Pythagorean Theorem II
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0:00 - 0:05在这期的视频中 我们将介绍
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0:05 - 0:14一个非常有趣的定理 勾股定理
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0:14 - 0:17当你越来越多地学习数学的时候你会发现
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0:17 - 0:22它是数学的基本定理之一
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0:22 - 0:27它在几何学中很有用 是三角学的基础
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0:27 - 0:30你们会用它去计算两点间
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0:30 - 0:34所以我们最好把它学好
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0:34 - 0:37这就是我要说的
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0:37 - 0:38让我告诉你们什么是勾股定理
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0:38 - 0:44如果我们有一个三角形 而且是一个直角三角形
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0:44 - 0:47就是说
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0:47 - 0:51三个角中必须有一个是90度
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0:51 - 0:56你画一个小方块来表示它是90度
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0:56 - 0:59所以这里是 让我用一个不同的颜色
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0:59 - 1:06一个90度角
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1:06 - 1:13或者 我们可以叫它直角
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1:13 - 1:15有一个直角的三角形叫做直角三角形
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1:15 - 1:21所以这叫做直角三角形
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1:21 - 1:24根据勾股定理
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1:24 - 1:27如果我们知道一个直角三角形的两边
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1:27 - 1:33我们总能得到第三边 在我告诉你们怎么做之前
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1:33 - 1:36让我再介绍一个术语
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1:36 - 1:3990度角相对的边
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1:39 - 1:45是直角三角形中最长的
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1:45 - 1:49所以在这个例子中 就是这条边
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1:49 - 1:53这是最长的边
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1:53 - 1:56找到直角 它面对着那个最长边
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1:56 - 2:01那个最长边叫做斜边
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2:01 - 2:05这个最好记住 因为会经常用到
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2:05 - 2:09所以我们会很擅长找斜边
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2:09 - 2:12让我再画几个直角三角形
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2:12 - 2:15现在我有这样一个三角形
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2:15 - 2:19让我把它画得更好看一些
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2:19 - 2:23我有这样一个三角形
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2:23 - 2:25这个角是90度
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2:25 - 2:31这种情况下 这是斜边
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2:31 - 2:35因为它对着90度角 它是最长边
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2:35 - 2:39让我再画一个 让我们更好地找出斜边
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2:39 - 2:42这是我的三角形
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2:42 - 2:46这是90度角
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2:46 - 2:48我相信你们已经知道该怎么做了
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2:48 - 2:51找它相对的
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2:51 - 2:57这是最长边 就是斜边
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2:57 - 3:00当你找到斜边
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3:00 - 3:03我们把它叫做C 现在我们来学习
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3:03 - 3:05勾股定理告诉了我们什么
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3:05 - 3:08我们让C等于斜边的长度
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3:08 - 3:11让我们把它叫做C
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3:11 - 3:14把这个边叫做
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3:14 - 3:17把这个边叫做A
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3:17 - 3:21这个边叫B
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3:21 - 3:26勾股定理告诉我们 A的平方
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3:27 - 3:29一条直角边
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3:29 - 3:31一个直角边的平方
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3:31 - 3:37加上另一个直角边的平方
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3:37 - 3:41等于斜边的平方
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3:41 - 3:44现在让我们举一个实例
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3:44 - 3:45你们就会发现其实没那么难
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3:46 - 3:48我有这样一个三角形
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3:48 - 3:51让我把它画出来
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3:51 - 3:57这就是我的三角形 它看起来像这样
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3:57 - 4:01这里是直角
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4:01 - 4:03这条边 让我用些不同的颜色
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4:03 - 4:09这条边长是3这条边是4
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4:09 - 4:11要让我们求出
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4:11 - 4:14让我们找出这条边的边长
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4:14 - 4:17在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事
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4:17 - 4:19是要保证你有斜边
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4:19 - 4:22你要知道
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4:22 - 4:23你要求解什么
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4:23 - 4:26在这种情况下 我们是要计算斜边
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4:26 - 4:28我们知道是因为 这条边是
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4:29 - 4:33直角所对的边
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4:33 - 4:37如果我们来看勾股定理 这是C
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4:37 - 4:40这是最长边 现在我们就可以
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4:40 - 4:42使用勾股定理了
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4:42 - 4:49它告诉我们 一条直角边 4的平方
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4:49 - 4:53加上另一条直角边 3的平方
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4:53 - 4:56等于较长边的平方
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4:56 - 5:00也就是斜边的平方 等于C的平方
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5:00 - 5:02求解出C
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5:02 - 5:064的平方等于4乘以4
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5:06 - 5:12是16 3的平方等于3乘以3
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5:12 - 5:17是9
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5:17 - 5:22这等于C的平方 16加9是多少 是25
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5:22 - 5:25所以25等于C的平方
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5:25 - 5:28我们取两边的正根
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5:28 - 5:33如果你们从数学的角度看 它也可能是负5
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5:33 - 5:35但是我们在做距离问题
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5:35 - 5:37所以只关心正根
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5:37 - 5:40所以我们取两边的算术平方根
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5:40 - 5:45得到5等于C
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5:45 - 5:50或者说 最长边等于5
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5:50 - 5:52现在 你可以用勾股定理
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5:52 - 5:55给出两边 求任意第三边
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5:55 - 5:56无论第三边是什么
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5:56 - 5:58让我们再举一个例子
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5:58 - 6:04这是我们的三角形
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6:04 - 6:07像这样
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6:07 - 6:11这样
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6:11 - 6:15这是直角
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6:15 - 6:21这条边长12 这条边长6
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6:21 - 6:23我们要求解
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6:23 - 6:27我们要求出这条边
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6:27 - 6:30像我说过的 你要做的第一件事是
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6:30 - 6:31找到斜边
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6:32 - 6:34它是直角所对的边
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6:34 - 6:37这里是直角 在直角的对面
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6:37 - 6:42最长边 斜边 就在这儿
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6:42 - 6:45如果我们考虑勾股定理
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6:45 - 6:50A的平方加上B的平方等于C的平方
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6:50 - 6:54你可以把12看成C这是斜边
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6:54 - 6:57C的平方是斜边的平方
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6:57 - 6:59你可以说12等于C
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6:59 - 7:00我们可以叫这些边 顺序无所谓
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7:00 - 7:03顺序无所谓一条为A 一条为B
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7:03 - 7:07就让我们把这条边叫A A的长度是6
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7:07 - 7:13让B 这个颜色的B的长度是未知的
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7:13 - 7:15现在我们可以应用勾股定理了
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7:15 - 7:23A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方
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7:23 - 7:28等于斜边的平方
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7:28 - 7:29等于C的平方
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7:29 - 7:35就是等于12的平方 现在我们可以求出B了
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7:35 - 7:37注意这里的区别
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7:37 - 7:38我们现在求的不是斜边
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7:38 - 7:40我们在求一条直角边
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7:40 - 7:44上一个例子中我们求的是斜边 我们求的是C
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7:44 - 7:46所以要注意
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7:46 - 7:48A的平方加上B的平方等于C的平方
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7:48 - 7:51C是斜边的边长 现在我们来求B
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7:51 - 7:596的平方等于36 加上B的平方
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8:00 - 8:04等于12的平方 12乘以12 等于144
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8:04 - 8:09两边同时减掉36
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8:09 - 8:15这里约掉了
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8:15 - 8:18左边只剩下B的平方
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8:18 - 8:27等于 144减去36 是多少 144减去30是114
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8:27 - 8:30再减去6 是108
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8:30 - 8:36这是108 那是B的平方
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8:36 - 8:38现在我们要它两边的算术平方根
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8:38 - 8:40或者正根
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8:40 - 8:49得到B等于108的算术平方根
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8:49 - 8:51现在看看我们可不可以化简
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8:51 - 8:53根号108
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8:53 - 8:56我们可以找出108的质因数分解式
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8:56 - 8:58然后看一下怎样可以化简这个根数
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8:58 - 9:03108等于
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9:03 - 9:06等于2乘以54
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9:06 - 9:1154等于2乘以27
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9:11 - 9:1527等于3乘以9
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9:15 - 9:20所以根号108 等于
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9:20 - 9:25根号下2乘以2哦 还没完
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9:25 - 9:289可以被分解成3乘以3
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9:28 - 9:33所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3
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9:33 - 9:37所以我们现在有几个完全平方式
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9:37 - 9:39让我把它写得工整些
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9:39 - 9:41这种化简根数的练习
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9:41 - 9:44你们在用勾股定理的时候会经常遇到
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9:44 - 9:48所以现在做没有坏处
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9:48 - 9:55这个等同于根号下2乘以2
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9:55 - 10:02乘以3乘以3乘以3 那里有最后一个根号3
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10:02 - 10:04这是一样的
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10:04 - 10:07你不必把这些都写在纸上
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10:07 - 10:09你可以在脑中思考
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10:09 - 10:11这是多少2乘以2是4
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10:11 - 10:164乘以9 是36 所以这是根号36
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10:16 - 10:20乘以根号3 36的算术平方根是6
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10:20 - 10:25所以这个化简成了6倍根号3
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10:25 - 10:29所以B的长 你可以把它写成根号108
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10:29 - 10:35或者你可以写成6乘以根号3
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10:35 - 10:40这是12 这是6
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10:40 - 10:42根号3是1点多
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10:42 - 10:45所以它会比6大一点点