1
00:00:00,767 --> 00:00:04,536
Mamy taki oto kwadrat.

2
00:00:04,734 --> 00:00:07,495
Kwadrat ma wszystkie boki równe
oraz wszystkie kąty proste.

3
00:00:07,595 --> 00:00:12,163
O kątach jeszcze nie mówiłem,
ale kąty są tu kątami prostymi.

4
00:00:12,448 --> 00:00:13,851
Zaznaczam je tak.

5
00:00:13,951 --> 00:00:19,593
To znaczy, że jeśli ten bok jest idealnie poziomy,
to ten musi być idealnie pionowy.

6
00:00:19,693 --> 00:00:21,899
To właśnie kąt prosty.

7
00:00:22,070 --> 00:00:27,215
Powiedzmy, że dolny bok ma długość 8 metrów.

8
00:00:27,315 --> 00:00:28,347
Ten tutaj.

9
00:00:28,448 --> 00:00:29,828
To jest kwadrat.

10
00:00:30,026 --> 00:00:35,615
Pytanie brzmi: jakie pole ma ten kwadrat.

11
00:00:35,965 --> 00:00:41,466
Pole określa, ile miejsca zajmuje figura
– w tym przypadku na ekranie.

12
00:00:41,566 --> 00:00:49,795
To miara ilości miejsca, jaką zajmuje
dwuwymiarowy obiekt na płaszczyźnie.

13
00:00:49,926 --> 00:00:54,898
Tą płaszczyzną może być ekran komputera,
kartka papieru albo coś innego.

14
00:00:55,000 --> 00:00:58,868
To problem typu: macie pokój
o wymiarach 8 na 8 metrów

15
00:00:58,968 --> 00:01:01,236
i musicie wiedzieć, ile kupić wykładziny.

16
00:01:01,336 --> 00:01:05,312
Czyli ile miejsca zajmuje płaszczyzna podłogi.

17
00:01:05,412 --> 00:01:10,506
A więc pole to powierzchnia,
jaką zajmuje figura.

18
00:01:10,813 --> 00:01:13,421
Dla kwadratu bardzo łatwo je policzyć.

19
00:01:13,521 --> 00:01:15,679
To podstawa razy wysokość.

20
00:01:15,779 --> 00:01:18,923
Tak liczy się pole każdego prostokąta,
ale to jest kwadrat.

21
00:01:19,023 --> 00:01:21,895
Więc tu też będzie 8 metrów.

22
00:01:22,276 --> 00:01:27,426
Pole będzie równe 8 metrów razy 8 metrów…

23
00:01:27,526 --> 00:01:30,582
8 * 8 = 64…

24
00:01:30,714 --> 00:01:37,004
a metr razy metr – jednostki też się mnoży
– to będzie metr kwadratowy (m²).

25
00:01:37,157 --> 00:01:40,898
czyli 64 metry kwadratowe.

26
00:01:41,000 --> 00:01:44,017
Zapytacie: a gdzie są te 64 m²?

27
00:01:44,390 --> 00:01:46,253
Podzielę go tutaj.

28
00:01:47,000 --> 00:01:49,584
Narysuję większy od poprzedniego.

29
00:01:49,684 --> 00:01:51,710
Powinienem był narysować taki od razu.

30
00:01:52,171 --> 00:01:56,900
Powiedzmy, że to ten sam kwadrat.

31
00:01:57,255 --> 00:01:58,965
Najpierw go przepołowię.

32
00:02:00,148 --> 00:02:02,686
Znowu na pół.

33
00:02:03,611 --> 00:02:07,117
Wszystko, właśnie tak.

34
00:02:07,403 --> 00:02:10,011
I jeszcze raz wszystko na pół.

35
00:02:12,619 --> 00:02:14,811
W taki sposób.

36
00:02:15,468 --> 00:02:18,055
I poziomo.

37
00:02:18,887 --> 00:02:20,443
Gotowe.

38
00:02:21,495 --> 00:02:26,120
Zrobiłem to, żeby uwidocznić
długość podstawy i wysokości.

39
00:02:26,361 --> 00:02:29,386
Podstawa ma 8 metrów, popatrzcie:

40
00:02:29,486 --> 00:02:34,448
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrów.

41
00:02:34,580 --> 00:02:36,487
Taką samą długość ma ten bok:

42
00:02:36,587 --> 00:02:41,747
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrów.

43
00:02:41,988 --> 00:02:47,542
Tę liczbę, 64, otrzymalibyśmy,
gdybyśmy policzyli wszystkie te kratki.

44
00:02:47,642 --> 00:02:50,633
Metr kwadratowy to jednostka
dwuwymiarowa.

45
00:02:50,733 --> 00:02:53,582
Każdy bok ma jeden metr:
1 metr… i 1 metr.

46
00:02:53,682 --> 00:02:56,278
To, co zamazuję na żółto,
to właśnie metr kwadratowy.

47
00:02:56,387 --> 00:02:58,886
Policzmy, ile ich jest.

48
00:02:58,986 --> 00:03:06,897
W każdym rzędzie mamy:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 m².

49
00:03:07,000 --> 00:03:12,387
Mamy 8 takich rzędów,
więc jest tu 8 razy 8 m², czyli 64 m².

50
00:03:12,487 --> 00:03:18,633
Gdybyśmy policzyli je ręcznie,
wyszłoby nam 64.

51
00:03:19,773 --> 00:03:22,490
A co, gdybym zapytał was o obwód?

52
00:03:23,038 --> 00:03:27,707
Obwód mojego kwadratu?

53
00:03:27,904 --> 00:03:31,980
Obwód to dystans przebyty wokół figury.

54
00:03:32,080 --> 00:03:34,808
Nie określi ilości wykładziny,
ale podpowie

55
00:03:34,908 --> 00:03:38,450
ile kupić listew przypodłogowych
do wykończenia tej wykładziny.

56
00:03:38,551 --> 00:03:42,898
A jeśli to wasza działka,
ile siatki ogrodzeniowej potrzeba.

57
00:03:42,998 --> 00:03:45,832
To odległość wokół kwadratu.

58
00:03:46,073 --> 00:03:48,105
Czyli ta długość… plus ta długość…

59
00:03:48,205 --> 00:03:50,544
plus ta długość… plus ta długość.

60
00:03:50,851 --> 00:03:57,141
Wiemy, że długość tego boku,
czyli podstawy, wynosi 8 metrów.

61
00:03:57,777 --> 00:04:00,494
Wysokość też wynosi 8 metrów.

62
00:04:01,349 --> 00:04:05,294
To kwadrat, więc ten bok ma
tę samą długość, co ten.

63
00:04:05,394 --> 00:04:07,157
Kolejne 8 metrów.

64
00:04:07,464 --> 00:04:10,664
Lewy bok to kolejne 8 metrów.

65
00:04:11,278 --> 00:04:15,288
Mamy 4 boki (1, 2, 3, 4) po 8 metrów.

66
00:04:15,573 --> 00:04:20,768
Jeśli je dodamy, otrzymamy 32 metry.

67
00:04:21,000 --> 00:04:27,496
Zauważcie: wynik obliczenia ilości siatki
ogrodzeniowej wyszedł w metrach.

68
00:04:27,759 --> 00:04:30,280
To jednostka jednowymiarowa.

69
00:04:30,433 --> 00:04:35,211
Stało się tak, bo tu nie liczymy metrów kwadratowych,
czyli ilości zajmowanego miejsca.

70
00:04:35,311 --> 00:04:38,520
Mierzymy odległość dookoła.

71
00:04:38,620 --> 00:04:41,589
Są tu zakręty, ale je ignorujemy.

72
00:04:41,764 --> 00:04:47,897
Gdyby rozprostować tę drogę,
miałaby taką długość: 32 metry.

73
00:04:48,076 --> 00:04:50,794
Dlatego jednostką obwodu są metry (m)

74
00:04:50,894 --> 00:04:55,899
a jednostką pola – metry kwadratowe (m²).

75
00:04:56,098 --> 00:04:58,443
Zróbmy coś ciekawszego.

76
00:04:58,772 --> 00:05:02,936
Co się stanie, jeśli zamiast kwadratu
będziemy mieli prostokąt?

77
00:05:03,900 --> 00:05:06,114
Taki oto prostokąt.

78
00:05:07,210 --> 00:05:08,985
Mamy prostokąt.

79
00:05:09,555 --> 00:05:15,122
Niech ten bok – podstawa
ma, powiedzmy, 7 cm.

80
00:05:15,231 --> 00:05:22,900
A wysokość tego prostokąta
niech wynosi 4 cm.

81
00:05:23,143 --> 00:05:25,817
Jakie pole ma ten prostokąt?

82
00:05:26,080 --> 00:05:30,902
7 cm * 4 cm

83
00:05:32,524 --> 00:05:35,624
Moglibyśmy tu wrysować 7 kolumn

84
00:05:35,724 --> 00:05:38,880
i każda miałaby pole 4 cm².

85
00:05:40,326 --> 00:05:44,898
Gdybyśmy policzyli wszystkie kratki,
wyszłoby tyle samo, co 7 * 4.

86
00:05:45,038 --> 00:05:50,167
To się równa 28 cm².

87
00:05:50,277 --> 00:05:51,898
A jaki jest obwód?

88
00:05:53,433 --> 00:05:54,899
Jaki jest obwód?

89
00:05:55,208 --> 00:06:00,227
To będzie ten odcinek,
który ma 7 cm…

90
00:06:00,599 --> 00:06:04,610
plus ten odcinek,
który ma 4 cm…

91
00:06:04,961 --> 00:06:06,912
plus górny bok…

92
00:06:07,175 --> 00:06:10,199
To prostokąt, przeciwległe boki są równe.

93
00:06:10,331 --> 00:06:12,698
Więc plus kolejne 7 cm…

94
00:06:12,961 --> 00:06:15,656
Oraz lewy bok…

95
00:06:16,204 --> 00:06:21,508
Ma tę samą długość, co prawy.
Także 4 cm.

96
00:06:22,122 --> 00:06:24,357
Więc plus kolejne 4 cm.

97
00:06:24,457 --> 00:06:25,457
Ile wychodzi?

98
00:06:25,557 --> 00:06:32,899
7 + 4 = 11, plus kolejne 11, a więc 22 cm.

99
00:06:33,000 --> 00:06:35,689
Nie centymetry kwadratowe.

100
00:06:36,214 --> 00:06:37,814
A teraz…

101
00:06:38,779 --> 00:06:43,457
Zostawmy prostokąty, które już
porządnie przećwiczyliśmy

102
00:06:43,557 --> 00:06:46,099
i zajmijmy się trójkątami.

103
00:06:46,910 --> 00:06:48,795
Narysuję trójkąt.

104
00:06:49,956 --> 00:06:52,280
Mamy taki oto trójkąt.

105
00:06:55,151 --> 00:06:57,430
Niech ten odcinek…

106
00:06:58,416 --> 00:07:04,246
Może narysuję inaczej, będzie łatwiej
odnieść to do prostokąta.

107
00:07:04,444 --> 00:07:06,416
Niech będzie taki.

108
00:07:09,243 --> 00:07:11,062
Oto nasz trójkąt.

109
00:07:11,304 --> 00:07:15,446
Niech ten bok ma długość 7 cm.

110
00:07:15,606 --> 00:07:16,899
Ten tutaj.

111
00:07:17,000 --> 00:07:22,459
A wysokość trójkąta niech będzie równa 4 cm.

112
00:07:23,402 --> 00:07:26,602
Pytanie brzmi:
jakie jest pole tego trójkąta?

113
00:07:26,799 --> 00:07:30,634
Pole… trójkąta…

114
00:07:34,141 --> 00:07:38,481
W prostokącie mnożyliśmy po prostu
podstawę przez wysokość.

115
00:07:38,581 --> 00:07:41,790
To daje pole pełnego prostokąta.

116
00:07:42,491 --> 00:07:45,867
Gdybyśmy zrobili to tu,
uzyskalibyśmy takie pole.

117
00:07:46,108 --> 00:07:49,176
Wyobraźmy sobie, że to odcięta część.

118
00:07:49,571 --> 00:07:50,842
To jest trójkąt prostokątny.

119
00:07:50,942 --> 00:07:52,223
Ten bok jest pionowy

120
00:07:52,323 --> 00:07:54,064
a ten jest poziomy.

121
00:07:54,896 --> 00:08:00,332
Tu jest kąt prosty – 90 stopni,
jeśli wam to coś mówi.

122
00:08:00,661 --> 00:08:04,650
Pole tego trójkąta to połowa
pola tego prostokąta.

123
00:08:04,750 --> 00:08:09,822
Bo gdybyśmy wzięli drugi identyczny trójkąt,
albo odwrócili ten

124
00:08:09,922 --> 00:08:14,556
to idealnie wypełniłby on to miejsce.

125
00:08:14,907 --> 00:08:18,764
7 * 4 da nam więc pole

126
00:08:19,487 --> 00:08:22,335
całego tego prostokąta.

127
00:08:22,556 --> 00:08:24,747
Całe to zakreskowane pole.

128
00:08:24,879 --> 00:08:26,482
Obliczyliśmy je już.

129
00:08:26,720 --> 00:08:30,170
Teraz mamy podać pole tylko tego trójkąta.

130
00:08:30,270 --> 00:08:32,528
Tylko to zakreskowane na fioletowo.

131
00:08:33,098 --> 00:08:40,615
Widać, że pole tego trójkąta stanowi dokładnie
połowę pola prostokąta.

132
00:08:40,988 --> 00:08:47,716
Zatem pole trójkąta jest równe:
podstawa razy wysokość…

133
00:08:48,023 --> 00:08:51,793
Na razie mamy pole prostokąta

134
00:08:52,078 --> 00:08:55,901
Aby uzyskać pole trójkąta,
musimy je pomnożyć przez 1/2.

135
00:08:56,001 --> 00:08:57,864
1/2 * podstawa * wysokość

136
00:08:58,171 --> 00:09:06,653
Dla naszego trójkąta to będzie:
1/2 * 7 cm * 4 cm

137
00:09:06,916 --> 00:09:09,874
Wiemy, ile to jest 7 * 4.

138
00:09:10,357 --> 00:09:12,570
28.

139
00:09:13,469 --> 00:09:15,113
Już to liczyliśmy.

140
00:09:15,770 --> 00:09:18,773
To jest równe 28 cm².

141
00:09:18,873 --> 00:09:21,929
Mnożymy to przez 1/2.

142
00:09:22,029 --> 00:09:26,290
Wychodzi 14 cm².

143
00:09:26,390 --> 00:09:31,243
Pole tego trójkąta jest dokładnie
połową pola tego prostokąta.

144
00:09:31,616 --> 00:09:33,479
Teraz obwód.

145
00:09:33,654 --> 00:09:36,635
W przypadku tego trójkąta to nieco skomplikowane

146
00:09:36,735 --> 00:09:39,660
ponieważ wyznaczenie długości tego boku

147
00:09:40,799 --> 00:09:44,920
nie należy do najłatwiejszych zadań.

148
00:09:45,020 --> 00:09:48,610
Musielibyście znać twierdzenie Pitagorasa.

149
00:09:48,710 --> 00:09:53,899
Na razie to pomińmy,
opowiem o tym w innej prezentacji.

150
00:09:54,000 --> 00:09:57,763
Zamiast tego policzmy pole
jeszcze jednego trójkąta.

151
00:09:58,311 --> 00:10:02,168
Niech będzie inny, bo ten trójkąt
był szczególny.

152
00:10:02,268 --> 00:10:06,574
Specjalnie narysowałem go
jako połówkę prostokąta.

153
00:10:07,143 --> 00:10:10,782
Kolejny niech będzie taki.

154
00:10:11,593 --> 00:10:16,327
Długość podstawy – czyli tego odcinka…

155
00:10:16,427 --> 00:10:21,301
niech będzie równa 3 metry.

156
00:10:21,718 --> 00:10:24,896
Nie wiadomo, jak długi jest ten bok

157
00:10:24,996 --> 00:10:26,429
ani ten bok.

158
00:10:26,540 --> 00:10:31,186
Wiemy natomiast, że gdybyśmy
spuścili stąd linę

159
00:10:31,286 --> 00:10:35,373
zakładając że ten trójkąt to jakaś góra
albo jakiś budynek

160
00:10:35,473 --> 00:10:40,019
aż do ziemi, to miałaby ona długość

161
00:10:40,238 --> 00:10:43,372
4 metrów.

162
00:10:43,811 --> 00:10:46,309
Jakie będzie pole tego trójkąta?

163
00:10:46,616 --> 00:10:50,209
Całe to zakreskowane pole?

164
00:10:50,473 --> 00:10:52,753
Stosujemy ten sam wzór!

165
00:10:52,906 --> 00:10:56,939
pole = 1/2 * podstawa * wysokość

166
00:10:57,202 --> 00:10:58,583
A więc 1/2…

167
00:10:58,683 --> 00:11:02,045
to jest podstawa tego trójkąta…

168
00:11:02,155 --> 00:11:04,347
czyli razy 3…

169
00:11:04,917 --> 00:11:07,227
razy wysokość trójkąta.

170
00:11:07,327 --> 00:11:10,264
To odległość wierzchołka od podstawy.

171
00:11:10,440 --> 00:11:18,111
Ta linia nie jest częścią trójkąta, tylko pionem
spuszczonym ze szczytu, aby zmierzyć wysokość.

172
00:11:18,286 --> 00:11:20,538
1/2 * 3 * 4

173
00:11:20,638 --> 00:11:22,626
4 to ta długość.

174
00:11:22,867 --> 00:11:30,538
To jest równe… 6 m².

175
00:11:30,669 --> 00:11:32,970
Zapamiętajcie, że tu chodzi o wysokość.

176
00:11:33,070 --> 00:11:38,252
Gdybym narysował wam taki trójkąt,…

177
00:11:38,352 --> 00:11:40,510
o podstawie 3 m…

178
00:11:40,751 --> 00:11:43,556
i powiedziałbym, że ten bok…

179
00:11:43,863 --> 00:11:46,897
ma 4 m…

180
00:11:47,151 --> 00:11:52,454
to nie jest to sytuacja,
w której można zastosować ten wzór.

181
00:11:52,554 --> 00:11:58,153
Wtedy do obliczenia pola trzeba by znać
długość trzeciego boku albo wartość jednego z kątów.

182
00:11:58,306 --> 00:12:02,229
I to nie byłoby łatwe zadanie.

183
00:12:02,558 --> 00:12:06,754
Do tego wzoru musi być znana wysokość trójkąta.

184
00:12:06,854 --> 00:12:10,120
W naszym pierwszym trójkącie
wysokością był jeden z boków.

185
00:12:10,361 --> 00:12:16,648
Ale tu jest inaczej i musimy znać
pionową odległość wierzchołka od ziemi

186
00:12:16,748 --> 00:12:18,840
aby skorzystać ze wzoru.