WEBVTT 00:00:00.767 --> 00:00:04.536 Mamy taki oto kwadrat. 00:00:04.734 --> 00:00:07.495 Kwadrat ma wszystkie boki równe oraz wszystkie kąty proste. 00:00:07.595 --> 00:00:12.163 O kątach jeszcze nie mówiłem, ale kąty są tu kątami prostymi. 00:00:12.448 --> 00:00:13.851 Zaznaczam je tak. 00:00:13.951 --> 00:00:19.593 To znaczy, że jeśli ten bok jest idealnie poziomy, to ten musi być idealnie pionowy. 00:00:19.693 --> 00:00:21.899 To właśnie kąt prosty. 00:00:22.070 --> 00:00:27.215 Powiedzmy, że dolny bok ma długość 8 metrów. 00:00:27.315 --> 00:00:28.347 Ten tutaj. 00:00:28.448 --> 00:00:29.828 To jest kwadrat. 00:00:30.026 --> 00:00:35.615 Pytanie brzmi: jakie pole ma ten kwadrat. 00:00:35.965 --> 00:00:41.466 Pole określa, ile miejsca zajmuje figura – w tym przypadku na ekranie. 00:00:41.566 --> 00:00:49.795 To miara ilości miejsca, jaką zajmuje dwuwymiarowy obiekt na płaszczyźnie. 00:00:49.926 --> 00:00:54.898 Tą płaszczyzną może być ekran komputera, kartka papieru albo coś innego. 00:00:55.000 --> 00:00:58.868 To problem typu: macie pokój o wymiarach 8 na 8 metrów 00:00:58.968 --> 00:01:01.236 i musicie wiedzieć, ile kupić wykładziny. 00:01:01.336 --> 00:01:05.312 Czyli ile miejsca zajmuje płaszczyzna podłogi. 00:01:05.412 --> 00:01:10.506 A więc pole to powierzchnia, jaką zajmuje figura. 00:01:10.813 --> 00:01:13.421 Dla kwadratu bardzo łatwo je policzyć. 00:01:13.521 --> 00:01:15.679 To podstawa razy wysokość. 00:01:15.779 --> 00:01:18.923 Tak liczy się pole każdego prostokąta, ale to jest kwadrat. 00:01:19.023 --> 00:01:21.895 Więc tu też będzie 8 metrów. 00:01:22.276 --> 00:01:27.426 Pole będzie równe 8 metrów razy 8 metrów… 00:01:27.526 --> 00:01:30.582 8 * 8 = 64… 00:01:30.714 --> 00:01:37.004 a metr razy metr – jednostki też się mnoży – to będzie metr kwadratowy (m²). 00:01:37.157 --> 00:01:40.898 czyli 64 metry kwadratowe. 00:01:41.000 --> 00:01:44.017 Zapytacie: a gdzie są te 64 m²? 00:01:44.390 --> 00:01:46.253 Podzielę go tutaj. 00:01:47.000 --> 00:01:49.584 Narysuję większy od poprzedniego. 00:01:49.684 --> 00:01:51.710 Powinienem był narysować taki od razu. 00:01:52.171 --> 00:01:56.900 Powiedzmy, że to ten sam kwadrat. 00:01:57.255 --> 00:01:58.965 Najpierw go przepołowię. 00:02:00.148 --> 00:02:02.686 Znowu na pół. 00:02:03.611 --> 00:02:07.117 Wszystko, właśnie tak. 00:02:07.403 --> 00:02:10.011 I jeszcze raz wszystko na pół. 00:02:12.619 --> 00:02:14.811 W taki sposób. 00:02:15.468 --> 00:02:18.055 I poziomo. 00:02:18.887 --> 00:02:20.443 Gotowe. 00:02:21.495 --> 00:02:26.120 Zrobiłem to, żeby uwidocznić długość podstawy i wysokości. 00:02:26.361 --> 00:02:29.386 Podstawa ma 8 metrów, popatrzcie: 00:02:29.486 --> 00:02:34.448 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrów. 00:02:34.580 --> 00:02:36.487 Taką samą długość ma ten bok: 00:02:36.587 --> 00:02:41.747 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrów. 00:02:41.988 --> 00:02:47.542 Tę liczbę, 64, otrzymalibyśmy, gdybyśmy policzyli wszystkie te kratki. 00:02:47.642 --> 00:02:50.633 Metr kwadratowy to jednostka dwuwymiarowa. 00:02:50.733 --> 00:02:53.582 Każdy bok ma jeden metr: 1 metr… i 1 metr. 00:02:53.682 --> 00:02:56.278 To, co zamazuję na żółto, to właśnie metr kwadratowy. 00:02:56.387 --> 00:02:58.886 Policzmy, ile ich jest. 00:02:58.986 --> 00:03:06.897 W każdym rzędzie mamy: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 m². 00:03:07.000 --> 00:03:12.387 Mamy 8 takich rzędów, więc jest tu 8 razy 8 m², czyli 64 m². 00:03:12.487 --> 00:03:18.633 Gdybyśmy policzyli je ręcznie, wyszłoby nam 64. 00:03:19.773 --> 00:03:22.490 A co, gdybym zapytał was o obwód? 00:03:23.038 --> 00:03:27.707 Obwód mojego kwadratu? 00:03:27.904 --> 00:03:31.980 Obwód to dystans przebyty wokół figury. 00:03:32.080 --> 00:03:34.808 Nie określi ilości wykładziny, ale podpowie 00:03:34.908 --> 00:03:38.450 ile kupić listew przypodłogowych do wykończenia tej wykładziny. 00:03:38.551 --> 00:03:42.898 A jeśli to wasza działka, ile siatki ogrodzeniowej potrzeba. 00:03:42.998 --> 00:03:45.832 To odległość wokół kwadratu. 00:03:46.073 --> 00:03:48.105 Czyli ta długość… plus ta długość… 00:03:48.205 --> 00:03:50.544 plus ta długość… plus ta długość. 00:03:50.851 --> 00:03:57.141 Wiemy, że długość tego boku, czyli podstawy, wynosi 8 metrów. 00:03:57.777 --> 00:04:00.494 Wysokość też wynosi 8 metrów. 00:04:01.349 --> 00:04:05.294 To kwadrat, więc ten bok ma tę samą długość, co ten. 00:04:05.394 --> 00:04:07.157 Kolejne 8 metrów. 00:04:07.464 --> 00:04:10.664 Lewy bok to kolejne 8 metrów. 00:04:11.278 --> 00:04:15.288 Mamy 4 boki (1, 2, 3, 4) po 8 metrów. 00:04:15.573 --> 00:04:20.768 Jeśli je dodamy, otrzymamy 32 metry. 00:04:21.000 --> 00:04:27.496 Zauważcie: wynik obliczenia ilości siatki ogrodzeniowej wyszedł w metrach. 00:04:27.759 --> 00:04:30.280 To jednostka jednowymiarowa. 00:04:30.433 --> 00:04:35.211 Stało się tak, bo tu nie liczymy metrów kwadratowych, czyli ilości zajmowanego miejsca. 00:04:35.311 --> 00:04:38.520 Mierzymy odległość dookoła. 00:04:38.620 --> 00:04:41.589 Są tu zakręty, ale je ignorujemy. 00:04:41.764 --> 00:04:47.897 Gdyby rozprostować tę drogę, miałaby taką długość: 32 metry. 00:04:48.076 --> 00:04:50.794 Dlatego jednostką obwodu są metry (m) 00:04:50.894 --> 00:04:55.899 a jednostką pola – metry kwadratowe (m²). 00:04:56.098 --> 00:04:58.443 Zróbmy coś ciekawszego. 00:04:58.772 --> 00:05:02.936 Co się stanie, jeśli zamiast kwadratu będziemy mieli prostokąt? 00:05:03.900 --> 00:05:06.114 Taki oto prostokąt. 00:05:07.210 --> 00:05:08.985 Mamy prostokąt. 00:05:09.555 --> 00:05:15.122 Niech ten bok – podstawa ma, powiedzmy, 7 cm. 00:05:15.231 --> 00:05:22.900 A wysokość tego prostokąta niech wynosi 4 cm. 00:05:23.143 --> 00:05:25.817 Jakie pole ma ten prostokąt? 00:05:26.080 --> 00:05:30.902 7 cm * 4 cm 00:05:32.524 --> 00:05:35.624 Moglibyśmy tu wrysować 7 kolumn 00:05:35.724 --> 00:05:38.880 i każda miałaby pole 4 cm². 00:05:40.326 --> 00:05:44.898 Gdybyśmy policzyli wszystkie kratki, wyszłoby tyle samo, co 7 * 4. 00:05:45.038 --> 00:05:50.167 To się równa 28 cm². 00:05:50.277 --> 00:05:51.898 A jaki jest obwód? 00:05:53.433 --> 00:05:54.899 Jaki jest obwód? 00:05:55.208 --> 00:06:00.227 To będzie ten odcinek, który ma 7 cm… 00:06:00.599 --> 00:06:04.610 plus ten odcinek, który ma 4 cm… 00:06:04.961 --> 00:06:06.912 plus górny bok… 00:06:07.175 --> 00:06:10.199 To prostokąt, przeciwległe boki są równe. 00:06:10.331 --> 00:06:12.698 Więc plus kolejne 7 cm… 00:06:12.961 --> 00:06:15.656 Oraz lewy bok… 00:06:16.204 --> 00:06:21.508 Ma tę samą długość, co prawy. Także 4 cm. 00:06:22.122 --> 00:06:24.357 Więc plus kolejne 4 cm. 00:06:24.457 --> 00:06:25.457 Ile wychodzi? 00:06:25.557 --> 00:06:32.899 7 + 4 = 11, plus kolejne 11, a więc 22 cm. 00:06:33.000 --> 00:06:35.689 Nie centymetry kwadratowe. 00:06:36.214 --> 00:06:37.814 A teraz… 00:06:38.779 --> 00:06:43.457 Zostawmy prostokąty, które już porządnie przećwiczyliśmy 00:06:43.557 --> 00:06:46.099 i zajmijmy się trójkątami. 00:06:46.910 --> 00:06:48.795 Narysuję trójkąt. 00:06:49.956 --> 00:06:52.280 Mamy taki oto trójkąt. 00:06:55.151 --> 00:06:57.430 Niech ten odcinek… 00:06:58.416 --> 00:07:04.246 Może narysuję inaczej, będzie łatwiej odnieść to do prostokąta. 00:07:04.444 --> 00:07:06.416 Niech będzie taki. 00:07:09.243 --> 00:07:11.062 Oto nasz trójkąt. 00:07:11.304 --> 00:07:15.446 Niech ten bok ma długość 7 cm. 00:07:15.606 --> 00:07:16.899 Ten tutaj. 00:07:17.000 --> 00:07:22.459 A wysokość trójkąta niech będzie równa 4 cm. 00:07:23.402 --> 00:07:26.602 Pytanie brzmi: jakie jest pole tego trójkąta? 00:07:26.799 --> 00:07:30.634 Pole… trójkąta… 00:07:34.141 --> 00:07:38.481 W prostokącie mnożyliśmy po prostu podstawę przez wysokość. 00:07:38.581 --> 00:07:41.790 To daje pole pełnego prostokąta. 00:07:42.491 --> 00:07:45.867 Gdybyśmy zrobili to tu, uzyskalibyśmy takie pole. 00:07:46.108 --> 00:07:49.176 Wyobraźmy sobie, że to odcięta część. 00:07:49.571 --> 00:07:50.842 To jest trójkąt prostokątny. 00:07:50.942 --> 00:07:52.223 Ten bok jest pionowy 00:07:52.323 --> 00:07:54.064 a ten jest poziomy. 00:07:54.896 --> 00:08:00.332 Tu jest kąt prosty – 90 stopni, jeśli wam to coś mówi. 00:08:00.661 --> 00:08:04.650 Pole tego trójkąta to połowa pola tego prostokąta. 00:08:04.750 --> 00:08:09.822 Bo gdybyśmy wzięli drugi identyczny trójkąt, albo odwrócili ten 00:08:09.922 --> 00:08:14.556 to idealnie wypełniłby on to miejsce. 00:08:14.907 --> 00:08:18.764 7 * 4 da nam więc pole 00:08:19.487 --> 00:08:22.335 całego tego prostokąta. 00:08:22.556 --> 00:08:24.747 Całe to zakreskowane pole. 00:08:24.879 --> 00:08:26.482 Obliczyliśmy je już. 00:08:26.720 --> 00:08:30.170 Teraz mamy podać pole tylko tego trójkąta. 00:08:30.270 --> 00:08:32.528 Tylko to zakreskowane na fioletowo. 00:08:33.098 --> 00:08:40.615 Widać, że pole tego trójkąta stanowi dokładnie połowę pola prostokąta. 00:08:40.988 --> 00:08:47.716 Zatem pole trójkąta jest równe: podstawa razy wysokość… 00:08:48.023 --> 00:08:51.793 Na razie mamy pole prostokąta 00:08:52.078 --> 00:08:55.901 Aby uzyskać pole trójkąta, musimy je pomnożyć przez 1/2. 00:08:56.001 --> 00:08:57.864 1/2 * podstawa * wysokość 00:08:58.171 --> 00:09:06.653 Dla naszego trójkąta to będzie: 1/2 * 7 cm * 4 cm 00:09:06.916 --> 00:09:09.874 Wiemy, ile to jest 7 * 4. 00:09:10.357 --> 00:09:12.570 28. 00:09:13.469 --> 00:09:15.113 Już to liczyliśmy. 00:09:15.770 --> 00:09:18.773 To jest równe 28 cm². 00:09:18.873 --> 00:09:21.929 Mnożymy to przez 1/2. 00:09:22.029 --> 00:09:26.290 Wychodzi 14 cm². 00:09:26.390 --> 00:09:31.243 Pole tego trójkąta jest dokładnie połową pola tego prostokąta. 00:09:31.616 --> 00:09:33.479 Teraz obwód. 00:09:33.654 --> 00:09:36.635 W przypadku tego trójkąta to nieco skomplikowane 00:09:36.735 --> 00:09:39.660 ponieważ wyznaczenie długości tego boku 00:09:40.799 --> 00:09:44.920 nie należy do najłatwiejszych zadań. 00:09:45.020 --> 00:09:48.610 Musielibyście znać twierdzenie Pitagorasa. 00:09:48.710 --> 00:09:53.899 Na razie to pomińmy, opowiem o tym w innej prezentacji. 00:09:54.000 --> 00:09:57.763 Zamiast tego policzmy pole jeszcze jednego trójkąta. 00:09:58.311 --> 00:10:02.168 Niech będzie inny, bo ten trójkąt był szczególny. 00:10:02.268 --> 00:10:06.574 Specjalnie narysowałem go jako połówkę prostokąta. 00:10:07.143 --> 00:10:10.782 Kolejny niech będzie taki. 00:10:11.593 --> 00:10:16.327 Długość podstawy – czyli tego odcinka… 00:10:16.427 --> 00:10:21.301 niech będzie równa 3 metry. 00:10:21.718 --> 00:10:24.896 Nie wiadomo, jak długi jest ten bok 00:10:24.996 --> 00:10:26.429 ani ten bok. 00:10:26.540 --> 00:10:31.186 Wiemy natomiast, że gdybyśmy spuścili stąd linę 00:10:31.286 --> 00:10:35.373 zakładając że ten trójkąt to jakaś góra albo jakiś budynek 00:10:35.473 --> 00:10:40.019 aż do ziemi, to miałaby ona długość 00:10:40.238 --> 00:10:43.372 4 metrów. 00:10:43.811 --> 00:10:46.309 Jakie będzie pole tego trójkąta? 00:10:46.616 --> 00:10:50.209 Całe to zakreskowane pole? 00:10:50.473 --> 00:10:52.753 Stosujemy ten sam wzór! 00:10:52.906 --> 00:10:56.939 pole = 1/2 * podstawa * wysokość 00:10:57.202 --> 00:10:58.583 A więc 1/2… 00:10:58.683 --> 00:11:02.045 to jest podstawa tego trójkąta… 00:11:02.155 --> 00:11:04.347 czyli razy 3… 00:11:04.917 --> 00:11:07.227 razy wysokość trójkąta. 00:11:07.327 --> 00:11:10.264 To odległość wierzchołka od podstawy. 00:11:10.440 --> 00:11:18.111 Ta linia nie jest częścią trójkąta, tylko pionem spuszczonym ze szczytu, aby zmierzyć wysokość. 00:11:18.286 --> 00:11:20.538 1/2 * 3 * 4 00:11:20.638 --> 00:11:22.626 4 to ta długość. 00:11:22.867 --> 00:11:30.538 To jest równe… 6 m². 00:11:30.669 --> 00:11:32.970 Zapamiętajcie, że tu chodzi o wysokość. 00:11:33.070 --> 00:11:38.252 Gdybym narysował wam taki trójkąt,… 00:11:38.352 --> 00:11:40.510 o podstawie 3 m… 00:11:40.751 --> 00:11:43.556 i powiedziałbym, że ten bok… 00:11:43.863 --> 00:11:46.897 ma 4 m… 00:11:47.151 --> 00:11:52.454 to nie jest to sytuacja, w której można zastosować ten wzór. 00:11:52.554 --> 00:11:58.153 Wtedy do obliczenia pola trzeba by znać długość trzeciego boku albo wartość jednego z kątów. 00:11:58.306 --> 00:12:02.229 I to nie byłoby łatwe zadanie. 00:12:02.558 --> 00:12:06.754 Do tego wzoru musi być znana wysokość trójkąta. 00:12:06.854 --> 00:12:10.120 W naszym pierwszym trójkącie wysokością był jeden z boków. 00:12:10.361 --> 00:12:16.648 Ale tu jest inaczej i musimy znać pionową odległość wierzchołka od ziemi 00:12:16.748 --> 00:12:18.840 aby skorzystać ze wzoru.