在这期的视频中 我们将介绍
一个非常有趣的定理 勾股定理
当你越来越多地学习数学的时候你会发现
它是数学的基本定理之一
它在几何学中很有用 是三角学的基础
你们会用它去计算两点间
所以我们最好把它学好
这就是我要说的
让我告诉你们什么是勾股定理
如果我们有一个三角形 而且是一个直角三角形
就是说
三个角中必须有一个是90度
你画一个小方块来表示它是90度
所以这里是 让我用一个不同的颜色
一个90度角
或者 我们可以叫它直角
有一个直角的三角形叫做直角三角形
所以这叫做直角三角形
根据勾股定理
如果我们知道一个直角三角形的两边
我们总能得到第三边 在我告诉你们怎么做之前
让我再介绍一个术语
90度角相对的边
是直角三角形中最长的
所以在这个例子中 就是这条边
这是最长的边
找到直角 它面对着那个最长边
那个最长边叫做斜边
这个最好记住 因为会经常用到
所以我们会很擅长找斜边
让我再画几个直角三角形
现在我有这样一个三角形
让我把它画得更好看一些
我有这样一个三角形
这个角是90度
这种情况下 这是斜边
因为它对着90度角 它是最长边
让我再画一个 让我们更好地找出斜边
这是我的三角形
这是90度角
我相信你们已经知道该怎么做了
找它相对的
这是最长边 就是斜边
当你找到斜边
我们把它叫做C 现在我们来学习
勾股定理告诉了我们什么
我们让C等于斜边的长度
让我们把它叫做C
把这个边叫做
把这个边叫做A
这个边叫B
勾股定理告诉我们 A的平方
一条直角边
一个直角边的平方
加上另一个直角边的平方
等于斜边的平方
现在让我们举一个实例
你们就会发现其实没那么难
我有这样一个三角形
让我把它画出来
这就是我的三角形 它看起来像这样
这里是直角
这条边 让我用些不同的颜色
这条边长是3这条边是4
要让我们求出
让我们找出这条边的边长
在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事
是要保证你有斜边
你要知道
你要求解什么
在这种情况下 我们是要计算斜边
我们知道是因为 这条边是
直角所对的边
如果我们来看勾股定理 这是C
这是最长边 现在我们就可以
使用勾股定理了
它告诉我们 一条直角边 4的平方
加上另一条直角边 3的平方
等于较长边的平方
也就是斜边的平方 等于C的平方
求解出C
4的平方等于4乘以4
是16 3的平方等于3乘以3
是9
这等于C的平方 16加9是多少 是25
所以25等于C的平方
我们取两边的正根
如果你们从数学的角度看 它也可能是负5
但是我们在做距离问题
所以只关心正根
所以我们取两边的算术平方根
得到5等于C
或者说 最长边等于5
现在 你可以用勾股定理
给出两边 求任意第三边
无论第三边是什么
让我们再举一个例子
这是我们的三角形
像这样
这样
这是直角
这条边长12 这条边长6
我们要求解
我们要求出这条边
像我说过的 你要做的第一件事是
找到斜边
它是直角所对的边
这里是直角 在直角的对面
最长边 斜边 就在这儿
如果我们考虑勾股定理
A的平方加上B的平方等于C的平方
你可以把12看成C这是斜边
C的平方是斜边的平方
你可以说12等于C
我们可以叫这些边 顺序无所谓
顺序无所谓一条为A 一条为B
就让我们把这条边叫A A的长度是6
让B 这个颜色的B的长度是未知的
现在我们可以应用勾股定理了
A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方
等于斜边的平方
等于C的平方
就是等于12的平方 现在我们可以求出B了
注意这里的区别
我们现在求的不是斜边
我们在求一条直角边
上一个例子中我们求的是斜边 我们求的是C
所以要注意
A的平方加上B的平方等于C的平方
C是斜边的边长 现在我们来求B
6的平方等于36 加上B的平方
等于12的平方 12乘以12 等于144
两边同时减掉36
这里约掉了
左边只剩下B的平方
等于 144减去36 是多少 144减去30是114
再减去6 是108
这是108 那是B的平方
现在我们要它两边的算术平方根
或者正根
得到B等于108的算术平方根
现在看看我们可不可以化简
根号108
我们可以找出108的质因数分解式
然后看一下怎样可以化简这个根数
108等于
等于2乘以54
54等于2乘以27
27等于3乘以9
所以根号108 等于
根号下2乘以2哦 还没完
9可以被分解成3乘以3
所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3
所以我们现在有几个完全平方式
让我把它写得工整些
这种化简根数的练习
你们在用勾股定理的时候会经常遇到
所以现在做没有坏处
这个等同于根号下2乘以2
乘以3乘以3乘以3 那里有最后一个根号3
这是一样的
你不必把这些都写在纸上
你可以在脑中思考
这是多少2乘以2是4
4乘以9 是36 所以这是根号36
乘以根号3 36的算术平方根是6
所以这个化简成了6倍根号3
所以B的长 你可以把它写成根号108
或者你可以写成6乘以根号3
这是12 这是6
根号3是1点多
所以它会比6大一点点