1
00:00:00,674 --> 00:00:05,270
V minulém videu jsem tvrdil, že výsledek,
který jsme získali pro obsah trojúhelníku,

2
00:00:05,440 --> 00:00:08,711
který má strany délek 'a', 'b' a 'c',

3
00:00:08,861 --> 00:00:11,626
je roven Heronově vzorci.

4
00:00:11,807 --> 00:00:15,503
V tomto videu vám chci ukázat,
že je to rovno Heronově vzorci,

5
00:00:15,732 --> 00:00:18,676
pomocí algebraických úprav.

6
00:00:18,877 --> 00:00:20,506
Takže nejprve, co chceme udělat…

7
00:00:20,677 --> 00:00:23,430
Dostaňme polovinu 'c' pod odmocninu.

8
00:00:23,590 --> 00:00:30,342
Polovina krát 'c' je to samé jako
odmocnina z ('c' na druhou lomeno 4).

9
00:00:30,480 --> 00:00:32,591
Odmocníte toto,
dostanete polovinu 'c'.

10
00:00:32,811 --> 00:00:35,207
Takže celý tento výraz je roven,

11
00:00:35,348 --> 00:00:40,258
místo znaménka pro odmocninu 
napíšeme odmocnina z…

12
00:00:41,564 --> 00:00:47,160
… 'c' na druhou lomeno 4,
krát tohle všechno.

13
00:00:48,200 --> 00:00:49,530
Zkopíruji to a vložím.

14
00:00:53,040 --> 00:00:55,293
Zkopíruji to a vložím.

15
00:00:55,497 --> 00:00:57,100
Takže krát tohle všechno.

16
00:00:57,230 --> 00:01:01,054
Samozřejmě platí distributivita.

17
00:01:01,160 --> 00:01:03,632
Takže 'c' na druhou lomeno 4,
krát tohle všechno.

18
00:01:03,835 --> 00:01:06,597
Uzavřeme odmocninu.

19
00:01:09,117 --> 00:01:11,420
Roznásobím to tím 'c' na druhou lomeno 4.

20
00:01:11,570 --> 00:01:13,723
Bude to rovno odmocnině…

21
00:01:13,921 --> 00:01:16,552
Bude to hrozné, ale myslím,
že vás to uspokojí,

22
00:01:16,700 --> 00:01:20,313
až uvidíte, jak se to změní na něco
tak jednoduchého jako je Heronův vzorec.

23
00:01:20,470 --> 00:01:23,799
Odmocnina z…
'c' na druhou lomeno 4 krát 'a' na druhou

24
00:01:23,937 --> 00:01:27,844
je 'c' na druhou krát 'a' na druhou
lomeno 4.

25
00:01:28,322 --> 00:01:31,501
Minus 'c' na druhou lomeno 4.

26
00:01:32,725 --> 00:01:33,976
Jen to roznásobuji.

27
00:01:35,225 --> 00:01:38,807
A napíšu to jako čitatel na druhou
lomeno jmenovatel na druhou.

28
00:01:39,039 --> 00:01:45,536
Tedy krát 'c' na druhou plus 'a' na druhou
minus 'b' na druhou, to celé na druhou.

29
00:01:45,711 --> 00:01:52,431
Lomeno… umocním-li jmenovatel na druhou,
pak je to 4 krát ('c' na druhou).

30
00:01:52,723 --> 00:01:55,575
A okamžitě vidíme, že tohle
a tohle 'c' na druhou se vykrátí.

31
00:01:55,731 --> 00:01:58,907
Uzavřu všechny závorky.

32
00:01:59,380 --> 00:02:03,550
A samozřejmě, tohle 4 krát 4,
to bude…

33
00:02:03,746 --> 00:02:04,520
Napíšu to takto.

34
00:02:04,667 --> 00:02:06,450
To je stejné jako 4 na druhou.

35
00:02:06,588 --> 00:02:09,495
A místo toho abych psal 16…
Uvidíte, proč to píšu takto.

36
00:02:09,713 --> 00:02:13,252
Teď můžu tohle přepsat jako…

37
00:02:15,007 --> 00:02:17,116
Tohle bude rovno odmocnině…

38
00:02:17,340 --> 00:02:18,761
… náhodně měním barvy…

39
00:02:19,462 --> 00:02:24,159
… ('ca' lomeno 2) na druhou.

40
00:02:24,390 --> 00:02:25,780
To je to samé jako tohle, že?

41
00:02:25,990 --> 00:02:28,050
Jen to píšu jako něco na druhou.

42
00:02:28,150 --> 00:02:30,201
Kdybych to umocnil, je to
'ca' na druhou

43
00:02:30,310 --> 00:02:31,893
lomeno 2 na druhou - lomeno 4.


44
00:02:32,161 --> 00:02:36,309
Minus… napíšu to jako
nějaký výraz na druhou.

45
00:02:36,498 --> 00:02:44,406
Je to 'c' na druhou plus 'a' na druhou
minus 'b' na druhou lomeno 4.

46
00:02:45,316 --> 00:02:50,871
A umocňujeme čitatel i jmenovatel.

47
00:02:51,361 --> 00:02:53,573
Tohle pro vás může vypadat zajímavě.

48
00:02:53,740 --> 00:02:55,758
Udělám závorky v trochu odlišné barvě.

49
00:02:55,982 --> 00:03:00,235
Můžete si vzpomenout
z rozkladů polynomů na součin,

50
00:03:00,365 --> 00:03:03,213
že mám-li něco ve tvaru
'x' na druhou minus 'y' na druhou,

51
00:03:03,323 --> 00:03:08,417
tak se to rozloží na součin 
('x' plus 'y') krát ('x' minus 'y').

52
00:03:08,520 --> 00:03:10,550
A to budeme používat stále dokola.

53
00:03:10,780 --> 00:03:15,983
Nazvete-li ('ca' lomeno 2) jako 'x'
a celý tento výraz jako 'y',

54
00:03:16,153 --> 00:03:18,939
máme 'x' na druhou minus 'y' na druhou.

55
00:03:19,083 --> 00:03:20,260
Rozložme to na součin.

56
00:03:20,460 --> 00:03:29,432
Takže tohle celé se bude rovnat
odmocnině z ('x' plus 'y'),

57
00:03:29,618 --> 00:03:34,069
v tomto případě 'ca' lomeno 2 plus 'y',

58
00:03:34,219 --> 00:03:40,359
což je 'c' na druhou plus 'a' na druhou
minus 'b' na druhou lomeno 4,

59
00:03:40,731 --> 00:03:43,889
krát ('x' minus 'y').

60
00:03:44,049 --> 00:03:45,297
Tohle je naše 'x'.

61
00:03:45,478 --> 00:03:51,026
'ca' lomeno 2
minus celý tento výraz zde.

62
00:03:51,267 --> 00:03:54,633
Nebo lépe, řeknu plus
a napíšu to jako záporné.

63
00:03:54,798 --> 00:04:01,713
Takže plus -'c' na druhou
minus 'a' na druhou plus 'b' na druhou.

64
00:04:01,913 --> 00:04:04,803
To celé lomeno 4.

65
00:04:05,010 --> 00:04:15,431
Teď jsem jen řekl, že tohle je stejné jako
(toto plus toto) krát (toto minus toto).

66
00:04:15,739 --> 00:04:18,430
Tady jsem řekl plus
záporné tohle.

67
00:04:18,550 --> 00:04:21,689
Takže minus 'c' na druhou
minus 'a' na druhou plus 'b' na druhou.

68
00:04:21,786 --> 00:04:23,843
Udělal jsem jen tohle.

69
00:04:24,136 --> 00:04:26,201
Teď se podívejme,
zda-li to lze zjednodušit.

70
00:04:26,376 --> 00:04:28,576
Nebo jestli zvládneme sečíst tyto zlomky.

71
00:04:28,827 --> 00:04:30,574
Můžeme získat společný jmenovatel.

72
00:04:30,740 --> 00:04:35,163
'ca' lomeno dvěma je stejné jako
2 'ca' lomeno 4.

73
00:04:35,389 --> 00:04:38,602
'ca' lomeno dvěma je stejné jako
2 'ca' lomeno 4.

74
00:04:38,762 --> 00:04:40,814
Jen násobím čitatel i jmenovatel 2.

75
00:04:41,069 --> 00:04:43,960
A teď můžeme sečíst čitatele.

76
00:04:44,170 --> 00:04:53,105
Takže celý náš výraz bude roven
odmocnině z…

77
00:04:53,287 --> 00:04:56,337
První výraz bude… a napíšu to takto.

78
00:04:56,460 --> 00:05:08,563
Napíšu 'c' na druhou plus 2 'ca'
plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou,

79
00:05:08,703 --> 00:05:11,235
to celé lomeno 4.

80
00:05:11,804 --> 00:05:13,579
To je náš první výraz.

81
00:05:13,791 --> 00:05:17,780
A náš druhý výraz bude…

82
00:05:18,008 --> 00:05:20,866
Celé to bude lomeno 4,
takže to napíšu rovnou.

83
00:05:21,070 --> 00:05:22,039
To celé lomeno 4.

84
00:05:22,326 --> 00:05:23,708
Můžeme to napsat jako

85
00:05:23,891 --> 00:05:42,956
'b' na druhou minus ('c' na druhou
minus 2 'ca' plus 'a' na druhou).

86
00:05:43,588 --> 00:05:46,250
Jen se ujistím,
mám minus 'a' na druhou tady.

87
00:05:46,471 --> 00:05:49,320
Plus krát (-1), stále je to
minus 'a' na druhou.

88
00:05:49,552 --> 00:05:51,338
Mám plus 2 'ca' zde.

89
00:05:51,490 --> 00:05:53,870
Minus krát minus, to je plus 2 'ca'.

90
00:05:54,035 --> 00:05:55,430
Mám minus 'c' na druhou zde.

91
00:05:55,597 --> 00:05:57,055
A mám minus 'c' na druhou zde.

92
00:05:57,170 --> 00:06:00,223
Takže tyto dva výrazy jsou si rovny.

93
00:06:00,408 --> 00:06:05,430
Další věc kterou musíme rozpoznat,
nebo spíš snad rozpoznáme,

94
00:06:05,726 --> 00:06:10,422
že tento výraz zde…
… teď to může být trochu nepřehledné…

95
00:06:10,616 --> 00:06:13,276
… je stejný jako ('c' plus 'a') na druhou.

96
00:06:13,490 --> 00:06:14,237
Napíšu to.

97
00:06:14,350 --> 00:06:20,297
To je rovno odmocnině z…

98
00:06:20,476 --> 00:06:29,501
Tohle je ('c' plus 'a') na druhou
minus 'b' na druhou, to celé lomeno 4.

99
00:06:29,787 --> 00:06:31,188
To je první výraz.

100
00:06:31,382 --> 00:06:32,712
Teď druhý výraz.

101
00:06:32,957 --> 00:06:35,659
Tohle zde je stejné jako
('c' minus 'a') na druhou.

102
00:06:35,880 --> 00:06:42,965
Takže se to zjednoduší na 'b' na druhou
minus ('c' minus 'a') na druhou,

103
00:06:43,378 --> 00:06:47,298
to celé lomeno 4.

104
00:06:47,494 --> 00:06:48,910
Takže postupujeme vpřed.

105
00:06:49,070 --> 00:06:51,723
Jak jsem říkal, je to děsná úloha.

106
00:06:51,830 --> 00:06:54,700
Ale vidíme krásné využití
rozkladu polynomů na součin

107
00:06:54,860 --> 00:06:59,725
a vidíme, jak se zdánlivě otřesný výraz
může změnit na mnohem snazší.

108
00:06:59,887 --> 00:07:02,491
Teď využijeme té samé vlastnosti,
máme tu vzor,

109
00:07:02,662 --> 00:07:06,833
něco na druhou
minus něco jiného na druhou.

110
00:07:07,303 --> 00:07:09,512
Takže to rozložíme na součin
na jeden řádek.

111
00:07:09,680 --> 00:07:11,500
Takže to bude rovno…

112
00:07:11,709 --> 00:07:13,930
Napíšu to menší, aby mi nedošlo místo.

113
00:07:14,080 --> 00:07:15,126
… odmocnině.

114
00:07:15,302 --> 00:07:19,661
To se rozloží na tohle plus tohle.

115
00:07:19,851 --> 00:07:29,728
Takže 'c' plus 'a' plus 'b'
krát 'c' plus 'a' minus 'b', že?

116
00:07:29,850 --> 00:07:31,898
Je to stejný postup jako jsem dělal zde.

117
00:07:32,030 --> 00:07:34,136
Tohle je 'x' na druhou,
tohle 'y' na druhou.

118
00:07:34,283 --> 00:07:41,497
Takže 'c' plus 'a' minus 'b',
to celé lomeno 4.

119
00:07:41,687 --> 00:07:43,121
A pak tu máme tento.

120
00:07:43,260 --> 00:07:50,433
To bude 'b' plus 'c' minus 'a'…

121
00:07:50,718 --> 00:07:52,833
Posunu se trochu doprava.

122
00:07:53,037 --> 00:07:58,266
… krát 'b' plus 'c' minus 'a',
to je 'x' plus 'y'

123
00:07:58,488 --> 00:08:02,580
krát ['b' minus ('c' minus 'a')].

124
00:08:02,730 --> 00:08:06,931
To je stejné jako
'b' minus 'c' plus 'a'.

125
00:08:08,782 --> 00:08:13,409
To je 'b' minus ('c' minus 'a'), že?

126
00:08:13,635 --> 00:08:14,446
Dobrá.

127
00:08:14,570 --> 00:08:19,643
A to celé lomeno 4.

128
00:08:20,330 --> 00:08:22,905
Teď můžu přepsat celý výraz.

129
00:08:23,557 --> 00:08:25,303
Nechci se připravit o prostor.

130
00:08:25,599 --> 00:08:28,800
To celé mohu přepsat jako…

131
00:08:29,610 --> 00:08:35,919
4 je součin 2 krát 2.

132
00:08:36,149 --> 00:08:40,958
Celý výraz pro obsah byl právě,
pravděpodobně, zjednodušen na…

133
00:08:41,571 --> 00:08:45,345
Je roven odmocnině…
… a to je vlastně cílová rovinka…

134
00:08:45,797 --> 00:08:55,471
… tohoto zde, což můžu přepsat jako 
('a' plus 'b' plus 'c') lomeno 2.

135
00:08:55,683 --> 00:08:57,389
To je tento výraz.

136
00:08:57,600 --> 00:08:59,930
Krát tento výraz.

137
00:09:00,494 --> 00:09:02,226
Krát tento výraz.

138
00:09:02,422 --> 00:09:04,188
A zjednoduším to.

139
00:09:04,321 --> 00:09:12,795
'c' plus 'a' minus 'b' je to stejné jako
'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'b'.

140
00:09:12,992 --> 00:09:14,606
Tyto výrazy jsou stejné, že?

141
00:09:14,810 --> 00:09:21,785
Máte 'a', máte 'c'
a pak 'b' minus 2 'b' je rovno minus 'b'.

142
00:09:21,976 --> 00:09:24,565
Že? 'b' minus 2 'b' je rovno minus 'b'.

143
00:09:24,750 --> 00:09:31,879
Takže tento výraz bude
'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'b',

144
00:09:32,276 --> 00:09:34,068
lomeno 2.

145
00:09:34,239 --> 00:09:39,531
Nebo místo toho napíšu tohle lomeno 2
minus tohle lomeno 2.

146
00:09:40,372 --> 00:09:43,636
A pak náš další výraz zde.

147
00:09:43,809 --> 00:09:45,845
Stejný postup.

148
00:09:46,024 --> 00:09:55,121
To je stejné jako
'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'a',

149
00:09:55,257 --> 00:09:56,624
to celé lomeno 2, že?

150
00:09:56,770 --> 00:09:59,858
Přičteme-li -2 'a' k 'a',
dostaneme minus 'a'.

151
00:09:59,960 --> 00:10:01,961
Dostaneme 'b' plus 'c' minus 'a'.

152
00:10:02,040 --> 00:10:03,553
To jsou stejné výrazy.

153
00:10:03,798 --> 00:10:06,821
Takže to celé lomeno 2,
nebo můžeme rozdělit čitatel,

154
00:10:06,950 --> 00:10:08,692
přesně takto… lomeno 2.

155
00:10:08,921 --> 00:10:10,584
A pak poslední výraz.

156
00:10:10,832 --> 00:10:15,863
A už můžete rozpoznávat Heronovo pravidlo.

157
00:10:16,277 --> 00:10:19,283
Ne Heronovo pravidlo,
ale Heronův vzorec.

158
00:10:19,485 --> 00:10:22,548
Ten výraz zde je stejný jako

159
00:10:22,731 --> 00:10:27,632
'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'c', že?

160
00:10:27,860 --> 00:10:30,684
Odečtete 2 'c' od 'c',
dostanete minus 'c',

161
00:10:30,853 --> 00:10:32,390
pak vám zbyde 'a' a 'b'.

162
00:10:32,640 --> 00:10:34,133
A to celé lomeno 2.

163
00:10:34,697 --> 00:10:37,396
Můžete napsat tohle lomeno 2
minus tamto lomeno 2.

164
00:10:37,522 --> 00:10:41,317
A samozřejmě to celé
pod druhou odmocninou.

165
00:10:41,516 --> 00:10:52,896
Teď pokud zadefinujeme 'S' rovno
'a' plus 'b' plus 'c' lomeno 2,

166
00:10:53,284 --> 00:10:55,531
pak se výraz opět velmi zjednoduší.

167
00:10:55,710 --> 00:10:57,400
Tohle je 'S'.

168
00:10:57,667 --> 00:10:59,821
Támhle to je 'S'.

169
00:11:00,121 --> 00:11:01,526
Támhle to je 'S'.

170
00:11:02,021 --> 00:11:03,657
A tohle je 'S'.

171
00:11:03,936 --> 00:11:06,603
A tohle se také mnohem zjednoduší.

172
00:11:07,615 --> 00:11:11,629
Minus 2 'b' lomeno 2,
to bude stejné jako minus 'b'.

173
00:11:11,863 --> 00:11:14,333
Minus 2 'a' lomeno 2,
to bude stejné jako minus 'a'.

174
00:11:14,565 --> 00:11:17,026
Minus 2 'c' lomeno 2,
to bude stejné jako minus 'c'.

175
00:11:17,220 --> 00:11:23,215
Celý náš vzorec pro obsah bude roven…

176
00:11:23,400 --> 00:11:24,471
Jen přepíšu odmocninu.

177
00:11:24,735 --> 00:11:28,766
Odmocnina z 'S'…

178
00:11:29,468 --> 00:11:32,901
To je tohle zde.

179
00:11:33,067 --> 00:11:34,339
Udělám to stejnou barvou.

180
00:11:34,520 --> 00:11:39,186
… krát ('S' minus 'b')

181
00:11:39,420 --> 00:11:45,762
krát ('S' minus 'a')

182
00:11:45,978 --> 00:11:52,144
krát… a jsme na konci… ('S' minus 'c').

183
00:11:52,384 --> 00:11:54,391
A dokázali jsme,

184
00:11:54,598 --> 00:11:59,301
že Heronův vzorec je stejný jako to,
co jsme ukázali na konci minulého videa.

185
00:11:59,569 --> 00:12:02,143
Takže to bylo docela hezké.

186
00:12:02,320 --> 00:12:07,172
Jen jsme museli dělat algebraické úpravy,
abychom to dokázali.