0:00:00.767,0:00:04.536 Mamy taki oto kwadrat. 0:00:04.734,0:00:07.495 Kwadrat ma wszystkie boki równe[br]oraz wszystkie kąty proste. 0:00:07.595,0:00:12.163 O kątach jeszcze nie mówiłem,[br]ale kąty są tu kątami prostymi. 0:00:12.448,0:00:13.851 Zaznaczam je tak. 0:00:13.951,0:00:19.593 To znaczy, że jeśli ten bok jest idealnie poziomy,[br]to ten musi być idealnie pionowy. 0:00:19.693,0:00:21.899 To właśnie kąt prosty. 0:00:22.070,0:00:27.215 Powiedzmy, że dolny bok ma długość 8 metrów. 0:00:27.315,0:00:28.347 Ten tutaj. 0:00:28.448,0:00:29.828 To jest kwadrat. 0:00:30.026,0:00:35.615 Pytanie brzmi: jakie pole ma ten kwadrat. 0:00:35.965,0:00:41.466 Pole określa, ile miejsca zajmuje figura[br]– w tym przypadku na ekranie. 0:00:41.566,0:00:49.795 To miara ilości miejsca, jaką zajmuje[br]dwuwymiarowy obiekt na płaszczyźnie. 0:00:49.926,0:00:54.898 Tą płaszczyzną może być ekran komputera,[br]kartka papieru albo coś innego. 0:00:55.000,0:00:58.868 To problem typu: macie pokój[br]o wymiarach 8 na 8 metrów 0:00:58.968,0:01:01.236 i musicie wiedzieć, ile kupić wykładziny. 0:01:01.336,0:01:05.312 Czyli ile miejsca zajmuje płaszczyzna podłogi. 0:01:05.412,0:01:10.506 A więc pole to powierzchnia,[br]jaką zajmuje figura. 0:01:10.813,0:01:13.421 Dla kwadratu bardzo łatwo je policzyć. 0:01:13.521,0:01:15.679 To podstawa razy wysokość. 0:01:15.779,0:01:18.923 Tak liczy się pole każdego prostokąta,[br]ale to jest kwadrat. 0:01:19.023,0:01:21.895 Więc tu też będzie 8 metrów. 0:01:22.276,0:01:27.426 Pole będzie równe 8 metrów razy 8 metrów… 0:01:27.526,0:01:30.582 8 * 8 = 64… 0:01:30.714,0:01:37.004 a metr razy metr – jednostki też się mnoży[br]– to będzie metr kwadratowy (m²). 0:01:37.157,0:01:40.898 czyli 64 metry kwadratowe. 0:01:41.000,0:01:44.017 Zapytacie: a gdzie są te 64 m²? 0:01:44.390,0:01:46.253 Podzielę go tutaj. 0:01:47.000,0:01:49.584 Narysuję większy od poprzedniego. 0:01:49.684,0:01:51.710 Powinienem był narysować taki od razu. 0:01:52.171,0:01:56.900 Powiedzmy, że to ten sam kwadrat. 0:01:57.255,0:01:58.965 Najpierw go przepołowię. 0:02:00.148,0:02:02.686 Znowu na pół. 0:02:03.611,0:02:07.117 Wszystko, właśnie tak. 0:02:07.403,0:02:10.011 I jeszcze raz wszystko na pół. 0:02:12.619,0:02:14.811 W taki sposób. 0:02:15.468,0:02:18.055 I poziomo. 0:02:18.887,0:02:20.443 Gotowe. 0:02:21.495,0:02:26.120 Zrobiłem to, żeby uwidocznić[br]długość podstawy i wysokości. 0:02:26.361,0:02:29.386 Podstawa ma 8 metrów, popatrzcie: 0:02:29.486,0:02:34.448 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrów. 0:02:34.580,0:02:36.487 Taką samą długość ma ten bok: 0:02:36.587,0:02:41.747 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrów. 0:02:41.988,0:02:47.542 Tę liczbę, 64, otrzymalibyśmy,[br]gdybyśmy policzyli wszystkie te kratki. 0:02:47.642,0:02:50.633 Metr kwadratowy to jednostka[br]dwuwymiarowa. 0:02:50.733,0:02:53.582 Każdy bok ma jeden metr:[br]1 metr… i 1 metr. 0:02:53.682,0:02:56.278 To, co zamazuję na żółto,[br]to właśnie metr kwadratowy. 0:02:56.387,0:02:58.886 Policzmy, ile ich jest. 0:02:58.986,0:03:06.897 W każdym rzędzie mamy:[br]1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 m². 0:03:07.000,0:03:12.387 Mamy 8 takich rzędów,[br]więc jest tu 8 razy 8 m², czyli 64 m². 0:03:12.487,0:03:18.633 Gdybyśmy policzyli je ręcznie,[br]wyszłoby nam 64. 0:03:19.773,0:03:22.490 A co, gdybym zapytał was o obwód? 0:03:23.038,0:03:27.707 Obwód mojego kwadratu? 0:03:27.904,0:03:31.980 Obwód to dystans przebyty wokół figury. 0:03:32.080,0:03:34.808 Nie określi ilości wykładziny,[br]ale podpowie 0:03:34.908,0:03:38.450 ile kupić listew przypodłogowych[br]do wykończenia tej wykładziny. 0:03:38.551,0:03:42.898 A jeśli to wasza działka,[br]ile siatki ogrodzeniowej potrzeba. 0:03:42.998,0:03:45.832 To odległość wokół kwadratu. 0:03:46.073,0:03:48.105 Czyli ta długość… plus ta długość… 0:03:48.205,0:03:50.544 plus ta długość… plus ta długość. 0:03:50.851,0:03:57.141 Wiemy, że długość tego boku,[br]czyli podstawy, wynosi 8 metrów. 0:03:57.777,0:04:00.494 Wysokość też wynosi 8 metrów. 0:04:01.349,0:04:05.294 To kwadrat, więc ten bok ma[br]tę samą długość, co ten. 0:04:05.394,0:04:07.157 Kolejne 8 metrów. 0:04:07.464,0:04:10.664 Lewy bok to kolejne 8 metrów. 0:04:11.278,0:04:15.288 Mamy 4 boki (1, 2, 3, 4) po 8 metrów. 0:04:15.573,0:04:20.768 Jeśli je dodamy, otrzymamy 32 metry. 0:04:21.000,0:04:27.496 Zauważcie: wynik obliczenia ilości siatki[br]ogrodzeniowej wyszedł w metrach. 0:04:27.759,0:04:30.280 To jednostka jednowymiarowa. 0:04:30.433,0:04:35.211 Stało się tak, bo tu nie liczymy metrów kwadratowych,[br]czyli ilości zajmowanego miejsca. 0:04:35.311,0:04:38.520 Mierzymy odległość dookoła. 0:04:38.620,0:04:41.589 Są tu zakręty, ale je ignorujemy. 0:04:41.764,0:04:47.897 Gdyby rozprostować tę drogę,[br]miałaby taką długość: 32 metry. 0:04:48.076,0:04:50.794 Dlatego jednostką obwodu są metry (m) 0:04:50.894,0:04:55.899 a jednostką pola – metry kwadratowe (m²). 0:04:56.098,0:04:58.443 Zróbmy coś ciekawszego. 0:04:58.772,0:05:02.936 Co się stanie, jeśli zamiast kwadratu[br]będziemy mieli prostokąt? 0:05:03.900,0:05:06.114 Taki oto prostokąt. 0:05:07.210,0:05:08.985 Mamy prostokąt. 0:05:09.555,0:05:15.122 Niech ten bok – podstawa[br]ma, powiedzmy, 7 cm. 0:05:15.231,0:05:22.900 A wysokość tego prostokąta[br]niech wynosi 4 cm. 0:05:23.143,0:05:25.817 Jakie pole ma ten prostokąt? 0:05:26.080,0:05:30.902 7 cm * 4 cm 0:05:32.524,0:05:35.624 Moglibyśmy tu wrysować 7 kolumn 0:05:35.724,0:05:38.880 i każda miałaby pole 4 cm². 0:05:40.326,0:05:44.898 Gdybyśmy policzyli wszystkie kratki,[br]wyszłoby tyle samo, co 7 * 4. 0:05:45.038,0:05:50.167 To się równa 28 cm². 0:05:50.277,0:05:51.898 A jaki jest obwód? 0:05:53.433,0:05:54.899 Jaki jest obwód? 0:05:55.208,0:06:00.227 To będzie ten odcinek,[br]który ma 7 cm… 0:06:00.599,0:06:04.610 plus ten odcinek,[br]który ma 4 cm… 0:06:04.961,0:06:06.912 plus górny bok… 0:06:07.175,0:06:10.199 To prostokąt, przeciwległe boki są równe. 0:06:10.331,0:06:12.698 Więc plus kolejne 7 cm… 0:06:12.961,0:06:15.656 Oraz lewy bok… 0:06:16.204,0:06:21.508 Ma tę samą długość, co prawy.[br]Także 4 cm. 0:06:22.122,0:06:24.357 Więc plus kolejne 4 cm. 0:06:24.457,0:06:25.457 Ile wychodzi? 0:06:25.557,0:06:32.899 7 + 4 = 11, plus kolejne 11, a więc 22 cm. 0:06:33.000,0:06:35.689 Nie centymetry kwadratowe. 0:06:36.214,0:06:37.814 A teraz… 0:06:38.779,0:06:43.457 Zostawmy prostokąty, które już[br]porządnie przećwiczyliśmy 0:06:43.557,0:06:46.099 i zajmijmy się trójkątami. 0:06:46.910,0:06:48.795 Narysuję trójkąt. 0:06:49.956,0:06:52.280 Mamy taki oto trójkąt. 0:06:55.151,0:06:57.430 Niech ten odcinek… 0:06:58.416,0:07:04.246 Może narysuję inaczej, będzie łatwiej[br]odnieść to do prostokąta. 0:07:04.444,0:07:06.416 Niech będzie taki. 0:07:09.243,0:07:11.062 Oto nasz trójkąt. 0:07:11.304,0:07:15.446 Niech ten bok ma długość 7 cm. 0:07:15.606,0:07:16.899 Ten tutaj. 0:07:17.000,0:07:22.459 A wysokość trójkąta niech będzie równa 4 cm. 0:07:23.402,0:07:26.602 Pytanie brzmi:[br]jakie jest pole tego trójkąta? 0:07:26.799,0:07:30.634 Pole… trójkąta… 0:07:34.141,0:07:38.481 W prostokącie mnożyliśmy po prostu[br]podstawę przez wysokość. 0:07:38.581,0:07:41.790 To daje pole pełnego prostokąta. 0:07:42.491,0:07:45.867 Gdybyśmy zrobili to tu,[br]uzyskalibyśmy takie pole. 0:07:46.108,0:07:49.176 Wyobraźmy sobie, że to odcięta część. 0:07:49.571,0:07:50.842 To jest trójkąt prostokątny. 0:07:50.942,0:07:52.223 Ten bok jest pionowy 0:07:52.323,0:07:54.064 a ten jest poziomy. 0:07:54.896,0:08:00.332 Tu jest kąt prosty – 90 stopni,[br]jeśli wam to coś mówi. 0:08:00.661,0:08:04.650 Pole tego trójkąta to połowa[br]pola tego prostokąta. 0:08:04.750,0:08:09.822 Bo gdybyśmy wzięli drugi identyczny trójkąt,[br]albo odwrócili ten 0:08:09.922,0:08:14.556 to idealnie wypełniłby on to miejsce. 0:08:14.907,0:08:18.764 7 * 4 da nam więc pole 0:08:19.487,0:08:22.335 całego tego prostokąta. 0:08:22.556,0:08:24.747 Całe to zakreskowane pole. 0:08:24.879,0:08:26.482 Obliczyliśmy je już. 0:08:26.720,0:08:30.170 Teraz mamy podać pole tylko tego trójkąta. 0:08:30.270,0:08:32.528 Tylko to zakreskowane na fioletowo. 0:08:33.098,0:08:40.615 Widać, że pole tego trójkąta stanowi dokładnie[br]połowę pola prostokąta. 0:08:40.988,0:08:47.716 Zatem pole trójkąta jest równe:[br]podstawa razy wysokość… 0:08:48.023,0:08:51.793 Na razie mamy pole prostokąta 0:08:52.078,0:08:55.901 Aby uzyskać pole trójkąta,[br]musimy je pomnożyć przez 1/2. 0:08:56.001,0:08:57.864 1/2 * podstawa * wysokość 0:08:58.171,0:09:06.653 Dla naszego trójkąta to będzie:[br]1/2 * 7 cm * 4 cm 0:09:06.916,0:09:09.874 Wiemy, ile to jest 7 * 4. 0:09:10.357,0:09:12.570 28. 0:09:13.469,0:09:15.113 Już to liczyliśmy. 0:09:15.770,0:09:18.773 To jest równe 28 cm². 0:09:18.873,0:09:21.929 Mnożymy to przez 1/2. 0:09:22.029,0:09:26.290 Wychodzi 14 cm². 0:09:26.390,0:09:31.243 Pole tego trójkąta jest dokładnie[br]połową pola tego prostokąta. 0:09:31.616,0:09:33.479 Teraz obwód. 0:09:33.654,0:09:36.635 W przypadku tego trójkąta to nieco skomplikowane 0:09:36.735,0:09:39.660 ponieważ wyznaczenie długości tego boku 0:09:40.799,0:09:44.920 nie należy do najłatwiejszych zadań. 0:09:45.020,0:09:48.610 Musielibyście znać twierdzenie Pitagorasa. 0:09:48.710,0:09:53.899 Na razie to pomińmy,[br]opowiem o tym w innej prezentacji. 0:09:54.000,0:09:57.763 Zamiast tego policzmy pole[br]jeszcze jednego trójkąta. 0:09:58.311,0:10:02.168 Niech będzie inny, bo ten trójkąt[br]był szczególny. 0:10:02.268,0:10:06.574 Specjalnie narysowałem go[br]jako połówkę prostokąta. 0:10:07.143,0:10:10.782 Kolejny niech będzie taki. 0:10:11.593,0:10:16.327 Długość podstawy – czyli tego odcinka… 0:10:16.427,0:10:21.301 niech będzie równa 3 metry. 0:10:21.718,0:10:24.896 Nie wiadomo, jak długi jest ten bok 0:10:24.996,0:10:26.429 ani ten bok. 0:10:26.540,0:10:31.186 Wiemy natomiast, że gdybyśmy[br]spuścili stąd linę 0:10:31.286,0:10:35.373 zakładając że ten trójkąt to jakaś góra[br]albo jakiś budynek 0:10:35.473,0:10:40.019 aż do ziemi, to miałaby ona długość 0:10:40.238,0:10:43.372 4 metrów. 0:10:43.811,0:10:46.309 Jakie będzie pole tego trójkąta? 0:10:46.616,0:10:50.209 Całe to zakreskowane pole? 0:10:50.473,0:10:52.753 Stosujemy ten sam wzór! 0:10:52.906,0:10:56.939 pole = 1/2 * podstawa * wysokość 0:10:57.202,0:10:58.583 A więc 1/2… 0:10:58.683,0:11:02.045 to jest podstawa tego trójkąta… 0:11:02.155,0:11:04.347 czyli razy 3… 0:11:04.917,0:11:07.227 razy wysokość trójkąta. 0:11:07.327,0:11:10.264 To odległość wierzchołka od podstawy. 0:11:10.440,0:11:18.111 Ta linia nie jest częścią trójkąta, tylko pionem[br]spuszczonym ze szczytu, aby zmierzyć wysokość. 0:11:18.286,0:11:20.538 1/2 * 3 * 4 0:11:20.638,0:11:22.626 4 to ta długość. 0:11:22.867,0:11:30.538 To jest równe… 6 m². 0:11:30.669,0:11:32.970 Zapamiętajcie, że tu chodzi o wysokość. 0:11:33.070,0:11:38.252 Gdybym narysował wam taki trójkąt,… 0:11:38.352,0:11:40.510 o podstawie 3 m… 0:11:40.751,0:11:43.556 i powiedziałbym, że ten bok… 0:11:43.863,0:11:46.897 ma 4 m… 0:11:47.151,0:11:52.454 to nie jest to sytuacja,[br]w której można zastosować ten wzór. 0:11:52.554,0:11:58.153 Wtedy do obliczenia pola trzeba by znać[br]długość trzeciego boku albo wartość jednego z kątów. 0:11:58.306,0:12:02.229 I to nie byłoby łatwe zadanie. 0:12:02.558,0:12:06.754 Do tego wzoru musi być znana wysokość trójkąta. 0:12:06.854,0:12:10.120 W naszym pierwszym trójkącie[br]wysokością był jeden z boków. 0:12:10.361,0:12:16.648 Ale tu jest inaczej i musimy znać[br]pionową odległość wierzchołka od ziemi 0:12:16.748,0:12:18.840 aby skorzystać ze wzoru.