WEBVTT 00:00:00.674 --> 00:00:05.270 V minulém videu jsem tvrdil, že výsledek, který jsme získali pro obsah trojúhelníku, 00:00:05.440 --> 00:00:08.711 který má strany délek 'a', 'b' a 'c', 00:00:08.861 --> 00:00:11.626 je roven Heronově vzorci. 00:00:11.807 --> 00:00:15.503 V tomto videu vám chci ukázat, že je to rovno Heronově vzorci, 00:00:15.732 --> 00:00:18.676 pomocí algebraických úprav. 00:00:18.877 --> 00:00:20.506 Takže nejprve, co chceme udělat… 00:00:20.677 --> 00:00:23.430 Dostaňme polovinu 'c' pod odmocninu. 00:00:23.590 --> 00:00:30.342 Polovina krát 'c' je to samé jako odmocnina z ('c' na druhou lomeno 4). 00:00:30.480 --> 00:00:32.591 Odmocníte toto, dostanete polovinu 'c'. 00:00:32.811 --> 00:00:35.207 Takže celý tento výraz je roven, 00:00:35.348 --> 00:00:40.258 místo znaménka pro odmocninu napíšeme odmocnina z… 00:00:41.564 --> 00:00:47.160 … 'c' na druhou lomeno 4, krát tohle všechno. 00:00:48.200 --> 00:00:49.530 Zkopíruji to a vložím. 00:00:53.040 --> 00:00:55.293 Zkopíruji to a vložím. 00:00:55.497 --> 00:00:57.100 Takže krát tohle všechno. 00:00:57.230 --> 00:01:01.054 Samozřejmě platí distributivita. 00:01:01.160 --> 00:01:03.632 Takže 'c' na druhou lomeno 4, krát tohle všechno. 00:01:03.835 --> 00:01:06.597 Uzavřeme odmocninu. 00:01:09.117 --> 00:01:11.420 Roznásobím to tím 'c' na druhou lomeno 4. 00:01:11.570 --> 00:01:13.723 Bude to rovno odmocnině… 00:01:13.921 --> 00:01:16.552 Bude to hrozné, ale myslím, že vás to uspokojí, 00:01:16.700 --> 00:01:20.313 až uvidíte, jak se to změní na něco tak jednoduchého jako je Heronův vzorec. 00:01:20.470 --> 00:01:23.799 Odmocnina z… 'c' na druhou lomeno 4 krát 'a' na druhou 00:01:23.937 --> 00:01:27.844 je 'c' na druhou krát 'a' na druhou lomeno 4. 00:01:28.322 --> 00:01:31.501 Minus 'c' na druhou lomeno 4. 00:01:32.725 --> 00:01:33.976 Jen to roznásobuji. 00:01:35.225 --> 00:01:38.807 A napíšu to jako čitatel na druhou lomeno jmenovatel na druhou. 00:01:39.039 --> 00:01:45.536 Tedy krát 'c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou, to celé na druhou. 00:01:45.711 --> 00:01:52.431 Lomeno… umocním-li jmenovatel na druhou, pak je to 4 krát ('c' na druhou). 00:01:52.723 --> 00:01:55.575 A okamžitě vidíme, že tohle a tohle 'c' na druhou se vykrátí. 00:01:55.731 --> 00:01:58.907 Uzavřu všechny závorky. 00:01:59.380 --> 00:02:03.550 A samozřejmě, tohle 4 krát 4, to bude… 00:02:03.746 --> 00:02:04.520 Napíšu to takto. 00:02:04.667 --> 00:02:06.450 To je stejné jako 4 na druhou. 00:02:06.588 --> 00:02:09.495 A místo toho abych psal 16… Uvidíte, proč to píšu takto. 00:02:09.713 --> 00:02:13.252 Teď můžu tohle přepsat jako… 00:02:15.007 --> 00:02:17.116 Tohle bude rovno odmocnině… 00:02:17.340 --> 00:02:18.761 … náhodně měním barvy… 00:02:19.462 --> 00:02:24.159 … ('ca' lomeno 2) na druhou. 00:02:24.390 --> 00:02:25.780 To je to samé jako tohle, že? 00:02:25.990 --> 00:02:28.050 Jen to píšu jako něco na druhou. 00:02:28.150 --> 00:02:30.201 Kdybych to umocnil, je to 'ca' na druhou 00:02:30.310 --> 00:02:31.893 lomeno 2 na druhou - lomeno 4. 00:02:32.161 --> 00:02:36.309 Minus… napíšu to jako nějaký výraz na druhou. 00:02:36.498 --> 00:02:44.406 Je to 'c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou lomeno 4. 00:02:45.316 --> 00:02:50.871 A umocňujeme čitatel i jmenovatel. 00:02:51.361 --> 00:02:53.573 Tohle pro vás může vypadat zajímavě. 00:02:53.740 --> 00:02:55.758 Udělám závorky v trochu odlišné barvě. 00:02:55.982 --> 00:03:00.235 Můžete si vzpomenout z rozkladů polynomů na součin, 00:03:00.365 --> 00:03:03.213 že mám-li něco ve tvaru 'x' na druhou minus 'y' na druhou, 00:03:03.323 --> 00:03:08.417 tak se to rozloží na součin ('x' plus 'y') krát ('x' minus 'y'). 00:03:08.520 --> 00:03:10.550 A to budeme používat stále dokola. 00:03:10.780 --> 00:03:15.983 Nazvete-li ('ca' lomeno 2) jako 'x' a celý tento výraz jako 'y', 00:03:16.153 --> 00:03:18.939 máme 'x' na druhou minus 'y' na druhou. 00:03:19.083 --> 00:03:20.260 Rozložme to na součin. 00:03:20.460 --> 00:03:29.432 Takže tohle celé se bude rovnat odmocnině z ('x' plus 'y'), 00:03:29.618 --> 00:03:34.069 v tomto případě 'ca' lomeno 2 plus 'y', 00:03:34.219 --> 00:03:40.359 což je 'c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou lomeno 4, 00:03:40.731 --> 00:03:43.889 krát ('x' minus 'y'). 00:03:44.049 --> 00:03:45.297 Tohle je naše 'x'. 00:03:45.478 --> 00:03:51.026 'ca' lomeno 2 minus celý tento výraz zde. 00:03:51.267 --> 00:03:54.633 Nebo lépe, řeknu plus a napíšu to jako záporné. 00:03:54.798 --> 00:04:01.713 Takže plus -'c' na druhou minus 'a' na druhou plus 'b' na druhou. 00:04:01.913 --> 00:04:04.803 To celé lomeno 4. 00:04:05.010 --> 00:04:15.431 Teď jsem jen řekl, že tohle je stejné jako (toto plus toto) krát (toto minus toto). 00:04:15.739 --> 00:04:18.430 Tady jsem řekl plus záporné tohle. 00:04:18.550 --> 00:04:21.689 Takže minus 'c' na druhou minus 'a' na druhou plus 'b' na druhou. 00:04:21.786 --> 00:04:23.843 Udělal jsem jen tohle. 00:04:24.136 --> 00:04:26.201 Teď se podívejme, zda-li to lze zjednodušit. 00:04:26.376 --> 00:04:28.576 Nebo jestli zvládneme sečíst tyto zlomky. 00:04:28.827 --> 00:04:30.574 Můžeme získat společný jmenovatel. 00:04:30.740 --> 00:04:35.163 'ca' lomeno dvěma je stejné jako 2 'ca' lomeno 4. 00:04:35.389 --> 00:04:38.602 'ca' lomeno dvěma je stejné jako 2 'ca' lomeno 4. 00:04:38.762 --> 00:04:40.814 Jen násobím čitatel i jmenovatel 2. 00:04:41.069 --> 00:04:43.960 A teď můžeme sečíst čitatele. 00:04:44.170 --> 00:04:53.105 Takže celý náš výraz bude roven odmocnině z… 00:04:53.287 --> 00:04:56.337 První výraz bude… a napíšu to takto. 00:04:56.460 --> 00:05:08.563 Napíšu 'c' na druhou plus 2 'ca' plus 'a' na druhou minus 'b' na druhou, 00:05:08.703 --> 00:05:11.235 to celé lomeno 4. 00:05:11.804 --> 00:05:13.579 To je náš první výraz. 00:05:13.791 --> 00:05:17.780 A náš druhý výraz bude… 00:05:18.008 --> 00:05:20.866 Celé to bude lomeno 4, takže to napíšu rovnou. 00:05:21.070 --> 00:05:22.039 To celé lomeno 4. 00:05:22.326 --> 00:05:23.708 Můžeme to napsat jako 00:05:23.891 --> 00:05:42.956 'b' na druhou minus ('c' na druhou minus 2 'ca' plus 'a' na druhou). 00:05:43.588 --> 00:05:46.250 Jen se ujistím, mám minus 'a' na druhou tady. 00:05:46.471 --> 00:05:49.320 Plus krát (-1), stále je to minus 'a' na druhou. 00:05:49.552 --> 00:05:51.338 Mám plus 2 'ca' zde. 00:05:51.490 --> 00:05:53.870 Minus krát minus, to je plus 2 'ca'. 00:05:54.035 --> 00:05:55.430 Mám minus 'c' na druhou zde. 00:05:55.597 --> 00:05:57.055 A mám minus 'c' na druhou zde. 00:05:57.170 --> 00:06:00.223 Takže tyto dva výrazy jsou si rovny. 00:06:00.408 --> 00:06:05.430 Další věc kterou musíme rozpoznat, nebo spíš snad rozpoznáme, 00:06:05.726 --> 00:06:10.422 že tento výraz zde… … teď to může být trochu nepřehledné… 00:06:10.616 --> 00:06:13.276 … je stejný jako ('c' plus 'a') na druhou. 00:06:13.490 --> 00:06:14.237 Napíšu to. 00:06:14.350 --> 00:06:20.297 To je rovno odmocnině z… 00:06:20.476 --> 00:06:29.501 Tohle je ('c' plus 'a') na druhou minus 'b' na druhou, to celé lomeno 4. 00:06:29.787 --> 00:06:31.188 To je první výraz. 00:06:31.382 --> 00:06:32.712 Teď druhý výraz. 00:06:32.957 --> 00:06:35.659 Tohle zde je stejné jako ('c' minus 'a') na druhou. 00:06:35.880 --> 00:06:42.965 Takže se to zjednoduší na 'b' na druhou minus ('c' minus 'a') na druhou, 00:06:43.378 --> 00:06:47.298 to celé lomeno 4. 00:06:47.494 --> 00:06:48.910 Takže postupujeme vpřed. 00:06:49.070 --> 00:06:51.723 Jak jsem říkal, je to děsná úloha. 00:06:51.830 --> 00:06:54.700 Ale vidíme krásné využití rozkladu polynomů na součin 00:06:54.860 --> 00:06:59.725 a vidíme, jak se zdánlivě otřesný výraz může změnit na mnohem snazší. 00:06:59.887 --> 00:07:02.491 Teď využijeme té samé vlastnosti, máme tu vzor, 00:07:02.662 --> 00:07:06.833 něco na druhou minus něco jiného na druhou. 00:07:07.303 --> 00:07:09.512 Takže to rozložíme na součin na jeden řádek. 00:07:09.680 --> 00:07:11.500 Takže to bude rovno… 00:07:11.709 --> 00:07:13.930 Napíšu to menší, aby mi nedošlo místo. 00:07:14.080 --> 00:07:15.126 … odmocnině. 00:07:15.302 --> 00:07:19.661 To se rozloží na tohle plus tohle. 00:07:19.851 --> 00:07:29.728 Takže 'c' plus 'a' plus 'b' krát 'c' plus 'a' minus 'b', že? 00:07:29.850 --> 00:07:31.898 Je to stejný postup jako jsem dělal zde. 00:07:32.030 --> 00:07:34.136 Tohle je 'x' na druhou, tohle 'y' na druhou. 00:07:34.283 --> 00:07:41.497 Takže 'c' plus 'a' minus 'b', to celé lomeno 4. 00:07:41.687 --> 00:07:43.121 A pak tu máme tento. 00:07:43.260 --> 00:07:50.433 To bude 'b' plus 'c' minus 'a'… 00:07:50.718 --> 00:07:52.833 Posunu se trochu doprava. 00:07:53.037 --> 00:07:58.266 … krát 'b' plus 'c' minus 'a', to je 'x' plus 'y' 00:07:58.488 --> 00:08:02.580 krát ['b' minus ('c' minus 'a')]. 00:08:02.730 --> 00:08:06.931 To je stejné jako 'b' minus 'c' plus 'a'. 00:08:08.782 --> 00:08:13.409 To je 'b' minus ('c' minus 'a'), že? 00:08:13.635 --> 00:08:14.446 Dobrá. 00:08:14.570 --> 00:08:19.643 A to celé lomeno 4. 00:08:20.330 --> 00:08:22.905 Teď můžu přepsat celý výraz. 00:08:23.557 --> 00:08:25.303 Nechci se připravit o prostor. 00:08:25.599 --> 00:08:28.800 To celé mohu přepsat jako… 00:08:29.610 --> 00:08:35.919 4 je součin 2 krát 2. 00:08:36.149 --> 00:08:40.958 Celý výraz pro obsah byl právě, pravděpodobně, zjednodušen na… 00:08:41.571 --> 00:08:45.345 Je roven odmocnině… … a to je vlastně cílová rovinka… 00:08:45.797 --> 00:08:55.471 … tohoto zde, což můžu přepsat jako ('a' plus 'b' plus 'c') lomeno 2. 00:08:55.683 --> 00:08:57.389 To je tento výraz. 00:08:57.600 --> 00:08:59.930 Krát tento výraz. 00:09:00.494 --> 00:09:02.226 Krát tento výraz. 00:09:02.422 --> 00:09:04.188 A zjednoduším to. 00:09:04.321 --> 00:09:12.795 'c' plus 'a' minus 'b' je to stejné jako 'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'b'. 00:09:12.992 --> 00:09:14.606 Tyto výrazy jsou stejné, že? 00:09:14.810 --> 00:09:21.785 Máte 'a', máte 'c' a pak 'b' minus 2 'b' je rovno minus 'b'. 00:09:21.976 --> 00:09:24.565 Že? 'b' minus 2 'b' je rovno minus 'b'. 00:09:24.750 --> 00:09:31.879 Takže tento výraz bude 'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'b', 00:09:32.276 --> 00:09:34.068 lomeno 2. 00:09:34.239 --> 00:09:39.531 Nebo místo toho napíšu tohle lomeno 2 minus tohle lomeno 2. 00:09:40.372 --> 00:09:43.636 A pak náš další výraz zde. 00:09:43.809 --> 00:09:45.845 Stejný postup. 00:09:46.024 --> 00:09:55.121 To je stejné jako 'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'a', 00:09:55.257 --> 00:09:56.624 to celé lomeno 2, že? 00:09:56.770 --> 00:09:59.858 Přičteme-li -2 'a' k 'a', dostaneme minus 'a'. 00:09:59.960 --> 00:10:01.961 Dostaneme 'b' plus 'c' minus 'a'. 00:10:02.040 --> 00:10:03.553 To jsou stejné výrazy. 00:10:03.798 --> 00:10:06.821 Takže to celé lomeno 2, nebo můžeme rozdělit čitatel, 00:10:06.950 --> 00:10:08.692 přesně takto… lomeno 2. 00:10:08.921 --> 00:10:10.584 A pak poslední výraz. 00:10:10.832 --> 00:10:15.863 A už můžete rozpoznávat Heronovo pravidlo. 00:10:16.277 --> 00:10:19.283 Ne Heronovo pravidlo, ale Heronův vzorec. 00:10:19.485 --> 00:10:22.548 Ten výraz zde je stejný jako 00:10:22.731 --> 00:10:27.632 'a' plus 'b' plus 'c' minus 2 'c', že? 00:10:27.860 --> 00:10:30.684 Odečtete 2 'c' od 'c', dostanete minus 'c', 00:10:30.853 --> 00:10:32.390 pak vám zbyde 'a' a 'b'. 00:10:32.640 --> 00:10:34.133 A to celé lomeno 2. 00:10:34.697 --> 00:10:37.396 Můžete napsat tohle lomeno 2 minus tamto lomeno 2. 00:10:37.522 --> 00:10:41.317 A samozřejmě to celé pod druhou odmocninou. 00:10:41.516 --> 00:10:52.896 Teď pokud zadefinujeme 'S' rovno 'a' plus 'b' plus 'c' lomeno 2, 00:10:53.284 --> 00:10:55.531 pak se výraz opět velmi zjednoduší. 00:10:55.710 --> 00:10:57.400 Tohle je 'S'. 00:10:57.667 --> 00:10:59.821 Támhle to je 'S'. 00:11:00.121 --> 00:11:01.526 Támhle to je 'S'. 00:11:02.021 --> 00:11:03.657 A tohle je 'S'. 00:11:03.936 --> 00:11:06.603 A tohle se také mnohem zjednoduší. 00:11:07.615 --> 00:11:11.629 Minus 2 'b' lomeno 2, to bude stejné jako minus 'b'. 00:11:11.863 --> 00:11:14.333 Minus 2 'a' lomeno 2, to bude stejné jako minus 'a'. 00:11:14.565 --> 00:11:17.026 Minus 2 'c' lomeno 2, to bude stejné jako minus 'c'. 00:11:17.220 --> 00:11:23.215 Celý náš vzorec pro obsah bude roven… 00:11:23.400 --> 00:11:24.471 Jen přepíšu odmocninu. 00:11:24.735 --> 00:11:28.766 Odmocnina z 'S'… 00:11:29.468 --> 00:11:32.901 To je tohle zde. 00:11:33.067 --> 00:11:34.339 Udělám to stejnou barvou. 00:11:34.520 --> 00:11:39.186 … krát ('S' minus 'b') 00:11:39.420 --> 00:11:45.762 krát ('S' minus 'a') 00:11:45.978 --> 00:11:52.144 krát… a jsme na konci… ('S' minus 'c'). 00:11:52.384 --> 00:11:54.391 A dokázali jsme, 00:11:54.598 --> 00:11:59.301 že Heronův vzorec je stejný jako to, co jsme ukázali na konci minulého videa. 00:11:59.569 --> 00:12:02.143 Takže to bylo docela hezké. 00:12:02.320 --> 00:12:07.172 Jen jsme museli dělat algebraické úpravy, abychom to dokázali.