WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:05.090
在这期的视频中 我们将介绍

00:00:05.090 --> 00:00:14.340
一个非常有趣的定理 勾股定理

00:00:14.340 --> 00:00:16.850
当你越来越多地学习数学的时候你会发现

00:00:16.850 --> 00:00:21.700
它是数学的基本定理之一

00:00:21.740 --> 00:00:26.570
它在几何学中很有用 是三角学的基础

00:00:26.570 --> 00:00:30.460
你们会用它去计算两点间

00:00:30.480 --> 00:00:33.990
所以我们最好把它学好

00:00:33.990 --> 00:00:36.670
这就是我要说的

00:00:36.670 --> 00:00:38.110
让我告诉你们什么是勾股定理

00:00:38.130 --> 00:00:44.010
如果我们有一个三角形 而且是一个直角三角形

00:00:44.010 --> 00:00:47.170
就是说

00:00:47.170 --> 00:00:50.970
三个角中必须有一个是90度

00:00:50.970 --> 00:00:56.150
你画一个小方块来表示它是90度

00:00:56.220 --> 00:00:59.310
所以这里是 让我用一个不同的颜色

00:00:59.350 --> 00:01:05.690
一个90度角

00:01:05.730 --> 00:01:13.360
或者 我们可以叫它直角

00:01:13.380 --> 00:01:15.320
有一个直角的三角形叫做直角三角形

00:01:15.360 --> 00:01:21.090
所以这叫做直角三角形

00:01:21.090 --> 00:01:23.860
根据勾股定理

00:01:23.910 --> 00:01:26.760
如果我们知道一个直角三角形的两边

00:01:26.820 --> 00:01:32.560
我们总能得到第三边 在我告诉你们怎么做之前

00:01:32.580 --> 00:01:35.880
让我再介绍一个术语

00:01:35.900 --> 00:01:39.440
90度角相对的边

00:01:39.480 --> 00:01:44.540
是直角三角形中最长的

00:01:44.600 --> 00:01:49.290
所以在这个例子中 就是这条边

00:01:49.340 --> 00:01:53.080
这是最长的边

00:01:53.100 --> 00:01:56.260
找到直角 它面对着那个最长边

00:01:56.260 --> 00:02:00.930
那个最长边叫做斜边

00:02:00.970 --> 00:02:05.380
这个最好记住 因为会经常用到

00:02:05.430 --> 00:02:08.740
所以我们会很擅长找斜边

00:02:08.740 --> 00:02:11.700
让我再画几个直角三角形

00:02:11.730 --> 00:02:15.170
现在我有这样一个三角形

00:02:15.170 --> 00:02:19.270
让我把它画得更好看一些

00:02:19.310 --> 00:02:23.060
我有这样一个三角形

00:02:23.100 --> 00:02:25.130
这个角是90度

00:02:25.160 --> 00:02:30.760
这种情况下 这是斜边

00:02:30.760 --> 00:02:35.080
因为它对着90度角 它是最长边

00:02:35.110 --> 00:02:38.840
让我再画一个 让我们更好地找出斜边

00:02:38.840 --> 00:02:42.250
这是我的三角形

00:02:42.250 --> 00:02:45.570
这是90度角

00:02:45.570 --> 00:02:47.710
我相信你们已经知道该怎么做了

00:02:47.710 --> 00:02:51.260
找它相对的

00:02:51.310 --> 00:02:56.750
这是最长边 就是斜边

00:02:56.770 --> 00:03:00.130
当你找到斜边

00:03:00.170 --> 00:03:03.240
我们把它叫做C 现在我们来学习

00:03:03.280 --> 00:03:05.050
勾股定理告诉了我们什么

00:03:05.090 --> 00:03:08.240
我们让C等于斜边的长度

00:03:08.290 --> 00:03:11.420
让我们把它叫做C

00:03:11.420 --> 00:03:13.900
把这个边叫做

00:03:13.950 --> 00:03:16.950
把这个边叫做A

00:03:17.020 --> 00:03:21.410
这个边叫B

00:03:21.460 --> 00:03:26.480
勾股定理告诉我们 A的平方

00:03:26.520 --> 00:03:28.760
一条直角边

00:03:28.800 --> 00:03:31.010
一个直角边的平方

00:03:31.040 --> 00:03:36.740
加上另一个直角边的平方

00:03:36.760 --> 00:03:41.140
等于斜边的平方

00:03:41.160 --> 00:03:43.600
现在让我们举一个实例

00:03:43.600 --> 00:03:45.470
你们就会发现其实没那么难

00:03:45.540 --> 00:03:47.930
我有这样一个三角形

00:03:47.930 --> 00:03:50.840
让我把它画出来

00:03:50.840 --> 00:03:57.080
这就是我的三角形 它看起来像这样

00:03:57.080 --> 00:04:00.520
这里是直角

00:04:00.540 --> 00:04:03.400
这条边 让我用些不同的颜色

00:04:03.480 --> 00:04:08.890
这条边长是3这条边是4

00:04:08.910 --> 00:04:10.940
要让我们求出

00:04:10.940 --> 00:04:14.400
让我们找出这条边的边长

00:04:14.440 --> 00:04:17.070
在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事

00:04:17.090 --> 00:04:19.360
是要保证你有斜边

00:04:19.360 --> 00:04:22.140
你要知道

00:04:22.180 --> 00:04:23.200
你要求解什么

00:04:23.240 --> 00:04:26.290
在这种情况下 我们是要计算斜边

00:04:26.320 --> 00:04:28.480
我们知道是因为 这条边是

00:04:28.550 --> 00:04:33.070
直角所对的边

00:04:33.110 --> 00:04:36.510
如果我们来看勾股定理 这是C

00:04:36.510 --> 00:04:39.540
这是最长边 现在我们就可以

00:04:39.540 --> 00:04:42.100
使用勾股定理了

00:04:42.160 --> 00:04:49.260
它告诉我们 一条直角边 4的平方

00:04:49.260 --> 00:04:53.290
加上另一条直角边 3的平方

00:04:53.290 --> 00:04:56.230
等于较长边的平方

00:04:56.300 --> 00:05:00.270
也就是斜边的平方 等于C的平方

00:05:00.270 --> 00:05:02.460
求解出C

00:05:02.460 --> 00:05:06.140
4的平方等于4乘以4

00:05:06.210 --> 00:05:12.030
是16 3的平方等于3乘以3

00:05:12.030 --> 00:05:17.400
是9

00:05:17.440 --> 00:05:21.850
这等于C的平方 16加9是多少 是25

00:05:21.850 --> 00:05:25.230
所以25等于C的平方

00:05:25.260 --> 00:05:28.370
我们取两边的正根

00:05:28.370 --> 00:05:33.150
如果你们从数学的角度看 它也可能是负5

00:05:33.190 --> 00:05:34.700
但是我们在做距离问题

00:05:34.740 --> 00:05:36.710
所以只关心正根

00:05:36.740 --> 00:05:39.570
所以我们取两边的算术平方根

00:05:39.620 --> 00:05:44.520
得到5等于C

00:05:44.560 --> 00:05:50.110
或者说 最长边等于5

00:05:50.110 --> 00:05:52.110
现在 你可以用勾股定理

00:05:52.170 --> 00:05:54.600
给出两边 求任意第三边

00:05:54.620 --> 00:05:55.950
无论第三边是什么

00:05:56.010 --> 00:05:58.160
让我们再举一个例子

00:05:58.160 --> 00:06:03.800
这是我们的三角形

00:06:03.840 --> 00:06:07.230
像这样

00:06:07.230 --> 00:06:10.670
这样

00:06:10.670 --> 00:06:15.450
这是直角

00:06:15.450 --> 00:06:20.900
这条边长12 这条边长6

00:06:20.900 --> 00:06:23.200
我们要求解

00:06:23.200 --> 00:06:26.840
我们要求出这条边

00:06:26.890 --> 00:06:30.010
像我说过的 你要做的第一件事是

00:06:30.040 --> 00:06:31.460
找到斜边

00:06:31.520 --> 00:06:33.790
它是直角所对的边

00:06:33.790 --> 00:06:37.240
这里是直角 在直角的对面

00:06:37.240 --> 00:06:41.530
最长边 斜边 就在这儿

00:06:41.600 --> 00:06:45.030
如果我们考虑勾股定理

00:06:45.060 --> 00:06:50.010
A的平方加上B的平方等于C的平方

00:06:50.010 --> 00:06:53.510
你可以把12看成C这是斜边

00:06:53.550 --> 00:06:56.870
C的平方是斜边的平方

00:06:56.870 --> 00:06:58.640
你可以说12等于C

00:06:58.660 --> 00:07:00.250
我们可以叫这些边 顺序无所谓

00:07:00.250 --> 00:07:03.030
顺序无所谓一条为A 一条为B

00:07:03.090 --> 00:07:07.180
就让我们把这条边叫A A的长度是6

00:07:07.230 --> 00:07:12.790
让B 这个颜色的B的长度是未知的

00:07:12.840 --> 00:07:14.910
现在我们可以应用勾股定理了

00:07:14.910 --> 00:07:23.100
A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方

00:07:23.100 --> 00:07:28.010
等于斜边的平方

00:07:28.010 --> 00:07:29.350
等于C的平方

00:07:29.350 --> 00:07:35.390
就是等于12的平方 现在我们可以求出B了

00:07:35.440 --> 00:07:36.860
注意这里的区别

00:07:36.910 --> 00:07:38.210
我们现在求的不是斜边

00:07:38.250 --> 00:07:39.910
我们在求一条直角边

00:07:39.910 --> 00:07:43.820
上一个例子中我们求的是斜边 我们求的是C

00:07:43.820 --> 00:07:46.230
所以要注意

00:07:46.230 --> 00:07:48.360
A的平方加上B的平方等于C的平方

00:07:48.410 --> 00:07:51.330
C是斜边的边长 现在我们来求B

00:07:51.390 --> 00:07:59.450
6的平方等于36 加上B的平方

00:07:59.500 --> 00:08:04.340
等于12的平方 12乘以12 等于144

00:08:04.340 --> 00:08:09.110
两边同时减掉36

00:08:09.110 --> 00:08:14.990
这里约掉了

00:08:15.060 --> 00:08:18.400
左边只剩下B的平方

00:08:18.430 --> 00:08:27.130
等于 144减去36 是多少 144减去30是114

00:08:27.160 --> 00:08:29.800
再减去6 是108

00:08:29.800 --> 00:08:36.030
这是108 那是B的平方

00:08:36.070 --> 00:08:37.730
现在我们要它两边的算术平方根

00:08:37.760 --> 00:08:39.820
或者正根

00:08:39.820 --> 00:08:48.540
得到B等于108的算术平方根

00:08:48.540 --> 00:08:50.720
现在看看我们可不可以化简

00:08:50.770 --> 00:08:53.240
根号108

00:08:53.300 --> 00:08:56.330
我们可以找出108的质因数分解式

00:08:56.330 --> 00:08:58.010
然后看一下怎样可以化简这个根数

00:08:58.010 --> 00:09:02.580
108等于

00:09:02.630 --> 00:09:06.420
等于2乘以54

00:09:06.460 --> 00:09:10.820
54等于2乘以27

00:09:10.850 --> 00:09:15.330
27等于3乘以9

00:09:15.330 --> 00:09:19.600
所以根号108 等于

00:09:19.630 --> 00:09:25.360
根号下2乘以2哦 还没完

00:09:25.360 --> 00:09:28.500
9可以被分解成3乘以3

00:09:28.500 --> 00:09:33.390
所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3

00:09:33.390 --> 00:09:37.180
所以我们现在有几个完全平方式

00:09:37.180 --> 00:09:38.750
让我把它写得工整些

00:09:38.750 --> 00:09:41.000
这种化简根数的练习

00:09:41.000 --> 00:09:44.270
你们在用勾股定理的时候会经常遇到

00:09:44.270 --> 00:09:48.020
所以现在做没有坏处

00:09:48.050 --> 00:09:55.460
这个等同于根号下2乘以2

00:09:55.460 --> 00:10:02.240
乘以3乘以3乘以3 那里有最后一个根号3

00:10:02.240 --> 00:10:04.040
这是一样的

00:10:04.040 --> 00:10:06.810
你不必把这些都写在纸上

00:10:06.810 --> 00:10:09.020
你可以在脑中思考

00:10:09.020 --> 00:10:11.430
这是多少2乘以2是4

00:10:11.460 --> 00:10:15.900
4乘以9 是36 所以这是根号36

00:10:15.900 --> 00:10:20.260
乘以根号3 36的算术平方根是6

00:10:20.310 --> 00:10:25.130
所以这个化简成了6倍根号3

00:10:25.130 --> 00:10:29.470
所以B的长 你可以把它写成根号108

00:10:29.470 --> 00:10:35.360
或者你可以写成6乘以根号3

00:10:35.360 --> 00:10:39.840
这是12 这是6

00:10:39.880 --> 00:10:42.020
根号3是1点多

00:10:42.100 --> 00:10:44.700
所以它会比6大一点点