01:06.597
Uzavřeme odmocninu.

0:01:09.117,0:01:11.420
Roznásobím to tím 'c' na druhou lomeno 4.

0:01:11.570,0:01:13.723
Bude to rovno odmocnině…

0:01:13.921,0:01:16.552
Bude to hrozné, ale myslím,[br]že vás to uspokojí,

0:01:16.700,0:01:20.313
až uvidíte, jak se to změní na něco[br]tak jednoduchého jako je Heronův vzorec.

0:01:20.470,0:01:23.799
Odmocnina z…[br]'c' na druhou lomeno 4 krát 'a' na druhou

0:01:23.937,0:01:27.844
je 'c' na druhou krát 'a' na druhou[br]lomeno 4.

0:01:28.322,0:01:31.501
Minus 'c' na druhou lomeno 4.

0:01:32.725,0:01:33.976
Jen to roznásobuji.

0:01:35.225,0:01:38.807
A napíšu to jako čitatel na druhou[br]lomeno jmenovatel na druhou.

0:01:39.039,0:01:45.536
Tedy krát 'c' na druhou plus 'a' na druhou[br]minus 'b' na druhou, to celé na druhou.

0:01:45.711,0:01:52.431
Lomeno… umocním-li jmenovatel na druhou,[br]pak je to 4 krát ('c' na druhou).

0:01:52.723,0:01:55.575
A okamžitě vidíme, že tohle[br]a tohle 'c' na druhou se vykrátí.

0:01:55.731,0:01:58.907
Uzavřu všechny závorky.

0:01:59.380,0:02:03.550
A samozřejmě, tohle 4 krát 4,[br]to bude…

0:02:03.746,0:02:04.520
Napíšu to takto.

0:02:04.667,0:02:06.450
To je stejné jako 4 na druhou.

0:02:06.588,0:02:09.495
A místo toho abych psal 16…[br]Uvidíte, proč to píšu takto.

0:02:09.713,0:02:13.252
Teď můžu tohle přepsat jako…

0:02:15.007,0:02:17.116
Tohle bude rovno odmocnině…

0:02:17.340,0:02:18.761
… náhodně měním barvy…

0:02:19.462,0:02:24.159
… ('ca' lomeno 2) na druhou.

0:02:24.390,0:02:25.780
To je to samé jako tohle, že?

0:02:25.990,0:02:28.050
Jen to píšu jako něco na druhou.

0:02:28.150,0:02:30.201
Kdybych to umocnil, je to[br]'ca' na druhou

0:02:30.310,0:02:31.893
lomeno 2 na druhou - lomeno 4.[br]

0:02:32.161,0:02:36.309
Minus… napíšu to jako[br]nějaký výraz na druhou.

0:02:36.498,0:02:44.406
Je to 'c' na druhou plus 'a' na druhou[br]minus 'b' na druhou lomeno 4.

0:02:45.316,0:02:50.871
A umocňujeme čitatel i jmenovatel.

0:02:51.361,0:02:53.573
Tohle pro vás může vypadat zajímavě.

0:02:53.740,0:02:55.758
Udělám závorky v trochu odlišné barvě.

0:02:55.982,0:03:00.235
Můžete si vzpomenout[br]z rozkladů polynomů na součin,

0:03:00.365,0:03:03.213
že mám-li něco ve tvaru[br]'x' na druhou minus 'y' na druhou,

0:03:03.323,0:03:08.417
tak se to rozloží na součin [br]('x' plus 'y') krát ('x' minus 'y').

0:03:08.520,0:03:10.550
A to budeme používat stále dokola.

0:03:10.780,0:03:15.983
Nazvete-li ('ca' lomeno 2) jako 'x'[br]a celý tento výraz jako 'y',

0:03:16.153,0:03:18.939
máme 'x' na druhou minus 'y' na druhou.

0:03:19.083,0:03:20.260
Rozložme to na součin.

0:03:20.460,0:03:29.432
Takže tohle celé se bude rovnat[br]odmocnině z ('x' plus 'y'),

0:03:29.618,0:03:34.069
v tomto případě 'ca' lomeno 2 plus 'y',

0:03:34.219,0:03:40.359
což je 'c' na druhou plus 'a' na druhou[br]minus 'b' na druhou lomeno 4,

0:03:40.731,0:03:43.889
krát ('x' minus 'y').

0:03:44.049,0:03:45.297
Tohle je naše 'x'.

0:03:45.478,0:03:51.026
'ca' lomeno 2[br]minus celý tento výraz zde.

0:03:51.267,0:03:54.633
Nebo lépe, řeknu plus[br]a napíšu to jako záporné.

0:03:54.798,0:04:01.713
Takže plus -'c' na druhou[br]minus 'a' na druhou plus 'b' na druhou.

0:04:01.913,0:04:04.803
To celé lomeno 4.

0:04:05.010,0:04:15.431
Teď jsem jen řekl, že tohle je stejné jako[br](toto plus toto) krát (toto minus toto).

0:04:15.739,0:04:18.430
Tady jsem řekl plus[br]záporné tohle.

0:04:18.550,0:04:21.689
Takže minus 'c' na druhou[br]minus 'a' na druhou plus 'b' na druhou.

0:04:21.786,0:04:23.843
Udělal jsem jen tohle.

0:04:24.136,0:04:26.201
Teď se podívejme,[br]zda-li to lze zjednodušit.

0:04:26.376,0:04:28.576
Nebo jestli zvládneme sečíst tyto zlomky.

0:04:28.827,0:04:30.574
Můžeme získat společný jmenovatel.

0:04:30.740,0:04:35.163
'ca' lomeno dvěma je stejné jako[br]2 'ca' lomeno 4.

0:04:35.389,0:04:38.602
'ca' lomeno dvěma je stejné jako[br]2 'ca' lomeno 4.

0:04:38.762,0:04:40.814
Jen násobím čitatel i jmenovatel 2.

0:04:41.069,0:04:43.960
A teď můžeme sečíst čitatele.

0:04:44.170,0:04:53.105
Takže celý náš výraz bude roven[br]odmocnině z…

0:04:53.287,0:04:56.337
První výraz bude… a napíšu to takto.

0:04:56.460,0:05:08.563
Napíšu 'c' na druhou plus 2 'ca'[br]plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou,

0:05:08.703,0:05:11.235
to celé lomeno 4.

0:05:11.804,0:05:13.579
To je náš první výraz.

0:05:13.791,0:05:17.780
A náš druhý výraz bude…

0:05:18.008,0:05:20.866
Celé to bude lomeno 4,[br]takže to napíšu rovnou.

0:05:21.070,0:05:22.039
To celé lomeno 4.

0:05:22.326,0:05:23.708
Můžeme to napsat jako

0:05:23.891,0:05:42.956
'b' na druhou minus ('c' na druhou[br]minus 2 'ca' plus 'a' na druhou).

0:05:43.588,0:05:46.250
Jen se ujistím,[br]mám minus 'a' na druhou tady.

0:05:46.471,0:05:49.320
Plus krát (-1), stále je to[br]minus 'a' na druhou.

0:05:49.552,0:05:51.338
Mám plus 2 'ca' zde.

0:05:51.490,0:05:53.870
Minus krát minus, to je plus 2 'ca'.

0:05:54.035,0:05:55.430
Mám minus 'c' na druhou zde.

0:05:55.597,0:05:57.055
A mám minus 'c' na druhou zde.

0:05:57.170,0:06:00.223
Takže tyto dva výrazy jsou si rovny.

0:06:00.408,0:06:05.430
Další věc kterou musíme rozpoznat,[br]nebo spíš snad rozpoznáme,

0:06:05.726,0:06:10.422
že tento výraz zde…[br]… teď to může být trochu nepřehledné…

0:06:10.616,0:06:13.276
… je stejný jako ('c' plus 'a') na druhou.

0:06:13.490,0:06:14.237
Napíšu to.

0:06:14.350,0:06:20.297
To je rovno odmocnině z…

0:06:20.476,0:06:29.501
Tohle je ('c' plus 'a') na druhou[br]minus 'b' na druhou, to celé lomeno 4.

0:06:29.787,0:06:31.188
To je první výraz.

0:06:31.382,0:06:32.712
Teď druhý výraz.

0:06:32.957,0:06:35.659
Tohle zde je stejné jako[br]('c' minus 'a') na druhou.

0:06:35.880,0:06:42.965
Takže se to zjednoduší na 'b' na druhou[br]minus ('c' minus 'a') na druhou,

0:06:43.378,0:06:47.298
to celé lomeno 4.

0:06:47.494,0:06:48.910
Takže postupujeme vpřed.

0:06:49.070,0:06:51.723
Jak jsem říkal, je to děsná úloha.

0:06:51.830,0:06:54.700
Ale vidíme krásné využití[br]rozkladu polynomů na součin

0:06:54.860,0:06:59.725
a vidíme, jak se zdánlivě otřesný výraz[br]může změnit na mnohem snazší.

0:06:59.887,0:07:02.491
Teď využijeme té samé vlastnosti,[br]máme tu vzor,

0:07:02.662,0:07:06.833
něco na druhou[br]minus něco jiného na druhou.

0:07:07.303,0:07:09.512
Takže to rozložíme na součin[br]na jeden řádek.

0:07:09.680,0:07:11.500
Takže to bude rovno…

0:07:11.709,0:07:13.930
Napíšu to menší, aby mi nedošlo místo.

0:07:14.080,0:07:15.126
… odmocnině.

0:07:15.302,0:07:19.661
To se rozloží na tohle plus tohle.

0:07:19.851,0:07:29.728
Takže 'c' plus 'a' plus 'b'[br]krát 'c' plus 'a' minus 'b', že?

0:07:29.850,0:07:31.898
Je to stejný postup jako jsem dělal zde.

0:07:32.030,0:07:34.136
Tohle je 'x' na druhou,[br]tohle 'y' na druhou.

0:07:34.283,0:07:41.497
Takže 'c' plus 'a' minus 'b',[br]to celé lomeno 4.

0:07:41.687,0:07:43.121
A pak tu máme tento.

0:07:43.260,0:07:50.433
To bude 'b' plus 'c' minus 'a'…

0:07:50.718,0:07:52.833
Posunu se trochu doprava.

0:07:53.037,0:07:58.266
… krát 'b' plus 'c' minus 'a',[br]to je 'x' plus 'y'

0:07:58.488,0:08:02.580
krát ['b' minus ('c' minus 'a')].

0:08:02.730,0:08:06.931
To je stejné jako[br]'b' minus 'c' plus 'a'.

0:08:08.782,0:08:13.409
To je 'b' minus ('c' minus 'a'), že?

0:08:13.635,0:08:14.446
Dobrá.

0:08:14.570,0:08:19.643
A to celé lomeno 4.

0:08:20.330,0:08:22.905
Teď můžu přepsat celý výraz.

0:08:23.557,0:08:25.303
Nechci se připravit o prostor.

0:08:25.599,0:08:28.800
To celé mohu přepsat jako…

0:08:29.610,0:08:35.919
4 je součin 2 krát 2.

0:08:36.149,0:08:40.958
Celý výraz pro obsah byl právě,[br]pravděpodobně, zjednodušen na…

0:08:41.571,0:08:45.345
Je roven odmocnině…[br]… a to je vlastně cílová rovinka…

0:08:45.797,0:08:55.471
… tohoto zde, což můžu přepsat jako [br]('a' plus 'b' plus 'c') lomeno 2.

0:08:55.683,0:08:57.389
To je tento výraz.

0:08:57.600,0:08:59.930
Krát tento výraz.

0:09:00.494,0:09:02.226
Krát tento výraz.

0:09:02.422,0:09:04.188
A zjednoduším to.

0:09:04.321,0:09:12.795
'c' plus 'a' minus 'b' je to stejné jako[br]'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'b'.

0:09:12.992,0:09:14.606
Tyto výrazy jsou stejné, že?

0:09:14.810,0:09:21.785
Máte 'a', máte 'c'[br]a pak 'b' minus 2 'b' je rovno minus 'b'.

0:09:21.976,0:09:24.565
Že? 'b' minus 2 'b' je rovno minus 'b'.

0:09:24.750,0:09:31.879
Takže tento výraz bude[br]'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'b',

0:09:32.276,0:09:34.068
lomeno 2.

0:09:34.239,0:09:39.531
Nebo místo toho napíšu tohle lomeno 2[br]minus tohle lomeno 2.

0:09:40.372,0:09:43.636
A pak náš další výraz zde.

0:09:43.809,0:09:45.845
Stejný postup.

0:09:46.024,0:09:55.121
To je stejné jako[br]'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'a',

0:09:55.257,0:09:56.624
to celé lomeno 2, že?

0:09:56.770,0:09:59.858
Přičteme-li -2 'a' k 'a',[br]dostaneme minus 'a'.

0:09:59.960,0:10:01.961
Dostaneme 'b' plus 'c' minus 'a'.

0:10:02.040,0:10:03.553
To jsou stejné výrazy.

0:10:03.798,0:10:06.821
Takže to celé lomeno 2,[br]nebo můžeme rozdělit čitatel,

0:10:06.950,0:10:08.692
přesně takto… lomeno 2.

0:10:08.921,0:10:10.584
A pak poslední výraz.

0:10:10.832,0:10:15.863
A už můžete rozpoznávat Heronovo pravidlo.

0:10:16.277,0:10:19.283
Ne Heronovo pravidlo,[br]ale Heronův vzorec.

0:10:19.485,0:10:22.548
Ten výraz zde je stejný jako

0:10:22.731,0:10:27.632
'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'c', že?

0:10:27.860,0:10:30.684
Odečtete 2 'c' od 'c',[br]dostanete minus 'c',

0:10:30.853,0:10:32.390
pak vám zbyde 'a' a 'b'.

0:10:32.640,0:10:34.133
A to celé lomeno 2.

0:10:34.697,0:10:37.396
Můžete napsat tohle lomeno 2[br]minus tamto lomeno 2.

0:10:37.522,0:10:41.317
A samozřejmě to celé[br]pod druhou odmocninou.

0:10:41.516,0:10:52.896
Teď pokud zadefinujeme 'S' rovno[br]'a' plus 'b' plus 'c' lomeno 2,

0:10:53.284,0:10:55.531
pak se výraz opět velmi zjednoduší.

0:10:55.710,0:10:57.400
Tohle je 'S'.

0:10:57.667,0:10:59.821
Támhle to je 'S'.

0:11:00.121,0:11:01.526
Támhle to je 'S'.

0:11:02.021,0:11:03.657
A tohle je 'S'.

0:11:03.936,0:11:06.603
A tohle se také mnohem zjednoduší.

0:11:07.615,0:11:11.629
Minus 2 'b' lomeno 2,[br]to bude stejné jako minus 'b'.

0:11:11.863,0:11:14.333
Minus 2 'a' lomeno 2,[br]to bude stejné jako minus 'a'.

0:11:14.565,0:11:17.026
Minus 2 'c' lomeno 2,[br]to bude stejné jako minus 'c'.

0:11:17.220,0:11:23.215
Celý náš vzorec pro obsah bude roven…

0:11:23.400,0:11:24.471
Jen přepíšu odmocninu.

0:11:24.735,0:11:28.766
Odmocnina z 'S'…

0:11:29.468,0:11:32.901
To je tohle zde.

0:11:33.067,0:11:34.339
Udělám to stejnou barvou.

0:11:34.520,0:11:39.186
… krát ('S' minus 'b')

0:11:39.420,0:11:45.762
krát ('S' minus 'a')

0:11:45.978,0:11:52.144
krát… a jsme na konci… ('S' minus 'c').

0:11:52.384,0:11:54.391
A dokázali jsme,

0:11:54.598,0:11:59.301
že Heronův vzorec je stejný jako to,[br]co jsme ukázali na konci minulého videa.

0:11:59.569,0:12:02.143
Takže to bylo docela hezké.

0:12:02.320,0:12:07.172
Jen jsme museli dělat algebraické úpravy,[br]abychom to dokázali.