-
Mamy taki oto kwadrat.
-
Kwadrat ma wszystkie boki równe
oraz wszystkie kąty proste.
-
O kątach jeszcze nie mówiłem,
ale kąty są tu kątami prostymi.
-
Zaznaczam je tak.
-
To znaczy, że jeśli ten bok jest idealnie poziomy,
to ten musi być idealnie pionowy.
-
To właśnie kąt prosty.
-
Powiedzmy, że dolny bok ma długość 8 metrów.
-
Ten tutaj.
-
To jest kwadrat.
-
Pytanie brzmi: jakie pole ma ten kwadrat.
-
Pole określa, ile miejsca zajmuje figura
– w tym przypadku na ekranie.
-
To miara ilości miejsca, jaką zajmuje
dwuwymiarowy obiekt na płaszczyźnie.
-
Tą płaszczyzną może być ekran komputera,
kartka papieru albo coś innego.
-
To problem typu: macie pokój
o wymiarach 8 na 8 metrów
-
i musicie wiedzieć, ile kupić wykładziny.
-
Czyli ile miejsca zajmuje płaszczyzna podłogi.
-
A więc pole to powierzchnia,
jaką zajmuje figura.
-
Dla kwadratu bardzo łatwo je policzyć.
-
To podstawa razy wysokość.
-
Tak liczy się pole każdego prostokąta,
ale to jest kwadrat.
-
Więc tu też będzie 8 metrów.
-
Pole będzie równe 8 metrów razy 8 metrów…
-
8 * 8 = 64…
-
a metr razy metr – jednostki też się mnoży
– to będzie metr kwadratowy (m²).
-
czyli 64 metry kwadratowe.
-
Zapytacie: a gdzie są te 64 m²?
-
Podzielę go tutaj.
-
Narysuję większy od poprzedniego.
-
Powinienem był narysować taki od razu.
-
Powiedzmy, że to ten sam kwadrat.
-
Najpierw go przepołowię.
-
Znowu na pół.
-
Wszystko, właśnie tak.
-
I jeszcze raz wszystko na pół.
-
W taki sposób.
-
I poziomo.
-
Gotowe.
-
Zrobiłem to, żeby uwidocznić
długość podstawy i wysokości.
-
Podstawa ma 8 metrów, popatrzcie:
-
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrów.
-
Taką samą długość ma ten bok:
-
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrów.
-
Tę liczbę, 64, otrzymalibyśmy,
gdybyśmy policzyli wszystkie te kratki.
-
Metr kwadratowy to jednostka
dwuwymiarowa.
-
Każdy bok ma jeden metr:
1 metr… i 1 metr.
-
To, co zamazuję na żółto,
to właśnie metr kwadratowy.
-
Policzmy, ile ich jest.
-
W każdym rzędzie mamy:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 m².
-
Mamy 8 takich rzędów,
więc jest tu 8 razy 8 m², czyli 64 m².
-
Gdybyśmy policzyli je ręcznie,
wyszłoby nam 64.
-
A co, gdybym zapytał was o obwód?
-
Obwód mojego kwadratu?
-
Obwód to dystans przebyty wokół figury.
-
Nie określi ilości wykładziny,
ale podpowie
-
ile kupić listew przypodłogowych
do wykończenia tej wykładziny.
-
A jeśli to wasza działka,
ile siatki ogrodzeniowej potrzeba.
-
To odległość wokół kwadratu.
-
Czyli ta długość… plus ta długość…
-
plus ta długość… plus ta długość.
-
Wiemy, że długość tego boku,
czyli podstawy, wynosi 8 metrów.
-
Wysokość też wynosi 8 metrów.
-
To kwadrat, więc ten bok ma
tę samą długość, co ten.
-
Kolejne 8 metrów.
-
Lewy bok to kolejne 8 metrów.
-
Mamy 4 boki (1, 2, 3, 4) po 8 metrów.
-
Jeśli je dodamy, otrzymamy 32 metry.
-
Zauważcie: wynik obliczenia ilości siatki
ogrodzeniowej wyszedł w metrach.
-
To jednostka jednowymiarowa.
-
Stało się tak, bo tu nie liczymy metrów kwadratowych,
czyli ilości zajmowanego miejsca.
-
Mierzymy odległość dookoła.
-
Są tu zakręty, ale je ignorujemy.
-
Gdyby rozprostować tę drogę,
miałaby taką długość: 32 metry.
-
Dlatego jednostką obwodu są metry (m)
-
a jednostką pola – metry kwadratowe (m²).
-
Zróbmy coś ciekawszego.
-
Co się stanie, jeśli zamiast kwadratu
będziemy mieli prostokąt?
-
Taki oto prostokąt.
-
Mamy prostokąt.
-
Niech ten bok – podstawa
ma, powiedzmy, 7 cm.
-
A wysokość tego prostokąta
niech wynosi 4 cm.
-
Jakie pole ma ten prostokąt?
-
7 cm * 4 cm
-
Moglibyśmy tu wrysować 7 kolumn
-
i każda miałaby pole 4 cm².
-
Gdybyśmy policzyli wszystkie kratki,
wyszłoby tyle samo, co 7 * 4.
-
To się równa 28 cm².
-
A jaki jest obwód?
-
Jaki jest obwód?
-
To będzie ten odcinek,
który ma 7 cm…
-
plus ten odcinek,
który ma 4 cm…
-
plus górny bok…
-
To prostokąt, przeciwległe boki są równe.
-
Więc plus kolejne 7 cm…
-
Oraz lewy bok…
-
Ma tę samą długość, co prawy.
Także 4 cm.
-
Więc plus kolejne 4 cm.
-
Ile wychodzi?
-
7 + 4 = 11, plus kolejne 11, a więc 22 cm.
-
Nie centymetry kwadratowe.
-
A teraz…
-
Zostawmy prostokąty, które już
porządnie przećwiczyliśmy
-
i zajmijmy się trójkątami.
-
Narysuję trójkąt.
-
Mamy taki oto trójkąt.
-
Niech ten odcinek…
-
Może narysuję inaczej, będzie łatwiej
odnieść to do prostokąta.
-
Niech będzie taki.
-
Oto nasz trójkąt.
-
Niech ten bok ma długość 7 cm.
-
Ten tutaj.
-
A wysokość trójkąta niech będzie równa 4 cm.
-
Pytanie brzmi:
jakie jest pole tego trójkąta?
-
Pole… trójkąta…
-
W prostokącie mnożyliśmy po prostu
podstawę przez wysokość.
-
To daje pole pełnego prostokąta.
-
Gdybyśmy zrobili to tu,
uzyskalibyśmy takie pole.
-
Wyobraźmy sobie, że to odcięta część.
-
To jest trójkąt prostokątny.
-
Ten bok jest pionowy
-
a ten jest poziomy.
-
Tu jest kąt prosty – 90 stopni,
jeśli wam to coś mówi.
-
Pole tego trójkąta to połowa
pola tego prostokąta.
-
Bo gdybyśmy wzięli drugi identyczny trójkąt,
albo odwrócili ten
-
to idealnie wypełniłby on to miejsce.
-
7 * 4 da nam więc pole
-
całego tego prostokąta.
-
Całe to zakreskowane pole.
-
Obliczyliśmy je już.
-
Teraz mamy podać pole tylko tego trójkąta.
-
Tylko to zakreskowane na fioletowo.
-
Widać, że pole tego trójkąta stanowi dokładnie
połowę pola prostokąta.
-
Zatem pole trójkąta jest równe:
podstawa razy wysokość…
-
Na razie mamy pole prostokąta
-
Aby uzyskać pole trójkąta,
musimy je pomnożyć przez 1/2.
-
1/2 * podstawa * wysokość
-
Dla naszego trójkąta to będzie:
1/2 * 7 cm * 4 cm
-
Wiemy, ile to jest 7 * 4.
-
28.
-
Już to liczyliśmy.
-
To jest równe 28 cm².
-
Mnożymy to przez 1/2.
-
Wychodzi 14 cm².
-
Pole tego trójkąta jest dokładnie
połową pola tego prostokąta.
-
Teraz obwód.
-
W przypadku tego trójkąta to nieco skomplikowane
-
ponieważ wyznaczenie długości tego boku
-
nie należy do najłatwiejszych zadań.
-
Musielibyście znać twierdzenie Pitagorasa.
-
Na razie to pomińmy,
opowiem o tym w innej prezentacji.
-
Zamiast tego policzmy pole
jeszcze jednego trójkąta.
-
Niech będzie inny, bo ten trójkąt
był szczególny.
-
Specjalnie narysowałem go
jako połówkę prostokąta.
-
Kolejny niech będzie taki.
-
Długość podstawy – czyli tego odcinka…
-
niech będzie równa 3 metry.
-
Nie wiadomo, jak długi jest ten bok
-
ani ten bok.
-
Wiemy natomiast, że gdybyśmy
spuścili stąd linę
-
zakładając że ten trójkąt to jakaś góra
albo jakiś budynek
-
aż do ziemi, to miałaby ona długość
-
4 metrów.
-
Jakie będzie pole tego trójkąta?
-
Całe to zakreskowane pole?
-
Stosujemy ten sam wzór!
-
pole = 1/2 * podstawa * wysokość
-
A więc 1/2…
-
to jest podstawa tego trójkąta…
-
czyli razy 3…
-
razy wysokość trójkąta.
-
To odległość wierzchołka od podstawy.
-
Ta linia nie jest częścią trójkąta, tylko pionem
spuszczonym ze szczytu, aby zmierzyć wysokość.
-
1/2 * 3 * 4
-
4 to ta długość.
-
To jest równe… 6 m².
-
Zapamiętajcie, że tu chodzi o wysokość.
-
Gdybym narysował wam taki trójkąt,…
-
o podstawie 3 m…
-
i powiedziałbym, że ten bok…
-
ma 4 m…
-
to nie jest to sytuacja,
w której można zastosować ten wzór.
-
Wtedy do obliczenia pola trzeba by znać
długość trzeciego boku albo wartość jednego z kątów.
-
I to nie byłoby łatwe zadanie.
-
Do tego wzoru musi być znana wysokość trójkąta.
-
W naszym pierwszym trójkącie
wysokością był jeden z boków.
-
Ale tu jest inaczej i musimy znać
pionową odległość wierzchołka od ziemi
-
aby skorzystać ze wzoru.
