Mamy taki oto kwadrat.
Kwadrat ma wszystkie boki równe oraz wszystkie kąty proste.
O kątach jeszcze nie mówiłem, ale kąty są tu kątami prostymi.
Zaznaczam je tak.
To znaczy, że jeśli ten bok jest idealnie poziomy, to ten musi być idealnie pionowy.
To właśnie kąt prosty.
Powiedzmy, że dolny bok ma długość 8 metrów.
Ten tutaj.
To jest kwadrat.
Pytanie brzmi: jakie pole ma ten kwadrat.
Pole określa, ile miejsca zajmuje figura – w tym przypadku na ekranie.
To miara ilości miejsca, jaką zajmuje dwuwymiarowy obiekt na płaszczyźnie.
Tą płaszczyzną może być ekran komputera, kartka papieru albo coś innego.
To problem typu: macie pokój o wymiarach 8 na 8 metrów
i musicie wiedzieć, ile kupić wykładziny.
Czyli ile miejsca zajmuje płaszczyzna podłogi.
A więc pole to powierzchnia, jaką zajmuje figura.
Dla kwadratu bardzo łatwo je policzyć.
To podstawa razy wysokość.
Tak liczy się pole każdego prostokąta, ale to jest kwadrat.
Więc tu też będzie 8 metrów.
Pole będzie równe 8 metrów razy 8 metrów…
8 * 8 = 64…
a metr razy metr – jednostki też się mnoży – to będzie metr kwadratowy (m²).
czyli 64 metry kwadratowe.
Zapytacie: a gdzie są te 64 m²?
Podzielę go tutaj.
Narysuję większy od poprzedniego.
Powinienem był narysować taki od razu.
Powiedzmy, że to ten sam kwadrat.
Najpierw go przepołowię.
Znowu na pół.
Wszystko, właśnie tak.
I jeszcze raz wszystko na pół.
W taki sposób.
I poziomo.
Gotowe.
Zrobiłem to, żeby uwidocznić długość podstawy i wysokości.
Podstawa ma 8 metrów, popatrzcie:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrów.
Taką samą długość ma ten bok:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrów.
Tę liczbę, 64, otrzymalibyśmy, gdybyśmy policzyli wszystkie te kratki.
Metr kwadratowy to jednostka dwuwymiarowa.
Każdy bok ma jeden metr: 1 metr… i 1 metr.
To, co zamazuję na żółto, to właśnie metr kwadratowy.
Policzmy, ile ich jest.
W każdym rzędzie mamy: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 m².
Mamy 8 takich rzędów, więc jest tu 8 razy 8 m², czyli 64 m².
Gdybyśmy policzyli je ręcznie, wyszłoby nam 64.
A co, gdybym zapytał was o obwód?
Obwód mojego kwadratu?
Obwód to dystans przebyty wokół figury.
Nie określi ilości wykładziny, ale podpowie
ile kupić listew przypodłogowych do wykończenia tej wykładziny.
A jeśli to wasza działka, ile siatki ogrodzeniowej potrzeba.
To odległość wokół kwadratu.
Czyli ta długość… plus ta długość…
plus ta długość… plus ta długość.
Wiemy, że długość tego boku, czyli podstawy, wynosi 8 metrów.
Wysokość też wynosi 8 metrów.
To kwadrat, więc ten bok ma tę samą długość, co ten.
Kolejne 8 metrów.
Lewy bok to kolejne 8 metrów.
Mamy 4 boki (1, 2, 3, 4) po 8 metrów.
Jeśli je dodamy, otrzymamy 32 metry.
Zauważcie: wynik obliczenia ilości siatki ogrodzeniowej wyszedł w metrach.
To jednostka jednowymiarowa.
Stało się tak, bo tu nie liczymy metrów kwadratowych, czyli ilości zajmowanego miejsca.
Mierzymy odległość dookoła.
Są tu zakręty, ale je ignorujemy.
Gdyby rozprostować tę drogę, miałaby taką długość: 32 metry.
Dlatego jednostką obwodu są metry (m)
a jednostką pola – metry kwadratowe (m²).
Zróbmy coś ciekawszego.
Co się stanie, jeśli zamiast kwadratu będziemy mieli prostokąt?
Taki oto prostokąt.
Mamy prostokąt.
Niech ten bok – podstawa ma, powiedzmy, 7 cm.
A wysokość tego prostokąta niech wynosi 4 cm.
Jakie pole ma ten prostokąt?
7 cm * 4 cm
Moglibyśmy tu wrysować 7 kolumn
i każda miałaby pole 4 cm².
Gdybyśmy policzyli wszystkie kratki, wyszłoby tyle samo, co 7 * 4.
To się równa 28 cm².
A jaki jest obwód?
Jaki jest obwód?
To będzie ten odcinek, który ma 7 cm…
plus ten odcinek, który ma 4 cm…
plus górny bok…
To prostokąt, przeciwległe boki są równe.
Więc plus kolejne 7 cm…
Oraz lewy bok…
Ma tę samą długość, co prawy. Także 4 cm.
Więc plus kolejne 4 cm.
Ile wychodzi?
7 + 4 = 11, plus kolejne 11, a więc 22 cm.
Nie centymetry kwadratowe.
A teraz…
Zostawmy prostokąty, które już porządnie przećwiczyliśmy
i zajmijmy się trójkątami.
Narysuję trójkąt.
Mamy taki oto trójkąt.
Niech ten odcinek…
Może narysuję inaczej, będzie łatwiej odnieść to do prostokąta.
Niech będzie taki.
Oto nasz trójkąt.
Niech ten bok ma długość 7 cm.
Ten tutaj.
A wysokość trójkąta niech będzie równa 4 cm.
Pytanie brzmi: jakie jest pole tego trójkąta?
Pole… trójkąta…
W prostokącie mnożyliśmy po prostu podstawę przez wysokość.
To daje pole pełnego prostokąta.
Gdybyśmy zrobili to tu, uzyskalibyśmy takie pole.
Wyobraźmy sobie, że to odcięta część.
To jest trójkąt prostokątny.
Ten bok jest pionowy
a ten jest poziomy.
Tu jest kąt prosty – 90 stopni, jeśli wam to coś mówi.
Pole tego trójkąta to połowa pola tego prostokąta.
Bo gdybyśmy wzięli drugi identyczny trójkąt, albo odwrócili ten
to idealnie wypełniłby on to miejsce.
7 * 4 da nam więc pole
całego tego prostokąta.
Całe to zakreskowane pole.
Obliczyliśmy je już.
Teraz mamy podać pole tylko tego trójkąta.
Tylko to zakreskowane na fioletowo.
Widać, że pole tego trójkąta stanowi dokładnie połowę pola prostokąta.
Zatem pole trójkąta jest równe: podstawa razy wysokość…
Na razie mamy pole prostokąta
Aby uzyskać pole trójkąta, musimy je pomnożyć przez 1/2.
1/2 * podstawa * wysokość
Dla naszego trójkąta to będzie: 1/2 * 7 cm * 4 cm
Wiemy, ile to jest 7 * 4.
28.
Już to liczyliśmy.
To jest równe 28 cm².
Mnożymy to przez 1/2.
Wychodzi 14 cm².
Pole tego trójkąta jest dokładnie połową pola tego prostokąta.
Teraz obwód.
W przypadku tego trójkąta to nieco skomplikowane
ponieważ wyznaczenie długości tego boku
nie należy do najłatwiejszych zadań.
Musielibyście znać twierdzenie Pitagorasa.
Na razie to pomińmy, opowiem o tym w innej prezentacji.
Zamiast tego policzmy pole jeszcze jednego trójkąta.
Niech będzie inny, bo ten trójkąt był szczególny.
Specjalnie narysowałem go jako połówkę prostokąta.
Kolejny niech będzie taki.
Długość podstawy – czyli tego odcinka…
niech będzie równa 3 metry.
Nie wiadomo, jak długi jest ten bok
ani ten bok.
Wiemy natomiast, że gdybyśmy spuścili stąd linę
zakładając że ten trójkąt to jakaś góra albo jakiś budynek
aż do ziemi, to miałaby ona długość
4 metrów.
Jakie będzie pole tego trójkąta?
Całe to zakreskowane pole?
Stosujemy ten sam wzór!
pole = 1/2 * podstawa * wysokość
A więc 1/2…
to jest podstawa tego trójkąta…
czyli razy 3…
razy wysokość trójkąta.
To odległość wierzchołka od podstawy.
Ta linia nie jest częścią trójkąta, tylko pionem spuszczonym ze szczytu, aby zmierzyć wysokość.
1/2 * 3 * 4
4 to ta długość.
To jest równe… 6 m².
Zapamiętajcie, że tu chodzi o wysokość.
Gdybym narysował wam taki trójkąt,…
o podstawie 3 m…
i powiedziałbym, że ten bok…
ma 4 m…
to nie jest to sytuacja, w której można zastosować ten wzór.
Wtedy do obliczenia pola trzeba by znać długość trzeciego boku albo wartość jednego z kątów.
I to nie byłoby łatwe zadanie.
Do tego wzoru musi być znana wysokość trójkąta.
W naszym pierwszym trójkącie wysokością był jeden z boków.
Ale tu jest inaczej i musimy znać pionową odległość wierzchołka od ziemi
aby skorzystać ze wzoru.