1
00:00:00,000 --> 00:00:05,090
在这期的视频中 我们将介绍

2
00:00:05,090 --> 00:00:14,340
一个非常有趣的定理 勾股定理

3
00:00:14,340 --> 00:00:16,850
当你越来越多地学习数学的时候你会发现

4
00:00:16,850 --> 00:00:21,700
它是数学的基本定理之一

5
00:00:21,740 --> 00:00:26,570
它在几何学中很有用 是三角学的基础

6
00:00:26,570 --> 00:00:30,460
你们会用它去计算两点间

7
00:00:30,480 --> 00:00:33,990
所以我们最好把它学好

8
00:00:33,990 --> 00:00:36,670
这就是我要说的

9
00:00:36,670 --> 00:00:38,110
让我告诉你们什么是勾股定理

10
00:00:38,130 --> 00:00:44,010
如果我们有一个三角形 而且是一个直角三角形

11
00:00:44,010 --> 00:00:47,170
就是说

12
00:00:47,170 --> 00:00:50,970
三个角中必须有一个是90度

13
00:00:50,970 --> 00:00:56,150
你画一个小方块来表示它是90度

14
00:00:56,220 --> 00:00:59,310
所以这里是 让我用一个不同的颜色

15
00:00:59,350 --> 00:01:05,690
一个90度角

16
00:01:05,730 --> 00:01:13,360
或者 我们可以叫它直角

17
00:01:13,380 --> 00:01:15,320
有一个直角的三角形叫做直角三角形

18
00:01:15,360 --> 00:01:21,090
所以这叫做直角三角形

19
00:01:21,090 --> 00:01:23,860
根据勾股定理

20
00:01:23,910 --> 00:01:26,760
如果我们知道一个直角三角形的两边

21
00:01:26,820 --> 00:01:32,560
我们总能得到第三边 在我告诉你们怎么做之前

22
00:01:32,580 --> 00:01:35,880
让我再介绍一个术语

23
00:01:35,900 --> 00:01:39,440
90度角相对的边

24
00:01:39,480 --> 00:01:44,540
是直角三角形中最长的

25
00:01:44,600 --> 00:01:49,290
所以在这个例子中 就是这条边

26
00:01:49,340 --> 00:01:53,080
这是最长的边

27
00:01:53,100 --> 00:01:56,260
找到直角 它面对着那个最长边

28
00:01:56,260 --> 00:02:00,930
那个最长边叫做斜边

29
00:02:00,970 --> 00:02:05,380
这个最好记住 因为会经常用到

30
00:02:05,430 --> 00:02:08,740
所以我们会很擅长找斜边

31
00:02:08,740 --> 00:02:11,700
让我再画几个直角三角形

32
00:02:11,730 --> 00:02:15,170
现在我有这样一个三角形

33
00:02:15,170 --> 00:02:19,270
让我把它画得更好看一些

34
00:02:19,310 --> 00:02:23,060
我有这样一个三角形

35
00:02:23,100 --> 00:02:25,130
这个角是90度

36
00:02:25,160 --> 00:02:30,760
这种情况下 这是斜边

37
00:02:30,760 --> 00:02:35,080
因为它对着90度角 它是最长边

38
00:02:35,110 --> 00:02:38,840
让我再画一个 让我们更好地找出斜边

39
00:02:38,840 --> 00:02:42,250
这是我的三角形

40
00:02:42,250 --> 00:02:45,570
这是90度角

41
00:02:45,570 --> 00:02:47,710
我相信你们已经知道该怎么做了

42
00:02:47,710 --> 00:02:51,260
找它相对的

43
00:02:51,310 --> 00:02:56,750
这是最长边 就是斜边

44
00:02:56,770 --> 00:03:00,130
当你找到斜边

45
00:03:00,170 --> 00:03:03,240
我们把它叫做C 现在我们来学习

46
00:03:03,280 --> 00:03:05,050
勾股定理告诉了我们什么

47
00:03:05,090 --> 00:03:08,240
我们让C等于斜边的长度

48
00:03:08,290 --> 00:03:11,420
让我们把它叫做C

49
00:03:11,420 --> 00:03:13,900
把这个边叫做

50
00:03:13,950 --> 00:03:16,950
把这个边叫做A

51
00:03:17,020 --> 00:03:21,410
这个边叫B

52
00:03:21,460 --> 00:03:26,480
勾股定理告诉我们 A的平方

53
00:03:26,520 --> 00:03:28,760
一条直角边

54
00:03:28,800 --> 00:03:31,010
一个直角边的平方

55
00:03:31,040 --> 00:03:36,740
加上另一个直角边的平方

56
00:03:36,760 --> 00:03:41,140
等于斜边的平方

57
00:03:41,160 --> 00:03:43,600
现在让我们举一个实例

58
00:03:43,600 --> 00:03:45,470
你们就会发现其实没那么难

59
00:03:45,540 --> 00:03:47,930
我有这样一个三角形

60
00:03:47,930 --> 00:03:50,840
让我把它画出来

61
00:03:50,840 --> 00:03:57,080
这就是我的三角形 它看起来像这样

62
00:03:57,080 --> 00:04:00,520
这里是直角

63
00:04:00,540 --> 00:04:03,400
这条边 让我用些不同的颜色

64
00:04:03,480 --> 00:04:08,890
这条边长是3这条边是4

65
00:04:08,910 --> 00:04:10,940
要让我们求出

66
00:04:10,940 --> 00:04:14,400
让我们找出这条边的边长

67
00:04:14,440 --> 00:04:17,070
在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事

68
00:04:17,090 --> 00:04:19,360
是要保证你有斜边

69
00:04:19,360 --> 00:04:22,140
你要知道

70
00:04:22,180 --> 00:04:23,200
你要求解什么

71
00:04:23,240 --> 00:04:26,290
在这种情况下 我们是要计算斜边

72
00:04:26,320 --> 00:04:28,480
我们知道是因为 这条边是

73
00:04:28,550 --> 00:04:33,070
直角所对的边

74
00:04:33,110 --> 00:04:36,510
如果我们来看勾股定理 这是C

75
00:04:36,510 --> 00:04:39,540
这是最长边 现在我们就可以

76
00:04:39,540 --> 00:04:42,100
使用勾股定理了

77
00:04:42,160 --> 00:04:49,260
它告诉我们 一条直角边 4的平方

78
00:04:49,260 --> 00:04:53,290
加上另一条直角边 3的平方

79
00:04:53,290 --> 00:04:56,230
等于较长边的平方

80
00:04:56,300 --> 00:05:00,270
也就是斜边的平方 等于C的平方

81
00:05:00,270 --> 00:05:02,460
求解出C

82
00:05:02,460 --> 00:05:06,140
4的平方等于4乘以4

83
00:05:06,210 --> 00:05:12,030
是16 3的平方等于3乘以3

84
00:05:12,030 --> 00:05:17,400
是9

85
00:05:17,440 --> 00:05:21,850
这等于C的平方 16加9是多少 是25

86
00:05:21,850 --> 00:05:25,230
所以25等于C的平方

87
00:05:25,260 --> 00:05:28,370
我们取两边的正根

88
00:05:28,370 --> 00:05:33,150
如果你们从数学的角度看 它也可能是负5

89
00:05:33,190 --> 00:05:34,700
但是我们在做距离问题

90
00:05:34,740 --> 00:05:36,710
所以只关心正根

91
00:05:36,740 --> 00:05:39,570
所以我们取两边的算术平方根

92
00:05:39,620 --> 00:05:44,520
得到5等于C

93
00:05:44,560 --> 00:05:50,110
或者说 最长边等于5

94
00:05:50,110 --> 00:05:52,110
现在 你可以用勾股定理

95
00:05:52,170 --> 00:05:54,600
给出两边 求任意第三边

96
00:05:54,620 --> 00:05:55,950
无论第三边是什么

97
00:05:56,010 --> 00:05:58,160
让我们再举一个例子

98
00:05:58,160 --> 00:06:03,800
这是我们的三角形

99
00:06:03,840 --> 00:06:07,230
像这样

100
00:06:07,230 --> 00:06:10,670
这样

101
00:06:10,670 --> 00:06:15,450
这是直角

102
00:06:15,450 --> 00:06:20,900
这条边长12 这条边长6

103
00:06:20,900 --> 00:06:23,200
我们要求解

104
00:06:23,200 --> 00:06:26,840
我们要求出这条边

105
00:06:26,890 --> 00:06:30,010
像我说过的 你要做的第一件事是

106
00:06:30,040 --> 00:06:31,460
找到斜边

107
00:06:31,520 --> 00:06:33,790
它是直角所对的边

108
00:06:33,790 --> 00:06:37,240
这里是直角 在直角的对面

109
00:06:37,240 --> 00:06:41,530
最长边 斜边 就在这儿

110
00:06:41,600 --> 00:06:45,030
如果我们考虑勾股定理

111
00:06:45,060 --> 00:06:50,010
A的平方加上B的平方等于C的平方

112
00:06:50,010 --> 00:06:53,510
你可以把12看成C这是斜边

113
00:06:53,550 --> 00:06:56,870
C的平方是斜边的平方

114
00:06:56,870 --> 00:06:58,640
你可以说12等于C

115
00:06:58,660 --> 00:07:00,250
我们可以叫这些边 顺序无所谓

116
00:07:00,250 --> 00:07:03,030
顺序无所谓一条为A 一条为B

117
00:07:03,090 --> 00:07:07,180
就让我们把这条边叫A A的长度是6

118
00:07:07,230 --> 00:07:12,790
让B 这个颜色的B的长度是未知的

119
00:07:12,840 --> 00:07:14,910
现在我们可以应用勾股定理了

120
00:07:14,910 --> 00:07:23,100
A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方

121
00:07:23,100 --> 00:07:28,010
等于斜边的平方

122
00:07:28,010 --> 00:07:29,350
等于C的平方

123
00:07:29,350 --> 00:07:35,390
就是等于12的平方 现在我们可以求出B了

124
00:07:35,440 --> 00:07:36,860
注意这里的区别

125
00:07:36,910 --> 00:07:38,210
我们现在求的不是斜边

126
00:07:38,250 --> 00:07:39,910
我们在求一条直角边

127
00:07:39,910 --> 00:07:43,820
上一个例子中我们求的是斜边 我们求的是C

128
00:07:43,820 --> 00:07:46,230
所以要注意

129
00:07:46,230 --> 00:07:48,360
A的平方加上B的平方等于C的平方

130
00:07:48,410 --> 00:07:51,330
C是斜边的边长 现在我们来求B

131
00:07:51,390 --> 00:07:59,450
6的平方等于36 加上B的平方

132
00:07:59,500 --> 00:08:04,340
等于12的平方 12乘以12 等于144

133
00:08:04,340 --> 00:08:09,110
两边同时减掉36

134
00:08:09,110 --> 00:08:14,990
这里约掉了

135
00:08:15,060 --> 00:08:18,400
左边只剩下B的平方

136
00:08:18,430 --> 00:08:27,130
等于 144减去36 是多少 144减去30是114

137
00:08:27,160 --> 00:08:29,800
再减去6 是108

138
00:08:29,800 --> 00:08:36,030
这是108 那是B的平方

139
00:08:36,070 --> 00:08:37,730
现在我们要它两边的算术平方根

140
00:08:37,760 --> 00:08:39,820
或者正根

141
00:08:39,820 --> 00:08:48,540
得到B等于108的算术平方根

142
00:08:48,540 --> 00:08:50,720
现在看看我们可不可以化简

143
00:08:50,770 --> 00:08:53,240
根号108

144
00:08:53,300 --> 00:08:56,330
我们可以找出108的质因数分解式

145
00:08:56,330 --> 00:08:58,010
然后看一下怎样可以化简这个根数

146
00:08:58,010 --> 00:09:02,580
108等于

147
00:09:02,630 --> 00:09:06,420
等于2乘以54

148
00:09:06,460 --> 00:09:10,820
54等于2乘以27

149
00:09:10,850 --> 00:09:15,330
27等于3乘以9

150
00:09:15,330 --> 00:09:19,600
所以根号108 等于

151
00:09:19,630 --> 00:09:25,360
根号下2乘以2哦 还没完

152
00:09:25,360 --> 00:09:28,500
9可以被分解成3乘以3

153
00:09:28,500 --> 00:09:33,390
所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3

154
00:09:33,390 --> 00:09:37,180
所以我们现在有几个完全平方式

155
00:09:37,180 --> 00:09:38,750
让我把它写得工整些

156
00:09:38,750 --> 00:09:41,000
这种化简根数的练习

157
00:09:41,000 --> 00:09:44,270
你们在用勾股定理的时候会经常遇到

158
00:09:44,270 --> 00:09:48,020
所以现在做没有坏处

159
00:09:48,050 --> 00:09:55,460
这个等同于根号下2乘以2

160
00:09:55,460 --> 00:10:02,240
乘以3乘以3乘以3 那里有最后一个根号3

161
00:10:02,240 --> 00:10:04,040
这是一样的

162
00:10:04,040 --> 00:10:06,810
你不必把这些都写在纸上

163
00:10:06,810 --> 00:10:09,020
你可以在脑中思考

164
00:10:09,020 --> 00:10:11,430
这是多少2乘以2是4

165
00:10:11,460 --> 00:10:15,900
4乘以9 是36 所以这是根号36

166
00:10:15,900 --> 00:10:20,260
乘以根号3 36的算术平方根是6

167
00:10:20,310 --> 00:10:25,130
所以这个化简成了6倍根号3

168
00:10:25,130 --> 00:10:29,470
所以B的长 你可以把它写成根号108

169
00:10:29,470 --> 00:10:35,360
或者你可以写成6乘以根号3

170
00:10:35,360 --> 00:10:39,840
这是12 这是6

171
00:10:39,880 --> 00:10:42,020
根号3是1点多

172
00:10:42,100 --> 00:10:44,700
所以它会比6大一点点